108

ROZDZIAŁ 9

Algebra wieloliniowa

9.1. Odwzorowania dwuliniowe

(V, F, +, ·), (W, F, +, ·), (U, F, +, ·) - przestrzenie wektorowe. Od-

wzorowanie

T : V × W −→ U

nazywamy przekształceniem dwuliniowym, jeżeli

∀X, X

1

, X

2

∈ V,

∀Y, Y

1

, Y

2

∈ W, ∀a ∈ F

T (X

1

+ X

2

, Y ) = T (X

1

, Y ) + T (X

2

, Y ),

T (X, Y

1

+ Y

2

) = T (X, Y

1

) + T (X, Y

2

)

T (aX, Y ) = T (X, aY ) = aT (X, Y )

L(V, W ; U )

ozn

= {T : V × W −→ U-dwulin}

TWIERDZENIE 9.1.1.
(L(V, W ; U ), F, +, ·) z działaniami

(S + T )(X, Y ) = S(X, Y ) + T (X, Y ),

(aT )(X, Y ) = aT (X, Y )

jest przesrzenią wektorową.

TWIERDZENIE 9.1.2.
Dla dowolnych, skończenie wymiarowych przestrzeni V, W, U nad

ciałem F przestrzeń (L(V, W ; U ), F, +, ·) jest skończenie wymiarowa
oraz

dim(L(V, W ; U ), F, +, ·) = dimV dimW dimU

TWIERDZENIE 9.1.3.
Dla dowolnych przestrzeni V, W, U nad ciałem F

L(V, W; U) ∼ L(V, L(W, U)) ∼ L(W, L(V, U)

109

9.2. Formy dwuliniowe

Formą dwuliniową nazywamy dwuliniowe przekształcenie

u ∈ L(V, W; F)

dimV = m, dimW = n.
X

1

, . . . , X

m

- baza V ,

Y

1

, . . . , Y

n

- baza W

u(X, Y ) = u(

m

X

i=1

x

i

X

i

,

n

X

j=1

y

j

Y

j

)

=

m

X

i=1

n

X

j=1

x

i

y

j

u(X

i

, Y

j

)

∀i = 1, . . . , m, ∀j = 1, . . . , n

a

ij

= u(X

i

, Y

j

)

A = (a

ij

) - macierz formy dwuliniowej.

Postać macierzowa

u(X, Y ) = X

∗

|{z}

(1×m)

A

|{z}

(m×n)

Y

|{z}

(n×1)

Każdej macierzy A odpowiada forma dwuliniowa i na odwrót każdej
formie dwuliniowej odpowiada macierz (przy ustalonych bazach).

TWIERDZENIE 9.2.1.
(L(V, W; F), F, +, ·) ∼ (M(m, n), F, +, ·)

(izomorfizm niekanoniczny, zależy od wyboru bazy)

TWIERDZENIE 9.2.2.
dimV = m, dimW = n.
Dwie macierze A, B ∈ M (m, n) są macierzami tej samej formy

dwuliniowej u ∈ L(V, W; F) w różnych bazach ⇐⇒ A ∼ B.

B = (P

c

)

−1

AQ

Rzędem formy dwuliniowej nazywamy rząd macierzy reprezen-

tującej tą macierz.

rzu = rzA

TWIERDZENIE 9.2.3.
dimV = m, dimW = n.
Dla każdej formy u ∈ L(V, W; F) istnieją takie bazy w przestrze-

niach V i W, że macierz formy ma postać:

k

k














1

0 0 . . . 0

. ..

0

1 0

0

0

0 0

0

. ..

0

0 0

0














=

"

I

k

Θ

Θ Θ

#

k = rzu.

u(X, Y ) =

k

X

i=1

x

i

y

i

Znajdowanie tych baz nazywamy sprowadzaniem formy do postaci
kanonicznej, a postać formy postacią kanoniczną.

WNIOSEK 9.2.1.
Każdą formę dwuliniową można sprowadzić do postaci kanonicznej.

L

2

(V, U)

ozn

= L(V, V; U)

Przekształcenie T ∈ L

2

(V, U) nazywamy

• symetrycznym, jeśli

∀X, Y ∈ V

T (X, Y ) = T (Y, X),

• skośniesymetrycznym, jeśli

∀X, Y ∈ V

T (X, Y ) = −T (Y, X).

Formę u ∈ L

2

(V, F ) nazywamy

• symetryczną, jeśli

∀X, Y ∈ V

u(X, Y ) = u(Y, X),

• skośniesymetryczną, jeśli

∀X, Y ∈ V

u(X, Y ) = −u(Y, X).

Jeśli T, u są skośnie symetryczne, to ∀X ∈ V

T (X, X) = −T (X, X) = Θ,

u(X, X) = −u(X, X) = 0

A ∈ M (n) - macierz symetryczna, jeśli

dla i, j = 1, . . . , n a

ij

= a

ji

A

∗

= A

A ∈ M (n) - macierz skośniesymetryczna, jeśli

dla i, j = 1, . . . , n, a

ij

= −a

ji

, a

ii

= 0

A

∗

= −A

TWIERDZENIE 9.2.4.

(1) Macierz formy symetrycznej w dowolnej bazie jest macierzą

symetryczną.

(2) Jeśli macierz formy w dowolnej bazie jest macierzą symetrycz-

ną, to forma jest symetryczna.

TWIERDZENIE 9.2.5.

(1) Macierz formy skośniesymetrycznej w dowolnej bazie jest ma-

cierzą skośniesymetryczną.

(2) Jeśli macierz formy w dowolnej bazie jest macierzą skośniesy-

metryczną, to forma jest skośniesymetryczna.

Jedyną macierzą, formą, odwzorowaniem równocześnie symetrycz-

nym i skośnie symetrycznym jest Θ.

9.3. Formy kwadratowe

chF 6= 2. (1 + 1 6= 0)
u ∈ L

2

(V, F ) - forma symetryczna.

Formą kwadratową (funkcjonałem kwadratowym) na prze-

strzeni V nazywamy odwzorowanie G : V −→ F takie, że ∀X ∈ V

G(X) = u(X, X)

Forma u generuje jednoznacznie funkcjonał G i na odwrót funkcjo-

nał G jednoznacznie generuje formę u.

u(X, Y ) = 2

−1

(G(X + Y ) − G(X) − G(Y ))

W przestrzeni skończenie wymiarowej, przy ustalonej bazie forma kwa-
dratowa ma postać:

G(X) =

n

X

i,j=1

a

ij

x

i

x

j

= X

∗

AX

rzG = rzA = rzu.

Postać kanoniczna funkcjonału:

G(X) =

n

X

i=1

a

ii

x

2
i

- macierz funkcjonału jest diagonalna.

G - funkcjonał nad ciałem R.

TWIERDZENIE 9.3.1.
Istnieje baza przestrzeni V, w której funkcjonał G jest w postaci

kanonicznej.

Metoda Lagrange’a.

sprowadzania funkcjonału do postaci kanonicznej

G(X) =

n

X

i,j=1

a

ij

x

i

x

j

= X

∗

AX

w bazie X

1

, . . . , X

n

, A = A

∗

.

X-współrzędne wektora w nowej bazie.

Jeśli ∀i, j = 1, . . . , n, a

ij

= 0, to jest to postać kanoniczna.

∃i, j = 1, . . . , n : a

ij

6= 0

(1) ∀i = 1, . . . , n a

ii

= 0

np. a

12

6= 0 wówczas przyjmujemy

x

1

=

x

1

+ x

2

x

2

= x

1

− x

2

x

3

= x

3

. . . . . . . . . . . .
x

n

= x

n

Zmiana współrzędnych przy użyciu macierzy zmiany bazy

P

0

1

=











1

1

0 . . . 0

1 −1 0 . . . 0
0

0

1 . . . 0

. ..

0

1











∈ M

0

(n)

2a

12

x

1

x

2

= a

12

x

1

x

2

+ a

21

x

2

x

1

=

2a

12

(

x

1

+ x

2

)(x

1

− x

2

) = 2a

12

x

2
1

− 2a

12

x

2
2

w nowej macierzy na przekątnej istnieją elementy różne od
zera.

(2) a

11

6= 0

G

1

(X) = G(X) − a

−1
11






a

11

x

1

+ .. + a

1n

x

n

|

{z

}

x

1






2

w G

1

nie występują składniki mieszne z x

1

.

Współrzędne spełniają zależności:

x

1

= a

−1
11

x

1

− a

−1
11

a

12

x

2

− · · · − a

−1
11

a

1n

x

n

x

2

= x

2

..

.
x

n

= x

n

P

1

=


















a

−1
11

a

−1
11

a

12

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

a

−1
11

a

1n

0

1

0

..

.

. ..

..

.

0

· · ·

0

1

0

· · ·

0

..

.

0

1

..

.

..

.

. ..

0

0

· · ·

· · ·

0

· · ·

0

1


















Dla k = 1, . . . , n:

x

1

=

x

1

..

.
x

k

= a

−1
kk

x

k

− a

−1
kk

a

k(k+1)

x

k+1

.. − a

−1
kk

a

kn

x

n

..

.
x

n

= x

n

Macierz zmiany bazy:

P

k

=

















1

0

0

. ..

1

0

0

..

0 a

−1
kk

−a

−1
kk

a

k(k+1)

..

−a

−1
kk

a

kn

0

0

1

0

. ..

0

0

1

















B = P

∗

n

. . . P

∗

1

AP

1

. . . P

n

= (P

1

. . . P

n

)

∗

A(P

1

. . . P

n

)

Mogą wystąpić macierze P

0

k

(jeśli na przekątnej są same zera).

G(X) = b

1

x

2
1

+ . . . + b

n

x

2
n

=

n

X

i=1

b

i

x

2
i

WNIOSEK 9.3.1.
rzG jest równy ilości różnych od zera współczynników w postaci

kanonicznej tego funkcjonału.

Postać normalna funkcjonału:

G(X) =

n

X

i=1

b

i

x

2
i

b

i

= 1, −1, 0

W n-wym przestrzeni rzeczywistej istnieje baza, w której funkcjonał

ma postać normalną.

X

1

, . . . , X

n

- baza kanoniczna,

G(X) =

P

n
i=1

a

i

x

2
i

- postać kanoniczna, to

Y

i

=

1

q

|a

i

|

X

i

jesli a

i

6= 0

Y

i

= X

i

jesli a

i

= 0

baza normalna.

a

i

6= 0

b

i

= u(Y

i

, Y

i

) = u





1

q

|a

i

|

X

i

,

1

q

|a

i

|

X

i





=

1

|a

i

|

u(X

i

, X

i

) =

a

i

|a

i

|

=

(

1
−1

a

i

= 0

b

i

= u(X

i

, X

i

) = 0

TWIERDZENIE 9.3.2.
Prawo bezwładności form kwadratowych.

G - funkcjonał kwadratowy na n-wym przestrzeni rzeczywistej.

Liczba dodatnich współczynników w różnych postaciach kanonicz-

nych jest taka sama.

WNIOSEK 9.3.2.
Liczba współczynników ujemnych jest też taka sama.

Funkcjonał G jest dodatnio określony, jeśli

∀X 6= Θ G(X) > 0

TWIERDZENIE 9.3.3.
G - funkcjonał kwadratowy na n-wym przestrzeni rzeczywistej.

G jest dodatnio określony wtw gdy liczba współczynników dodatnich w
postaci kanonicznej jest równa n.

9.4. Odwzorowania wieloliniowe

(V

1

, F, +, ·), . . . , (V

k

, F, +, ·),

(U, F, +, ·) - przestrzenie wektorowe (k ­ 2). Odwzorowanie

T : V

1

× · · · × V

k

−→ U

nazywamy przekształceniem k-liniowym, jeśli

∀a ∈ F , ∀i = 1, . . . , k
∀X

1

∈ V

1

, .., X

i

, X

0

i

∈ V

i

, .., X

k

∈ V

k

T (X

1

, .., X

i

+ X

0

i

, .., X

k

) =

T (X

1

, .., X

i

, .., X

k

) + T (X

1

, .., X

0

i

, .., X

k

),

aT (X

1

, .., X

i

, .., X

k

) = T (aX

1

, .., X

i

, .., X

k

) =

.. = T (X

1

, ..aX

i

, .., X

k

) = .. = T (X

1

, .., X

i

, .., aX

k

)

Przykład

(1) T : F × · · · × F −→ F

T (a

1

. . . a

k

) = a

1

· · · a

k

(2) V

1

, . . . , V

k

- przestrzenie wektorowe nad ciałem F ,

dla i = 1, . . . , k, v

i

∈ V

∗
i

T : V

1

× · · · × V

k

−→ F

T (X

1

, . . . , X

k

) = hv

1

, X

1

i · · · hv

k

, X

k

i

L(V

1

, .., V

k

; U)

ozn

= {T : V

1

× .. × V

k

−→ U}

zbiór przekształceń k-liniowych.

TWIERDZENIE 9.4.1.
(L(V

1

, . . . , V

k

; U), F, +, ·) z działaniami

(S + T )(X

1

, .., X

k

) = S(X

1

, .., X

k

) + T (X

1

, .., X

k

)

(aT )(X

1

, .., X

k

) = aT (X

1

, .., X

k

)

jest przestrzenią wektorową.

TWIERDZENIE 9.4.2.
Dla dowolnych, skończenie wymiarowych przestrzeni V

1

, . . . , V

k

, U

nad ciałem F przestrzeń (L(V

1

, .., V

k

; U), F, +, ·) jest skończenie wy-

miarowa oraz

dimL(V

1

, .., V

k

; U) = dimV

1

..dimV

k

dimU

TWIERDZENIE 9.4.3.
Dla dowolnych przestrzeni V

1

, . . . , V

k

, U nad ciałem F

L(V

1

, . . . , V

k

; U)∼ (L(V

2

, . . . , V

k

; L(V

1

, U))∼. . .

∼(L(V

2

, . . . , V

k−1

; L(V

k

, U))∼ (L(V

3

, . . . , V

k

; L(V

1

, V

2

; U))∼

. . .∼(L(V

k

, L(V

1

, . . . , V

k−1

; U)) ∼L(V

i

1

, . . . , V

i

k

; U)

gdzie (i

1

, . . . , i

k

) ∈ S

k

V

1

= · · · = V

k

= V

L(V, . . . , V; U)

ozn

= L

k

(V; U)

Przekształcenie T ∈ L

k

(V; U) nazywamy symetrycznym, jeśli

∀(i

1

, .., i

k

) ∈ S

k

, ∀X

1

, .., X

k

∈ V

T (X

1

, . . . , X

k

) = T (X

i

1

, . . . , X

i

k

)

Przekształcenie T ∈ L

k

(V; U) nazywamy skośniesymetrycznym,

jeśli

∀(i

1

, .., i

k

) ∈ S

k

, ∀X

1

, .., X

k

∈ V

T (X

1

, .., X

k

) = sgn(i

1

, .., i

k

)T (X

i

1

, .., X

i

k

)

chF 6= 2
Przekształcenie T ∈ L

k

(V; U) jest skośniesymetryczne, jeśli

∀(1 ¬ i < j ¬ k), ∀X

1

, .., X

k

∈ V

T (X

1

, .., X

i

, .., X

j

, .., X

k

) = −T (X

1

, .., X

j

, .., X

i

, .., X

k

)

Jeśli ∃i < j takie, że X

i

= X

j

, to

T (X

1

, . . . , X

i

, . . . , X

j

, . . . , X

k

) = 0

TWIERDZENIE 9.4.4.

Odwzorowanie T ∈ L

k

(V; U) jest skośniesymetryczne wtw dla każdego

układu liniowo zależnych wektorów X

1

, . . . , X

k

∈ V T (X

1

, . . . , X

k

) = 0

9.5. Formy wieloliniowe

Formą k-liniową (k ­ 2) nazywamy przekształcenie u ∈ L(V

1

, . . . , V

k

; F )

V

1

= · · · = V

k

= V

L(V, . . . , V; F )

ozn

= L

k

(V; F )

Formę u ∈ L

k

(V; U) nazywamy symetryczną, jeśli

∀(i

1

, .., i

k

) ∈ S

k

, ∀X

1

, .., X

k

∈ V

u(X

1

, . . . , X

k

) = u(X

i

1

, . . . , X

i

k

)

Formę u ∈ L

k

(V; U) nazywamy skośniesymetryczną, jeśli

∀(i

1

, .., i

k

) ∈ S

k

, ∀X

1

, .., X

k

∈ V

u(X

1

, .., X

k

) = sgn(i

1

, .., i

k

)u(X

i

1

, .., X

i

k

)

u ∈ L(V

1

, . . . , V

k

; F ),

dimV

i

= n

i

dla i = 1, . . . , k,

X

i

1

, . . . , X

i

n

i

- baza V

i

,

X

i

∈ V

i

,

X

i

=

n

i

X

j=1

x

i
j

X

i

j

u(X

1

, . . . , X

k

) =

= u(

n

1

X

j

i

=1

x

1
j

1

X

1

j

1

, . . . ,

n

k

X

j

k

=1

x

k
j

k

X

k

j

k

) =

=

n

1

X

j

i

=1

. . .

n

k

X

j

k

=1

x

1
j

1

, . . . , x

k
j

k

u(X

1

j

1

, . . . , X

k

j

k

)

|

{z

}

a

j1...jk∈F

Przy ustalonych bazach formie u odpowiada układ n

1

· · · n

k

elemen-

tów z ciała F .

Wartość u na wektorach bazowych, a więc a

j

1

...j

k

jednoznacznie wy-

znacza formę u.

V

1

= · · · = V

k

= V, u ∈ L

k

(V; F ),

X

1

, . . . , X

n

- baza V,

dla i = 1, . . . , k Y

i

∈ V,

Y

i

=

n

X

j

i

=1

x

j

i

X

j

i

u(Y

1

, .., Y

k

) =

n

X

j

1

=1

..

n

X

j

k

=1

x

j

1

..x

j

k

u(X

j

1

, .., X

j

k

)

=

n

X

j

i

=1

..

n

X

j

k

=1

a

j

1

..j

k

x

j

1

..x

j

k

u-symetryczna ⇐⇒ ∀(i

1

, .., i

k

) ∈ S

k

a

j

1

···j

k

= a

j

i1

···j

ik

u-skośniesym ⇐⇒ ∀(i

1

, .., i

k

) ∈ S

k

a

j

1

···j

k

= sgn(i

1

, . . . , i

k

)a

j

i1

···j

ik

Jeśli ∃p 6= q takie, że j

p

= j

q

, to a

j

i1

···j

ik

= 0