Fraktalny Rendering
Krzywych i Powierzchni
Plan
1. Fraktal jako atraktor
2. Krzywe drugiego stopnia i inne jako fraktale
3. Odcinek fraktalnie
4. Trójkąt fraktalnie
5. Modelowanie konturu przykłady
6. Triangulacja i modelowanie konturu z wypełnieniem
przykłady
7. Kształty 3D fraktalnie przykłady
8. Modyfikacja kształtu fraktala
9. Wnioski
2
1. Fraktal jako atraktor
W (S) := w1(S) w2(S) ... wl (S)
S0 dowolny obraz początkowy
Sk +1 = W (Sk ), k = 0,1,...
punkt stały, atraktor
W (\) = \, \
IFS = {w1, w2,..., wl}
3
Analogie matematyczne
Przestrz. Euklidesa Przestrz. Fraktali
" punkty " zbiory zwarte
" odległość Euklidesa " metryka Hausdorffa
" zbiory punktów " atraktory
" odwzorowanie zwężające " IFS
" tw. Banacha o pkt. stałym " tw. Banacha o pkt. stałym
" alg. iteracje z dowolnego " alg. iteracje z dowolnego
pkt. startowego. zbioru startowego.
4
Przekształcenie afiniczne
a c
ł
[x ', y '] = [x, y]ę +[e, f ]
ś
b d
lub we współrzędnych jednorodnych
a c 0
ł
[x ', y ',1] = [x, y,1]ęb d 0ś
ę ś
ę ś
e f 1
5
2. Krzywe drugiego stopnia jako
fraktale
P-1 L P, P-1 M P ,
IFS ma postać:
{ }
gdzie
1 0 0 1 4 1 2 1 4 x0 y0 1
ł ł ł
ę1 ś ę ę
L = 2 1 2 0 , M = 0 1 2 1 2ś , P = x1 y1 1ś
ę ś ę ś ę ś
ę ś ę ś ę ś
0 0 1
2
1 4 1 2 1 4 x y2 1
6
Przykład iteracje: 0,2,4,8
7
UWAGA. Krzywe drugiego stopnia
są samopodobne! Powstają ze złożenia
przekształceń:
ł
a c 0
ł
ę
a c 0 1 0 0ś
ł
ę ś
ś
ęb d 0ś ę a
ę0 da - bc 0ś =
= 1 0ś
ęb
ę ś
a
ę ś
ę ś
e f 1 ęe a - fa + ec 1ś ę0
0 1ś
ę ś
da - bc
ac
1
ł
a 0 0
ł
ś
ę
1 0 0 1 0 0ś ę da - bc 0ł
ł
ę ś
ę ś
ś
ęb a 1 0ś ę 0
ę0 da - bc 0ś =
1 0ś 1 0ś
ę ę0
ę ś
a
ę ś
ś ę0
ę ś
0 0 1 ę fa + ec 0 1ś ę0
0 1ś
e a - 1
ę ś
ę ś
da - bc
e fa + ec ac da - bc
ć ć ć
Shx b a T , - a,
( )
Shy S
a da - bc da - bc a
Ł ł Ł ł Ł ł
ścinanie - translacja - ścinanie - skalowanie
8
Inne krzywe B-splajny
1 1
ł
ę ś
0 0 0ś
ę
2 2
ę ś
ę ś
ę ś
1 3 1
ę
0 0ś
ę ś
8 4 8
ę ś
ę ś
ę ś
1 1
ę ś
ę ś
S1 := ę 0 0 0ś
2 2
ę ś
ę ś
ę ś
1 3 1
ę
0 0ś
ę ś
8 4 8
ę ś
ę ś
ę ś
1 1
ę ś
ę ś
0 0 0ś
ę
2 2
-1 0 1 0 1
ł
ę ś
1 1
ł ę ś
ę ś
0 0 0
ę -1 -1
ś
ę ś
2 2
ę
0 1 1ś
ę ś
ę ś
ę ś
2 2
ę ś
ę ś
1 3 1
ę ś
ę ś
0 0
ę ś
8 4 8 P := ę 0 1 0 0 1ś
ę ś
ę ś
ę ś
ę ś
ę ś
1 1
ę ś ę ś
1 -1
ę ś
S2 := ę 0 0 0
ę
ś
0 0 1ś
2 2
ę ś
ę ś
2 2
ę ś
ę ś
ę ś
ę ś
1 3 1
ę ś
ę
0 0
ę ś
1 0 0 0 1ś
8 4 8
ę ś
ę ś
ę ś
1 1
ę ś
IFS = {P-1 S1 P, P-1 S2 P}
ę ś
0 0 0
ę ś
2 2
9
3. Odcinek 2D fraktalnie
IFS dla odcinka o wierzchołkach [x0,y0],[x1,y1]:
1 2 0 0 1 2 0 0
ł ł
ę ę
F1 = 0 1/ 2 0ś , F2 = 0 1 2 0ś
ę ś ę ś
ę ś ę ś
2 y1 2 1
0
x 2 y0 2 1 x1
IFS = F1, F2
{ }
10
4. Trójkąt fraktalnie
IFS dla trójkąta o wierzchołkach: [x0,y0], [x1,y1], [x2,y2].
1/2 0 0 1/2 0 0 1/2 0 0
ł ł ł
F =ę 0 1/2 0ś,F2 =ę 0 1/2 0ś,F3 =ę 0 1/2 0ś,
1
ę ś ę ś ę ś
ę ś ę ś ę ś
0 1 2
x 2 y0/2 1 x /2 y1/2 1 x /2 y2/2 1
-1/ 2 0 0
ł
ę
F4 = 0 -1/ 2 0ś
ę ś
ę ś
+ x1 + x2) 2 (y0 + y1 + y2) / 2 1
(x0
IFS = F1, F2, F3, F4
{ }
11
Przykład: iteracje: 0,1,3,6
12
5. Modelowanie konturu
Etapy modelowania konturu 2D:
" wyodrębnienie konturu z obrazu,
" aproksymacja konturu łukami krzywych
i odcinkami prostych,
" wyznaczenie zbioru IFS-ów.
26 macierzy
składających
się na IFS
13
Rendering deterministyczny: iteracje- 0,1,2,3,5,8
14
16 łuków + 35 odc.
Rendering losowy: iteracje 1,3,5,20,50,200
15
6. Triangulacja i modelowanie
konturu z wypełnieniem
Rendering deterministyczny
4 trójkąty
16
7. Kształty 3D fraktalnie
Iteracje: 0,2,4,8
17
Odcinek 3D łączący punkty [x0,y0,z0],[x1,y1z1]
renderowany fraktalnie
1 2 0 0 0
ł
ę
0 1 2 0 0ś
ę ś
FM1 =
ę ś
0 0 1 2 0
ę ś
IFS = FM1, FM2 ,
{ }
ę ś
0
x 2 y0 2 z0 2 1
1 2 0 0 0
ł
ę
0 1 2 0 0ś
ę ś
FM2 =
ę ś
0 0 1 2 0
ę ś
2 y1 2 z1 2 1
ę ś
x1
18
Krzywa 3D trzeciego stopnia fraktalnie
IFS = P-1 L P, P-1 M P
{ }
1 0 0 0 1 8 3 8 3 8 1 8
ł ł
ę1 2 1 2 0 ś ę
0 0 1 4 1 2 1 4ś
ę ś ę ś
L = , M = ,
ę ś ę ś
1 4 1 2 1 4 0 0 0 1 2 1 2
ę1 8 3 8 3 8 1 8ś ę ś
0 0 0 1
x0 y0 z0 1
ł
ę
x1 y1 z1 1ś
ę ś
P =
ę ś
x2 y2 z2 1
ę ś
ę ś
3
x y3 z3 1
19
Trójkąt 3D o wierzchołkach [x0,y0,z0], [x1,y1,z1],
[x2,y2,z2] fraktalnie
1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0
ł ł ł
ę ę ę
0 1 2 0 0ś 0 1 2 0 0ś 0 1 2 0 0ś
ę ś ę ś ę ś
F1 = , F2 = , F3 = ,
ę ś ę ś ę ś
0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0
ęx 2 y0 2 z0 2 1ś ęx 2 y1 2 z1 2 1ś ęx 2 y2 2 z2 2 1ś
ę ś ę ś ę ś
0 1 2
-1 2 0 0 0
ł
ę
0 -1 2 0 0ś
ę ś
F4 = ,
IFS = {F1, F2, F3, F4}
ę ś
0 0 -1 2 0
ę(x + x1 + x2) 2 (y0 + y1 + y2) 2 (z0 + z1 + z2) 2 1ś
ę ś
0
20
Bryła wielościenna fraktalnie
21
Płat powierzchni
22
Fraktalny czajniczek z Utah
23
Modelowanie karoserii samochodu - można fraktalnie
24
8. Modyfikacja kształtu fraktala
1 0 0 0 0 0
ł
ę ś
-1 0 1 0 0 1
ł
ę ś
ę ś
3 3 -1
ę ś
ę ś
ę ś
0 0 0
ę -1 ś
ę ś
8 4 8
ę
1 0 1 0 1ś
ę ś
ę ś
ę ś 2
ę ś
ę ś
0 1 0 0 0 0
ę ś
ę ś
ę
ę ś 0 2 0 0 1 1ś
ę ś
ę ś
S1 := ę
1 1
P := ś
ę
ś
ę ś
0 0 0 0
ę ś 1
ę
2 2
ę ś
1 0 0 0 1ś
ę ś
ę ś
ę 2 ś
ę ś
ę ś
0 0 0 0 0 1
ę ś
ę ś
ę ś
ę 1 0 0 0 0 1
ś
ę ś
ę ś
3 -1 3
ę ś
ę ś
ę ś
0 0 0
ę ś 0 -1 0 0 0 1
8 8 4
25
9. Wnioski
Modelowanie fraktalne ma charakter
progresywny w przeciwieństwie do
geometrycznego i jest niezależne
od rozdzielczości.
istnieje możliwość budowy progresywnego
kompresora fraktalnego kształtów 2D i 3D,
możliwe jest modelowanie fraktalne objętości.
Uwaga.
Prezentacja oparta jest na referacie przedstawionym na konferencji Systemy Wspomagania
Decyzji , Zakopane 2005, który powstał przy współpracy z dr Agnieszką Lisowską.
26
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
GK 8 Modelowanie krzywych i powierzchni(1)Ocena Fraktalna Powierzchni Krzepniecia Marek p6Krytyczna temperatura wewnętrznej powierzchniPomiar Wymiaru Fraktalnego 08 p806 Metody wyznaczania pol powierzchniRenderableImageProducerWięzienie w krzywym zwierciadle tekstów medialnychZespół krzywychModelowanie powierzchnioweWykład 2 Wybrane zagadnienia dotyczące powierzchnii elementów maszynDiagnostyka powierzchni06 geochemia wód powierzchniowych i podziemnych,analiza matematyczna 2 3, POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGOPUBL l ludnosc powierzchnia Warszawy21 08renderrsswięcej podobnych podstron