ÿþG r a f i k a k o m p u t e r o w a
G r a f i k a k o m p u t e r o w a
W y k Ba d
M o d e l o w a n i e k r z y w y c h
i p o w i e r z c h n i n i e r e g u l a r n y c h
I n t e r p o l a c j a i a p r o k s y m a c j a
L i n i e i p o w i e r z c h n i e w p r z e s t r z e n i 3 D s o k r e [l o n e z b i o r e m p u n k t ó w o
w s p ó Br z d n y c h ( x , y , z ) .
N u m e r y c z n e m e t o d y m o d e l o w a n i a g e o m e t r y c z n e g o ( o p i s u k s z t a Bt u ) n a
p o d s t a w i e z d e f i n i o w a n y c h p u n k t ó w k l a s y f i k o w a n e s n a d w i e k a t e g o r i e :
- m e t o d y i n t e r p o l a c y j n e ;
- m e t o d y a p r o k s y m a c y j n e .
I n t e r p o l a c j a m e t o d a n u m e r y c z n a p o l e g a j c a n a w y z n a c z a n i u w d a n y m
p r z e d z i a l e t z w . f u n k c j i i n t e r p o l a c y j n e j f ( x ) , k t ó r a p r z y j m u j e w n i m z g ó r y
p r z e d z i a l e t z w . f u n k c j i i n t e r p o l a c y j n e j f ( x ) , k t ó r a p r z y j m u j e w n i m z g ó r y
z a d a n e w a r t o [c i w u s t a l o n y c h p u n k t a c h , n a z y w a n y c h w z Ba m i . I n t e r p o l a c j a
j e s t s z c z e g ó l n y m p r z y p a d k i e m m e t o d n u m e r y c z n y c h t y p u a p r o k s y m a c j a .
A p r o k s y m a c j a m e t o d a n u m e r y c z n a p o l e g a j c a n a p r z y b l i |a n i u w d a n y m
p r z e d z i a l e f u n k c j i z w a n e j f u n k c j a p r o k s y m o w a n f ( x ) i n n f u n k c j z w a n
f u n k c j a p r o k s y m u j c F ( x , p 1 , . . . , p k ) , t a k a b y d l a p r z y j t e g o k r y t e r i u m ,
f u n k c j a F ( x , p 1 , . . . , p k ) m o |l i w i e d o k Ba d n i e o d t w a r z a Ba p r z e b i e g f u n k c j i
a p r o k s y m o w a n e j f ( x ) .
p 1 , . . . , p k z d e f i n i o w a n e p u n k t y
I n t e r p o l a c j a i a p r o k s y m a c j a - i d e a
P r z y k Ba d y :
i n t e r p o l a c j a m e t o d N e w t o n a a p r o k s y m a c j a w i e l o m i a n e m C z y b y s z e w a
K r z y w e i p o w i e r z c h n i e u t w o r z o n e m e t o d a m i i n t e r p o l a c y j n y m i z a w i e r a j
w s z y s t k i e p u n k t y d e f i n i u j c e .
L i n i a l u b p o w i e r z c h n i a u t w o r z o n a j e s t m e t o d a p r o k s y m a c y j n j e |e l i
p r z e c h o d z i b l i s k o l e c z n i e k o n i e c z n i e p r z e z p u n k t y d e f i n i u j c e .
M e t o d y i n t e r p o l a c y j n e
w y k o r z y s t y w a n e d o m o d e l o w a n i a k r z y w y c h
- i n t e r p o l a c j a l i n i o w a ; *
- i n t e r p o l a c j a w i e l o m i a n o w a ; *
- i n t e r p o l a c j a p a r a b o l i c z n a ; *
- i n t e r p o l a c j a A k i m a ; *
- i n t e r p o l a c j a f u n k c j a m i v - s k l e j a n y m i ;
- i n t e r p o l a c j a m a c i e r z a m i s k l e j a n y m i ;
- i n t e r p o l a c j a f u n k c j a m i s k l e j a n y m i B a r t e l s a .
- i n t e r p o l a c j a f u n k c j a m i s k l e j a n y m i B a r t e l s a .
w y k o r z y s t y w a n e d o m o d e l o w a n i a p o w i e r z c h n i
- i n t e r p o l a c j a C o o n s a . *
M e t o d y a p r o k s y m a c y j n e
w y k o r z y s t y w a n e d o m o d e l o w a n i a k r z y w y c h i
p o w i e r z c h n i
- a p r o k s y m a c j a B e z i e r a ; *
- a p r o k s y m a c j a f u n k c j a m i B - s k l e j a n y m i ; *
- a p r o k s y m a c j a f u n k c j a m i ²- s k l e j a n y m i ; *
- a p r o k s y m a c j a f u n k c j a m i ²2 - s k l e j a n y m i . *
N a z w a t w o r z o n y c h k r z y w y c h i p o w i e r z c h n i n o s i n a z w
f u n k c j i w y k o r z y s t y w a n e j w d a n e j m e t o d z i e , n p . :
- p o w i e r z c h n i a C o o n s a ;
- k r z y w a l u b p o w i e r z c h n i a B e z i e r a ;
- k r z y w a l u b p o w i e r z c h n i a ²- s k l e j a n a i t p .
R ó w n a n i e p a r a m e t r y c z n e k r z y w e j
K r z y w a C ( u ) m o |e b y w y r a |o n a j a k o
l i n i o w e z Bo |e n i e :
n
C ( u ) = " c i F i ( u )
i = 0
g d z i e :
- F ( u ) f u n k c j a b a z o w a
- F i ( u ) f u n k c j a b a z o w a
- c i w s p ó Bc z y n n i k l i c z b o w y
F u n k c j a b a z o w a d e f i n i u j e k s z t a Bt i w Ba s n o [c i
m o d e l o w a n e j k r z y w e j .
R ó w n a n i e p a r a m e t r y c z n e p o w i e r z c h n i
W s p ó Bc z y n n i k c i m o |e w y z n a c z a k r z y w C i ( v ) , k t ó r a t a k |e m o |e b y
w y r a |o n a j a k o l i n i o w e z Bo |e n i e f u n k c j i b a z o w y c h G k ( v ) :
m
C i ( v ) = " a i k G k ( v )
k = 0
W p r o w a d z a j c t o w y r a |e n i e d o r ó w n a n i a p a r a m e t r y c z n e g o k r z y w e j
o t r z y m a m y r ó w n a n i e p o w i e r z c h n i , k t ó r e j e s t i l o c z y n e m t e n s o r o w y m
f u n k c j i b a z o w y c h F i ( u ) i G k ( v ) :
f u n k c j i b a z o w y c h F i ( u ) i G k ( v ) :
n m
S ( u , v ) = " " a i k F i ( u ) G k ( v )
i = 0 k = 0
g d z i e :
- F i ( u ) , G k ( v ) f u n k c j e b a z o w e
- a i k w s p ó Bc z y n n i k l i c z b o w y
F u n k c j e b a z o w e d e f i n i u j k s z t a Bt i w Ba s n o [c i m o d e l o w a n e j
p o w i e r z c h n i .
Au k i k r z y w e j , p Ba t y p o w i e r z c h n i
K r z y w e i p o w i e r z c h n i e s c z s t o d z i e l o n e n a m n i e j s z e w y c i n k i
l u b s e g m e n t y , k t ó r e m o g b y n i e z a l e |n i e p r z e t w a r z a n e .
K r z y w a C ( u ) m o |e b y d z i e l o n a n a c z [c i w y z n a c z o n e p r z e z
p u n k t y u i z d z i e d z i n y f u n k c j i F ( u ) :
u 1 < u 2 < u 3 , . . . . , u p .
W y b r a n e p u n k t y u i n a z y w a m y p u n k t a m i p r z e r w a D l u b
W y b r a n e p u n k t y u i n a z y w a m y p u n k t a m i p r z e r w a D l u b
w z Ba m i . K a |d y p r z e d z i a B [ u i , u i + 1 ] j e s t n a z y w a n y Bu k i e m .
P o w i e r z c h n i a S ( u , v ) m o |e b y d z i e l o n a n a c z [c i w y z n a c z o n e
p r z e z l i n i e d e f i n i o w a n e p r z e z p u n k t y p r z e r w a D ( w z By ) z
d z i e d z i n f u n k c j i F ( u ) i G ( v ) :
u 1 < u 2 < u 3 , . . . . , u p o r a z v 1 < v 2 < v 3 , . . . . , v q .
W y b r a n e l i n i e n a z y w a m y l i n i a m i p r z e r w a D l u b l i n i a m i
w z Bo w y m i . P o j e d y n c z y s e g m e n t o g r a n i c z o n y k o l e j n y m i
l i n i a m i p r z e r w a D ( l i n i a m i w z Bo w y m i ) n a z y w a m y p Ba t e m .
I n t e r p o l a c j a l i n i o w a i w i e l o m i a n o w a
P r o b l e m i n t e r p o l a c j i m o |e b y u o g ó l n i o n y w n a s t p u j c y
s p o s ó b :
m a j c d a n e N + 1 p u n k t ó w P i , o d i = 0 d o N , z n a l e z k r z y w
Q ( t ) p r z e c h o d z c p r z e z w s z y s t k i e p u n k t y
D w a s k r a j n e r o z w i z a n i a t o :
1 . N i e z a l e |n e p o Bc z e n i e w s z y s t k i c h p a r p u n k t ó w
[ P i , P i + 1 ]
2 . Z n a l e z i e n i e r ó w n a n i a k r z y w e j p r z e c h o d z c e j
p r z e z w s z y s t k i e p u n k t y P i
I n t e r p o l a c j a l i n i o w a i w i e l o m i a n o w a
P i e r w s z y p r z y p a d e k j e s t p r z y k Ba d e m i n t e r p o l a c j i l i n i o w e j p o l e g a j c e j n a p o Bc z e n i u
k o l e j n y c h p u n k t ó w P i l i n i a m i p r o s t y m i . J e |e l i z a Bo |y m y , |e p a r a m e t r t z m i e n i a s i w
z a k r e s i e [ 0 , 1 ] , t o r ó w n a n i e o p i s u j c e l i n i o w i n t e r p o l a c j p o m i d z y p u n k t a m i P i i P i + 1 m a
p o s t a :
Q ( t ) = ( 1 - t ) P i + t P i + 1
D r u g i p r z y p a d e k j e s t p r z y k Ba d e m i n t e r p o l a c j i w i e l o m i a n o w e j . N a l e |y z n a l e z
w i e l o m i a n i n t e r p o l a c y j n y o p i s u j c y p r z e b i e g k r z y w e j Q ( t ) p r z e c h o d z c e j p r z e z w s z y s t k i e
p u n k t y w z Bo w e .
D o t e g o c e l u m o g b y w y k o r z y s t a n e w i e l o m i a n y L a g r a n g e a .
D o t e g o c e l u m o g b y w y k o r z y s t a n e w i e l o m i a n y L a g r a n g e a .
N
Q ( t ) =
"P L ( t )
i i N
i = 0
g d z i e L i N ( t ) j e s t w i e l o m i a n e m L a n g r a n g e a :
ñø
ôø
( t - t 0 ) . . . . . ( t - t i - 1 ) ( t - t i + 1 ) . . . . . ( t - t N ) ôøL ( t ) = N t - t üø
j
L i N ( t ) =
òø ýø
i N "
t i - t
( t i - t 0 ) . . . . . ( t i - t i - 1 ) ( t i - t i + 1 ) . . . . . ( t i - t N ) ôø ôø
j = 0 , j `"i
j
óø þø
S t o p i e D w i e l o m i a n u N j e s t b e z p o [r e d n i o z w i z a n y z l i c z b p u n k t ó w P i . D l a N + 1 p u n k t ó w
s t o p i e D w i e l o m i a n u w y n o s i N .
P r z y k Ba d i n t e r p o l a c j i L a n g r a n g e a
c d .
I n t e r p o l a c j a w i e l o m i a n o w a
W a d i n t e r p o l a c j i w i e l o m i a n o w e j j e s t t e n d e n c j a d o
z n a c z n y c h o s c y l a c j i k r z y w e j d l a w y s o k i e g o s t o p n i a N
o r a z z a l e |n o [ s t o p n i a w i e l o m i a n u o d l i c z b y p u n k t ó w
k o n t r o l n y c h .
P r a k t y c z n e m e t o d y i n t e r p o l a c y j n e m o d e l o w a n i a
k r z y w y c h p o l e g a j n a m o d e l o w a n i u w y c i n k ó w k r z y w e j
k r z y w y c h p o l e g a j n a m o d e l o w a n i u w y c i n k ó w k r z y w e j
o p i s a n e j p r z e z n i e w i e l k l i c z b p u n k t ó w d e f i n i u j c y c h
( o d 3 d o 5 ) a n a s t p n i e Bc z e n i e i c h p r z y z a p e w n i e n i u
o d p o w i e d n i e j c i g Bo [c i p o Bc z e n i a ( n p . i n t e r p o l a c j a
p a r a b o l i c z n a , i n t e r p o l a c j a A k i m a ) .
I n t e r p o l a c j a p a r a b o l i c z n a
I n t e r p o l a c j a p a r a b o l i c z n a ( O v e r h a u s e r 1 9 6 8 r . ) j e s t p r z y k Ba d e m i n t e r p o l a c j i l o k a l n e j
w y k o r z y s t u j c e j c z t e r y p u n k t y w z Bo w e P 0 , P 1 , P 2 i P 3 .
W w y n i k u t e j i n t e r p o l a c j i z n a j d o w a n e j e s t r ó w n a n i e k r z y w e j Ba c z c e j p u n k t y [r o d k o w e
P 1 i P 2 p o p r z e z z Bo |e n i e l i n i o w e d w ó c h p a r a b o l i :
- K 1 ( r ) z d e f i n i o w a n e j p r z e z p u n k t y p o c z t k o w e P 0 , P 1 i P 2 ( k o l o r z i e l o n y )
- K 2 ( s ) z d e f i n i o w a n e j p r z e z p u n k t y k o Dc o w e P 1 , P 2 i P 3 ( k o l o r n i e b i e s k i )
C ( t )
K 2 ( s )
r
K 1 ( r )
P 1
P 2
t
P 0
P 3
s
K r z y w a C ( t ) j e s t o p i s a n a r ó w n a n i e m :
C ( t ) = [ 1 ( t / t 0 ) ] K 1 ( r ) + ( t / t 0 ) K 2 ( s )
g d z i e : t 0 o d l e g Bo [ p u n k t ó w P 1 i P 2
I n t e r p o l a c j a A k i m a ( 1 9 7 0 )
W i n t e r p o l a c j i A k i m a w y z n a c z a n e j e s t r ó w n a n i e k r z y w e j t r z e c i e g o s t o p n i a Bc z c e j d w a k o l e j n e p u n k t y P i i P i + 1 p r z y
z a Bo |e n i u , |e p r z e b i e g t e j k r z y w e j z a l e |y j e d y n i e o d s t y c z n y c h M i i M i + 1 w t y c h p u n k t a c h , k t ó r e s w y z n a c z a n e n a
p o d s t a w i e p o Bo |e n i a d a n e g o p u n k t u o r a z 2 p u n k t ó w p o p r z e d z a j c y c h i 2 p u n k t ó w n a s t p u j c y c h p o t y m p u n k c i e .
D l a w y z n a c z e n i a k r z y w e j Bc z c e j p u n k t y P i i P i + 1 w y k o r z y s t y w a n e s w i c :
- p u n k t y P i i P i + 1 ;
- p u n k t y P i - 2 i P i - 1 p o p r z e d z a j c e p u n k t P i ;
- p u n k t y P i + 2 i P i + 3 n a s t p u j c e p o p u n k c i e P i + 1
P r z y k Ba d :
w y z n a c z e n i e s t y c z n e j d o p u n k t u P 3
P
P 5
P 1
m 4
W a r t o [ n a c h y l e n i a s t y c z n e j M 3 d o p u n k t u P 3
m 1
j e s t o b l i c z a n a n a p o d s t a w i e w a r t o [c i n a c h y l e D
( w s p . k i e r . ) m 1 , m 2 , m 3 i m 4 o d c i n k ó w Bc z c y c h
o d p o w i e d n i o p u n k t y P 1 i P 2 , P 2 i P 3 , P 3 i P 4 o r a z P 4 i P 5 .
P 4
m 3
m 2
m 2 ( m 3 - m 1 ) ( m 4 - m 3 ) + m 3 ( m 2 - m 1 ) ( m 4 - m )
2
P 2
M 3 =
s t y c z n a M 3
( m 3 - m 1 ) ( m 4 - m 3 ) + ( m 2 - m 1 ) ( m 4 - m )
2
P 3
g d z i e :
y i + 1 - y i
m i =
x i + 1 - x i
d l a p u n k t ó w P i = ( x i , y i ) , i = 1 , 2 , 3 i 4 .
I n t e r p o l a c j a A k i m a ( 1 9 7 0 )
D o w y z n a c z e n i e k r z y w e j 3 s t o p n i a Bc z c e j p u n k t P 1 = [ x 1 , y 1 ] z p u n k t e m P 2 = [ x 2 , y 2 ]
w y k o r z y s t y w a n e j e s t r ó w n a n i e :
y = &!0 + &!1 ( x - x 1 ) + &!2 ( x - x 1 ) 2 + &!3 ( x - x 1 ) 3 ( 1 )
z w a r u n k a m i b r z e g o w y m i :
d y
= M 1
1 . J e |e l i x = x 1 t o y = y 1 i
d x
d y
2 . J e |e l i x = x 2 t o y = y 2 i
= M
2
d x
Z r ó w n a n i a ( 1 ) i w a r u n k ó w b r z e g o w y c h m o |n a w y z n a c z y w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k ó w &!:
&!0 = y 1 &!1 = M 1
- m 2 - 2 m 1 3 ( y 2 - y 1 ) m 1 + m 2 2 ( y 2 - y 1 )
&!2 = + &!3 = -
( x 2 - x 1 ) ( x 2 - x 1 ) 2 ( x 2 - x 1 ) 2 ( x 2 - x 1 ) 3
W t e n s p o s ó b z n a j d o w a n e s r ó w n a n i a k r z y w y c h Bc z c y c h w s z y s t k i e k o l e j n e p a r y p u n k t ó w .
D o w y z n a c z e n i a Bu k ó w Bc z c y c h d w a p u n k t y p o c z t k o w e i d w a p u n k t y k o Dc o w e d e f i n i u j e s i
d o d a t k o w e 2 p u n k t y n a k a |d y m z k o Dc ó w . W y z n a c z o n e r ó w n a n i e k r z y w e j r e d u k u j e s i d o
r ó w n a n i a 2 s t o p n i a .
P o w i e r z c h n i e C o o n s a
D a n e s 4 k r z y w e d e f i n i u j c e b r z e g p Ba t u p o w i e r z c h n i . Z a k Ba d a m y , |e w y c i n e k p o w i e r z c h n i S ( u , v ) j e s t
z n o r m a l i z o w a n y d o k w a d r a t u j e d n o s t k o w e g o , p a r a m e t r y u i v n a l e | d o p r z e d z i a Bu < 0 , 1 > .
K r z y w e b r z e g o w e m o |n a p r z e d s t a w i j a k o : P ( u , 0 ) , P ( u , 1 ) , P ( 0 , v ) i P ( 1 , v ) .
P Ba t p o w i e r z c h n i C o o n s a b u d u j e s i i n t e r p o l u j c p u n k t y l e |c e n a p r z e c i w l e g By c h k r z y w y c h b r z e g o w y c h .
U t w o r z o n a p o w i e r z c h n i a p r z e d s t a w i o n a j e s t r ó w n a n i e m p a r a m e t r y c z n y m :
1 1 1 1
S ( u , v ) = ( u ) P ( i , v ) + ( v ) P ( u , j ) - ( u ) F j ( v ) P ( i , j )
"F i "F j ""F i
i = 0 j = 0 i = 0 j = 0
g d z i e : F i s o d p o w i e d n i o d o b i e r a n y m i f u n k c j a m i i n t e r p o l u j c y m i s p e Bn i a j c y m i w a r u n k i b r z e g o w e :
F 0 ( 0 ) = 1 , F 0 ( 1 ) = 0 , F 1 ( 0 ) = 0 i F 1 ( 1 ) = 1
N a j p r o s t s z y m i f u n k c j a m i F i s f u n k c j e : / z Bo |e n i e l i n i o w e p o w i e r z c h n i p r o s t o l i n i o w y c h a n g . r u l e d s u r f a c e s /
N a j p r o s t s z y m i f u n k c j a m i F s f u n k c j e : / z Bo |e n i e l i n i o w e p o w i e r z c h n i p r o s t o l i n i o w y c h a n g . r u l e d s u r f a c e s /
F 0 ( u ) = 1 - u i F 1 ( u ) = u o r a z F 0 ( v ) = 1 - v i F 1 ( v ) = v
I n n e p r z y k Ba d o w e f u n k c j e :
F 0 ( u ) = c o s 2 ( ½ " u ) i F 1 ( u ) = s i n 2 ( ½ " u ) o r a z F 0 ( v ) = c o s 2 ( ½ " v ) i F 1 ( v ) = s i n 2 ( ½ " v )
P ( 1 , 1 )
P ( 1 , 1 )
P ( u , 1 ) P ( 1 , v )
P ( u , 1 ) P ( 1 , v )
P ( 1 , 0 )
P ( 1 , 0 )
P ( 0 , 1 )
P ( 0 , 1 )
P ( u , 0 )
P ( u , 0 )
P ( 0 , v )
P ( 0 , v )
v
u
S ( u , v )
v
u
P Ba t p o w i e r z c h n i C o o n s a
P ( 0 , 0 )
P ( 0 , 0 )
P o w i e r z c h n i e C o o n s a
K o n s t r u k c j a p Ba t u p o w i e r z c h n i C o o n s a
P o w i e r z c h n i e C o o n s a
P o w i e r z c h n i e p r o s t o l i n i o w e ( a n g . r u l e d s u r f a c e s )
P o w i e r z c h n i a p r o s t o l i n i o w a j e s t g e n e r o w a n a n a p o d s t a w i e d w ó c h k r z y w y c h p a r a m e t r y c z n y c h z d e f i n i o w a n y c h
z a p o m o c j e d n e j z m i e n n e j u . P o s z c z e g ó l n e w a r t o [c i z m i e n n e j u d e f i n i u j p u n k t y n a o b u k r z y w y c h .
P o w i e r z c h n i a p r o s t o l i n i o w a d e f i n i o w a n a j e s t p o p r z e z p o Bc z e n i e d w ó c h p u n k t ó w o t e j s a m e j w a r t o [c i u
l e |c y c h n a p r z e c i w l e g By c h k r z y w y c h l i n i a m i p r o s t y m i z p a r a m e t r e m v .
D w u l i n i o w a i n t e r p o l a c j a ( a n g . b i l i n e a r i n t e r p o l a t i o n )
P o w i e r z c h n i a g e n e r o w a n a m e t o d d w u l i n i o w e j i n t e r p o l a c j i p o w s t a j e w w y n i k u z Bo |e n i a d w ó c h i n t e r p o l a c j i
l i n i o w y c h : d l a j e d n e g o k i e r u n k u ( p a r a m e t r u ) a n a s t p n i e d l a t a k u z y s k a n y c h w a r t o [c i p r z e p r o w a d z a s i
i n t e r p o l a c j l i n i o w d l a d r u g i e g o k i e r u n k u ( p a r a m e t r v ) . P o w i e r z c h n i a g e n e r o w a n a w w y n i k u i n t e r p o l a c j i
d w u l i n i o w e j j e s t n a j p r o s t s z y m p r z y k Ba d e m p o w i e r z c h n i p r o s t o l i n i o w e j , w k t ó r e j w s z y s t k i e 4 k r z y w e
P 0 1 P 1 1
b r z e g o w e s l i n i a m i p r o s t y m i .
1
P 0 , v
P 1 , v
v
P u , v
P 0 0
P 1 0
u
Ac z e n i e p Ba t ó w p o w i e r z c h n i C o o n s a
D l a c i g Bo [c i p o Bc z e n i a d w ó c h p Ba t ó w p o w i e r z c h n i C o o n s a w y s t a r c z y , b y m i a By
w s p ó l n y b r z e g , c z y l i b y o d p o w i e d n i a k r z y w a b r z e g o w a j e d n e g o p Ba t a b y Ba
r ó w n a k r z y w e j b r z e g o w e j d r u g i e g o p Ba t a . R ó w n a n i e d e f i n i u j c e w y c i n e k
p o w i e r z c h n i C o o n s a z a p e w n i a r ó w n o [ b r z e g ó w . U z y s k u j e m y c i g Bo [
p o Bc z e n i a s t o p n i a C 0 .
D l a u z y s k a n i a w y |s z e g o s t o p n i a c i g Bo [c i p o Bc z e n i a , m u s z b y s p e Bn i o n e
d o d a t k o w e w a r u n k i r ó w n o [ w e k t o r ó w s t y c z n y c h w p u n k t a c h b r z e g o w y c h
Bc z o n y c h p Ba t ó w . U z y s k u j e m y w ó w c z a s c i g Bo [ p o Bc z e n i a s t o p n i a C 1 .
A n a l i t y c z n i e t e d o d a t k o w e w a r u n k i o z n a c z a j , |e p i e r w s z e p o c h o d n e c z s t k o w e
f u n k c j i d e f i n i u j c y c h p Ba t y p o w i e r z c h n i w p u n k t a c h Bc z e n i a s s o b i e r ó w n e :
Ac z e n i e p Ba t ó w p o w i e r z c h n i C o o n s a
P Ba t p o w i e r z c h n i C o o n s a z a p e w n i a j c y c i g Bo [ p o Bc z e n i a z i n n y m i
p Ba t a m i s t o p n i a C 1 m o |n a z b u d o w a w y k o r z y s t u j c w i e l o m i a n y
t r z e c i e g o s t o p n i a H e r m i t e a . P Ba t p o w i e r z c h n i j e s t o p i s a n y r ó w n a n i e m :
k + l
1 1 1 1
îø ùø
S ( u , v ) =
""""g ( u ) g l j ( v ) ïød P ( u , v )
k i
d u k d v l úø
i = 0 j = 0 k = 0 l = 0
ðø ûøu = 1 , v = j
g i j ( u )
g d z i e s f u n k c j a m i i n t e r p o l a c y j n y m i H e r m i t e a 3 s t o p n i a :
g d z i e g i j ( u ) s f u n k c j a m i i n t e r p o l a c y j n y m i H e r m i t e a 3 s t o p n i a :
- g 0 0 ( u ) = 2 u 3 - 3 u 2 + 1
g 0 0 ( u )
- g 0 1 ( u ) = - 2 u 3 + 3 u 2
g 0 1 ( u )
- g 1 0 ( u ) = u 3 - 2 u 2 + u
- g 1 1 ( u ) = u 3 - u 2
g 1 0 ( u )
g 1 1 ( u )
K r z y w e B e z i e r a
K r z y w a B e z i e r a j e s t d e f i n i o w a n a p r z e z N + 1 p u n k t ó w k o n t r o l n y c h , t w o r z c y c h Ba m a n
k o n t r o l n ( Ba m a n B e z i e r a ) o N + 1 w i e r z c h o Bk a c h .
R ó w n a n i e p a r a m e t r y c z n e k r z y w e j j e s t l i n i o w k o m b i n a c j :
N
C ( t ) = B i N ( t )
"P i
i = 0
g d z i e :
- P i p u n k t y k o n t r o l n e
- B i N f u n k c j a b a z o w a b d c a w i e l o m i a n e m B e r n s t e i n a N - t e g o s t o p n i a
i N
- t - p a r a m e t r r ó w n a n i a n a l e |c y d o p r z e d z i a Bu < 0 , 1 >
P r z y k Ba d k r z y w e j B e z i e r a ( P 1 , P 2 , P 3 , P 4 p u n k t y k o n t r o l n e )
Bu k ( s e g m e n t ) k r z y w e j
Ba m a n a k o n t r o l n a
w z By
K r z y w e B e z i e r a
W i e l o m i a n B e r n s t e i n a N - t e g o s t o p n i a j e s t o p i s a n y r ó w n a n i e m :
B i N ( t ) = C N [ t i ( 1 - t ) N - i ]
i
N !
g d z i e :
C N =
i
( N - i ! ) ! i !
B 0 0 ( t ) = 1
B 0 1 ( t ) = 1 - t B 1 1 ( t ) = t
B 0 2 ( t ) = ( 1 - t ) 2 B 1 2 ( t ) = 2 ( 1 - t ) t B 2 2 ( t ) = t 2
B 0 3 ( t ) = ( 1 - t ) 3 B 1 3 ( t ) = 3 ( 1 - t ) 2 t B 2 3 ( t ) = 3 ( 1 - t ) t 2 B 3 3 ( t ) = t 3
K r z y w e B e z i e r a
P r z y k Ba d :
W y z n a c z y r ó w n a n i e k r z y w e j B e z i e r a o p i s a n e j p r z e z 4 p u n k t y k o n t r o l n e P 0 , P 1 , P 2 i P 3 .
S t o p i e D w i e l o m i a n ó w B e r n s t e i n a d l a 4 p u n k t ó w N = 3 .
K r z y w a j e s t o k r e [l o n a r ó w n a n i e m :
3
C ( t ) =
"P B ( t ) = P 0 B 0 3 ( t ) + P 1 B 1 3 ( t ) + P 2 B 2 3 ( t ) + P 3 B 3 3 ( t ) =
i i N
i = 0
= ( 1 - t ) P 0 + 3 t ( 1 - t ) P 1 + 3 ( 1 - t ) t P 2 + t P 3
= ( 1 - t ) 3 P 0 + 3 t ( 1 - t ) 2 P 1 + 3 ( 1 - t ) t 2 P 2 + t 3 P 3
W Ba s n o [c i :
1 . W z By k r z y w e j w p u n k t a c h t = 0 i t = 1 ( p o c z t k o w y i k o Dc o w y p u n k t l e |c y n a k r z y w e j )
p o k r y w a j s i z p i e r w s z y m i o s t a t n i m p u n k t e m k o n t r o l n y m :
C ( 0 ) = P 0 i C ( 1 ) = P 3
2 . P i e r w s z e p o c h o d n e r ó w n a n i a k r z y w e j w p u n k t a c h w z Bo w y c h s r ó w n e :
d C ( 0 ) d C ( 1 )
= 3 ( P 1 - P 0 ) i = 3 ( P 3 - P 2 )
d t d t
[w i a d c z y t o o t y m , |e k r z y w e B e z i e r a s s t y c z n e d o Ba m a n e j k o n t r o l n e j w t y c h p u n k t a c h .
U m o |l i w i a t o Bc z e n i e z e s o b s e g m e n t ó w k r z y w y c h z z a c h o w a n i e m c i g Bo [c i s t o p n i a C 1 .
W Ba s n o [c i k r z y w y c h B e z i e r a
1 . N i e p r z e c h o d z p r z e z w s z y s t k i e p u n k t y k o n t r o l n e , p r z e c h o d z p r z e z
p o c z t k o w y i k o Dc o w y w i e r z c h o Be k Ba m a n e j k o n t r o l n e j .
2 . K r z y w e p o z o s t a j w w y p u k Be j c z [c i Ba m a n e j k o n t r o l n e j - z a w i e r a j s i
c a Bk o w i c i e w w i e l o [c i a n i e w y p u k By m , k t ó r e g o w i e r z c h o Bk a m i s
w i e r z c h o Bk i Ba m a n e j k o n t r o l n e j .
3 . N i e u m o |l i w i a j l o k a l n e j k o n t r o l i k s z t a Bt u p r z e s u n i c i e d o w o l n e g o
p u n k t u k o n t r o l n e g o p o w o d u j z m i a n p o Bo |e n i a w s z y s t k i c h p u n k t ó w
t w o r z c y c h k r z y w ( z a w y j t k i e m p u n k t ó w w z Bo w y c h ) .
4 . S t o p i e D w i e l o m i a n u o p i s u j c e g o k r z y w j e s t z a l e |n y o d l i c z b y p u n k t ó w
4 . S t o p i e D w i e l o m i a n u o p i s u j c e g o k r z y w j e s t z a l e |n y o d l i c z b y p u n k t ó w
k o n t r o l n y c h . D l a N p u n k t ó w k o n t r o l n y c h g e n e r o w a n a j e s t k r z y w a
s t o p n i a N - 1 .
5 . K r z y w a B e z i e r a j e s t s t y c z n a d o Ba m a n e j k o n t r o l n e j w p u n k t a c h
w z Bo w y c h . S t y c z n e w t y c h p u n k t a c h p o k r y w a j s i z o d c i n k a m i
o d p o w i e d n i o P 0 P 1 i P N - 1 P N Ba m a n e j k o n t r o l n e j . U m o |l i w i a t o Bc z e n i e
k r z y w y c h z z a c h o w a n i e m c i g Bo [c i p o Bc z e n i a C 1 .
Ac z e n i e k r z y w y c h B e z i e r a
W p r a k t y c e r z a d k o u |y w a s i k r z y w y c h B e z i e r a w y s o k i e g o s t o p n i a . P o n i e w a | k a |d y p u n k t k r z y w e j
B e z i e r a z a l e |y o d w s z y s t k i c h p u n k t ó w k o n t r o l n y c h , w i c w t a k i e j s y t u a c j i t r u d n o k o n t r o l o w a k s z t a Bt
k r z y w e j . P r o [c i e j j e s t z Bo |y c a B k r z y w z f r a g m e n t ó w , k a |d y n i s k i e g o s t o p n i a .
R o z p a t r z m y d w a s e g m e n t y k r z y w y c h P 0 , P 1 , P 2 , P 3 i R 0 , R 1 , R 2 , R 3 , p o Bc z o n e w p u n k c i e P 3 = R 0 .
1 . J e |e l i p u n k t y P 2 , P 3 = R 0 , R 1 s w s p ó Bl i n i o w e m ó w i m y o c i g Bo [c i g e o m e t r y c z n e j G 1 k r z y w e j ( r y s . b ) .
2 . J e |e l i p u n k t y P 2 , P 3 = R 0 , R 1 s w s p ó Bl i n i o w e i o d c i n k i Ba m a n e j P 2 P 3 , R 0 R 1 s r ó w n e j d Bu g o [c i
t o m ó w i m y o c i g Bo [c i p a r a m e t r y c z n e j C 1 k r z y w e j ( r y s . c ) .
R 3
a ) b e z z a c h o w a n i a c i g Bo [c i C 1
b ) z z a c h o w a n i e m c i g Bo [c i g e o m e t r y c z n e j
b ) z z a c h o w a n i e m c i g Bo [c i p a r a m e t r y c z n e j
K o n s t r u k c j a k r z y w e j B e z i e r a N = 1
K r z y w a B e z i e r a s t o p n i a N = 1 z d e f i n i o w a n a j e s t p r z e z p u n k t y k o n t r o l n e P 0 i P 1 .
K o n s t r u k c j a k r z y w e j B e z i e r a B ( t ) w p r z e d z i a l e t = [ 0 , 1 ] j e s t p r z y k Ba d e m i n t e r p o l a c j i
l i n i o w e j z e s t a By m k r o k i e m .
Z m i a n a p a r a m e t r u t o d 0 d o 1 j e s t p o w i z a n a z g e n e r o w a n i e m k o l e j n y c h p u n k t ó w
k r z y w e j B ( t ) o d p u n k t u P 0 d o P 1 .
B e z i e r _ 1 _ b i g . g i f
K o n s t r u k c j a k r z y w e j B e z i e r a N = 2
K r z y w a B e z i e r a s t o p n i a N = 2 z d e f i n i o w a n a j e s t p r z e z 3 p u n k t y k o n t r o l n e P 0 , P 1 i P 2
t w o r z c e Ba m a n k o n t r o l n .
K o n s t r u k c j a k r z y w e j p o l e g a n a w y z n a c z a n i u d l a k a |d e j w a r t o [c i p a r a m e t r u t = < 0 , 1 > :
1 . W y z n a c z a n i u p u n k t ó w p o [r e d n i c h Q 0 i Q 1 :
- p u n k t Q 0 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i P 0 i P 1 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a
s t o p n i a 1 ;
- p u n k t Q 1 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i P 1 i P 2 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a
s t o p n i a 1 .
2 . W y z n a c z a n i u k o l e j n y c h p u n k t ó w k r z y w e j B ( t ) p o m i d z y p u n k t a m i Q 0 i Q 1 z g o d n i e z
2 . W y z n a c z a n i u k o l e j n y c h p u n k t ó w k r z y w e j B ( t ) p o m i d z y p u n k t a m i Q i Q z g o d n i e z
r ó w n a n i e m B e z i e r a s t o p n i a 2 .
B e z i e r _ 2 _ b i g . g i f
K o n s t r u k c j a k r z y w e j B e z i e r a N = 3
K r z y w a B e z i e r a s t o p n i a N = 3 z d e f i n i o w a n a j e s t p r z e z 4 p u n k t y k o n t r o l n e P 0 , P 1 , P 2 i P 3 t w o r z c e Ba m a n
k o n t r o l n .
K o n s t r u k c j a k r z y w e j p o l e g a n a w y z n a c z a n i u d l a k a |d e j w a r t o [c i p a r a m e t r u t = < 0 , 1 > :
1 . P u n k t ó w p o [r e d n i c h Q 0 , Q 1 i Q 2 :
- p u n k t Q 0 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i P 0 i P 1 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a s t o p n i a 1 ;
- p u n k t Q 1 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i P 1 i P 2 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a s t o p n i a 1 .
- p u n k t Q 2 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i P 2 i P 3 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a s t o p n i a 1
2 . W y z n a c z a n i u p u n k t ó w p o [r e d n i c h R 0 i R 1 :
- p u n k t R 0 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i Q 0 i Q 1 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a s t o p n i a 2 ;
- p u n k t R 1 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i Q 1 i Q 2 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a s t o p n i a 2 .
3 . W y z n a c z a n i u k o l e j n y c h p u n k t ó w k r z y w e j B ( t ) p o m i d z y p u n k t a m i R 0 i R 1 z g o d n i e z r ó w n a n i e m
3 . W y z n a c z a n i u k o l e j n y c h p u n k t ó w k r z y w e j B ( t ) p o m i d z y p u n k t a m i R 0 i R 1 z g o d n i e z r ó w n a n i e m
B e z i e r a s t o p n i a 3 .
B e z i e r _ 3 _ b i g . g i f
K o n s t r u k c j a k r z y w e j B e z i e r a N = 4
K r z y w a B e z i e r a s t o p n i a N = 4 z d e f i n i o w a n a j e s t p r z e z 5 p u n k t ó w k o n t r o l n y P 0 , P 1 , P 2 , P 3 i P 4 t w o r z c y c h
Ba m a n k o n t r o l n .
K o n s t r u k c j a k r z y w e j p o l e g a n a w y z n a c z a n i u d l a k a |d e j w a r t o [c i p a r a m e t r u t = < 0 , 1 > :
1 . P u n k t ó w p o [r e d n i c h Q 0 , Q 1 , Q 2 i Q 3 :
- p u n k t Q 0 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i P 0 i P 1 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a s t o p n i a 1 ;
- p u n k t Q 1 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i P 1 i P 2 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a s t o p n i a 1 ;
- p u n k t Q 2 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i P 2 i P 3 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a s t o p n i a 1 ;
- p u n k t Q 3 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i P 3 i P 4 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a s t o p n i a 1 ;
2 . W y z n a c z a n i u p u n k t ó w p o [r e d n i c h R 0 , R 1 i R 2 :
- p u n k t R 0 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i Q 0 i Q 1 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a s t o p n i a 2 ;
- p u n k t R 0 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i Q 0 i Q 1 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a s t o p n i a 2 ;
- p u n k t R 1 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i Q 1 i Q 2 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a s t o p n i a 2 ;
- p u n k t R 2 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i Q 2 i Q 3 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a s t o p n i a 2 .
3 . W y z n a c z a n i u p u n k t ó w p o [r e d n i c h S 0 i S 1 :
- p u n k t S 0 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i R 0 i R 1 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a s t o p n i a 3 ;
- p u n k t S 1 w y z n a c z a n y j e s t p o m i d z y p u n k t a m i R 1 i R 2 z g o d n i e z r ó w n a n i e m B e z i e r a s t o p n i a 3 ;
4 . W y z n a c z a n i u k o l e j n y c h p u n k t ó w k r z y w e j B ( t ) p o m i d z y p u n k t a m i S 0 i S 1 z g o d n i e z r ó w n a n i e m
B e z i e r a s t o p n i a 4 .
B e z i e r _ 4 _ b i g . g i f
P o w i e r z c h n i e B e z i e r a
P o w i e r z c h n i a B e z i e r a j e s t d e f i n i o w a n a p r z e z s i a t k p u n k t ó w k o n t r o l n y c h { P 0 , P 1 , . . . . , P N , }
o r a z { P 0 , P 1 , . . . . , P M , } t w o r z c y c h g r a f k o n t r o l n y B e z i e r a o ( N + 1 ) x ( M + 1 ) w i e r z c h o Bk a c h .
R ó w n a n i e p a r a m e t r y c z n e p o w i e r z c h n i m a p o s t a :
N M
S ( u , v ) =
""P B i N ( u ) B j M ( v )
i j
i = 0 j = 0
g d z i e :
- P i j p u n k t y k o n t r o l n e
- B i N ( u ) f u n k c j a b a z o w a z p a r a m e t r e m u b d c a w i e l o m i a n e m B e r n s t e i n a N - t e g o s t o p n i a
- B j m ( v ) f u n k c j a b a z o w a z p a r a m e t r e m v b d c a w i e l o m i a n e m B e r n s t e i n a M - t e g o s t o p n i a
- u , v p a r a m e t r y r ó w n a n i a n a l e |c e d o p r z e d z i a Bu < 0 , 1 >
O g ó l n a p o s t a i - t e g o w i e l o m i a n u B e r n s t e i n a s t o p n i a K :
K !
B i K ( w ) = w i ( 1 - w ) K - i
i ! ( K - i ) !
P o w i e r z c h n i a B e z i e r a d e f i n i o w a n a
p r z e z 1 6 p u n k t ó w k o n t r o l n y c h
P o w i e r z c h n i e B e z i e r a - w Ba s n o [c i
P o w i e r z c h n i a B e z i e r a j e s t i l o c z y n e m t e n s o r o w y m k r z y w y c h B e z i e r a . S t d
w i k s z o [ w Ba s n o [c i k r z y w y c h B e z i e r a p r z e n o s i s i r ó w n i e | n a p o w i e r z c h n i e .
O g ó l n i e : w Ba [c i w o [c i p o w i e r z c h n i s a n a l o g i c z n e d o w Ba [c i w o [c i k r z y w y c h
k o n s t r u o w a n y c h z w y k o r z y s t a n i e m t y c h s a m y c h f u n k c j i b a z o w y c h
1 . N i e p r z e c h o d z p r z e z w s z y s t k i e p u n k t y k o n t r o l n e , p r z e c h o d z p r z e z
p o c z t k o w y i k o Dc o w y w i e r z c h o Be k l i n i i b r z e g o w y c h ( p r z e z p u n k t y
w i e r z c h o Bk o w e g r a f u p u n k t ó w k o n t r o l n y c h P 0 0 , P 0 M , P N 0 i P N M ) .
2 . P o w i e r z c h n i e p o z o s t a j w w y p u k Be j c z [c i g r a f u k o n t r o l n e g o - z a w i e r a j s i
2 . P o w i e r z c h n i e p o z o s t a j w w y p u k Be j c z [c i g r a f u k o n t r o l n e g o - z a w i e r a j s i
c a Bk o w i c i e w w i e l o [c i a n i e w y p u k By m , k t ó r e g o w i e r z c h o Bk a m i s w i e r z c h o Bk i
g r a f u .
3 . N i e u m o |l i w i a j l o k a l n e j k o n t r o l i k s z t a Bt u p r z e s u n i c i e d o w o l n e g o p u n k t u
k o n t r o l n e g o p o w o d u j z m i a n p o Bo |e n i a w s z y s t k i c h p u n k t ó w t w o r z c y c h
p o w i e r z c h n i ( z a w y j t k i e m p u n k t ó w p o c z t k o w y c h i k o Dc o w y c h l i n i i
w z Bo w y c h ) .
4 . S t o p i e D w i e l o m i a n u o p i s u j c e g o p o w i e r z c h n i j e s t z a l e |n y o d l i c z b y p u n k t ó w
k o n t r o l n y c h . D l a ( N + 1 ) x ( M + 1 ) p u n k t ó w k o n t r o l n y c h r ó w n a n i e p o w i e r z c h n i
j e s t s t o p n i a N x M .
5 . L i n i e b r z e g o w e p o w i e r z c h n i B e z i e r a s k r z y w y m i B e z i e r a . U m o |l i w i a t o
Bc z e n i e p Ba t ó w p o w i e r z c h n i z z a c h o w a n i e m c i g Bo [c i p o Bc z e n i a C 1 .
Ac z e n i e p Ba t ó w p o w i e r z c h n i B e z i e r a
P o w i e r z c h n i a u t w o r z o n a z d w ó c h p Ba t ó w B e z i e r a .
G Ba d k o [ ( a n g . s m o o t h ) p o w i e r z c h n i z a p e w n i a c i g Bo [ p o Bc z e n i a s t o p n i a C 0 i C 1 .
C i g Bo [ C 0 u z y s k u j e m y w y z n a c z a j c w s p ó l n e p u n k t y k o n t r o l n e w z d Bu | l i n i i b r z e g o w e j .
C i g Bo [ C 1 u z y s k u j e m y p o p r z e z w s p ó Bl i n i o w o [ p u n k t ó w k o n t r o l n y c h p o o b u s t r o n a c h
l i n i i b r z e g o w e j - w s p ó Bc z y n n i k i k i e r u n k o w e o d p o w i e d n i c h p a r o d c i n k ó w L i 1 i L i 2 p o w i n n y
b y r ó w n e . D l a z a c h o w a n i a c i g Bo [c i p a r a m e t r y c z n e j d o d a t k o w o o d c i n k i L i 1 i L i 2 p o w i n n y
b y t e j s a m e j d Bu g o [c i .
L 2 1 L 2 2
1
L 1 1 L 1 2
L 0 1 L 0 2
L i n i a b r z e g o w a
Ac z e n i e p Ba t ó w p o w i e r z c h n i B e z i e r a
P o w i e r z c h n i a z b u d o w a n a p o p r z e z Bc z e n i e b i k u b i c z n y c h p Ba t ó w B e z i e r a ,
r e n d e r o w a n a z e z w i k s z a j c y m s i p o z i o m e m t e s s e l a c j i .
B i a Be p u n k t y i b i a Be l i n i e p o k a z u j g r a f y k o n t r o l n e p Ba t ó w .
C z e r w o n e p u n k t y r e p r e z e n t u j p u n k t y w z Bo w e l i n i i b r z e g o w y c h p Ba t ó w .
K r z y w e B - s k l e j a n e
K r z y w a B - s k l e j a n a j e s t d e f i n i o w a n a p r z e z N + 1 p u n k t ó w k o n t r o l n y c h P i , t w o r z c y c h Ba m a n k o n t r o l n o
N + 1 w i e r z c h o Bk a c h n a k t ó r e j o k r e [l o n e s w z By t i . R ó w n a n i e p a r a m e t r y c z n e k r z y w e j j e s t l i n i o w
k o m b i n a c j :
N
C ( t ) =
"P N ( t )
i i , k
i = 0
g d z i e :
- P i p u n k t y k o n t r o l n e
- t - p a r a m e t r r ó w n a n i a n a l e |c y d o p r z e d z i a Bu < 0 , 1 >
- N i , k f u n k c j e b a z o w e B - s k l e j a n e s t o p n i a k d e f i n i o w a n e r e k u r e n c y j n i e :
1 g d y t i d" t d" t i + 1
ñø
N i , 1 ( t ) =
òø
óø0 w p r z e c i w n y m w y p a d k u
o r a z
( t - t i ) N i , k - 1 ( t ) ( t i + k - t ) N i + 1 , k - 1 ( t )
N i , k ( t ) = +
( t i + k - 1 - t i ) ( t i + k - 1 - t i )
F u n k c j a b a z o w a B - s k l e j a n a N i , k ( t ) s t o p n i a k j e s t w i e l o m i a n e m s t o p n i a k - 1 , k t ó r y z a p e w n i a c i g Bo [
s t o p n i a C k - 2 n a c a Be j d Bu g o [c i d e f i n i o w a n e j k r z y w e j . W p r a k t y c e n a j c z [c i e j w y k o r z y s t y w a n e s b i k u b i c z n e
k r z y w e B - s k l e j a n e ( s t o p i e D f u n k c j i 4 , s t o p i e D w i e l o m i a n ó w 3 ) .
K r z y w e B - s k l e j a n e u m o |l i w i a j l o k a l n k o n t r o l k s z t a Bt u , z m i a n a p o Bo |e n i a p u n k t u k o n t r o l n e g o z m i e n i a
p r z e b i e g k r z y w e j t y l k o p o m i d z y z d e f i n i o w a n y m i w z Ba m i .
S t o p i e D w i e l o m i a n u o p i s u j c e g o k r z y w n i e z a l e |y o d l i c z b y p u n k t ó w k o n t r o l n y c h .
K r z y w e B - s k l e j a n e
K r z y w a B - s k l e j a n a j e s t o k r e [l o n a w p r z e d z i a l e t = < 0 , 1 > , n a t o m i a s t c i g m + 1 w a r t o [c i t i d z i e l i
t e n p r z e d z i a B n a p o d p r z e d z i a By , n a k t ó r y c h z d e f i n i o w a n e s p o s z c z e g ó l n e k r z y w e
w i e l o m i a n o w e ( f u n k c j e b a z o w e ) .
W a r t o [c i t i s n a z y w a n e w z Ba m i k r z y w e j ( a n g . k n o t ) i s p e Bn i a j o n e z a l e |n o [ t i d" t i + 1 .
J e s t t o n i e m a l e j c y c i g , a w i c w z By m o g s i p o w t a r z a , m o g b y w i e l o k r o t n i e
d e f i n i o w a n e . N a j c z [c i e j z a k Ba d a s i t a k |e , |e t 0 = 0 i t m = 1 .
J e [l i w z By d z i e l p r z e d z i a B [ 0 , 1 ] n a r ó w n e c z [c i , w ó w c z a s k r z y w a j e s t o k r e [l a n a j a k o
j e d n o r o d n a ( a n g . u n i f o r m ) . J e [l i w z By d z i e l p r z e d z i a B n i e r ó w n o m i e r n i e t o k r z y w a j e s t
o k r e [l a n a j a k o n i e j e d n o r o d n a ( a n g . n o n - u n i f o r m ) .
R y s . K r z y w a B - s k l e j a n a s t o p n i a k = 3 :
- < P 0 , P 1 , . . . , P 7 > p u n k t y k o n t r o l n e ;
- < e i , , f i , g i > p u n k t y w z Bo w e d e f i n i u j c e i - t y Bu k k r z y w e j ;
- o d c i n k i g i e i i e i f i s t y c z n e d o k r z y w e j w p u n k t a c h Bc z e n i a
K r z y w e B - s k l e j a n e
W i e l o k r o t n e z d e f i n i o w a n i e t e g o s a m e g o p u n k t u k o n t r o l n e g o z m i e n i a
k s z t a Bt k r z y w e j . K r z y w a w w i k s z y m s t o p n i u p r z y l e g a d o w i e l o k r o t n i e
d e f i n i o w a n e g o p u n k t u k o n t r o l n e g o .
S t o p i e D f u n k c j i b a z o w e j w p By w a n a o d l e g Bo [ k r z y w e j o d Ba m a n e j
k o n t r o l n e j . D l a s t o p n i a k = 2 f u n k c j a b a z o w a j e s t f u n k c j l i n i o w i p o k r y w a
s i z Ba m a n k o n t r o l n .
P 1
k = 3 , p u n k t P 1 z d e f i n i o w a n y p o d w ó j n i e
k = 3 , p u n k t P 1 z d e f i n i o w a n y p o d w ó j n i e
k = 3
k = 2
k = 4
P 2
P 3
P 0
K r z y w e B - s k l e j a n e - p r z y k Ba d
R o z w a |m y k r z y w B - s k l e j a n :
- s t o p i e D k r z y w e j k = 6 ;
- l i c z b a p u n k t ó w k o n t r o l n y c h 1 4 : N = < 0 , 1 , . . . 1 3 >
- l i c z b a w z Bó w t i = 2 1 : i = < 0 . 1 . . . . 2 0 > .
- k r z y w a j e s t j e d n o r o d n a , w z By r o z m i e s z c z o n e s r ó w n o m i e r n i e w p r z e d z i a l e t = [ 0 ; 1 ]
i p r z y j m u j w a r t o [c i : < 0 . 0 , 0 . 0 5 , 0 . 1 , . . . . 0 . 9 0 , 0 . 9 5 , 1 . . 0 > .
K r z y w a B - s k l e j a n a j e s t g e n e r o w a n a p o m i d z y w z Ba m i t i = [ t k , t N - k ] = [ t 6 , t 1 4 ] = [ 0 . 3 , 0 . 7 ] .
K r z y w a j e s t s t y c z n a d o p i e r w s z e g o i o s t a t n i e g o o d c i n k a Ba m a n e j k o n t r o l n e j .
P o m i m o b r a k u Bu k ó w k r z y w e j p o m i d z y w z Ba m i p o c z t k o w y m i i k o Dc o w y m i , k r z y w a B - s k l e j a n a j e s t
d e f i n i o w a n a n a p o d s t a w i e w s z y s t k i c h p u n k t ó w k o n t r o l n y c h .
Z d e f i n i c j i f u n k c j i b a z o w y c h B - s k l e j a n y c h w y n i k a , |e j e s t k + 1 n i e z e r o w y c h f u n k c j i n a Bu k u
Z d e f i n i c j i f u n k c j i b a z o w y c h B - s k l e j a n y c h w y n i k a , |e j e s t k + 1 n i e z e r o w y c h f u n k c j i n a Bu k u
z d e f i n i o w a n y m p r z e z w z By [ t i , t i + 1 ] . S t o f u n k c j e : B 0 , k ( t ) , B 1 , k ( t ) , . . . , B k , k ( t ) .
a ) p r z e b i e g k r z y w e j b ) f u n k c j e b a z o w e B - s k l e j a n e
K r z y w e B - s k l e j a n e - p r z y k Ba d
S z c z e g ó l n y p r z y p a d e k k r z y w e j B - s k l e j a n e j p r z e c h o d z c e j p r z e z p i e r w s z y i o s t a t n i p u n k t k o n t r o l n y :
- l i c z b a p u n k t ó w k o n t r o l n y c h 7 : N = < 0 , 1 , . . . 6 >
- l i c z b a w z Bó w M = 1 1 , p u n k t y w z Bo w e : t i g d z i e : i = < 0 . 1 . . . . 1 0 > .
- s t o p i e D k r z y w e j k = 3 ; k = M - N - 1
- k r z y w a j e s t n i e j e d n o r o d n a , w z By r o z m i e s z c z o n e s n i e r ó w n o m i e r n i e w p r z e d z i a l e t = [ 0 ; 1 ]
i p r z y j m u j w a r t o [c i : t 0 = t 1 = t 2 = t 3 = 0 . 0 , t 4 = 0 . 2 5 , t 5 = 0 . 5 , t 6 = 0 , 7 5 , t 7 = t 8 = t 9 = t 1 0 = 1 . 0 .
W i e l o k r o t n e z d e f i n i o w a n i e w z Bó w w t y m s a m y m p u n k c i e k o n t r o l n y m ( N - k ) r a z y w y m u s z a p r z e j [c i e
k r z y w e j p r z e z d a n y p u n k t k o n t r o l n y
P r z y k Ba d y k r z y w y c h B - s k l e j a n y c h
J e d n o r o d n e k r z y w e B - s k l e j a n e r ó |n y c h s t o p n i o p i s a n e t s a m Ba m a n k o n t r o l n ( P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , P 4 ) . W z By
u i o z n a c z o n e c z a r n y m i p u n k t a m i .
P o p r a w e j s t r o n i e w y k r e s y w i e l o m i a n ó w f u n k c j i b a z o w y c h . N a w y k r e s a c h k o l o r a m i z a z n a c z o n o p r z e d z i a By
p o s z c z e g ó l n y c h k r z y w y c h .
D l a l i n i o w e j f u n k c j i b a z o w e j k r z y w a p o k r y w a s i z Ba m a n k o n t r o l n . D l a f u n k c j i w y |s z y c h s t o p n i k f u n k c j i
b a z o w e j k r z y w a B - s k l e j a n a j e s t p r z y b l i |a n a k r z y w y m i w i e l o m i a n o w y m i s t o p n i a k - 1 p o Bc z o n y c h z c i g Bo [c i
s t o p n i a C k - 2 .
K r z y w e N U R B S
K r z y w e N U R B S a n g . N o n - u n i f o r m R a t i o n a l B - S p l i n e s
W y j a [n i e n i e w y r a |e D w a n g i e l s k i e j n a z w i e :
B - s p l i n e k r z y w e N U R B S t o k r z y w e B - s k l e j a n e , a w i c p a r a m e t r y c z n e k r z y w e , k t ó r e s z Bo |o n e z w y c i n k ó w k r z y w y c h
w i e l o m i a n o w y c h .
R a t i o n a l k r z y w e w y m i e r n e , p o n i e w a | z d e f i n i o w a n o j e w e w s p ó Br z d n y c h j e d n o r o d n y c h P o p r z e j [c i u n a w s p ó Br z d n e
k a r t e z j Ds k i e o t r z y m u j e s i f u n k c j e w y m i e r n e . W s p ó Br z d n e j e d n o r o d n e - s p o s ó b r e p r e z e n t a c j i p u n k t ó w
n - w y m i a r o w y c h z a p o m o c ( n + 1 ) w s p ó Br z d n y c h .
N o n - u n i f o r m c e c h a k r z y w e j B - s k l e j a n e j : w z By k r z y w e j n i e m u s z b y r o z m i e s z c z o n e r ó w n o m i e r n i e .
N a k s z t a Bt k r z y w e j N U R B S w p By w a j n a s t p u j c e e l e m e n t y :
- p u n k t y k o n t r o l n e P i g d z i e i = < 0 , N - k - 1 ) ;
- w z By t u g d z i e u = < 0 , N ) d z i e l c e p r z e d z i a B t = [ 0 , 1 ] n a N - 1 p o d p r z e d z i a Bó w ;
- w a g i p u n k t ó w k o n t r o l n y c h w i g d z i e i = < 0 , N - k - 1 ( l i c z b y r z e c z y w i s t e ) o k r e [l a j c e w p By w k a |d e g o z p u n k t ó w
- w a g i p u n k t ó w k o n t r o l n y c h w i g d z i e i = < 0 , N - k - 1 ( l i c z b y r z e c z y w i s t e ) o k r e [l a j c e w p By w k a |d e g o z p u n k t ó w
k o n t r o l n y c h n a k r z y w ;
- k s t o p i e D f u n k c j i b a z o w e j B - s k l e j a n e j .
D o w o l n y p u n k t n a k r z y w e j d a n y j e s t w z o r e m :
N - k - 1
"w P i N i , k ( t )
i
i = 0
C ( t ) = d l a t "[ t k , t N - k ]
N - k - 1
"w N i , k ( t )
i
i = 0
g d z i e : N i , k ( t ) j e s t b a z o w f u n k c j B - s k l e j a n s t o p n i a k .
K r z y w a B - s k l e j a n a j e s t s z c z e g ó l n y m p r z y p a d k i e m k r z y w e j N U R B S d l a r ó w n y c h s o b i e w a g w i r ó |n y c h o d z e r a .
W a g a p u n k t u w p By w a n a l o k a l n y k s z t a Bt k r z y w e j . Z a p o m o c w a g i p u n k t u m o |n a k o n t r o l o w a s t o p i e D p r z y l e g a n i a k r z y w e j
d o Ba m a n e j k o n t r o l n e j . K r z y w a " z b l i |a s i " l u b " o d d a l a " o d p u n k t u , w z a l e |n o [c i o d j e g o w a g i .
O d c i n e k k r z y w e j j e s t l i n i o w y , j e |e l i p u n k t m a w a g r ó w n z e r u .
K r z y w e N U R B S l o k a l n a k o n t r o l a k s z t a Bt u
1 ) K o n t r o l a k s z t a Bt u p o p r z e z z m i a n w a r t o [c i w z Bó w
( n a o s i a c h l i c z b o w y c h z a z n a c z o n o r o z k Ba d w z Bó w )
2 ) K o n t r o l a k s z t a Bt u p o p r z e z z m i a n w a g i p u n k t u ( t u t a j P 2 )
P o w i e r z c h n i e B - s k l e j a n e
P o w i e r z c h n i a B - s k l e j a n a j e s t d e f i n i o w a n a p r z e z s i a t k p u n k t ó w k o n t r o l n y c h { P 0 , P 1 , . . . . , P N , } o r a z
{ P 0 , P 1 , . . . . , P M , } t w o r z c y c h g r a f k o n t r o l n y o ( N + 1 ) x ( M + 1 ) w i e r z c h o Bk a c h .
R ó w n a n i e p a r a m e t r y c z n e p o w i e r z c h n i m a p o s t a :
N M
S k , l ( u , v ) =
""P N i , k ( u ) N ( v )
i j j , l
i = 0 j = 0
g d z i e :
- P i j p u n k t y k o n t r o l n e
- N i , k ( u ) f u n k c j a b a z o w a B - s k l e j a n a s t o p n i a k z p a r a m e t r e m u ;
- N j , l ( v ) f u n k c j a b a z o w a B - s k l e j a n a s t o p n i a l z p a r a m e t r e m v ;
- u , v p a r a m e t r y r ó w n a n i a n a l e |c e d o p r z e d z i a Bu < 0 , 1 > ;
- k i l s t o p n i e f u n k c j i b a z o w y c h B - s k l e j a n y c h .
- k i l s t o p n i e f u n k c j i b a z o w y c h B - s k l e j a n y c h .
v
u
P r z y k Ba d :
P o w i e r z c h n i a B - s k l e j a n a d e f i n i o w a n a p r z e z s i a t k 6 x 6 p u n k t ó w k o n t r o l n y c h .
P u n k t y w z Bo w e w k i e r u n k u p a r a m e t r u u { 0 , 0 , 0 } , { 0 . 2 5 , 0 . 5 , 0 . 7 5 } , { 1 , 1 , 1 ) s t o p i e D f u n k c j i b a z o w e j 2 .
P u n k t y w z Bo w e w k i e r u n k u p a r a m e t r u v { 0 , 0 , 0 } , { 0 . , 0 . 3 3 , 0 . 6 6 } , { 1 , 1 , 1 ) s t o p i e D f u n k c j i b a z o w e j 3 .
L o k a l n a k o n t r o l a k s z t a Bt u
Z a s a d a l o k a l n e j m o d y f i k a c j i k s z t a Bt u :
I l o c z y n t e n s o r o w y f u n k c j i b a z o w y c h B - s k l e j a n y c h N i , k ( u ) N j , l ( v ) d e f i n i u j c y p Ba t p o w i e r z c h n i B - s k l e j a n e j
j e s t r ó w n y z e r o j e |e l i p u n k t ( u , v ) l e |y n a z e w n t r z o b s z a r u z d e f i n i o w a n e g o p r z e z s i a t k p u n k t ó w
k o n t r o l n y c h [ u i , u i + k + 1 ] x [ v j , v j + l + 1 ] .
W y n i k a t o b e z p o [r e d n i o z d e f i n i c j i f u n k c j i b a z o w e j B - s k l e j a n e j :
`" 0 g d y u i d" u d" u i + k + 1
ñø
N i , k ( u ) =
òø
óø0 w p r z e c i w n y m w y p a d k u
W Ba s n o [c i f u n k c j i b a z o w e j p r z e n o s z s i n a i l o c z y n t e n s o r o w y t y c h s a m y c h f u n k c j i .
P 3 2
P r z y k Ba d :
J e |e l i p u n k t k o n t r o l n y P 3 2 z o s t a n i e p r z e s u n i t y , t y l k o p Ba t p o w i e r z c h n i o g r a n i c z o n y n a j b l i |s z y m i
p u n k t a m i w z Bo w y m i z o s t a n i e z m o d y f i k o w a n y . P o z o s t a Ba c z [ p o w i e r z c h n i p o z o s t a n i e n i e z m i e n i o n a .
W Ba s n o [c i k r z y w y c h i p o w i e r z c h n i B - s k l e j a n y c h
P o w i e r z c h n i a B - s k l e j a n a j e s t i l o c z y n e m t e n s o r o w y m k r z y w y c h B - s k l e j a n y c h .
W Ba s n o [c i p o w i e r z c h n i s a n a l o g i c z n e d o w Ba s n o [c i k r z y w y c h - k o n s t r u o w a n e
s z w y k o r z y s t a n i e m t y c h s a m y c h f u n k c j i b a z o w y c h
1 . D e f i n i o w a n e s n a p o d s t a w i e Ba m a n y c h l u b g r a f ó w k o n t r o l n y c h o r a z
w z Bó w d z i e l c y c h Ba m a n e l u b g r a f y n a m n i e j s z e p r z e d z i a By .
2 . K r z y w e p o z o s t a j w w y p u k Be j c z [c i Ba m a n e j k o n t r o l n e j , p o w i e r z c h n i e
p o z o s t a j w w y p u k Be j c z [c i g r a f u k o n t r o l n e g o . Z a w i e r a j s i
c a Bk o w i c i e w w i e l o [c i a n i e w y p u k By m , k t ó r e g o w i e r z c h o Bk a m i s
p u n k t y k o n t r o l n e .
p u n k t y k o n t r o l n e .
3 . U m o |l i w i a j l o k a l n k o n t r o l k s z t a Bt u t w o r z o n e j k r z y w e j l u b
p o w i e r z c h n i p o p r z e z z m i a n p o Bo |e n i a p u n k t ó w w z Bo w y c h ,
w i e l o k r o t n e d e f i n i o w a n i e p u n k t ó w k o n t r o l n y c h , d o b ó r s t o p n i a f u n k c j i
b a z o w e j .
4 . S t o p i e D k f u n k c j i b a z o w e j z a p e w n i a c i g Bo [ C k - 2 n a c a Be j d Bu g o [c i
d e f i n i o w a n e j k r z y w e j .
5 . G Ba d k o [ p o w i e r z c h n i j e s t k o n t r o l o w a n a p r z e z s t o p n i e k i l f u n k c j i
b a z o w y c h .
6 . S t o p i e D w i e l o m i a n u o p i s u j c e g o k r z y w l u b p o w i e r z c h n i n i e j e s t
z a l e |n y o d l i c z b y p u n k t ó w k o n t r o l n y c h .
K r z y w e ²- s k l e j a n e ( B a r s k y 1 9 8 4 )
N i e c h w y c i n e k i j e d n o r o d n e j k u b i c z n e j k r z y w e j B - s k l e j a n e j o k r e [l o n e j p r z e z N + 1 p u n k t ó w k o n t r o l n y c h
b d z i e z d e f i n i o w a n y r ó w n a n i e m :
1
C i ( t ) = b r ( t )
"P i + r
r = - 2
g d z i e :
- P i + r p u n k t y k o n t r o l n e , i = < 2 , N - 1 >
- t - p a r a m e t r r ó w n a n i a n a l e |c y d o p r z e d z i a Bu < 0 , 1 >
- b r ( t ) f u n k c j a b a z o w a .
D l a k r z y w y c h k u b i c z n y c h B - s k l e j a n y c h c i g Bo [ p o Bc z e n i a w p u n k t a c h b r z e g o w y c h j e s t s t o p n i a C 0 @ C 1 @ C 2 :
D l a k r z y w y c h k u b i c z n y c h B - s k l e j a n y c h c i g Bo [ p o Bc z e n i a w p u n k t a c h b r z e g o w y c h j e s t s t o p n i a C @ C @ C :
1 ) . C i - 1 ( t i ) = C i ( t i )
d C i - 1 ( t i ) d C i ( t i )
2 ) . =
d t d t
2 2
d C i - 1 ( t i ) d C i ( t i )
3 ) . =
d t 2 d t 2
W y k o r z y s t u j c , t e w a r u n k i c i g Bo [c i o t r z y m u j e m y w i e l o m i a n y f u n k c j i B - s k l e j a n e j :
t 3 1 + 3 t + 3 t 2 - 3 t 3
b 1 ( t ) = b 0 ( t ) =
6 6
4 - 6 t 2 + 3 t 3 1 - 3 t + 3 t 2 - t 3
b ( t ) = b ( t ) =
- 1 - 2
6 6
K r z y w e ²- s k l e j a n e
D l a k r z y w y c h ²- s k l e j a n y c h z m o d y f i k o w a n e z o s t a By w a r u n k i w y n i k a j c e z c i g Bo [c i
p o Bc z e n i a w p u n k t a c h b r z e g o w y c h :
1 ) . C i - 1 ( t i ) = C i ( t i )
d C i - 1 ( t i ) d C i ( t i )
2 ) . ²1 =
d t d t
2 2
d C i - 1 ( t i ) d C i - 1 ( t i ) d C i ( t i )
3 ) . ²1 2 + ²2 =
1 2
d t 2 d t d t 2
d t 2 d t d t 2
W y c i n e k i k r z y w e j ²- s k l e j a n e j j e s t z d e f i n i o w a n y j a k o :
1
C i ( t ) =
"P b r ( ²1 , ²2 , t )
i + r
r = - 2
g d z i e :
- P i + r p u n k t y k o n t r o l n e , i = < 2 , N - 1 >
- t - p a r a m e t r r ó w n a n i a n a l e |c y d o p r z e d z i a Bu < 0 , 1 >
- b r ( ²1 , ²2 , t ) b a z o w a f u n k c j a ²- s k l e j a n a .
- ²1 , ²2 p a r a m e t r y w p By w a j c e n a k s z t a Bt k r z y w e j
K r z y w e ²- s k l e j a n e
W y k o r z y s t u j c , n o w e w a r u n k i c i g Bo [c i m o |n a w y z n a c z y b a z o w e f u n k c j e ² -
s k l e j a n e :
t 3
b 1 ( ²1 , ²2 , t ) = 2
µ
2 ²1 2 t 2 ( 3 - t ) + 2 ²1 t ( 3 - t 2 ) + ²2 t 2 ( 3 - 2 t ) + 2 ( 1 - t 3 )
b 0 ( ²1 , ²2 , t ) =
µ
2 ²1 3 t ( t 2 - 3 t + 3 ) + 2 ²1 2 ( t 3 - 3 t 2 + 2 ) + 2 ²1 ( t 3 - 3 t 2 + 2 ) + ²2 ( 2 t 3 - 3 t 2 + 1 )
b ( ²1 , ²2 , t ) =
- 1
µ
2 ²1 3 t 2 ( 1 - t ) 3
b ( ²1 , ²2 , t ) =
- 2
µ
g d z i e :
µ = 2 ²1 3 + 4 ²1 2 + 4 ²1 + ²2 + 2
P a r a m e t r ²1 w p By w a n a k i e r u n e k p r z y l e g a n i a k r z y w e j d o Ba m a n e j k o n t r o l n e j
( a n g . b i a s )
P a r a m e t r ²2 ) w p By w a n a s t o p i e D p r z y l e g a n i a k r z y w e j ( n a p i c i e k r z y w e j ) d o
Ba m a n e j k o n t r o l n e j ( a n g . t e n s i o n )
J e |e l i ²1 = 1 i ²2 = 0 f u n k c j e b a z o w e ² s k l e j a n e r e d u k u j s i d o j e d n o r o d n y c h
k u b i c z n y c h f u n k c j i b a z o w y c h B - s k l e j a n y c h .
W p By w p a r a m e t r ó w ²1 i ²2 n a k s z t a Bt k r z y w e j
D l a ²1 = 1 i ²2 = 0 - f u n k c j e b a z o w e ²- s k l e j a n e r e d u k u j s i d o f u n k c j i b a z o w y c h B - s k l e j a n y c h
D l a ²2 = 0
- ²1 = 1 k r z y w a j e s t r ó w n o m i e r n i e n a p i t a
- ²1 = V , V > 1 k r z y w a j e s t n a c i g a n a w k i e r u n k u p o c z t k o w e g o p u n k t u k o n t r o l n e g o
- ²1 = 1 / V , V > 1 k r z y w a j e s t n a c i g a n a w k i e r u n k u p r z e c i w n y m , w k i e r u n k u k o Dc o w e g o
p u n k t u k o n t r o l n e g o
²1 = 1 ²1 = 0 . 5
²1 = 2
²2 = 0 ²2 = 0
²2 = 0
D l a ²1 = 1
- ²2 = 0 k r z y w a n o r m a l n i e p r z y l e g a d o Ba m a n e j k o n t r o l n e j , j e s t n o r m a l n i e n a p i t a
- ²2 > 0 s t o p i e D p r z y l e g a n i a k r z y w e j d o Ba m a n e j k o n t r o l n e j ( n a p i c i e k r z y w e j ) w z r a s t a w r a z z e
w z r o s t e m w a r t o [c i p a r a m e t r u
²1 = 1 ²1 = 1
²1 = 1
²2 = 0 ²2 = 5
²2 = 9 0
P o w i e r z c h n i e ²- s k l e j a n e
P o w i e r z c h n i a ²- s k l e j a n a j e s t d e f i n i o w a n a p r z e z s i a t k p u n k t ó w k o n t r o l n y c h
{ P 0 , P 1 , . . . . , P N , } o r a z { P 0 , P 1 , . . . . , P M , } t w o r z c y c h p r z e s t r z e n n y g r a f k o n t r o l n y
o ( N + 1 ) x ( M + 1 ) w i e r z c h o Bk a c h . R ó w n a n i e p a r a m e t r y c z n e p o w i e r z c h n i m a p o s t a :
1 1
S i , j ( u , v ) = b r ( ²1 , ²2 , u ) b s ( ²1 , ²2 , v )
" "P
i + r , j + s
r = - 2 s = - 2
g d z i e :
g d z i e :
- P i + r , j + s p u n k t y k o n t r o l n e g d z i e : i = < 2 , N - 1 > , j = < 2 , M - 1 > ;
- u , v p a r a m e t r y r ó w n a n i a n a l e |c e d o p r z e d z i a Bu < 0 , 1 > ;
- b r ( ²1 , ²2 , u ) b a z o w a f u n k c j a ²- s k l e j a n a z p a r a m e t r e m u ;
- b s ( ²1 , ²2 , v ) b a z o w a f u n k c j a ²- s k l e j a n a z p a r a m e t r e m v ;
- ²1 , ²2 p a r a m e t r y w p By w a j c e n a k s z t a Bt p o w i e r z c h n i
W Ba s n o [c i k r z y w y c h i p o w i e r z c h n i ²- s k l e j a n y c h
P o w i e r z c h n i a ²- s k l e j a n a j e s t i l o c z y n e m t e n s o r o w y m k r z y w y c h ²- s k l e j a n y c h .
W Ba s n o [c i p o w i e r z c h n i s a n a l o g i c z n e d o w Ba s n o [c i k r z y w y c h - k o n s t r u o w a n e
s z w y k o r z y s t a n i e m t y c h s a m y c h f u n k c j i b a z o w y c h . P o s i a d a j w i k s z o [
w Ba s n o [c i k r z y w y c h i p o w i e r z c h n i B - s k l e j a n y c h , a p o n a d t o :
1 . M o g b y w y k o r z y s t y w a n e w w p r o c e s i e m o d e l o w a n i a , w k t ó r y c h
w y m a g a n a j e s t d o k Ba d n a k o n t r o l a k s z t a Bt u g e n e r o w a n y c h o b i e k t ó w .
2 . P a r a m e t r ²1 o d p o w i a d a z a k i e r u n e k p r z y l e g a n i a m o d e l o w a n e j k r z y w e j
l u b p o w i e r z c h n i d o Ba m a n e j k o n t r o l n e j l u b g r a f u k o n t r o l n e g o .
3 . P a r a m e t r ²2 o d p o w i a d a z a s t o p i e D p r z y l e g a n i a m o d e l o w a n e j k r z y w e j
3 . P a r a m e t r ²2 o d p o w i a d a z a s t o p i e D p r z y l e g a n i a m o d e l o w a n e j k r z y w e j
l u b p o w i e r z c h n i d o Ba m a n e j k o n t r o l n e j l u b g r a f u k o n t r o l n e g o .
4 . K o n t r o l a k s z t a Bt u o r a z t r a n s f o r m a c j e m o g b y d o k o n y w a n e l o k a l n i e .
5 . P a r a m e t r y ²1 i ²2 m o g b y p r z e d s t a w i o n e w p o s t a c i f u n k c j i , c o
u m o |l i w i a c i g B k o n t r o l k s z t a Bt u .
6 . S t o p i e D w i e l o m i a n ó w b a z o w y c h f u n k c j i ²- s k l e j a n y c h j e s t s t a By - 3 d l a
k r z y w y c h i 6 d l a p o w i e r z c h n i .
7 . N i e p r z e c h o d z p r z e z p u n k t y k o n t r o l n e , n a w e t p r z e z p u n k t p o c z t k o w y
i k o Dc o w y . D l a z a p e w n i e n i a p r z e j [c i a p r z e z o k r e [l o n y p u n k t k o n t r o l n y
n a l e |y z d e f i n i o w a d o d a t k o w e p u n k t y k o n t r o l n e .
K r z y w e i p o w i e r z c h n i e ²2 - s k l e j a n e ( B a r s k y 1 9 8 5 )
W y c i n e k i k r z y w e j ²2 - s k l e j a n e j o k r e [l o n e j p r z e z N + 1 p u n k t ó w k o n t r o l n y c h j e s t
z d e f i n i o w a n y j a k o :
1
C i ( t ) =
"P b r ( ²2 , t )
i + r
r = - 2
g d z i e :
g d z i e :
- P i + r p u n k t y k o n t r o l n e , i = < 2 , N - 1 >
- t - p a r a m e t r r ó w n a n i a n a l e |c y d o p r z e d z i a Bu < 0 , 1 >
- b r ( ²2 , t ) b a z o w a f u n k c j a ²2 - s k l e j a n a .
- ²2 p a r a m e t r w p By w a j c y n a k s z t a Bt k r z y w e j
F u n k c j e ²2 - s k l e j a n e s p r o s t s z e o d f u n k c j i ²- s k l e j a n y c h i t y m s a m y m z Bo |o n o [
o b l i c z e n i o w a a l g o r y t m ó w w y z n a c z a n i a w a r t o [c i t y c h f u n k c j i j e s t z n a c z n i e
m n i e j s z a . K s z t a Bt g e n e r o w a n e j k r z y w e j j e s t k o n t r o l o w a n y p r z e z j e d e n p a r a m e t r
o d p o w i a d a j c y p a r a m e t r o w i ²2 w f u n k c j a c h ²- s k l e j a n e j .
K r z y w e i p o w i e r z c h n i e ²2 - s k l e j a n e ( B a r s k y 1 9 8 5 )
D l a k r z y w y c h ²2 - s k l e j a n y c h w a r u n k i w y n i k a j c e z c i g Bo [c i p o Bc z e n i a w
p u n k t a c h b r z e g o w y c h s n a s t p u j c e :
1 ) . C i - 1 ( t i ) = C i ( t i )
d C i - 1 ( t i ) d C i ( t i )
2 ) . =
d t d t
2 2
d C i - 1 ( t i ) d C i - 1 ( t i ) d C i ( t i )
3 ) . + ²2 =
d t 2 d t d t 2
Z w a r u n k ó w t y c h w y z n a c z y m o |n a b a z o w e f u n k c j e ²- s k l e j a n e :
b 1 ( ²2 , t ) = 2 &!t 3
b 0 ( ²2 , t ) = &![ 2 + t [ 6 + t [ 3 ( ²2 + 2 ) - 2 t ( ²2 + 3 ) ] ] ]
b ( ²2 , t ) = &![ ²2 + 8 + t 2 [ - 3 ( ²2 + 4 ) + 2 t ( ²2 + 3 ) ] ]
- 1
b ( ²2 , t ) = 2 &!( 1 - t 3 )
- 2
1
&! =
g d z i e :
²2 + 1 2
P o w i e r z c h n i e ²2 - s k l e j a n e
P o w i e r z c h n i a ²2 - s k l e j a n a j e s t d e f i n i o w a n a p r z e z s i a t k p u n k t ó w
k o n t r o l n y c h { P 0 , P 1 , . . . . , P N , } o r a z { P 0 , P 1 , . . . . , P M , } t w o r z c y c h
p r z e s t r z e n n y g r a f k o n t r o l n y o ( N + 1 ) x ( M + 1 ) w i e r z c h o Bk a c h .
R ó w n a n i e p a r a m e t r y c z n e p o w i e r z c h n i m a p o s t a :
1 1
S i , j ( u , v ) = b r ( ²2 , u ) b s ( ²2 , v )
" "P
i + r , j + s
r = - 2 s = - 2
g d z i e :
- P i + r , j + s p u n k t y k o n t r o l n e g d z i e : i = < 2 , N - 1 > , j = < 2 , M - 1 > ;
- u , v p a r a m e t r y r ó w n a n i a n a l e |c e d o p r z e d z i a Bu < 0 , 1 > ;
- b r ( ²2 , u ) b a z o w a f u n k c j a ²2 - s k l e j a n a z p a r a m e t r e m u ;
- b s ( ²2 , v ) b a z o w a f u n k c j a ²2 - s k l e j a n a z p a r a m e t r e m v ;
- ²2 p a r a m e t r w p By w a j c e n a k s z t a Bt p o w i e r z c h n i
G r a f i k a k o m p u t e r o w a
G r a f i k a k o m p u t e r o w a
W y k Ba d
M o d e l o w a n i e b r y B
M e t o d y o p i s u b r y B ( a n g . s o l i d r e p r e s e n t a t i o n )
1 . P r y m i t y w y p r z e s t r z e n n e
2 . L o k a l i z a c j a p r z e s t r z e n n a
3 . D r z e w a ó s e m k o w e ( a n g . o c t r e e s )
4 . Z a k r e [l a n i e p r z e s t r z e n i ( a n g . s w e e p i n g )
5 . K o n s t r u k c y j n a g e o m e t r i a b r y B C S G
5 . K o n s t r u k c y j n a g e o m e t r i a b r y B C S G
( a n g . C o n s t r u c t i v e S o l i d G e o m e t r y )
6 . S i a t k i w i e l o k t ó w
7 . O p i s b r z e g o w y B R ( B r e p )
( a n g . B o u n d a r y r e p r e s e n t a t i o n )
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