Chaos

1

Chaos deterministyczny

Zachowaniem wielu uk

ładów fizycznych rządzą deterministyczne prawa fizyczne zapisane

matematycznie w postaci równa

ń różniczkowych lub różnicowych np. równania ruchu wynikające

z drugiej zasady dynamiki Newtona, równania kinetyki reakcji chemicznych itp. Oznacza to,

że

je

śli znamy stan układu w wybranej chwili początkowej oraz równania opisujące dynamikę układu,

powinni

śmy być w stanie jednoznacznie przewidzieć bieg zdarzeń, w zasadzie dla dowolnej chwili

czasu w przysz

łości, podobnie znana powinna być też przeszłość badanego układu. Taki pogląd

zwany absolutnym determinizmem lub redukcjonizmem królowa

ł w XIX w. Uważano wówczas

Wszech

świat za ogromny mechanizm taki jak np. zegar, tyle, że oczywiście znacznie bardziej

skomplikowany. Zachowanie odwiecznie zmieniaj

ącego się Wszechświata miało być, więc

ca

łkowicie przewidywalne – można je zredukować do ewolucji pewnych warunków początkowych

pod dzia

łaniem niezmiennych praw fizyki. Wszystko można dokładnie obliczyć, jedyną trudność

mo

że tylko stanowić określenie stanu układu (warunków początkowych) oraz rozwiązanie

skomplikowanych równa

ń dynamiki układu. Są to trudności niebagatelne – np. w każdym cm

3

pokoju znajduje si

ę ok. 10

18

cz

ąsteczek powietrza, doznających ok. 10

27

zderze

ń w każdej

sekundzie. Aby okre

ślić stan ruchu 1 cząstki traktowanej jak punkt materialny potrzebujemy

poda

ć zbiór 6 liczb, dla oznaczenia współrzędnych jej położenia i prędkości (pędu), dla N cząstek

daje to 6N niezale

żnych danych. W naszym przykładzie N=10

18

! W tym wypadku trudno

ść polega

na konieczno

ści zgromadzenia niewyobrażalnie dużej ilości informacji wejściowych i rozwiązania

tylu

ż równań ruchu – a więc mamy do czynienia z ogromną złożonością przetwarzania informacji.

Pami

ętajmy w tym miejscu, że dzisiejsi specjaliści od modelowania dynamiki molekularnej, z

dost

ępem do najszybszych superkomputerów, są w stanie symulować ruch jakichś 10

5

cz

ąstek i

to w dodatku tylko w przybli

żeniu. Przekorny determinista mógłby się jednak upierać, że wszystko

to s

ą przejściowe ograniczenia praktyczne, nie sięgające istoty rzeczy, bo w zasadzie

hipotetycznie nic nie stoi na przeszkodzie, aby mo

żna było każdy ruch obliczyć dokładnie, a więc

przewidzie

ć. Tymczasem okazuje się, że tak nie jest i to przynajmniej z dwóch różnych powodów.

1. Pierwszy wi

ąże się z faktem, że właściwą teorią podstawową ruchu ciał fizycznych nie jest

mechanika klasyczna (newtonowska) lecz mechanika kwantowa. Zawarta jest w niej zasada
nieoznaczono

ści, która ogranicza dokładność, z jaką możemy jednocześnie określić położenie

i p

ęd cząstki. Kiedy próbujemy wyznaczyć jedną z tych wielkości dokładnie, druga staje się

coraz bardziej niepewna. To wzajemne powi

ązanie położenia i pędu pozwala na jedynie

probabilistyczne przewidywanie przysz

łości obiektów mikroskopowych tzn. w skali

atomów, cz

ąsteczek i jeszcze mniejszych obiektów. W większych skalach „świata średnich

i du

żych rozmiarów”, a więc w świecie znanym z codziennego, dla wszystkich praktycznych

celów obowi

ązują prawa mechaniki klasycznej. Kwantową nieoznaczoność w świecie

makroskopowym mo

żemy zaniedbać, niemniej jednak powinniśmy być świadomi jej istnienia.

2. Drugim

powodem

jest

nieprzewidywalno

ść

makroskopowa

zwana

chaosem

deterministycznym, pojawiaj

ąca się w układach makroskopowych, niejednokrotnie bardzo

prostych, których dynamik

ę opisują deterministyczne prawa fizyczne. Tego rodzaju

zachowania nie nale

ży mylić z mikroskopowym nieporządkiem cieplnym (np. ruchami Browna).

Jak jednak uk

ład może być deterministyczny, a równocześnie zachowywać się

chaotycznie (w sposób nieprzewidywalny)? Czy nie s

ą to wyrażenia sprzeczne ze sobą. Otóż

okazuje si

ę, że nie. Istota chaosu deterministycznego tkwi we wrażliwości układu na warunki

pocz

ątkowe. Jak wielokrotnie mówiliśmy, prawa deterministyczne dają nam przepis, dzięki

któremu dany zestaw warunków pocz

ątkowych prowadzi do jednoznacznego, możliwego do

obliczenia, stanu uk

ładu w dowolnej przyszłej chwili czasu. W domyśle zakładamy jednak, że

warunki pocz

ątkowe są dane z nieograniczoną dokładnością, lub jak kto woli, z dokładnością do

niesko

ńczenie dużej liczby cyfr dziesiętnych. Jest to jednak ideał nieosiągalny - błędy i

niepewno

ści pomiarowe są przecież wszechobecne, a więc warunki początkowe znamy zawsze

tylko w przybli

żeniu.

Je

śli podczas ewolucji układu błędy związane z niepewnością warunków początkowych nie

narastaj

ą w czasie, mówimy, że układ zachowuje się w sposób regularny i przewidywalny.

Jednak prawa deterministyczne nie daj

ą gwarancji regularnego zachowania układu. Zdarza się,

że początkowe błędy rosną z czasem (i to w dodatku wykładniczo), wówczas układ ma charakter

Chaos

2

chaotyczny i d

ługofalowe przewidywanie jego ewolucji staje się niemożliwe. Często nazywa się to

obrazowo efektem motyla.

W 1963 roku meteorolog N.E. Lorenz bada

ł stosunkowo prosty układ trzech sprzężonych

nieliniowych równa

ń różniczkowych, opisujący (w przybliżeniu) ruch powietrza w ziemskiej

atmosferze, a wi

ęc pośrednio zagadnienia prognozowania pogody. Jak zauważył, wyniki

d

ługoczasowych obliczeń numerycznych były niesłychanie czułe na warunki początkowe, do tego

stopnia,

że np. machnięcie skrzydeł motyla w Brazylii mogło stać się przyczyną tornada w

Teksasie. Nie wierzcie d

ługoterminowym prognozom pogody!

Czy mo

żna uściślić i matematycznie opisać pojęcie wrażliwości na warunki początkowe? Jak

mówili

śmy, stan układu dynamicznego można dogodnie przedstawić w postaci punktu w

abstrakcyjnej przestrzeni fazowej (zwanej te

ż inaczej przestrzenią stanów). Natura i wymiar

przestrzeni fazowej zale

ży oczywiście od rodzaju badanego układu. Tak więc np. dla układów

mechanicznych wspó

łrzędnymi punktu w przestrzeni fazowej będą liczby określające położenia i

p

ędy wszystkich cząstek tworzących układ (dla N cząstek swobodnych będzie to przestrzeń 6N

wymiarowa), w przypadku reakcji chemicznej wspó

łrzędnymi punktu w przestrzeni fazowej będą

st

ężenia poszczególnych reagentów np. dla reakcji

C

B

A

®

¬

+

- przestrze

ń fazowa jest 3

wymiarowa. Ewolucja czasowa uk

ładu opisywana jest jako trajektoria punktu w przestrzeni

fazowej. W j

ęzyku przestrzeni fazowej niewielka zmiana warunków początkowych sprowadza się

do puszczenia uk

ładu w ruch z dwóch sąsiadujących ze sobą punktów prze strzeni stanów. Dla

uk

ładu regularnego trajektorie punktów przestrzeni fazowej sąsiadujących ze sobą w chwili

pocz

ątkowej będą przebiegały blisko siebie również w dowolnej chwili przyszłości, natomiast

charakterystyczn

ą cechą układów chaotycznych jest to, że dowolne trajektorie startujące z

bliskich sobie punktów przestrzeni fazowej rozbiegaj

ą się, przy czym odległość pomiędzy nimi

ro

śnie wykładniczo jak

)

exp( t

l . Parametr , zwany wykładnikiem Lapunowa, jest miarą

szybko

ści rozbiegania się (lub zbiegania dla <0) trajektorii w przestrzeni stanów oraz

wra

żliwości układu na warunki początkowe.

Czy mo

żna przewidzieć (np. na podstawie postaci równań różniczkowych opisujących

ewolucj

ę układu) czy w danym układzie będzie występował chaos deterministyczny? Tak. Z

matematycznego punktu widzenia, wszystkie nieliniowe uk

łady dynamiczne o więcej niż dwóch

stopniach swobody mog

ą przejawiać chaos. Podstawowym warunkiem koniecznym (ale nie

wystarczaj

ącym) do pojawienia się chaosu jest więc nieliniowość równań opisujących

dynamik

ę układu. Z drugiej strony chaos nie pojawia się jeśli istnieje możliwość podania

rozwi

ązania analitycznego równań ewolucji układu dla dowolnej chwili czasu. Nieliniowe równania

ewolucji uk

ładu rozwiązujemy numerycznie, krok po kroku, od stanu początkowego, do wybranej

chwili ko

ńcowej. Tylko w takich warunkach może uwidocznić się wrażliwość na warunki

pocz

ątkowe.

Mo

żna odnieść wrażenie, że konieczna dla chaosu wrażliwość na warunki początkowe

wymaga szczególnego dopasowania parametrów równania, co w przyrodzie mo

że zdarzyć się

wyj

ątkowo i przypadkowo. Czyniłoby to z chaosu ciekawostkę, osobliwość rzadko mogącą

wyst

ępować w świecie fizycznym, niewartą zainteresowania. Takie wyobrażenie jest jednak

nieprawdziwe. W ostatnich latach sta

ło się jasne, że zjawisko chaosu deterministycznego

wyst

ępuje powszechnie w przyrodzie i pociąga za sobą daleko idące konsekwencje w wielu

dziedzinach nauki. A oto przyk

łady układów wykazujących zachowania typowe dla chaosu

deterministycznego: wahad

ło z siłą wymuszającą, płyny w pobliżu progu turbulencji, lasery,

nieliniowe urz

ądzenia optyczne, reakcje chemiczne, klasyczne układy wielu ciał (już np.

zagadnienie 3 cia

ł), akceleratory cząstek, biologiczne modele populacji, sygnały EKG pacjentów z

arytmi

ą serca i EEG osób cierpiących na epilepsję, makroskopowe fluktuacje cen towarów i akcji.

Niemal ka

żdy rzeczywisty układ dynamiczny, odpowiednio napędzany, okazuje się chaotyczny.

Omówimy teraz (bardzo krótko) typy uk

ładów mechanicznych wykazujących chaos

deterministyczny oraz mo

żliwe drogi (albo scenariusze) dochodzenia układów nieliniowych do

chaosu przy zmianie parametru kontrolnego. Wszystkie te scenariusze mo

żna zrealizować

do

świadczalnie. Zauważmy przy tym, że przejście do chaosu w układach dyssypatywnych ma

miejsce jedynie wtedy gdy uk

ład jest pobudzany z zewnątrz (np. poprzez mieszanie,

pompowanie, ogrzewanie, uderzanie). Takie uk

łady nazywamy otwartymi.

Chaos

3

Pierwsza z dróg dochodzenia chaosu zwana jest drog

ą bifurkacji, albo podwajania okresu.

Zilustrujmy j

ą prostym przykładem cieknącego kranu. Wszystko czego potrzeba do naszego

eksperymentu to ciekn

ący kran oraz urządzenie do pomiaru odstępu czasu pomiędzy kolejnymi

kroplami (poniewa

ż może zachodzić konieczność pomiaru odstępów czasu rzędu mili- lub nawet

mikrosekund nale

żałoby użyć detektorów innych niż tylko nasze oczy i uszy, najodpowiedniejsze

wydaje si

ę użycie fotodiody rejestrującej przerwanie wiązki światła przez padającą kroplę i

rejestracja uzyskanych danych przy pomocy komputera. Parametrem kontrolnym, stopniowo
zwi

ększanym podczas doświadczenia, będzie natężenie przepływu cieczy. Przy dostatecznie

ma

łym natężeniu przepływu kran cieknie z monotonną powtarzalnością – kap, kap, kap, ...(rys.)

Kolejne krople spadaj

ą w równych odstępach czasu, powiedzmy T

0

. W miar

ę wzrostu natężenia

przep

ływu odstęp czasu T

0

staje si

ę oczywiście coraz krótszy, jednak sposób kapania pozostaje

niezmieniony, a

ż do momentu przekroczenia pewnego progowego natężenia przepływu. Po

przekroczeniu progu charakter kapania zmienia si

ę – słyszymy kap-kap, kap-kap, kap-kap

...Odst

ępy między kroplami stają się nierówne – mamy krótki odstęp T

1

na przemian z d

ługim T

2

,

tworz

ące regularny ciąg T

1

,T

2

,T

1

,T

2

,... Mówimy,

że okres kapania podwoił się (uległ bifurkacji).

Ten nowy sposób kapania utrzymuje si

ę do kolejnego progowego natężenia przepływu, któremu

towarzyszy kolejna niestabilno

ść i kolejne podwojenie okresu – każdy z odstępów T

1

i T

2

bifurkuje

na 2 nierówne odst

ępy, co prowadzi do wzoru T

3

,T

4

,T

5

,T

6

, T

3

,T

4

,T

5

,T

6

...Ta tendencja utrzymuje

si

ę – przy n-tej bifurkacji mamy 2

n

ró

żnych odstępów czasu. Kolejne bifurkacje pojawiają się

coraz szybciej, a

ż wreszcie dla pewnej krytycznej wartości natężenia przepływu

¥

®

n

. Okres

staje si

ę równy

¥

2 czyli nieskończony – sposób kapania nigdy się nie powtarza – staje się

aperiodyczny. I to jest chaos. Odkryli

śmy w ten sposób przejście układu do chaosu drogą

bifurkacji.

Drugi scenariusz przej

ścia do chaosu nazwany został scenariuszem intermitencji (czyli

przerywania). Oznacza to,

że sygnał zachowujący się regularnie (albo przepływ laminarny) w

czasie przerywany jest raptownie przez wybuchy intermitencji, czyli przypadkowo roz

łożone

okresy ruchu nieregularnego (lub przep

ływu turbulentnego czyli burzliwego). Wraz ze wzrostem

warto

ści parametru kontrolnego układu wzrasta liczba wybuchów intermitencji, aż do momentu,

gdy ruch uk

ładu staje się całkowicie chaotyczny. Tego rodzaju scenariusz bywa obserwowany w

do

świadczeniu Benarda. W eksperymencie tym warstwa cieczy (o dodatnim współczynniku

rozszerzalno

ści objętościowej) ogrzewana jest od dołu w polu grawitacyjnym. Parametrem

kontrolnym uk

ładu jest liczba Rayleigha, proporcjonalna do różnicy temperatur pomiędzy dolna i

górn

ą warstwą cieczy. Płyn o wyższej temperaturze (a zatem mniejszej gęstości) znajdujący się

przy dnie „chce” unie

ść się do góry, a chłodniejszy płyn w górnej warstwie cieczy „chce” opaść na

dó

ł. Tej tendencji przeciwstawiają się jednak siły lepkości. Przy małej różnicy temperatur

T

D lepkość przeważa – płyn pozostaje w spoczynku, a ciepło przenoszone jest wyłącznie drogą

przewodnictwa. Przy pewnej progowej warto

ści T

D pojawia się stacjonarny stan tzw. rolek

konwekcyjnych. Przy dalszym ogrzewaniu, powy

żej drugiej wartości progowej T

D , obracające się

rolki konwekcyjne staj

ą się niestabilne, pojawiają się coraz bardziej złożone postacie przepływu,

a

ż do ruchu całkowicie turbulentnego.

Ostatnim do

ść dobrze poznaną drogą przejścia układów dyssypatywnych do chaosu jest

dziwny atraktor. O ile w scenariuszu bifurkacji ruch chaotyczny pojawia

ł się w wyniku

niesko

ńczonego ciągu niestabilności, w tym wypadku już po dwóch niestabilnościach, przy

pojawieniu si

ę trzeciej, trajektorie w przestrzeni fazowej zaczynają być przyciągane przez

ograniczony obszar przestrzeni fazowej, w którym ruch staje si

ę chaotyczny (jest to tzw. dziwny

atraktor). Tego rodzaju przej

ście również było obserwowane w doświadczeniach Benarda.