Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne

— Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wynik pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jakościowy.
— Zdarzenie elementarne - najprostszy wynik doświadczenia losowego, tzn. zdarzenie losowe, którego nie da się

rozłożyć na zdarzenia prostsze.

— Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych w danym doświadczeniu lub obserwacji.
— Uwaga. Gdy przestrzeń Ω ma skończoną lub przeliczalną liczbę elementów, wówczas każdy podzbiór zbioru Ω jest

zdarzeniem losowym. Tak być nie musi, gdy Ω nie jest przeliczalne.

Zdarzenia losowe

Niech A, B ⊂ Ω.

— A ∪ B - suma zdarzeń A i B („zaszło A lub B")
— A ∩ B - iloczyn zdarzeń A i B („zaszło A i B")
— A \ B - różnica zdarzeń A i B („zaszło A i nie zaszło B")
— A

0

- zdarzenie przeciwne do A („nie zaszło A")

— ∅ - zdarzenie niemożliwe
— Ω - zdarzenie pewne

σ-ciało zdarzeń

Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą

warunki:
— Ω ∈ F ;
— jeśli A ∈ F , to A

0

∈ F ;

— jeśli A

1

, A

2

, A

3

, · · · ∈ F , to

∞

[

i=1

A

i

∈ F .

Rodzinę F podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-ciałem zdarzeń, a elementy tej rodziny nazywamy zdarzeniami
losowymi.

Przykład

Rzut monetą.

Ω = {O, R}

zbiór zdarzeń elementarnych jest skończony

F =

∅, {O}, {R}, {O, R}

Zbiory borelowskie

Jeżeli Ω = R, to ważnym σ-ciałem zdarzeń jest σ-ciało B zbiorów borelowskich.

B – najmniejsze σ-ciało zawierające wszystkie odcinki

Zbiory borelowskie na prostej: (−∞, ∞), (−∞, ai, (−∞, a), hb, ∞), (b, ∞), (a, b), ha, b), (a, bi, ha, bi, {a}, ∅, ...

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

— Jeżeli zbiór Ω składa się z n jednakowo możliwych zdarzeń elementarnych i wśród nich jest dokładnie k zdarzeń

sprzyjających zajściu zdarzenia A, to liczbę P (A) =

k

n

nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia

A.

— Piszemy również P (A) =

n(A)
n(Ω)

, gdzie n(A) oznacza liczbę zdarzeń elementarnych w podzbiorze A, zaś n(Ω) oznacza

liczbę zdarzeń elementarnych w zbiorze Ω.

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

— Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, zaś F będzie σ-ciałem zdarzeń losowych.

1

— Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P : F → R, która spełnia następujące warunki:

— dla każdego A ∈ F zachodzi 0

6 P (A) 6 1;

— P (Ω) = 1;

— jeśli zdarzenia A

i

, gdzie i ∈ {1, 2, . . . }, wykluczają się parami (tzn. A

i

∩ A

j

= ∅ dla i 6= j; i, j ∈ {1, 2, . . . }), to

P

∞

[

i=1

A

i

!

=

∞

X

i=1

P (A

i

).

— Trójkę (Ω, F , P ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

Własności prawdopodobieństwa

Niech A, B ∈ F .

— P (∅) = 0;
— P (A

0

) = 1 − P (A);

— jeśli A ⊂ B, to P (A)

6 P (B);

— P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).

Zmienna losowa

Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną.

— Zmienną losową nazywamy każdą funkcję X określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, przyjmującą

wartości rzeczywiste, taką, że dla każdej liczby rzeczywistej x zbiór zdarzeń elementarnych ω spełniających warunek
X(ω) < x jest zdarzeniem losowym, tzn. należy do rodziny F .

— Tzn. X : Ω → R nazywamy zmienną losową, jeżeli

^

x∈R

{ω ∈ Ω : X(ω) < x} ∈ F

Przykład

— Rzut monetą: Ω = {O, R}, F =

∅, {O}, {R}, {O, R}.

— Niech funkcja X : Ω → R będzie określona następująco:

X({O}) = 2,

X({R}) = −2.

— Mamy wtedy

{ω : X(ω) < x} =







∅

dla

x 6 −2,

{R}

dla

−2 < x 6 2,

Ω

dla

x > 2.

— Zatem dla dowolnego x ∈ R mamy {ω : X(ω) < x} ∈ F.
— Wniosek: funkcja X jest zmienną losową.

Dystrybuanta zmiennej losowej

— Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję

F (x) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) < x}) , x ∈ R;

— tzn. F (x) = P (X < x).

Własności dystrybuanty

— F jest funkcją niemalejącą,

tzn. jeżeli x

1

< x

2

, to F (x

1

) 6 F (x

2

)

— F jest funkcją lewostronnie ciągłą,

tzn. dla każdego a ∈ R lim

x→a

−

F (x) = F (a)

—

lim

x→−∞

F (x) = 0,

lim

x→+∞

F (x) = 1

— jeżeli a < b, to P (a

6 X < b) = F (b) − F (a)

2

— jeżeli x jest liczbą skończoną, to P (X

> x) = 1 − F (x)

Rodzaje zmiennych losowych

Wyróżniamy dwa podstawowe rodzaje zmiennych losowych:

— zmienne losowe typu skokowego (z.l. dyskretne) - gdy zbiór wartości funkcji X(ω) jest zbiorem skończonym

lub przeliczalnym;

— zmienne losowe typu ciągłego - gdy zbiór wartości funkcji X(ω) zawiera pewien przedział właściwy lub niewłaś-

ciwy.

Zmienna losowa typu skokowego

— Niech {x

1

, x

2

, . . . , x

k

, . . . } będzie skończonym lub przeliczalnym zbiorem wartości zmiennej losowej X typu skokowego.

— Funkcję

p

i

= P (X = x

i

) = P ({ω : X(ω) = x

i

})

przyporządkowującą wartościom x

1

, x

2

, . . . , x

k

, . . . zmiennej losowej X odpowiednie prawdopodobieństwa p

1

, p

2

, . . . , p

k

, . . .

nazywamy funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu skokowego.

Mamy przy tym

X

i

p

i

= 1.

Zmienna losowa typu skokowego

— Wartości x

1

, x

2

, . . . , x

k

, . . . zmiennej losowej X nazywamy punktami skokowymi, a ich prawdopodobieństwa

p

1

, p

2

, . . . , p

k

, . . . skokami.

— Dystrybuanta zmiennej losowej typu skokowego ma postać:

F (x) =

X

{i : x

i

<x}

P (X = x

i

) =

X

x

i

<x

p

i

.

Zmienna losowa typu ciągłego

— Zmienna losowa X o ciągłej dystrybuancie F nazywa się zmienną losową typu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna

i całkowalna funkcja f taka, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi

F (x) =

x

Z

−∞

f (t)dt.

— Funkcję f nazywamy gęstością prawdopodobieństwa lub gęstością zmiennej losowej X.

Własności gęstości prawdopodobieństwa

— f (x)

> 0 dla każdego x ∈ R

—

+∞

Z

−∞

f (x)dx = 1

— f (x) = F

0

(x), jeżeli dystrybuanta F jest funkcją różniczkowalną

Zmienna losowa typu ciągłego

Zauważmy, że dla zmiennej losowej X typu ciągłego mamy:

— P (X = a) = 0 dla każdego a ∈ R;

— P (a

6 X < b) = P (a 6 X 6 b) = P (a < X 6 b) =

= P (a < X < b) =

b

Z

a

f (x)dx = F (b) − F (a).

3

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej

Mówimy, że dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, jeśli dana jest dystrybuanta zmi-

ennej losowej X, względnie gdy dana jest funkcja prawdopodobieństwa w przypadku zmiennej losowej skokowej lub
gęstość prawdopodobieństwa w przypadku zmiennej losowej ciągłej.

Podstawowe rozkłady skokowe

— rozkład jednopunktowy
— rozkład dwupunktowy
— rozkład Bernoulliego (dwumianowy)
— rozkład Poissona

Rozkład jednopunktowy

— P (X = a) = 1
— Jest to rozkład zdegenerowany, a jego dystrybuanta ma postać:

F (x) =

0 dla x 6 a,

1

dla

x > a.

Rozkład dwupunktowy

— P (X = a) = p, P (X = b) = q, przy czym p + q = 1
— Dla a = 1, b = 0 otrzymujemy rozkład zero-jedynkowy:

P (X = 1) = p, P (X = 0) = q, przy czym p + q = 1.

— Dystrybuanta rozkładu zero-jedynkowego ma postać:

F (x) =







0

dla

x 6 0,

q

dla

0 < x 6 1,

1

dla

x > 1.

Rozkład Bernoulliego (dwumianowy)

— P (X = k) =

n

k

p

k

q

n−k

,

gdzie k ∈ {0, 1, 2, . . . , n}, n ∈ N, 0 < p < 1, q = 1 − p

— Dystrybuanta ma postać: F (x) =

X

k<x

n

k

p

k

q

n−k

.

Rozkład Poissona z parametrem λ > 0

— P (X = k) =

λ

k

k!

e

−λ

, gdzie k ∈ {0, 1, 2, . . . }

— Dystrybuanta rozkładu Poissona ma postać: F (x) = e

−λ

X

k<x

λ

k

k!

.

— Rozkład Poissona jest stablicowany.

Związek rozkł. Poissona z rozkł. Bernoulliego

4

— Twierdzenie.

Niech X

n

, n ∈ {1, 2, . . . }, będzie ciągiem zmiennych losowych mających rozkłady Bernoulliego z parametrami

n i p

n

, tzn.

P (X

n

= k) =

n

k

p

k
n

·q

n−k

n

, gdzie q

n

= 1 − p

n

.

Jeżeli lim

n→∞

np

n

= λ > 0, to dla każdego całkowitego k > 0 zachodzi równość

lim

n→∞

P (X

n

= k) =

λ

k

k!

e

−λ

.

— Uwaga. Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu Bernoulliego. Im większe n oraz mniejsze p, tym

rozkład Poissona lepiej przybliża rozkład Bernoulliego. Przybliżenie jest dostatecznie dobre, gdy p

6 0.1, n > 100

oraz λ ∈ h0.1; 10i.

5