Projekt z układów dynamicznych w zastosowaniach.

Alina Maląg

8.01.2016

1

Model Odella

Niech x oznacza liczebność ofiar, a y oznacza liczebność drapieżników. Zakładamy także, że
w środowisku nie występują inne populacje lub nawet jeśli występują to ich liczebność nie
ma wpływu na liczebność drapieżników i ofiar. Zakładamy także, że nie istnieją zewnętrzne
czynniki znacząco wpływające na liczebność obu populacji. Model opisujący zależność pomiędzy
liczebnościami tych dwóch populacji może być opisana następującym układem równań:

x

′

= x[x(1

− x) − y]

(1)

y

′

= y(x

− a),

(2)

gdzie a

­0 oznacza parametr kontroli. Ze względu na poprawność biologiczną bierzemy pod

uwagę tylko wartości x

­ 0 oraz y ­ 0. Powyższy model będziemy nazywali modelem Odella.

2

Punkty stałe układu

Przyrównujemy prawe strony równań (1) i (2) do zera. Stąd otrzymujemy:

x(x

− x

2

− y) = 0

(3)

y(x

− a) = 0

(4)

Z pierwszego równania otrzymujemy, że: x=0 lub x

− x

2

− y = 0.

Przyjmując x=0 z drugiego równania uzyskujemy y=0. Stąd pierwszym punktem stałym jest
P1=(0,0).
Z drugiego równania otrzymujemy, że: y=0 lub x=a.
Przyjmując y=0 i podstawiając do piewszego równania otrzymujemy x

− x

2

= 0. Stąd drugim

punktem stałym jest P2=(1,0).
Dla x=a z pierwszego równania otrzymujemy, że a(a

−a

2

−y) = 0 skąd trzecim punktem stałym

jest P 3 = (a, a

− a

2

).

3

Stabilność punktów stałych

W celu zbadania stabilności punktów stałych układu rozważmy Jakobian dla (1) i (2).
Oznaczmy:

F (x, y) = (x(x

− x

2

− y), y(x − a)).

Aby zbadać stabilność punktów stałych, zbadamy Jakobian funkcji F:

J F (x, y) =

[

2x

− 3x

2

− y

−x

y

x

− a

]

.

1

J F (P 1) = J F (0, 0) =

[

0

0

0

−a

]

.

Wartości własne macierzy JF(P1) wynoszą 0 i -a, skąd z twierdzenia Grobmanna-Hartmanna nie
możemy jednoznacznie wnioskować o jego stabilności lub niestabilności. Jednakże poszukujemy
dodatniego punktu bifurkacji skąd punkt P1=(0,0) nie spełnia kryterium poszukiwań.

J F (P 2) = J F (1, 0) =

[

−1

−1

0

1

− a

]

.

Wartości własne macierzy JF(P2) wynoszą -1 i 1-a, skąd z twierdzenia Grobmanna-Hartmanna
wnioskujemy, że dla a < 1 punkt P2 jest siodłem, a dla a

­ 1 jest węzłem stabilnym.

J F (P 3) = J F (a, a

− a

2

) =

[

a

− 2a

2

−a

a

− a

2

0

]

.

Rozważmy wartości własne macierzy JF(P3):

det

[

a

− 2a

2

− λ −a

a

− a

2

−λ

]

=0 .

Równanie charakterystyczne wygląda następująco:

λ

2

+ λ(2a

2

− a) + a

2

− a

3

= 0

∆ = (2a

2

− a)

2

− 4(a

2

− a

3

)

∆ = 4a

4

− 3a

2

Rysunek 1: wykres funkcji a

2

(4a

2

− 3)

2

Rozważmy przypadki:

1. ∆ > 0 :

∆ = 4a

4

− 3a

2

> 0

wtedy i tylko wtedy, gdy

a

∈ (−∞, −

√

3

2

)

∪ (

√

3

2

,

∞)

Wówczas wartości własne wynoszą:

λ

1

=

−2a

2

+ a +

√

4a

4

− 3a

2

2

=

−a

2

+

1

2

a +

√

−3a

2

+ 4a

4

2

λ

2

=

−2a

2

+ a

−

√

4a

4

− 3a

2

2

=

−a

2

+

1

2

a

−

√

−3a

2

+ 4a

4

2

2. ∆ = 0 :

∆ = 4a

4

− 3a

2

= 0

wtedy i tylko wtedy, gdy

a =

{−

√

(3)

2

, 0,

√

(3)

2

}

Otrzymujemy wartość własną:

λ

0

=

−2a

2

− a

2

3. ∆ < 0 :

∆ = 4a

4

− 3a

2

< 0

wtedy i tylko wtedy, gdy

a

∈ (

−

√

3

2

, 0)

∪ (0,

√

3

2

)

Obliczmy wartości własne powyższego Jakobianu:

λ

1

=

−2a

2

+ a +

√

4a

4

− 3a

2

2

=

−a

2

+

1

2

a +

√

3a

2

− 4a

4

2

i

λ

2

=

−2a

2

+ a

−

√

4a

4

− 3a

2

2

=

−a

2

+

1

2

a

−

√

3a

2

− 4a

4

2

i

Dla parametru a

∈ (

1
2

,

√

3

2

) otrzymujemy ognisko stabilne, zaś dla parametru a

∈ (0,

1
2

)

dostajemy ognisko niestabilne. To sugeruje bifurkację Hopfa.

Aby udowodnić występowanie bifurkacji Hopfa dla układu, sprawdźmy, czy istnieje parametr a
dla którego spełnione są założenia twierdzenia o bifurkacji Hopfa:
Aby zachodziła bifurkacja Hopfa część rzeczywista wartości własnych musi być równa 0, a jej
część urojona różna od 0.
Stąd otrzymujemy:

Reλ

1,2

= 0

−a

2

+

1
2

a = 0

⇔ a = 0 lub a =

1
2

3

Ponadto:

Imλ

1,2

=

±

√

3a

2

− 4a

4

2

̸= 0

Sprawdźmy, dla jakich wartości parametru a, część urojona się zeruje:

±

√

3a

2

− 4a

4

2

= 0

a = 0 lub a =

√

3

2

lub a =

−

√

3

2

Stąd a

∈ R/

{

−

√

3

2

, 0,

√

3

2

}

.

Łącząc przypadki otrzymujemy, że bifurkacja Hopfa zachodzi dla parametru a =

1
2

4

Portrety fazowe

Rozważmy portrety fazowe modelu Odella:

1. dla parametru, w którym występuje bifurkacja a =

1
2

2. dla parametru mniejszego niż a =

1
2

, a=0.4

3. dla parametru większego niż a =

1
2

, a=0.6

Ad.1
Rozważmy układ z parametrem a =

1
2

. Wówczas model przyjmuje postać:

x

′

= x[x(1

− x) − y]

(5)

y

′

= y(x

− 0.5),

(6)

Punkty stałe powstałego układu to: A1 = (0, 0) A2 = (1, 0) A3 = (

1
2

,

1
4

). Ze względu na badaną

bifurkację interesuje nas tylko punkt A3. Układ w otoczeniu tego punktu jest centrum.

Rysunek 2: Przypadek 1

4

Ad.2
Rozważmy układ z parametrem a = 0.4. Wówczas model przyjmuje postać:

x

′

= x[x(1

− x) − y]

(7)

y

′

= y(x

− 0.4),

(8)

Punkty stałe powstałego układu to: B1 = (0, 0) B2 = (1, 0) B3 = (0.4, 0.24). Ze względu na
badaną bifurkację interesuje nas tylko punkt A3. Układ w otoczeniu tego punktu jest ogniskiem
niestabilnym.

Rysunek 3: Przypadek 2

Ad.3
Rozważmy układ z parametrem a = 0.6. Wówczas model przyjmuje postać:

x

′

= x[x(1

− x) − y]

(9)

y

′

= y(x

− 0.6),

(10)

Punkty stałe powstałego układu to: B1 = (0, 0) B2 = (1, 0) B3 = (0.6, 0.24). Ze względu na
badaną bifurkację interesuje nas tylko punkt A3. Układ w otoczeniu tego punktu jest ogniskiem
stabilnym.

5

Rysunek 4: Przypadek 3

Zachowanie układu dla podanych parametrów sugeruje bifurkację superkrytyczną. Aby potwier-
dzić naszą hipotezę obliczymy współczynnik A.
Oznaczmy:

f (x, y) = x[x(1

− x) − y],

g(x, y) = y(x

− a).

Wówczas:

f

x

= 2x

− 3x

2

− y

g

x

= y

f

xx

= 2

− 6x

g

xx

= 0

f

xxx

=

−6

g

xxx

= 0

f

y

=

−x

g

y

= x

f

yy

= 0

g

yy

= 0

f

yyy

= 0

g

yyy

= 0

f

xy

=

−1

g

xy

= 1

Wówczas współczynnik A będzie miał postać:

A =

1

16

(f

xxx

+f

xyy

+g

xxy

+g

yyy

)+

1

16ω

[f

xy

(f

xx

+f

yy

)

−g

xy

(g

xx

+g

yy

−f

xx

g

xx

+g

yy

f

yy

] =

−3 +

√

2

8

< 0,

gdzie ω = Imλ =

√

3a

2

−4a

4

2

Przyjmując ω =

−

√

3a

2

−4a

4

2

wartość parametru A będzie mniejsza od otrzymanej, zatem również

ujemna.
Otrzymany współczynnik A jest mniejszy od zera, a co za tym idzie otrzymana bifurkacja jest
superkrytyczna. Oznacza to, że dla parametru a <

1
2

dostajemy następujący cykl graniczny:

6

Rysunek 5: cykl graniczny

Cykl graniczny jest przyciągający, dlatego też zewnętrzna orbita nawija sie od niego od ze-
wnątrz.

Rysunek 6: Orbita nawija się z zewnątrz na cykl graniczny.

Podsumowując: dla a <

1
2

mamy punkt stacjonarny niestabilny i jednocześnie rozwiązanie

okresowe stabilne zaś po przej- ściu przez a =

1
2

dostajemy punkt stabilny, a rozwiązanie

okresowe zanika.

7