Ka˙zde zadanie – 10pkt. Nie wolno u˙zywa´

c kalkulator´

ow, tablic ani innych notatek.

Wszelkie pytania nale˙zy kierowa´

c do osoby prowadza

,

cej kolokwium.

08.03.2009

Egzamin z Analizy Matematycznej

Termin II

Zadanie 1. Prosze

,

obliczy´

c pochodne naste

,

puja

,

cych funkcji:

a) 3

4

√

x

3

b)

x

3

+ x

cos x

c)

p

sin(x

3

+ 3x)

Zadanie 2. Prosze

,

znale´

z´

c naste

,

puja

,

ce granice:

a) lim

x→∞

e

x

x

2

b) lim

x→0

1 − cos x

x

2

Zadanie 3. Dla funkcji

f (x) = x

2

e

x

okre´slonej na zbiorze liczb rzeczywistych prosze

,

znale´

z´

c warto´sci najwie

,

ksza

,

i

najmniejsza

,

(lub odpowiednie kresy) ekstrema lokalne, przedzia ly monoton-

iczno´sci i naszkicowa´

c wykres.

Zadanie 4. Prosze

,

stwierdzi´

c, czy naste

,

puja

,

ce cia

,

gi funkcji sa

,

zbie˙zne jed-

nostajnie na R. Je´sli tak - prosze

,

poda´

c odpowiednia

,

granice

,

a) f

n

(x) =

x

n+x

2

b) f

n

(x) =

x

2

n+x

2

Zadanie 5. Prosze

,

znale´

z´

c wielomian Taylora funkcji f (x) =

√

e

x

stopnia 3

w punkcie a = 0 oraz odpowiednia

,

reszte

,

.

Zadanie 6. Prosze

,

obliczy´

c naste

,

puja

,

ce ca lki:

a)

Z

ln

3

x

x

dx

b)

Z

1

x(x − 2)

dx

Zadanie 7. Prosze

,

obliczy´

c pole obszaru ograniczonego krzywymi:

y = 2x − x

2

oraz x + y = 0.