7. Układy dynamiczne
Układy dynamiczne to szeroki dział matematyki zajmujący się badaniem zmian pewnego
systemu w czasie. Jako prosty przykład można przedstawić mapę pogody, gdzie poda-
wany jest np. prognozowany stopień zachmurzenia w godzinnych odstępach. Taki układ
nazwiemy dyskretnym ze względu na nieciągłość czasu (co godzinę). Gdybyśmy podawali
stan zachmurzenia w czasie ciągłym - mówilibyśmy po prostu o układzie dynamicznym.
Formalne definicje zostaną podane w dalszej części. Bardzo ważnym przykładem są pr-
zekształcenia analityczne na płaszczyz
nie zespolonej.
7.1. Podstawowe definicje. Niech dana będzie przestrzeń metryczna (X, d) oraz funkc-
ja Ć : R � X - X. Dla ustalonego t " R oznaczamy Ćt : X x - Ć(t, x) " X.
Definicja. 7.1. Mówimy, że Ć jest układem dynamicznym (lub potokiem) na X
jeżeli spełnia następujące warunki:
(1) Ć jest ciągłe
(2) Ć0 jest identycznością (Ć0(x) = x)
(3) "t, s " R Ćt+s = Ćt ć% Ćs.
W przestrzeni metrycznej (X, d) niech f : X - X będzie dowolnym, ciągłym przeksz-
tałceniem.
Definicja. 7.2. Punkt x0 " X nazywamy
" punktem stałym odwzorowania f, jeśli f(x0) = x0
" punktem okresowym, jeżeli istnieje p > 0 takie, że fp(x0) = x0. Wtedy zbiór
{x0, f(x0), . . . , fp-1(x0)} nazywamy orbitą okresową. Najmniejszą z liczb p o tej
własności nazywamy okresem podstawowym.
" punktem preokresowym, jeżeli istnieje n " N takie, że fn(x) jest punktem okre-
sowym
Zbiór punktów stałych będziemy oznaczać przez Fix(f, X), okresowych przez Per(f, X)
oraz preokresowych przez Pre(f, X). Często będziemy opuszczać zbiór X, jeżeli nie będzie
to prowadzić do nieścisłości.
Uwaga. 7.3. A
atwo zauważyć, że zachodzą następujące implikacje
x " Fix(f) =�! x " Per(f) =�! x " Pre(f)
Ponadto, jeżeli f jest homeomorfizmem (tzn. jest funkcją odwracalną oraz odwrotna f-1
jest ciągła) to zachodzi równoważność
x " P re(f) �!�! x " P er(f)
Odwzorowanie f indukuje dyskretny semiukład dynamiczny na X. Każdy punkt x " X
posiada swoją dodatnią trajektorię o+(x) = {fm(x)}m"N oraz przeciwobraz f-1(x) =
f
{y " X : f(y) = x} (może być pusty). Każdy ciąg {. . . y-k, y-k+1, . . . , y-1, x}, dla którego
f(y-i) = y-i+1 oraz f(y-1) = x nazywamy ujemną półtrajektorią punktu x. Jeżeli f
jest odwracalne, to istnieje dokładnie jedna ujemna półtrajektoria i oznaczamy ją o-(x).
f
Definicja. 7.4. Zbiór
"

-
(7.1) Tf (x) = f-k(x) a" {y " X : "k e" 0, fk(y) = x}
k=0
nazywamy pełną ujemną półtrajektorią punktu x.
1
2
Dla podzbioru I �" X określamy f(I) = {f(x) : x " I}
Definicja. 7.5. Podzbiór I �" X nazywamy
" dodatnio niezmienniczym, jeśli f(I) �" I
" niezmienniczym, jeśli f(I) *" f-1(I) �" I
Dla A �" X określamy dodatni zbiór graniczny jako
"

(7.2) �f(A) = cl(fk(A))
k=0
W szczególności, gdy A = {x0} jest jednym punktem oznaczamy dodatni zbiór graniczny
punktu x0 przez �f(x0). Dzięki rozwojowi technik komputerowych okazało się, że dla sze-
rokiej klasy odwzorowań zbiory graniczne mają bardzo złożoną strukturę. Często określa
się je mianem  dziwnych atraktorów . Można pokazać, że są one niezmiennicze. W związ-
ku z tym często zawęża się badanie funkcji do tego atraktora. Według definicji podanej
przez Devaney a i przeformułowanej przez J.Banksa i J.Brooksa przekształcenie f jest
chaotyczne, jeżeli jest topologicznie tranzytywne oraz zbiór orbit okresowych jest gęs-
ty. Oczywiście nie jest to jedyna definicja chaosu. W konkretnych przypadkach bardzo
trudno udowodnić istnienie tego rodzaju chaosu. Wykazanie istnienia topologicznej tran-
zytywności oraz istnienia nieskończenie wielu orbit okresowych jest już wyznacznikiem
skomplikowanej dynamiki. Takie rezultaty udało się pokazać w ostatnich latach dla pew-
nych, klasycznych już przykładów.
Przykład. Odwzorowanie H�nona
Rozważmy dyfeomorfizm płaszczyzny dany wzorem
(7.3) x = by + 1 - ax2, y = x
Dla wartości parametrów a = 1.4 oraz b = 0.3 wykazuje on bardzo skomplikowaną dyna-
mikę. Można również zaobserwować numerycznie  dziwny atraktor . W 1997 roku Piotr
Zgliczyński udowodnił istnienie zbioru niezmienniczego, na którym dynamika tego odw-
zorowania jest bardzo złożona (Nonlinearity 10(1997) 243-252). W szczególności udało
się pokazać istnienie nieskończenie wielu orbit okresowych o wszystkich okresach postaci
7n dla n " N. Sformułowanie pełnych twierdzeń wykracza poza zakres wykładu.
Przykład. Odwzorowanie logistyczne
Rozważmy rodzinę przekształceń odcinka dla � " [0, 4].
(7.4) f� : [0, 1] x - �x(1 - x) " [0, 1]
Badanie dynamiki tego odwzorowania wykazało jej ogromną złożoność. Dla parametrów
� " [3, 4] pojawia się coraz większa liczba orbit okresowych według pewnego schematu bi-
furkacyjnego. Najpierw pojawia się stabilna (patrz następny podrozdział) orbita o okresie
dwa, która tracąc stabilność bifurkuje w stabilną orbitę o okresie cztery, ta znów bifurkuje
w orbitę o okresie osiem itd. Pełny chaos udało się udowodnić dla parametru � = 4.
Daniel Wilczak - Fraktale 3
Przy omawianiu przekształceń odcinka nie sposób nie wspomnieć o twierdzeniu charak-
teryzującym pojawianie się orbit okresowych. Wprowadzimy w zbiorze liczb naturalnych
następujący porządek:
3 5 7 9 . . . 3 � 2 5 � 2 7 � 2 . . . 3 � 22 5 � 22 7 � 22 . . .
3 � 23 5 � 23 7 � 23 . . . 24 23 22 2 1
Twierdzenie. 7.6. (Szarkowski) Niech I �" R będzie przedziałem oraz f : I - I
będzie pewną funkcją ciągłą. Jeżeli istnieje orbita okresowa o okresie n to istnieją orbity
okresowe o wszystkich okresach m o ile n m. W szczególności, jeżeli istnieje orbita o
okresie trzy to istnieją również orbity o wszystkich możliwych naturalnych okresach.
Twierdzenie to, niezbyt trudne w dowodzie, było obiektem zainteresowań wielu mate-
matyków. Próbowano pozbyć się bardzo silnego założenia jednowymiarowości. W 1997
roku udało się udowodnić (Piotr Zgliczyński) pewne uogólnienie tego twierdzenia na
przestrzenie Banacha. Ponownie, sformułowanie twierdzeń wykracza poza ramy wykładu.
7.2. Odwzorowania analityczne. Różniczkowalne funkcje zespolone f : C - C będ-
ziemy nazywać odwzorowaniami analitycznymi. Wiele z nich prowadzi do uzyskania bard-
zo ciekawych obrazów związanych z tzw. basenami przyciągania, zbiorami Mandelbrota
czy też zbiorami Julii.