PROBLEM NIEPEWNOÅšCI W DZIAA
ALNOÅšCI
INŻYNIERSKIEJ I JEJ MODELOWANIE
" Niedoskonałość człowieka
Ograniczona wiedza
" Uproszczenia w modelach obliczeniowych
Niepewność wyników rozumowania, obliczeń inżynierskich,
trafności decyzji
Np. dotyczÄ…ca naprężeÅ„ à i naprężeÅ„ krytycznych Ãkr
à d" Ãdop
gdzie Ãdop= Ãkr /nwym
Ãkr Re , Rm , Z, &
1
Zmniejszanie niepewności
w procesie projektowania
" stosowanie w obliczeniach współczynników bezpieczeństwa
" wykorzystywanie do obliczeń dokładniejszych modeli, w tym
modeli probabilistycznych, np. naprężeń i naprężeń krytycznych
" przeprowadzanie badań prototypu i serii informacyjnej
2
Obliczenia probabilistyczne
Probabilistyczna forma warunków ograniczających
Ãsup d" Re
Ãsup , Ãmax , Re ,
Z, &
Ãmax d" Z
X(t) d" Xkr
zmienne losowe
y d" ykr
P{ & } a" R(t) - funkcja niezawodności
Np. R = P{Ãsup d" Re }
3
. . .
Probabilistyczny opis naprężeń
Ã
Ãmax,i
Ãm,i
Ãsup
Ãmin,i
t
Do probabilistycznych obliczeń na wytrzymałość doraz
nÄ…
rozkÅ‚ad prawdopodobieÅ„stwa Ãsup w postaci gÄ™stoÅ›ci
prawdopodobieÅ„stwa f(Ãsup )
4
Przykłady typowych rozkładów
wi f
ni
wi
N
P{x1 x x2}
x
x
x1 x2 Ex
w  częstość; f  gęstość prawdopodobieństwa
x Ãsup , Ãmax , Re , Z ,&
5
f
F(x0)
f
F(x0)
x0 x x
x0
Gęstość rozkładu normalnego Gęstość rozkładu Weibulla
F(x0) = P{x e" x0}
f (xo)dx
xo
6
Probabilistyczny opis właściwości mechanicznych
Duże rozrzuty cech, właściwości także właściwości
obiektów technicznych mechanicznych
Re , Rm , Z , H , h , trw , & ,wymiary
f
P{Re e" Re min } H" 0,98- 0,99
P{Re d" Remin}
<
Re
Remin ERe
Re
7
Zadanie
Na wykresie jest przedstawiona gęstość
f
prawdopodobieństwa granicy plastyczności Re
materiału, z którego wykonano pręt obciążony
siÅ‚Ä… wzdÅ‚użnÄ… wywoÅ‚ujÄ…cÄ… w nim naprężenia Ã.
Posługując się wykresem, należy określić, jaki
wpływ na prawdopodobieństwo uszkodzenia
pręta mogłoby mieć zmniejszenie wartości
współczynnika bezpieczeństwa w stosunku do
wartości wynikającej z wykresu.
Re
Remin ERe
Ã
RozwiÄ…zanie
Uszkodzenie, gdy à > Re
à  wielkość zdeterminowana (okreÅ›lona
wartość)
Re  zmienna losowa o gęstości f
Prawdopodobieństwo uszkodzenia Q = P{à > Re }
8
f
n = Re min /Ã
Prawdopodobieństwo
uszkodzenia
n1 = Re min /Ã1
Q = P{Ã > Re }
Q1 > Q
Remin
Re
ERe
Ã
Ã1
9
Gdy probabilistyczny opis à i Ãkr
Prawdopodobieństwo uszkodzenia
Q = P{Ã  Ãkr > 0}
Q = f(n)
10
11
Zadanie
Wspornik przedstawiony na rysunku jest zespawany z ceowników.
" Zdefiniuj współczynnik bezpieczeństwa ze względu na doraz
ne rozciÄ…ganie
pręta a.
" Wyznacz siłę rozciągającą ten pręt, a następnie oblicz wartość współczynnika
bezpieczeÅ„stwa, gdy Ä… = 30° i gdy Ä… = 35°.
" Opierając się na wykresie Q = f(n), oszacuj dla obu przypadków wartości
prawdopodobieństwa uszkodzenia pręta.
a
Dane: F = 140kN, Re = 185MPa,
pole przekroju pręta a A = 7,1cm2.
Ä…
F
Odp.: n = 1,26 Q H" 2"10-7
n = 1,04 Q H" 9"10-4 !!
12
Uwzględnianie losowości w obliczeniach
inżynierskich
" operowanie opisami probabilistycznymi naprężeń (lub obciążeń)
oraz cech i właściwości (np.mechanicznych)
P{war. ograniczajÄ…cy} a" R(t)
R(t) = 1- Q(t)
" stosowanie w obliczeniach deterministycznych współczynników
uwzględniających wymagany poziom niezawodności, np.
- aRwym w obliczeniach łożysk tocznych
- cr w obliczeniach zmęczeniowych
13
Trwałość łożyska tocznego
R(L)
R(L)
1,00
1,00
0,90
0,90 L 68 H" 10 L 10
0,32
0,32
L10 L68 L[mln obr.]
R(L) = P{ L e" L}
- rozkład Weibulla zm. L
14
a = 10/9 dla łoż. kulk.; a = 9/8 dla łoż. wałeczkowych
Trwałość umowna ( katalogowa)
ą = 3 dla łoż. kulk.; ą = 10/3 dla łoż. wałeczkowych
R(L)
1,00
Np.
0,90
Lwym = 10 mln obr.
R(Lwym)
Lwym
0,60
L10 15
L
R(L)
1,00
0,90
Lwym
0,60
L10
L
L10
16
R(L)
1,00
C/Pz
0,90
Lwym
0,60
L10
L
L10
17
R(L)
1,00
C/Pz
R(Lwym)
0,90
Lwym
0,60
L10 L10
L
R(Lwym ) e" Rwym ,
gdzie Rwym = & . (np. Rwym = 0,93 )
18
Dobór łożyska
1 Warunki ograniczajÄ…ce, gdy Rwym d" 0,90
" warunki geometryczne d e" do , &
" warunek trwałości
L10 e" Lwym
Gdy L10 H" Lwym R(Lwym ) H" 0,90 b. mało , gdyż
R(L) H" " Ri (L) , gdzie i = 1,2,& ,n
Np. dla n =4 i Ri (L) = 0,90 R(L) H" 0,64 !!
19
2 Warunki ograniczajÄ…ce, gdy Rwym > 0,90
" warunki geometryczne d e" do ,&
" warunek niezawodności
R(Lwym ) e" Rwym
Np. Rwym = 0,99
R(L)
Rwym
R(Lwym ) 1,00
0,90
Lwym
0,60
20
L10
L
Inna postać metody (wg FAG, SKF )
R(L)
Jeśli R(L),to L(R)
Rwym
L
L(Rwym )
Warunek trwałości (+ niezawodności)
L10 e" Lwym L(Rwym ) e" Lwym
gdzie L(Rwym ) = aRwym " a23 " L10
21
R(L)
1,00
Rwym
0,90
L10
L
L(Rwym )
aRwym = L(Rwym) " L10
Np. dla Rwym = 0,99 aRwym = 0,21
a23 - wsp. materiałowy stali i oleju oraz war. eksploat.
(w tym rodzaj i lepkość oleju)
wykresy w katalogu
22
Dobór łożyska, gdy obciążenie niestałe
w czasie funkcjonowania urzÄ…dzenia
obciążenie zastępcze
Pz `" const
równoważne Pr
Ä…
wj = lj /l
Pr = " wj PzjÄ… ,
23
Zadanie
Do podparcia wałka przekładni zębatej (p. rysunek) użyto dwóch jednakowych łożysk
poprzecznych kulkowych o nośnościach ruchowych każdego z nich C = 5,85 kN. W strefie
zazębienia występuje obciążenie poprzeczne o dwóch składowych, związanych relacją
Fr = 0,364 Fw. Przez 90% czasu funkcjonowania przekładni (liczonego w mln obrotów wałka)
siła obwodowa Fw = 2 kN, a w pozostałym czasie Fw = 4 kN. Przewidywana trwałość
pojedynczego łożyska Lwym = 10 mln obr., a wymagana wartość funkcji jego niezawodności w
tym okresie powinna być nie mniejsza niż Rwym = 0,95. Sprawdzić prawidłowość doboru
łożysk do tych warunków.
Pozostałe dane: d1 = 48 mm, l = 16 mm, L = 30 mm.
24
Zadanie
Narysować wykres funkcji niezawodności łożyska bardziej obciążonego
z dwóch łożysk, o których mowa w poprzednim zadaniu i funkcjonujących
w opisanych warunkach. Jakie sÄ… dwa dominujÄ…ce zjawiska fizyczne
prowadzące do uszkodzeń łożysk tocznych?
25
Zadanie
A
ożysko poprzeczne kulkowe o nośności ruchowej C = 3 kN
jest obciążone siłą zastępczą Pz = 1 kN. Wymagana trwałość tego
łożyska wynosi Lwym = 27 mln obr. Przedstaw na wykresie
funkcji niezawodności tego łożyska, co stałoby się z jej
wartością, gdyby obciążenie zastępcze zmniejszyło się do
wartości Pz = 0,5 kN.
Zadanie
Znana jest wartość trwałości umownej określonego łożyska,
wynikająca z jego obciążenia. Wynosi ona 5 mln obr. Z jakiego
warunku można wyznaczyć trwałość łożyska, oznaczoną
symbolem L5 ? Zaznacz ją na wykresie funkcji niezawodności
łożyska.
26
Zadanie
A
ożysko wałeczkowe walcowe, podpierające czop końcowy
wałka ma nośność ruchową równą C. Siła zastępcza P,
obciążająca to łożysko, jest równa jego nośności ruchowej.
Należy wyznaczyć prawdopodobieństwo nieuszkodzenia tego
łożyska w okresie Lwym = 106 obrotów dla dwóch następujących
przypadków:
" przedstawionego powyżej,
" gdy siła zastępcza jest równa 80% nośności ruchowej.
Wyniki zilustrować na wykresach funkcji niezawodności łożyska.
27
Zadanie
Wałek pośredni przekładni zębatej podparty jest dwoma jednakowymi łożyskami
kulkowymi poprzecznymi o nośności dynamicznej każdego z nich C = 5,85 kN.
Wałek jest obciążony siłą poprzeczną F = 4 kN wynikającą z oddziaływania
zamocowanego na nim koła zębatego. Koło może być usytuowane w stosunku do
wałka w dwóch wariantach:
1. a = 0,25 l,
2. a = 0,50 l.
Należy:
- dla obu tych wariantów narysować w jednym układzie współrzędnych
wykresy funkcji niezawodności zespołu łożysk podpierających wałek (przez co
najmniej trzy punkty),
- wskazać wariant lepszy ze względu na niezawodność podparcia wałka.
F
A
B
a
l
28