Wykład 13

13. Ruch drgający

Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus i cosinus. Ruch sinusoidalny jest powszechną formą ruchu obserwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki.

1. Siła harmoniczna

Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub siłą sprężystości. Jeżeli obierzemy oś x wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest wyrażona równaniem

F = - kx (13.1)

gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywieraną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości. To jest prawo Hooke'a.

Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m (zaczepiona do sprężyny) znalazła się w położeniu x = A, a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu będzie dane równaniem

x = Acosωt

Sprawdźmy czy to jest dobry opis ruchu. Dla t = 0, x = A tzn. opis zgadza się z założeniami. Z II zasady dynamiki Newtona wynika, że

- kx = ma

czyli

- kx = m(dv/dt)

wreszcie

- kx = m(d²x/dt²) (13.2)

Równanie takie nazywa się równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Staramy się "odgadnąć" rozwiązanie i następnie sprawdzić nasze przypuszczenia. Zwróćmy uwagę, że rozwiązaniem jest funkcja x(t), która ma tę właściwość, że jej druga pochodna jest równa funkcji ale ze znakiem "-". Zgadujemy, że może to być funkcja x = Acosωt i sprawdzamy

dx/dt = v = - Aωsinωt (13.3)

d²x/dt² = a = - Aω²cosωt (13.4)

Podstawiamy ten wynik do równania (13.2)

(- kAcosωt) = m(- Aω²cosωt)

i otrzymujemy

ω² = k/m (13.5)

Widzimy, że x = Acosωt jest rozwiązaniem równania (13.2) ale tylko gdy
.

Zwróćmy uwagę, że funkcja x = Asinωt jest również rozwiązaniem równania ale nie spełnia warunku początkowego bo gdy t = 0 to x = 0 (zamiast x = A).

Najogólniejszym rozwiązaniem jest

x = Asin(ωt + ϕ) (13.6)

gdzie ϕ jest dowolną stałą fazową. Stałe A i ϕ są określone przez warunki początkowe.

Wartości maksymalne (amplitudy) odpowiednich wielkości wynoszą:

• dla wychylenia A

• dla prędkości ωA (występuje gdy x = 0)

• dla przyspieszenia ω²A (występuje gdy x = A)

1. Okres drgań

Funkcja cosωt lub sinωt powtarza się po czasie T dla którego ωT = 2π. Ta szczególna wartość czasu jest zdefiniowana jako okres T

T = 2π/ω (13.7)

Liczba drgań w czasie t jest

n = t/T

Gdy podzielimy obie strony przez t, otrzymamy liczbę drgań w jednostce czasu




Lewa strona równania jest z definicji częstotliwością drgań f




Dla ruchu harmonicznego więc otrzymujemy


(13.8)

Jest to okres drgań masy m przyczepionej do końca sprężyny o stałej sprężystości k.

Przykład 1

Dwie masy, m₁ i m₂, są przyczepione do przeciwnych końców sprężyny. Jaki będzie okres drgań, gdy rozciągniemy sprężynę, a następnie zwolnimy obie masy jednocześnie? Stała sprężyny wynosi k.

Niech x₁ będzie przesunięciem masy m₁ od położenia równowagi, a x₂ odpowiednim przesunięciem masy m₂. Zauważmy, że środek masy musi pozostawać nieruchomy.

Zatem

m₁x₁ = - m₂x₂, czyli


Zastosujmy teraz do wybranej masy np. m₂ równanie F_wypadkowa = ma. Siłą wypadkową, działającą na m₂ jest siła F = - k (x₂ - x₁) gdzie (x₂ - x₁) jest wypadkowym rozciągnięciem sprężyny.




Podstawiamy teraz
zamiast x₁ i otrzymujemy




czyli




więc




gdzie μ = m₁m₂/(m₁ + m₂) jest z definicji masą zredukowaną. To jest równanie jakie już rozwiązywaliśmy, w którym zamiast x jest x₂ a zamiast m jest μ.

Tak więc
czyli




Zwróćmy uwagę, że okres drgań harmonicznych T jest niezależny od amplitudy drgań A (o ile jest spełnione prawo Hooke'a). Tę właściwość drgań harmonicznych prostych zauważył Galileusz i wykorzystał ją do skonstruowania zegara wahadłowego.

2. Wahadła

1. Wahadło proste

Wahadło proste jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej, zawieszone na cienkiej, nieważkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi to zaczyna się ono wahać w płaszczyźnie poziomej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy. Znajdźmy okres tego ruchu.


Rysunek przedstawia wahadło o długości l i masie m, odchylone o kąt θ od pionu. Na masę m działają: siła przyciągania grawitacyjnego mg i naprężenia nici N. Siłę mg rozkładamy na składową radialną i styczną. Składowa styczna jest siłą przywracającą równowagę układu i sprowadza masę m do położenia równowagi. Siła ta wynosi

F = mgsinθ

Podkreślmy, że siła jest proporcjonalna do sinθ, a nie do θ, więc nie jest to ruch prosty harmoniczny. Jeżeli jednak kąt θ jest mały (mniejszy niż 10°) to sinθ jest bardzo bliski θ (różnica mniejsza niż 0.5%). Przemieszczenie wzdłuż łuku (z miary łukowej kąta) wynosi x = lθ. Przyjmując zatem, że sinθ ≅ θ otrzymujemy




F jest więc proporcjonalna do przemieszczenia (ze znakiem "-"). Jest to kryterium ruchu harmonicznego. Stała mg/l określa stałą k w równaniu F = - kx. Przy małej amplitudzie okres wahadła prostego wynosi więc


(13.9)

Zauważmy, że okres wahadła nie zależy od amplitudy i od masy wahadła.

2. Wahadło fizyczne

Dowolne ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać wokół pewnej osi przechodzącej przez to ciało nazywamy wahadłem fizycznym.


P jest punktem zawieszenia ciała a punkt S, znajdujący się w odległości l od punkt P, jest środkiem masy. Moment siły τ działający na ciało wynosi

τ = - mglsinθ

Korzystając ze związku

τ = Iα =I(d²θ /dt²)

otrzymujemy




Dla małych wychyleń, dla których sinθ ≅ θ dostajemy równanie




To równanie ma tę samą postać co równanie dla ruchu harmonicznego więc




lub


(13.10)

Jako przypadek szczególny rozpatrzmy masę punktową zawieszoną na nici o długości l. Wówczas I = ml² i otrzymujemy znany wzór dla wahadła prostego




Wahadło fizyczne stosuje się do precyzyjnych pomiarów przyspieszenia g.

3. Energia ruchu harmonicznego prostego

Energią potencjalną sprężyny zajmowaliśmy się na wykładzie 6 przy okazji dyskusji o pracy wykonywanej przez siły zmienne. Pokazaliśmy wtedy, że energia potencjalna (nagromadzona) sprężyny


(13.11)

Jeżeli masę przymocowaną do sprężyny pociągniemy na odległość x = A to energia układu (nagromadzona w układzie) jest równa (1/2)kA² (E_k = 0). Jeżeli teraz zwolnimy sprężynę, to przy założeniu, że nie ma tarcia ani sił oporu, zgodnie z zasadą zachowania energii w dowolnej chwili suma energii kinetycznej i potencjalnej równa się (1/2)kA²


(13.12)

stąd




Ponieważ k/m = ω² więc




Obliczmy teraz wartości średnie czasowe) energii potencjalnej i kinetycznej. (Wartości średnie oznaczamy kreską umieszczoną ponad symbolem.)




czyli




Natomiast




czyli




Wartość średnia
jest taka sama jak
i wynosi 1/2. Oba wykresy są takie same (tylko przesunięte). Poza tym sin²ωt + cos²ωt = 1 i średnia każdego składnika jest taka sama. Widać, że




(Ważne gdy będziemy omawiać ciepło właściwe.)

Przykład 2

Obliczmy jaką część energii całkowitej stanowi energia potencjalna, a jaką energia kinetyczna ciała, kiedy znajduje się ono w połowie drogi między położeniem początkowym, a położeniem równowagi?

x = A/2

więc

E_p = kx²/2 = kA²/8

Ponieważ energia całkowita

E = kA²/2

więc

E_p/E = 1/4

Ponieważ

E = E_p + E_k

więc

E_k/E = 3/4

4. Oscylator harmoniczny tłumiony

Dotychczas pomijaliśmy fakt ewentualnego tłumienia oscylatora tzn. strat energii układu oscylatora.

W przypadku drgań mechanicznych siłą hamującą (tłumiącą) ruch cząstki jest siła oporu F_op ośrodka. Siła oporu ma zwrot przeciwny do prędkości i w najprostszej postaci jest wprost proporcjonalna do prędkości F_op ≈ v czyli

F_op = γ dx/dt (13.13)

Gdy działa tylko siła tłumienia to




lub




Jeżeli wprowadzimy zmienną (o wymiarze czasu)

τ = M/γ

to otrzymamy równanie

dv/dt = - (1/τ)v

co można przepisać w postaci

dv/v = - dt/τ

Całkujemy to równanie obustronnie




Skąd otrzymujemy

lnv - lnv₀ = - (t/τ)

lub

ln(v/v₀) = - (t/τ)




a po przekształceniu


(13.14)

Prędkość maleje wykładniczo z czasem czyli prędkość jest tłumiona ze stałą czasową τ (rysunek obok).

Jeżeli włączymy siłę hamującą do oscylatora to wówczas równanie ruchu przyjmie postać




Wprowadzając τ = M/γ oraz oznaczając częstość drgań nietłumionych ω₀² = (k/M) otrzymujemy


(13.15)

Szukamy rozwiązania w postaci drgań okresowo zmiennych tłumionych np.


(13.16)


Rozwiązanie zawiera czynnik oscylacyjny (cost) i tłumiący (exp(-t/2τ) i jest pokazane na rysunku poniżej.

Teraz obliczamy odpowiednie pochodne (13.16) i podstawiamy do równania (13.15). W wyniku rozwiązania dostajemy warunek na częstość drgań tłumionych


(13.17)

Opór zmniejsza więc (oprócz amplitudy) również i częstość.

1. Straty mocy, współczynnik dobroci

Współczynnik dobroci Q jest definiowany jako


(13.18)

gdzie P jest średnią stratą mocy, a v częstotliwością.

Dla przypadku słabo tłumionego oscylatora harmonicznego (ω₀τ >> 1) współczynnik Q ma w przybliżeniu wartość ω₀τ.

Kilka typowych wartości Q podano w tabeli

Oscylator	Q
Ziemia dla fali sejsmicznej Struna fortepianu lub skrzypiec Atom wzbudzony Jądro wzbudzone	250-400 1000 10^7 10^12

5. Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego

Jeżeli oprócz tarcia istnieje siła zewnętrzna F(t) (która ma za zadanie podtrzymywać gasnące drgania) przyłożona do oscylatora to równanie ruchu ma postać


(13.19)

albo po podstawieniu

τ = M/γ oraz ω₀² = k/M

otrzymujemy


(2.20)

W tym wzorze ω₀ jest częstością własną układu, gdy nie działa siła zewnętrzna i nie ma tarcia.

Gdy układ jest zasilany częstością ω różną od ω₀ wówczas drgania będą odbywały się z częstością siły zewnętrznej a nie z częstością własną. Siłę taką nazywamy siłą wymuszającą.

Załóżmy, że siła wymuszająca ma postać


(13.21)

gdzie α₀ = F₀/M.


Mamy teraz w równaniu dwie wielkości okresowo zmienne położenie x oraz siłę wymuszającą F. W najogólniejszym przypadku suma (złożenie) dwóch funkcji okresowych daje w wyniku też funkcję okresową (rysunek).

A₁cosωt + A₂sinωt = Asin(ωt + ϕ)

Szukamy więc rozwiązania tej postaci.

Musimy znaleźć amplitudę A oraz przesunięcie fazowe ϕ.

Najpierw zdefiniujmy jednak przesunięcie fazowe ϕ. Zarówno siła wymuszająca jak i wychylenie zmieniają się cyklicznie (harmonicznie) tzn. pełny cykl np. od maksimum do maksimum obejmuje 360° czyli 2π.

Przesunięcie fazowe ϕ mówi nam o jaki kąt maksimum przemieszczenia wyprzedza maksimum siły (o ile przesunięte są wykresy x(t) i F(t)).

Np. siła osiąga swoje maksimum gdy przemieszczenie jest równe zeru (i rośnie w kierunku dodatnim). Oznacza to, że x opóźnia się względem siły o π/2.

Poszukiwanie rozwiązania zaczynamy od obliczenia pochodnych

dx/dt= ωAcos(ωt + ϕ), oraz d²x/dt² = -ω²Asin(ωt + ϕ)

Równanie ruchu ma teraz postać

(ω₀² - ω²) Asin(ωt + ϕ) + (ω/τ)Acos(ωt + ϕ) = α₀sinωt

Równanie to przekształcamy korzystając ze związków

sin(ωt + ϕ) = sinωt cosϕ + cosωt sinϕ

cos(ωt + ϕ) = cosωt cosϕ - sinωt sinϕ

Wtedy otrzymujemy

[(ω₀² - ω²)cosϕ - (ω/τ)sinϕ] Asinωt + [(ω₀² - ω²)sinϕ - (ω/τ)cosϕ] Acosωt = α₀sinωt

Równanie to może być tylko spełnione gdy czynniki przy sinωt będą sobie równe, a czynnik przy cosωt będzie równy zeru. Ten ostatni warunek można zapisać jako


(13.22)

Z tego warunku znam już ϕ. Teraz możemy wyznaczyć amplitudę


(13.23)

gdzie już podstawiono za cosϕ i sinϕ. Łącząc wzory (13.22) i (13.23) otrzymujemy rozwiązanie


(13.24)

(Wygląda skomplikowanie ale to jest rozwiązanie postaci x = Asin(ωt + ϕ)).

1. Rezonans

Zauważmy, że gdy siła wymuszająca działa na ciało z pewną charakterystyczną częstotliwością _r




to amplituda drgań osiąga wartość maksymalną. Zjawisko to nazywamy rezonansem. Maksymalna amplituda wynosi




Widać, że im mniejsze tłumienie (większe τ) tym większa amplituda A. Jeżeli tłumienie jest słabe (ω₀τ >> 1) to wówczas maksymalna amplituda odpowiada częstości drgań własnych ω_r = ω₀. Jednocześnie, ten warunek odpowiada przesunięciu fazowemu ϕ = π/2 pomiędzy siłą a wychyleniem. Siła nie jest zgodna w fazie z wychyleniem. Zauważmy jednak, że moc pochłaniana przez oscylator zasilany siłą wymuszającą F zależy od prędkości

P = Fv

Trzeba więc, żeby to prędkość (a nie wychylenie) była zgodna w fazie z siłą, a to oznacza, że siła musi wyprzedzać wychylenie o π/2. Gdy x = 0 to v = v_max i wtedy siła też ma być maksymalna. W punktach zwrotnych, gdzie prędkość zmienia swój kierunek, siła też musi zmienić swój kierunek (siła działa cały czas to nie są impulsy tak jak np. przy pchaniu huśtawki).

Skutki rezonansu mogą być zarówno pozytywne jak i negatywne. Z jednej strony staramy się wyeliminować przenoszenie drgań np. z silnika na elementy nadwozia w samochodzie, a z drugiej strony działanie odbiorników radiowych i telewizyjnych jest możliwe dzięki wykorzystaniu rezonansu elektrycznego. Dostrajając odbiornik do częstości nadajnika spełniamy właśnie warunek rezonansu. Zjawisko rezonansu jest bardzo rozpowszechnione w przyrodzie.

2. Moc absorbowana

Średnia moc absorbowana jest dana wyrażeniem




Korzystając ze wzoru (13.21), (13.22) i (13.24) otrzymujemy


(13.25)

Zależność mocy absorbowanej od częstości drgań wymuszających jest przedstawiona na rysunku poniżej.


Dla rezonansu P = (1/2) Mα₀²τ . Natomiast dobroć Q = ω₀τ jest miarą dostrojenia układu do częstości wymuszającej.

11-9

13-1










---