Układy dynamiczne
Układ dynamiczny, to model matematyczny
rzeczywistego zjawiska przyrody, którego przyszłe
zachowanie (stan, ewolucja) jest wyznaczone
jednoznacznie przez stan początkowy i sygnał sterujący;
najczęściej jest opisany pewnym wektorowym
równaniem różniczkowym
(czyli w istocie układem równań różniczkowych zwyczajnych),
zwanym równaniem stanu układu.
Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział
matematyki znajdujący liczne zastosowania przy opisie
rozmaitych konkretnych zjawisk, m. in. w automatyce.
Podział układów
Podział ze względu na charakter sygnałów
" Układy ciągłe  wszystkie sygnały (wejściowe i
wyjściowe) są funkcjami ciągłymi w czasie i mogą
przybierać dowolną wartość z obszaru swojej
zmienności. Układy te opisuje się zwykle równaniami
różniczkowymi.
" Układy dyskretne  układ jest dyskretny, jeżeli
przynajmniej jeden jego sygnał ma charakter dyskretny,
tzn. przyjmuje tylko określone wartości dla określonych
argumentów. Układy takie opisuje się zwykle równaniami
różnicowymi.
Podział układów cd.
Podział ze względu na charakter układu
" Układy statyczne (bezinercyjne)  wyjście w
danej chwili czasu zależy tylko od wejścia (brak
stanu nieustalonego). Układy te składają się
tylko z elementów rozpraszających energię i
opisuje się je równaniami algebraicznymi.
" Układy dynamiczne  układy, w których wyjście
nie jest jednoznaczną funkcją wejścia i zależy
dodatkowo od charakteru procesu
przejściowego (inercyjności) i stanu układu w
chwili początkowej. Układy te zawierają
elementy magazynujące energię. Opisuje się je
równaniami różniczkowymi lub różnicowymi.
Podział układów cd.
Podział ze względu na liniowość układu
" Układy liniowe  można je opisać za pomocą liniowych równań
algebraicznych, różniczkowych lub różnicowych.
Układy liniowe spełniają zasadę superpozycji.
" Układy nieliniowe  układ zawierający przynajmniej jeden element
nieliniowy jest układem nieliniowym.
W praktyce każdy układ fizyczny jest nieliniowy. Model linowy powstaje
na podstawie przybliżenia zakładającego liniowość fizycznego
zjawiska i stałość parametrów lub w wyniku linearyzacji wyznaczonej
nieliniowej charakterystyki. Linearyzację przeprowadza się zwłaszcza
wtedy, gdy działanie procesu ogranicza się do niewielkiego obszaru
wokół pewnego ustalonego punktu pracy.
Definicja
System (układ, model, obiekt)
nazywamy liniowym, jeżeli spełnia on zasadę
superpozycji, tzn. jeżeli dla wymuszenia x1(t)
odpowiedzią jest y1(t), a dla wymuszenia x2(t)
odpowiedzią jest y2(t), to mówimy, że spełniona
jest zasada superpozycji jeżeli dla wymuszenia
ą1x1(t)+ą2x2(t) odpowiedzią jest ą1y1(t)+ą2y2(t).
Wyznaczanie modelu obiektu w postaci liniowego
równania różniczkowego
Linearyzacja podstawowa  na poziomie idei i parametrów
I D E A L I Z A C J A  założenie o liniowości
uwe(t) = u(t) uwy(t) = y(t)
10 uwe(t) = uL(t) + uR(t) = L di(t)/dt + R i(t) = u(t)
20 uwy(t) = R i(t) = y(t) i(t) = y(t)/R i do 10
Tdy(t)/dt + y(t) = ku(t) gdzie T=L/R, k=1
_
Jest to równanie różniczkowe opisujące układ inercyjny I rzędu.
_
u(t) =
= y(t)
10 u(t) = uR(t) + uC(t) = Ri(t) + 1/C +" i(�)d�
20 y(t) = uC(t) = 1/C +" i(t)dt i(t) = Cdy(t)/dt i do 10
Tdy(t)/dt + y(t) = ku(t) gdzie T=RC, k=1
Jest to również równanie różniczkowe opisujące układ inercyjny I rzędu.
Uwaga:
przy jednakowych schematach układy mają różne opisy, właściwości
i nazwy w zależności od przypisania sygnałom funkcji wejścia i wyjścia.
W powyższym przykładzie gdyby u(t) = i(t) otrzymalibyśmy tzw.
układ całkujący.
Linearyzacja równania różniczkowego
 wokół punktu pracy
Po wstępnej  linearyzacji zjawiska i założeniu stałości parametrów
wyznaczmy równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem wokół
ustalonego punktu pracy h0.
q0"t = "hS + q1"t
(podzielić przez "t i w granicy " d )
q0 = Sdh/dt + q1
q1 = cS1v1 linearyzacja
v1 = (2gh)0,5 H" g(2gh0)-0,5 h , czyli q1 = h/RH , [RH] = sek/m2
Ostatecznie, uwzględniając oznaczenia dla wejścia i wyjścia, otrzymujemy
"
Sdy(t)/dt + y(t)/RH = u(t) lub Ty(t) + y(t) = ku(t), gdzie
T= SRH to stała czasowa w sekundach,
k= RH to współczynnik wzmocnienia statycznego w [sek/m2] .
Klasyczne rozwiązanie równania różniczkowego
I-go rzędu
"
Ty(t) + y(t) = ku(t) , dla u(t) = 1(t) i y(0)= y0 =0
(dalej y(t) y , u(t) u )
Rozwiązanie ma dwie składowe: składową przejściową (składowa swobodna,
rozwiązanie ogólne, całka ogólna równania różniczkowego) i ustaloną
(składowa wymuszona, całka szczególna równania różniczkowego).
y = yp + yu yp = ci exp(ait)1(t) , yu = c1(t).
Stałą ai dla składowej przejściowej wyznaczamy z rozwiązania równania
jednorodnego, tzn. dla układu bez wymuszenie  u(t) = 0.
Tciai exp(ait) + ciexp(ait) = 0 �! a1 = -1/T
Wartość na stałą c1 uzyskujemy z warunku początkowego, po uwzględnieniu
całego rozwiązania, a zatem teraz należy znalez
ć składową ustaloną.
Składowa ustalona, ma postać k 1(t) , c = k, stąd
y = yp + yu = c1exp(-t/T) + k1(t)�ł = 0 �! c1 = - k ,
t=0
a zatem rozwiązanie równania różniczkowego dla wymuszenia w postaci
skoku jednostkowego ma postać
y(t) = k(1  exp(-t/T))1(t).
Wykresy rozwiązania równania różniczkowego I-szego rzędu
dla różnych parametrów i wymuszenia u(t) = 1(t)
yu = yust = lim y(t) = k (w prezentowanym przypadku dla t=5T y(t) H" 99% yust)
t
Równanie różniczkowe II-go rzędu
Częste inne oznaczenia:
T Tn , gdzie �n = 1/Tn
to pulsacja drgań własnych
nietłumionych
n
T1 2�Tn , gdzie � to względny
współczynnik tłumienia
Warunek oscylacji � < 1, tzn.
i wtedy równanie ma postać:
Rozwiązanie równania dla u(t) = 1(t) ma postać:
warunek rezonansu � < 0,7071& .
Ilustracje odpowiedzi y(t) dla wzmocnienia k=1
Równania różniczkowe wyższych rzędów
Rząd równania rózniczkowego będącego liniowym modelem
fizycznego obiektu o działaniu ciągłym równy jest liczbie uwzględnianych
 magazynów energii w analizowanym obiekcie (po uproszczeniach).
Energia to podstawowa wielkość fizyczna oznaczająca
zdolność do wykonania pracy.
Energia może być gromadzona w polu elektrycznym, magnetycznym,
grawitacyjnym; energia kinetyczna (masa, prędkość), potencjalna
energia sprężystości, cieplna itd.
Ogólna postać liniowego równania różniczkowego n-tego rzędu:
(1)
Rozwiązanie ma ogólną postać y(t) = yp (t) + yu (t).
Składowa przejściowa ma postać
n
(2)
yp(t) = " ci e si t ,
i=1
gdzie si są rozwiązaniem tzw. wielomianu charakterystycznego,
(3)
sn + an-1sn-1 + & . + a1s + a0 = 0
a współczynniki ci zależą od n warunków początkowych
(zakładamy, że pierwiastki są różne, tzn. brak wielokrotnych).
Składowa wymuszona jest natomiast kombinacją liniową funkcji
wymuszającej u(t) i jej wszystkich niezerowych pochodnych,
pod warunkiem, że liczba ta jest skończona
r
(4)
yu(t) = " ki diu(t)/dti .
i=0
Wartości ki otrzymujemy po podstawieniu (4) do (1) i po porównaniu
współczynników przy tzw. wyrazach podobnych po obu stronach równania.
Obliczanie składowej znacznie się upraszcza, gdy wymuszenie
ma postać funkcji wykładniczej exp(st). Składowa wymuszona ma
wtedy postać k0exp(st) . Składowa wymuszona musi spełniać
równanie (1),
(1)
(uwaga, czasami występuje an , czasami a0 = 1  kwestia podzielenia przez wybrany wyraz)
a zatem
(ansn + an-1s (n-1) + & + a1s + a0) k0 exp(st) = (bmsm + bn-1s(n-1) + & + b1s + b0) exp(st)
stąd
bmsm + bn-1s(n-1) + & + b1s + b0
k0 = G(s) =               . (5)
ansn + an-1s (n-1) + & + a1s + a0
Składowa wymuszona dla pobudzenia est ma postać
yu(t) = G(s) e st .
(6)
Dla wykładniczej funkcji wymuszającej est o zespolonej częstotliwości
s = ą + j�, składowa ustalona na wyjściu liniowego układu ciągłego
jest także funkcją wykładniczą o tej samej postaci.
W tzw. układach stabilnych składowa przejściowa zanika z czasem do zera.
Składowa przejściowa jest rozwiązaniem równania (1) przy przyrównaniu
wymuszenia do zera, nie zależy zatem od charakteru wymuszenia ale od
charakteru układu  od współczynników an i bm w równaniu różniczkowym.
Transmitancja operatorowa układu
Charakterystyka czasowa
Charakterystyką czasową układu liniowego jest jego odpowiedz
na określone
wymuszenie przy założeniu zerowych warunków początkowych. Sygnałem
wejściowym może być impuls Diraca �(t), skok jednostkowy 1(t) (funkcja
Heaviside a) lub sygnał narastający liniowo (rampa).
funkcja Heaviside a
Impuls Diraca
Charakterystyka czasowa
Należy zaznaczyć, że zarówno impuls Diraca, jak i skok jednostkowy są
sygnałami niemożliwymi do generacji z uwagi na skończoną szybkość zmian
wartości sygnałów (na przykład skończoną prędkość przestawiania zaworu
przez siłownik) lub niebezpieczeństwo wywołania dynamicznego wejścia
obiektu rzeczywistego w zakres nieliniowości.
Odpowiedz
y(t) układu danego transmitancją G(s) na dowolne wymuszenie u(t)
wyznacza się, korzystając z odwrotnej transformaty Laplace a
y(t) = L-1{G(s)U (s)}
Charakterystyka skokowa
Charakterystyką skokową (odpowiedzią skokową) h(t) układu liniowego jest
jego odpowiedz
na wymuszenie skokiem jednostkowym u(t) = 1(t) przy
zerowych warunkach początkowych. Jest ona bardzo ważnym elementem teorii
sterowania, ponieważ opisuje właściwości dynamiki układu w zależności
jedynie od jego parametrów i pojedynczej wartości opisującej skok (amplitudy).
Dla znanej transmitancji G(s) obiektu odpowiedz
skokowa h(t) wyznaczana
jest jako:
G(s)
�ł
h(t) = L-1ńł
�ł żł.
s
ół �ł
Charakterystyka skokowa umożliwia proste wyznaczenie współczynnika
wzmocnienia obiektu statycznego, równego stosunkowi wartości ustalonej
odpowiedzi skokowej do wartości sygnału wejściowego.
Obiektem astatycznym nazywa się obiekt z biegunami w początku
układu współrzędnych zmiennej zespolonej {s}, czyli bez charakterystyki
statycznej.
Charakterystyka impulsowa
Charakterystyką impulsową (odpowiedzią impulsową) g(t) układu liniowego
jest jego odpowiedz
na wymuszenie impulsem Diraca u(t) = �(t) przy zerowych
warunkach początkowych. Podobnie jak charakterystyka skokowa opisuje
również właściwości dynamiki układu w zależności od jego parametrów.
Dla znanej transmitancji G(s) obiektu liniowego odpowiedz
impulsowa g(t)
wyznaczana jest za pomocą odwrotnej transformaty Laplace a
g(t) = L-1{G(s)},
a w przypadku gdy transmitancja ma stopień licznika m mniejszy od stopnia
mianownika n, powiązana jest z odpowiedzią skokową zależnością
dh(t)
g(t) =
dt
Charakterystyka impulsowa umożliwia w prosty sposób określenie, czy obiekt jest
astatyczny  w tym przypadku wartość g(t) w stanie ustalonym jest niezerowa.
Interpretacja geometryczna  identyfikacja z przebiegów doświadczalnych.
Transmitancja widmowa
Odpowiedz
liniowego układu stacjonarnego na wymuszenie u(t) = U sin (�t) jest w
stanie ustalonym wielkością sinusoidalną
y(t) = Y sin(�t +�).
Wprowadzając oznaczenia
U ( j�) = U
j�
Y ( j�) = Ye ,
Transmitancję widmową można wyrazić następująco:
j�
Y ( j�) Ye
j�
G( j�) = = = G( j�) e = P(�) + jQ(�),
U ( j�) U
Transmitancja widmowa
przy czym
P(�) = G( j�) cos(�) = Re{G( j�)},
Q(�) = G( j�) sin(�) = Im{G( j�)}.
Transmitancję widmową łączy z transmitancją operatorową zależność
G( j�) = G(s)
s= j�
Charakterystyka amplitudowo  fazowa
Charakterystyką amplitudowo-fazową (wykresem Nyquista) nazywa się wykres
transmitancji widmowej na płaszczyz
nie zmiennej zespolonej, przy czym na osi
rzędnych (osi licz rzeczywistych) odłożona jest wartość P(�), a na osi
odciętych (osi liczb urojonych) wartość Q(�)
P(�1)
�(�1)
Q(�1).
� = �1
Logarytmiczne charakterystyki modułu i fazy
Logarytmiczną charakterystyką modułu (amplitudową) nazywa się wykres
dwudziestu logarytmów dziesiętnych z modułu transmitancji widmowej
2
Lm(�) = 20 log P2 (�) + Q(�)
jako funkcję pulsacji �, natomiast logarytmiczną charakterystyką fazową
wykres argumentu (fazy) transmitancji widmowej
Q(�)
�(�) = argG( j�) = arctg
P(�)
również jako funkcję logarytmu pulsacji log(�).
Człon inercyjny I rzędu
Transmitancja i równanie opisujące obiekt mają postać:
k
G(s) =
1+ sT
dy(t)
T + y(t) = ku(t),
dt
Gdzie k jest statycznym współczynnikiem wzmocnienia, a Ti [s]  stałą czasową
całkowania.
Odpowiedz
skokową i impulsową opisują wzory:
t
-
T
h(t) = k �" (1- e ) �"1(t),
t
-
k
T
g(t) = e
T
Człon inercyjny I rzędu
" zmienne k oraz T
Człon inercyjny I rzędu
" zmienne k oraz T
Człon oscylacyjny
Transmitancja i równanie opisujące obiekt mają postać :
2
k�n
G(s) = ,
2
s2 + 2s��n +�n
2
d y(t) dy(t)
2 2
+ 2s�n +�n y(t) = k�nu(t),
dt2 dt
k - jest współczynnikiem wzmocnienia
ś - współczynnik tłumienia (rozważany zakres 0...1)
�n - pulsacja naturalna obiektu (pulsacja drgań własnych, nie tłumionych)
(często postać ze stałą czasową T lub Tn = 1/�n)
Człon oscylacyjny
Oscylator
mechaniczny
" Realizacja
Człon oscylacyjny cd.
" Odpowiedz
skokową i impulsową opisują wzory
k �
2
n
h(t) = k - cos(�nt 1-� -�)e-�� t ,� = arctg
2 2
1-� 1-� ,
k�n
2
n
g(t) = sin(�nt 1-� ) e-�� t.
2
1-�
" Dla � = 1 otrzymuje się obiekt o biegunie o krotności dwa (człon inercyjny n-tego
rzędu, przy n = 2), natomiast dla � > 1 otrzymuje się obiekt inercyjny drugiego
T1 `" T2
rzędu o
Człon oscylacyjny
" zmienne �n oraz ś dla k = 1
Człon oscylacyjny
" zmienne �n oraz ś dla k = 1