Wykład #6

Konstrukcje w aksonometrii

W niniejszym wykładzie rozwiążemy kilka zadań z konstrukcji podstawowych, wykorzystując metodę rzutów
aksonometrycznych. Zdania będziemy rozwiązywać w aksonometrii ukośnej, należy jednak pamiętać, że w
identyczny sposób rozwiązywalibyśmy te same problemy w aksonometrii prostokątnej z uwzględnieniem
wielkości miarowych.

Przykład 1

Wyznaczyć punkt przebicia prostej a z rzutnią poziomą

π

1

układu prostokątnego.

Rozważając położenie dowolnego punktu 1 na prostej a zauważamy, że odległość 1

u

1

I

jest skróconą wartością

wysokości tego punktu, czyli odległości od rzutni poziomej. Punkt prostej, który ma zerową wysokość jest
punktem, w którym prosta przechodzi na drugą stronę rzutni. Jest to punkt przebicia. Punkt w rzucie
aksonometrycznym pokrywa się ze swoim rzutem poziomym.

Przykład 2

Wyznaczyć punkty przebicia prostej a z wszystkimi rzutniami układu prostokątnego.

Punkt przebicia z rzutnią poziomą rozwiązujemy tak , jak w zadaniu poprzednim, leży on na przecięciu prostej w
rzucie aksonometrycznym a

u

i rzutem prostej na rzutnię poziomą a

I

. Punkt prostej , którego rzut poziomy A

2

I

przecina się z osią x ma zerową odległość od rzutni pionowej

π

2,

a zatem jest to punkt przebicia prostej z tą

rzutnią. Podobnie postępujemy szukając punktu przebicia z rzutnią trzecią ( boczną ).

Przykład 3

Znaleźć krawędź pomiędzy płaszczyzną daną trzema punktami, a rzutnią poziomą

π

1

Przez dwa dowolne punkty prowadzimy prostą w rzucie aksonometrycznym i na rzutnię poziomą i dla każdej
prostej szukamy punktu przebicia, jak w zadaniu poprzednim. Dwa punktu przebicia określą krawędź, trzeci
punkt może być sprawdzeniem. Zakładamy, że rzutnie układu prostokątnego są nieprzeźroczyste, zatem krawędź
będzie ograniczona osiami x i y

Przykład 4

Określić krawędź płaszczyzny zadanej parą prostych równoległych a i b z rzutniami układu prostokątnego.

Podobnie jak w zadaniu poprzednim wyznaczamy punkty przebicia prostych z rzutnią poziomą B

1

A

1,

, wyznaczą

one krawędź ograniczoną ze względu na widoczność osiami x i y. Punkty przecięcia K, L krawędzi z osiami są
punktami należącymi jednocześnie do sąsiedniej rzutni i płaszczyzny a b. Oznacza to, że równocześnie są to
punkty szukanych krawędzi z pozostałymi rzutniami . Podobnie, jak w przykładzie 2 znajdujemy punkty
przebicia prostych z rzutniami pionową i boczną. Wraz z punktami L i K utworzą one pozostałe krawędzie.
Pamiętajmy, że krawędzie płaszczyzny z rzutniami muszą spotykać się w punktach właściwych, lub
niewłaściwych na osiach prostokątnego układu .

Przykład 5

Wyznaczyć punkt przebicia pochyłego równoległoboku ABCD prostą l.

Przez prostą l w rzucie poziomym prowadzimy płaszczyznę pionową

ε

, wyznaczamy jej krawędź k z

równoległobokiem Krawędź i prosta l leżą w tej samej płaszczyźnie

ε

, a zatem się przecinają, jest to punkt

przebicia w którym prosta przechodzi na drugą stronę równoległoboku.

Przykład 6

Wyznaczyć krawędź pomiędzy trójkątem ABC , a zadanym prostopadłościanem.

Bok CB trójkąta i tylna ściana prostopadłościanu leżą w taj samej płaszczyźnie ( ich rzuty się pokrywają ) , więc
w przestrzeni przecinają się w punktach 1 i 2 . Bok AC trójkąta i ściana boczna prostopadłościanu leżą na rzutni
poziomej i przecinają się w punktach 3 i 4. Łącząc odpowiednie punkty kierujemy się przynależnością punktów
do tych samych ścian.

Przykład 7

Wyznaczyć punkty przebicia graniastosłupa prostą p

Stosujemy znany nam schemat postępowania z rzutów Monge`a. W dowolnym miejscu prostej p ( punkt 1 )
prowadzimy prostą w o wspólnym punkcie niewłaściwym (W

Ψ

) zgodnym z kierunkiem krawędzi bocznych

graniastosłupa. Proste p i w tworzą płaszczyznę tnącą graniastosłup, którego przekrój wyznaczmy w oparciu o
krawędź k z płaszczyzną podstawy. Przekrój i prosta p leżą w tej samej płaszczyźnie, a zatem przecinają się w
punktach przebicia. Ta część prostej, która wychodzi z punktu leżącego na widocznej ścianie jest widoczna. Ta,
która wychodzi z punktu na ścianie niewidocznej jest zasłonięta graniastosłupem.

Przykład 8

Wyznaczyć punkty przebicia ostrosłupa prostą l

Podobnie jak w zadaniu poprzednim prowadzimy płaszczyznę przez prostą i wierzchołek bryły. Przy takim
stawieniu danych ( prosta l rzutująca w rzucie pionowym - l

II

w punkcie ) łatwo zauważyć , że płaszczyzna

pomocnicza

ε

też jest rzutująca w rzucie pionowym. W przecięciu z osią x uzyskujemy krawędź , która w

aksonometrii wyznaczy przekrój bryły. Przekrój i prosta l przynależą do wspólnej płaszczyzny i przecinają się
tworząc punkty przebicia.