http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i

Ruch drgający i falowy

Ruch drgający prosty

Ruch drgający prosty jest ruchem najczęściej spotykanym w przyrodzie. Przykładami takiego ruchu są: ruch
struny instrumentu, ruch cięŜarka zawieszonego na spręŜynie, ruch wahadła czy ruch tłoka w silniku. Przyczyną
tego ruchu jest siła spręŜystości.

Wielkości związane z tym ruchem:
x - wychylenie w danej chwili, odległość ciała od połoŜenia równowagi
A - amplituda drgań, największe wychylenie z połoŜenia równowagi
T - okres drgań
f - częstotliwość drgań, ilość drgań w jednostce czasu

- częstość kołowa

- faza drgań =

Ruch drgający moŜna rozpatrywać jako rzut ruchu po okręgu.

Z rysunku odczytujemy, Ŝe:

Przekształcając równania otrzymujemy równanie ruchu drgającego.

Jak widać w równaniu ruchu drgającego wychylenie w ruchu harmonicznym zmienia się w czasie sinusoidalnie.
Tą zaleŜność przedstawia wykres:

Ruch drgający, odbywający się pod działaniem siły spręŜystości, w którym przyspieszenie w kaŜdym punkcie

ruchu jest wprost proporcjonalne do wychylenia, nosi nazwę ruchu drgającego prostego albo

harmonicznego.Ciało drgające to oscylator harmoniczny.

Strona 1 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Prędkość, przyspieszenie i siła

RozwaŜmy ponownie ruch harmoniczny jako rzut ruchu jednostajnego po okręgu. Wykorzystując zaleŜności
pokazane na rysunku wyprowadźmy wzór na prędkość w ruchu harmonicznym.

prędkość ciała poruszającego się po okręgu

składowa prędkości

promień okręgu

Korzystamy z wzoru na prędkość w ruchu po okręgu:

Jak wynika z rysunku za r moŜemy podstawić A (największe wychylenie) i otrzymuje wzór na prędkość w ruchu
harmonicznym.

Prędkość maksymalną ciała osiąga w połoŜeniu równowagi.

ZaleŜność prędkości od czasu w ruchu harmonicznym przedstawia wykres:

Strona 2 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Wzór na prędkość w ruchu harmonicznym moŜna takŜe wyprowadzić obliczając pochodną V=dx/dt.

Wykonajmy podobny rysunek i wyprowadźmy wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym.

Korzystając z rysunku odczytujemy zaleŜności:

podstawiamy wzór na przyspieszenie w ruchu po okręgu:

Otrzymujemy wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym:

Znak minus oznacza, Ŝe kierunek przyspieszenia jest przeciwny względem kierunku wychylenia.
Przyspieszenie maksymalne ciało osiąga w punkcie największego wychylenia:

ZaleŜność przyspieszenia od czasu w ruchu harmonicznym przedstawia wykres:

Strona 3 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym moŜna wyprowadzić takŜe obliczając pochodną a=dV/dt.

Ruch drgający prosty jest ruchem niejednostajnie zmiennym.

Siła  w  ruchu  harmonicznym  jest  wprost  proporcjonalna  do  wychylenia  i  przeciwnie  zwrócona.  MoŜemy
wyprowadzić jej wzór, korzystając z II zasady dynamiki:

Po podstawieniu wartości przyspieszenia w ruchu harmonicznym otrzymujemy:

Aby zapisać powyŜszą równość w prostszy sposób wprowadza się współczynnik proporcjonalności k:

A więc wzór na siłę w ruchu harmonicznym jest następujący:

Przemiany energii

Ciało drgające posiada energię kinetyczną i potencjalną spręŜystości. Wyprowadźmy wzory na obie energie.
Energia potencjalna spręŜystości wyraŜa się ogólnym wzorem:

Po podstawieniu do tego wzoru równanie ruchu drgającego otrzymujemy wzór na energię potencjalną
spręŜystości w ruchu drgającym:

Energia kinetyczna wyraŜa się ogólnym wzorem:

Wstawiamy do niego wzór na prędkość prędkość ruchu harmonicznym i otrzymujemy wzór na energię kinetyczną
w ruchu drgającym:

Strona 4 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

A więc energia całkowita ciała drgającego wynosi:

Energia całkowita jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy.

Wahadło matematyczne

Dla niewielkich kątów wahadło matematyczne wykonuje ruch harmoniczny (

)

Na rysunku przedstawione są działające siły, gdzie siły F i F

to siły składowe. Siłę F

równowaŜy siła naciągu nitki

N, więc o ruchu wahadła decyduje tylko siła F. Z rysunku odczytujemy wartość funkcji sinus:

Wahadło matematyczne to punkt materialny zawieszony na niewaŜkiej i nierozciągliwej nici.

Strona 5 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Porównujemy obie wartości:

Otrzymany wzór  skłania  ku  wnioskowi,  Ŝe siła  jest  wprost proporcjonalna do  wychylenia  i  przeciwnie  zwrócona,
więc potwierdza to wcześniejsze stwierdzenie, Ŝe jest to ruch harmoniczny.

Wyprowadźmy wzór na okres drgań wahadła matematycznego.
Porównujemy wzory na stałą k:

Okres wahadła matematycznego jest wprost proporcjonalny do pierwiastka z długości wahadła.

Gdyby  wahadło  matematyczne  znajdowało  się  nie  tylko  w  polu  grawitacyjnym,  to  okres  drgań  wahadło
wynosiłby:

wypadkowe przyspieszenie

Drgania tłumione (gasnące)

Z doświadczenia wiemy, Ŝe wahadło pobudzone jednorazowo do drgań przez wychylenie go z połoŜenia
równowagi waha się w miarę upływu czasu coraz słabiej, aŜ wreszcie zatrzymuje się. Świadczy to o rozpraszaniu
energii. Drgania takie nazywamy drganiami tłumionymi lub gasnącymi.

Strona 6 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Ciało drgające musi wykonywać pracę przeciwko sile oporu, zuŜywając na to swoją energię. Jeśli maleje energia

ciała, to maleje równieŜ amplituda drgań (

)

- czas relaksacji

relaksacji jest to czas, po którym amplituda drgań zmniejsza się e razy. (e=2,71872; e - podstawa logarytmu
naturalnego).

- współczynnik tłumienia

logarytmiczny dekrement tłumienia

Drgania wymuszone. Rezonans mechaniczny

Drgania,  które  wykonuje  ciało  wychylone  ze  stanu  równowagi  i  pozostawione  samemu  sobie,  tj.  nie  poddane
działaniu  dodatkowych  sił  zewnętrznych  określamy  mianem  drgań  własnych  ciała.  Drgania  własne  ciała  mają
zawsze tę samą charakterystyczną dla niego częstotliwość, niezaleŜnie od sposobu wzbudzenia.

Wiemy,  Ŝe  zanikaniu  wahań  wahadła  moŜna  zapobiec  przez  okresowe  pobudzanie  go  do  ruchu.  JeŜeli  energia
dostarczana  w  kaŜdym  impulsie  pobudzającym  zrównowaŜy  energię  rozpraszaną,  to  drgania  wahadła  staną  się
niegasnące.  Takie  drgania  wzbudzone  za  pomocą  zmieniających  się  okresowo  sił  zewnętrznych  albo  teŜ
przenoszone z innego ciała drgającego nazywamy drganiami wymuszonymi.

Przeprowadźmy doświadczenie:

Strona 7 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Pobudzamy  do  drgań  wahadło  A,  obserwujemy,  Ŝe  jego drgania  stopniowo  zanikają,  coraz  bardziej  zaczyna  się
wahać wahadło C. Wahadło B pozostaje cały czas w spoczynku.

Zaobserwowaliśmy  zjawisko rezonansu mechanicznego, czyli zjawisko przekazywania drgań  (energii  drgań)
ciał o takiej samej częstotliwości drgań własnych.

Ruch drgań wymuszonych wyraŜana równanie:

gdzie

to siła zewnętrzna, która powoduje drgania wymuszone.

Wyprowadźmy wzór na amplitudę drgań w tym ruchu poprzez podstawienie do równania ruchu drgań

wymuszonych wzorów na a, x i

w ruchu drgającym:

- maksymalna wartość siły

Zamiast k podstawiamy wzór:

- częstość drgań własnych

Gdy

dąŜy do

, to amplituda drgań dąŜy do nieskończoności. Mamy do czynienia z rezonansem

mechanicznym.

Strona 8 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Nieskończony wzrost amplitudy nie ma sensu fizycznego i w praktyce nie pozwalają na to siły oporu lub układ
ulega wcześniej zniszczeniu.

Wykres  przedstawia  dwa  ujęcia  tego  zjawiska:  teoretyczne  (niebieskim  kolorem)  i  praktyczne  (czerwonym
kolorem).

Zjawisko  rezonansu  jest  wykorzystywane  w  róŜnorodnych  urządzeniach  akustycznych,  w  obwodach  prądu
zmiennego i w fizyce atomowej. Niekiedy jednak naleŜy unikać jego skutków. Drgania maszyn lub urządzeń, albo
teŜ  powtarzające się okresowo podmuchy wiatru, mogą się bowiem znaleźć w rezonansie z drganiami własnymi
budynków, mostów i spowodować ich zniszczenie w wyniku ogromnego wzrostu amplitudy drgań wymuszonych.

Wahadło fizyczne

Z rysunku odczytujemy wartości dla funkcji sinus, a następnie je porównujemy:

Siła  jest  wprost  proporcjonalna  do  wychylenia  i  przeciwnie  zwrócona,  a  więc  dla  niewielkich  wychyleń  bryła
sztywna wykonuje ruch harmoniczny.

Wyprowadźmy wzór na przyspieszenie i na okres drgań wahadła fizycznego:

Porównujemy  wzory  na  moment  M  dla  ruchu  obrotowego  (gdzie  r  to  odległość  między  środkiem  cięŜkości  a
punktem zaczepienia bryły sztywnej):

Wahadło fizyczne jest ciało sztywne dowolnego kształtu zawieszone na osi poziomej ponad środkiem cięŜkości

i wahające się wokół niej.

Strona 9 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Otrzymujemy  wzór  na  przyspieszenie  wahadła  fizycznego.  Jest  ono  wprost  proporcjonalne  do  wychylenia  i
odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności I.

Porównujemy wzory na przyspieszenie (dla wahadła fizycznego i w ruchu harmonicznym):

Otrzymujemy wzór na okres drgań wahadła fizycznego.

Długość zredukowana wahadła fizycznego równa jest długości wahadła matematycznego, który ma taki sam
okres drgań.

Ruch falowy. Rodzaje fal

Ośrodek spręŜysty ma tę właściwość, ze siłom, które usiłują  spowodować jego odkształcenie, przeciwstawia siły
spręŜyste, które po usunięciu sił odkształcających usuwają odkształcenie. Wytrącenie zespołu cząsteczek takiego
ośrodka z połoŜenia równowagi powoduje ich drganie wokół tego połoŜenia, przy czym wskutek jego właściwości
spręŜystych  zaburzenie  przenosi  się  z  jednej  warstwy  ośrodka  na  następną,  wprawiając  ją  w  ruch  drgający  o
takim samym okresie drgań. Takie właśnie przenoszenie drgań nazywamy ruchem falowym lub krótko falą.

Przykładem  ruchu  falowego  są  fale  rozchodzące  się  kołowo  na  powierzchni  wody  po  wrzuceniu  kamienia.
Obserwując  zachowanie  się  trocin  lub  słomek  pływających  na  powierzchni  wody,  moŜna  łatwo  stwierdzić,  Ŝe
rzeczywisty ruch cząsteczek wody polega na ich podnoszeniu się i opadania w jednym miejscu, natomiast sama
fala,  przenosząca  te  drgania,  rozchodzi  się  po  powierzchni  wody.  Ośrodek  nie  porusza  się  więc  wraz  z
rozchodzącą  się  falą,  lecz  jedynie  jego  cząsteczki  drgają  wokół  połoŜeń  równowagi,  zaś  istotę  ruchu  falowego
stanowi przenoszenie się tych drgań na coraz to dalsze warstwy ośrodka.

Fale mechaniczne nie mogą rozchodzić się w próŜni. Rozchodzą się w ośrodkach spręŜystych.

Falą mechaniczną nazywamy zjawisko rozchodzenia się zaburzeń ośrodka. Źródłem fali jest ciało drgające.

Strona 10 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Fale mechaniczne (ze względu na wymiar) dzielimy na:

fale liniowe (jednowymiarowe) - np. na gumowym węŜu,

fale powierzchniowe (dwuwymiarowe) - np. na wodzie,

fale przestrzenne (trójwymiarowe) - np. dźwięk w powietrzu.

W zaleŜności od kierunku drgań cząsteczek ośrodka w stosunku do kierunku rozchodzenia się fali rozróŜnia się
fale poprzeczne i fale podłuŜne.

MoŜna  ją  otrzymać  na  przykład  przez  szybkie  poruszanie  się  w  górę  i  w  dół  jednego  końca  gumowego  sznura,
przymocowanego drugim końcem do ściany. Powstanie fali poprzecznej wiąŜe się ze zmianą kształtu ciała, a więc
moŜe  się  ona  rozchodzić  jedynie  w  ośrodkach  mających  spręŜystość  postaci  (głównie  w  ciałach  stałych).
Cząsteczki ośrodków doskonale spręŜystych wykonują drgania harmoniczne, zatem fala poprzeczna rozchodząca
się w takim ośrodku ma postać sinusoidy.

Prędkość fali poprzecznej w płynach lub cienkich, długich prętach wynosi:

- współczynnik ściśliwości płynu; moduł sztywności ciała stałego

Promień fali to kierunek rozchodzenia się fali.

Czoło fali jest to zbiór punktów, do których dotarła fala.

Powierzchnia falowa to zbiór punktów mających tą samą fazę drgań.

Fala poprzeczna to taka fala, której cząsteczki ośrodka drgają w kierunku prostopadłym do kierunku

rozchodzenia się fali.

Strona 11 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

- gęstość ośrodka

MoŜna ją otrzymać uderzając z jednej strony młotkiem w koniec długiej spręŜyny z cienkiego drutu zawieszonej
na  niteczkach.  Obserwujemy  wówczas  zagęszczanie  się  zwojów  spręŜyny  w  pobliŜu  miejsca  uderzenia  i
przesuwanie  się  tego  zagęszczenia  wzdłuŜ  jej  osi,  przy  czym  kierunek  drgań  zwojów  spręŜyny,  jest  zgodny  z
kierunkiem rozchodzenia się fali.

Podobne  zjawisko  rozchodzenia  się  drgań  cząsteczek  moŜna  zaobserwować  w  rurze  wypełnionej  powietrzem,
jeŜeli w jednym z jej końców wywołane zostanie zagęszczenie. Rozchodząca się w rurze fala podłuŜna polega na
zagęszczaniu i rozrzedzaniu drgających warstw powietrza.

PoniewaŜ rozchodzenie się fal podłuŜnych jest związane z okresowymi zmianami gęstości ośrodka, fale te mogą
się  rozchodzić  we  wszystkich  ośrodkach  wykazujących  spręŜystość  objętości,  a  więc  zarówno  w  ciałach  stałych,
cieczach jak i w gazach.

Prędkość fali podłuŜnej w płynach lub cienkich, długich prętach wynosi:

- moduł Younga

- gęstość ośrodka

Ze  względu  na  czoło  fali  fale  dzielą  się  na  płaskie  i  kuliste.  JeŜeli  drgania  rozchodzą  się  w  jednym  kierunku,  to
powierzchnie  fali  są  płaszczyznami  i  mówimy  o  fali  płaskiej.  JeŜeli  zaś  fala  wywołana  przez  punktowe  źródło
drgań  rozchodzi  się  w  ośrodku  jednorodnym,  to  prędkość  jej  jest  jednakowa  we  wszystkich  kierunkach  i
powierzchnia fali ma postać kuli. Mówimy wtedy o fali kulistej.

Wielkości charakteryzujące falę to:

- amplituda fali

- okres fali

- częstotliwość fali

- prędkość fali (prędkość fali w danym ośrodku jest stała)

- długość fali (odległość między najbliŜszymi cząsteczkami drgającymi w zgodnych fazach)

Fala przebywa drogę równą swojej długości w czasie okresu.

Zasada Huygensa

Fala podłuŜna jest to fala, której cząsteczki ośrodka drgają w kierunku zgodnym z kierunkiem rozchodzenia się

fali.

Strona 12 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Opis  ruchu  falowego  komplikuje  się  z  chwilą,  gdy  czoło  fali  dociera  do  granicy  obszaru  swobodnego
rozprzestrzeniania  się  fali,  lub  do  granicy  dwu  ośrodków,  w  których  prędkości  rozchodzenia  się  fal  są  róŜne.
Metody opisu ruchu falowego w tym przypadku dostarcza zasada Huygensa.

U źródła zasady Huygensa leŜą trzy obserwacje doświadczalne:

Drgające źródła punktowe wysyłają w ośrodku jednorodnym i izotropowym fale koliste.

Fale wysyłane przez róŜne źródła rozchodzą się w ośrodku niezaleŜnie od siebie (zasada superpozycji).

Fale nie rozchodzą się w ośrodku natychmiastowo, lecz ze skończoną prędkością - coraz to nowe punkty
ośrodka są pobudzane do drgań.

Na podstawie tych obserwacji Huygens wysunął hipotezę, Ŝe:

Jest to tzw. zasada Huygensa.

Równanie fali

Aby wyprowadzić równanie fali posłuŜymy się wykresem zaleŜności wychylenia od odległości od źródła.

- wychylenie

- odległość od źródła

Wykorzystujemy równanie ruchu drgającego na opisanie połoŜenia punktów A i B.

Punkt A -

Punkt B -

- czas, w którym fala przebywa drogę

Podstawiamy za

powyŜszy wzór i przekształcamy, aby otrzymać równanie fali w prostszej postaci:

KaŜdy punkt ośrodka, do którego dochodzi fala, moŜna traktować jako elementarne źródło wtórnej fali kolistej.

Strona 13 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Równanie fali moŜna takŜe wyrazić przy pomocy liczby falowej k, której wartość wstawiona do otrzymanego
wzoru da inną postać równania fali:

Interferencja fal mechanicznych

Podobnie,  jak  w  ruchach  punktu  materialnego  materialnego  ciała  sztywnego,  w  ruchu  falowym  obowiązuje
zasada  niezaleŜności  ruchów.  JeŜeli  w  ośrodku  rozchodzi  się  kilka  fal,  wysyłanych  jednocześnie  przez  róŜne
źródła,  to  wypadkowy  ruch  kaŜdej  cząstki  ośrodka  jest  złoŜeniem  ruchów,  jakie  wykonywałaby  ta  cząstka  przy
rozchodzeniu  się  kaŜdej  fali  z  osobna.  Zasada  niezaleŜności  ruchów  w  zastosowaniu  do  ruchu  falowego  nosi
nazwę zasady superpozycji fal.

Interferencja to zjawisko typowe dla fal.

WZMOCNIENIE

JeŜeli obie fale będą miały takie same amplitudy to nastąpi maksymalne wzmocnienie.

Wzmocnienie następuje w takich przypadkach:

Maksymalne wzmocnienie fali następuje we wszystkich punktach, dla których róŜnica odległości od źródeł równa
się całkowitej wielokrotności długości fali.

Zjawisko nakładania się dwu lub więcej fal harmonicznych harmonicznych tej samej długości, prowadzące do

powstania ustalonego w czasie rozkładu przestrzennego obszarów wzmocnienia i osłabienia fali, nazywamy

interferencją fal.

Strona 14 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

WYGASZENIE

Wygaszenie następuje we wszystkich punktach, dla których róŜnica odległości od źródeł jest równa nieparzystej
wielokrotności połowy długości fali.

Wyprowadźmy warunki na wygaszenie i wzmocnienie fal mechanicznych (korzystając z równania fali):

Korzystamy ze wzoru na sumę funkcji trygonometrycznych:

I. Wygaszenie nastąpi, gdy amplituda będzie równa zero:

Strona 15 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Zamiast k podstawiamy

i otrzymujemy:

II. Wzmocnienie nastąpi, gdy:

Zamiast k podstawiamy

i otrzymujemy:

Dyfrakcja fal mechanicznych

Zjawisko dyfrakcji jest typowym dla fal. Tłumaczy je zasada Huygensa. Łatwo jest zaobserwować dyfrakcję fal,
ustawiając w zbiorniku z wodą przegrodę z wąską szczeliną i wytwarzając po jednej stronie falę płaską. W chwili,
gdy fala ta dojdzie do przegrody - szczelina staje się źródłem fali kołowej, rozchodzącej się z niej we wszystkich
kierunkach po drugiej stronie przegrody. Tą sytuację ilustruje rysunek:

Umieszczając  w  zbiorniku  z  wodą  przegrodę  z  dwiema  szczelinami,  równoległą  do  powierzchni  wytwarzanej  fali
płaskiej,  moŜemy  obserwować  zarówno  dyfrakcję  jak  i  interferencję  fal  ugiętych.  PoniewaŜ  powierzchnia  fali
płaskiej  dochodzi  do  obydwu  szczelin  w  tej  samej  chwili,  stają  się  one,  zgodnie  z  zasadą  Huygensa,  źródłami
elementarnych fal kołowych o jednakowych fazach i amplitudach. amplitudach wyniku nakładania się fal w tych
punktach  powierzchni  wody,  do  których  dojdą  fale  o  jednakowych  fazach,  następuje  wzmocnienie  drgań  i
powierzchnia  wody  staje  się  silniej  pofałdowana,  w  innych  zaś,  do  których  dojdą  fale  o  fazach  przeciwnych  ,
następuje wygaszenie drgań i powierzchnia wody staje się gładka, tworząc charakterystyczne "linie węzłów".

Dyfrakcją fali nazywamy ugięcie fali, czyli zmianę kierunku rozchodzenia się fali na szczelinach, krawędziach,

przeszkodach, itp.

Strona 16 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Zasada Fermata

Zasada ta prowadzi do prawa rozchodzenia się światła po liniach prostych w ośrodkach jednorodnych oraz do
praw odbicia i załamania fal.

Odbicie fal mechanicznych

PRAWO ODBICIA

Przy odbiciu fali od ośrodka bardziej sztywnego następuje zmiana fazy na przeciwną.

Wyprowadzenie prawa odbicia:

I. geometrycznie

Fala biegnąca z jednego punktu do drugiego przebywa drogę, na której przebycie trzeba w porównaniu z

innymi sąsiednimi drogami minimum lub maksimum czasu.

Kątem padania nazywamy kąt zawarty między promieniem fali padającej, a prostą prostopadłą (normalną) do

płaszczyzny odbijającej.

Kątem odbicia nazywamy kąt zawarty między promieniem fali odbitej, a prostą prostopadła (normalną) do

płaszczyzny odbijającej.

Kąt padania jest równy kątowi odbicia. Promień fali padającej, promień fali odbitej i prosta prostopadła

(normalna) płaszczyzny odbijającej leŜą w jednej płaszczyźnie.

Strona 17 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Odcinki BC i AD muszą być przebyte w tym samym czasie, więc:

II. z zasady Fermata

Z rysunku na podstawie twierdzenia Pitagorasa odczytujemy, Ŝe:

Drogę jaką przebyła fala od punktu A do B oznaczamy literą d:

Obliczamy czas, w którym fala pokonała drogę z punktu A do B:

Obliczamy pochodną z t:

Strona 18 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Obliczoną pochodną przyrównujemy do zera, gdyŜ funkcja osiąga maksimum lub minimum, gdy jej pochodna ma
wartość zero.

Z rysunku odczytujemy wartość funkcji sinus dla obu kątów zaznaczonych na rysunku:

A następnie wstawiamy je do wyŜej otrzymanego wzoru i uzyskujemy:

Załamanie fal mechanicznych

Fala ulega załamaniu, gdy przechodzi z jednego ośrodka do drugiego.

PRAWO ZAŁAMANIA

Wyprowadzenie prawa załamania:

I. geometrycznie

Fala musi pokonać drogę BC w jednym ośrodku w tym samym czasie co drogę AD w drugim ośrodku.

Stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania, zwany współczynnikiem załamania n ośrodka

drugiego względem pierwszego, jest równy stosunkowi prędkości rozchodzenia się fali w ośrodku pierwszym

do prędkości rozchodzenia się fali w ośrodku drugim. w obu ośrodkach. Promień fali padającej, promień fali

załamanej i prosta prostopadła (normalna) do granicy ośrodków leŜą w jednej płaszczyźnie.

Strona 19 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Przekształcamy równanie i otrzymujemy:

II. z zasady Fermata

Z rysunku na podstawie twierdzenia Pitagorasa odczytujemy, Ŝe:

Drogę jaką przebyła fala od punktu A do B oznaczamy literą s:

Obliczamy czas, w którym fala pokonała drogę z punktu A do B:

Obliczamy pochodną z t:

Obliczoną pochodną przyrównujemy do zera, gdyŜ funkcja osiąga maksimum lub minimum, gdy jej pochodna ma
wartość zero.

Strona 20 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Z rysunku odczytujemy wartość funkcji sinus dla obu kątów zaznaczonych na rysunku:

A następnie wstawiamy je do wyŜej otrzymanego wzoru i uzyskujemy:

Fala stojąca

Szczególnym  przypadkiem  interferencji  fal  jest  powstawanie  fali  stojącej,  będącej  wynikiem  nakładania  się
dwóch  fal  o  jednakowych  amplitudach,  częstościach  i  prędkościach,  rozchodzących  się  w  przeciwnych
kierunkach.

Falę  stojącą  moŜna  otrzymać  najprościej  na  naciągniętym  spręŜystym  sznurze.  Jeśli  jeden  z  jego  końców  tego
sznura  wprawimy  w  ruch  drgający  harmoniczny,  to  biegnąca  wzdłuŜ  niego  fala,  po  dotarciu  do  punktu
zamocowania  sznura  odbije  się  od  niego,  przy  czym  fala  odbita  ma  tę  samą  częstotliwość  i  amplitudę,  co
pierwotna  fala,  lecz  porusza  się  w  przeciwnym  kierunku.  W  wyniku  nakładania  się  fali  pierwotnej  i  fali  odbitej
cząsteczki sznura uzyskują, w zaleŜności od ich połoŜenia wzdłuŜ kierunku rozchodzenia się fali, róŜne amplitudy
drgań,  zawarte  w  granicach  od  zera  do  wartości  podwójnej  amplitudy  fali  pierwotnej.  Drgania  te  nazywamy
właśnie falą stojącą.

Strona 21 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

Długość ośrodka musi być równa całkowitej wielokrotności połowy długości fali.

Wyprowadźmy równanie fali stojącej oraz warunki na strzałki i węzły. Skorzystamy z równania fali:

Zgodnie z definicją fali stojącej dodajemy równania obu fal:

Korzystamy ze wzoru na sumę funkcji trygonometrycznych:

Otrzymaliśmy  wzór  równania  fali  stojącej,  z  którego  moŜemy  wyprowadzić  warunki  na  węzeł  i  strzałkę  fali
stojącej.

WĘZEŁ

Fala stojąca jest węzłem, gdy odległość jest równa nieparzystej wielokrotności ćwiartki długości fali.

WykaŜmy, Ŝe między dwoma sąsiednimi węzłami jest zawsze połowa długości fali.

Korzystając z powyŜszych równań uzyskamy wzór na róŜnicę odległości między dwoma sąsiednimi węzłami.

Strzałki fali stojącej to punkty o największej amplitudzie drgań.

Węzły fali stojącej to punkty niedrgające (nie wykonujące drgań).

Strona 22 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

STRZAŁKA

Fala stojąca jest strzałką, gdy odległość jest równa całkowitej wielokrotności połowy długości fali.

WykaŜmy, Ŝe między dwoma sąsiednimi strzałkami jest zawsze połowa długości fali.

Energia fali

Fala przenosi energię od źródła drgań, które ją wysyła, przy czym energia ta równowaŜna jest pracy zuŜytej na
zakłócenie  równowagi  cząsteczek  ośrodka,  w  którym  rozchodzi  się  fala  (pomijając  straty  na  pokonanie  oporów
ośrodka).

Badania  wykazały,  Ŝe  energia  E  przenoszona  przez  falę  jest  wprost  proporcjonalna  do  kwadratu  amplitudy  i
kwadratu częstotliwości fali. Stosunek przepływającej energii E do iloczynu powierzchni fali S i czasu t, w którym
przepływa jest miarą natęŜenia fali I.

Jednostką natęŜenia fali w układzie SI jest W/m

W przypadku fali płaskiej rozchodzącej się w ośrodku spręŜystym i wysyłanej przez źródło drgań o stałej mocy (

), natęŜenie fali ma wartość stałą, gdyŜ jej powierzchnia S jest stała.

W przypadku fali kulistej natęŜenie fali w punkcie P odległym o r od źródła drgań O wynosi:

Strona 23 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print

skąd wynika, Ŝe dla źródła drgań o stałej mocy

natęŜenie fali kulistej jest odwrotnie proporcjonalne

do kwadratu odległości od źródła drgań.

W  ośrodkach materialnych,  czyli  w  rzeczywistych  gazach, cieczach  i ciałach  stałych,  w  których  występuje tarcie
międzycząsteczkowe, energia, jaką niesie ze sobą fala, ulega rozproszeniu, jest bowiem zuŜywana na pokonanie
tarcia  i  zamienia  się  na  ciepło.  Wskutek  rozpraszania  energii  amplituda  fali  maleje  ze  wzrostem  odległości  od
źródła drgań. Taka fala nosi nazwę fali zanikającej lub gasnącej.

Strona 24 z 24

Fizyka w szkole - Ruch drgający i falowy - wersja do wydruku

2007-05-16

http://fizyka.kopernik.mielec.pl/fizyka/Ruch_drgajacy_i_falowy/print