Ka˙zde zadanie – 10pkt. Nie wolno u˙zywa´

c kalkulator´

ow, tablic ani innych notatek.

Wszelkie pytania nale˙zy kierowa´

c do osoby prowadza

,

cej kolokwium.

06.02.2010

Egzamin z Analizy Matematycznej.

Zadanie 1. Prosze

,

obliczy´

c pochodne naste

,

puja

,

cych funkcji:

a)

3

√

x ln x

b)

2

x

cos x

c) sin

5

(x

3

+

√

3x + 5)

Zadanie 2. Prosze

,

znale´

z´

c naste

,

puja

,

ce granice:

a) lim

n→∞

3n

3

+ 5 · 2

n

+ 7 ln n

4 ln n + 6n

5

+ 8 · 2

n

b) lim

x→0

cos x − 1

x

2

Zadanie 3. Dla funkcji

f (x) =

x

2

− x + 2

x − 2

okre´slonej na przedziale [3, 6) prosze

,

znale´

z´

c warto´sci najwie

,

ksza

,

i najm-

niejsza

,

(lub odpowiednie kresy), ekstrema lokalne, przedzia ly monotoniczno´sci

i naszkicowa´

c wykres.

Zadanie 4. Prosze

,

znale´

z´

c najwie

,

ksza

,

mo˙zliwa

,

obje

,

to´s´

c prostopad lo´sciennego

basenu (otwartego zbiornika), kt´

orego dwie przeciwleg le sciany sa

,

kwadra-

towe i kt´

ory da sie

,

wykafelkowa´

c p lytkami o la

,

cznej powierzchni 81m

2

.

Zadanie 5. Prosze

,

znale´

z´

c wielomian Taylora funkcji f (x) = cos x stop-

nia 5 w punkcie a = 0 oraz odpowiednia

,

reszte

,

. Za pomoca

,

znalezionego

wielomianu obliczy´

c przybli˙zona

,

warto´s´

c cos 1 i oszaczowa´

c b la

,

d.

Zadanie 6. Prosze

,

obliczy´

c naste

,

puja

,

ce ca lki:

a)

Z

x cos x

2

dx

b)

Z

x ln x dx

Zadanie 7. Prosze

,

obliczy´

c pole obszaru ograniczonego krzywymi:

y = x

2

− 1 oraz x − y + 1 = 0.