Â

WIAT

N

AUKI

Listopad 1996 143

M

atematyka wkracza na sale sà-
dowe. Zwyczajowo s´dziowie
przysi´gli sà instruowani, ˝e

aby uznaç oskar˝onego za winnego prze-
st´pstwa, muszà byç przekonani o jego
winie „ponad zasadnà wàtpliwoÊç”. To
pouczenie ma charakter jakoÊciowy – za-
le˝y od tego, co s´dzia przysi´g∏y uwa-
˝a za zasadne. Przysz∏a cywilizacja mo˝e
próbowaç skwantyzowaç win´, zast´pu-
jàc s´dziów przysi´g∏ych komputerem,
który b´dzie ocenia∏ dowody i oblicza∏
prawdopodobieƒstwo winy. Ale dziÊ nie
mamy jeszcze sàdowych komputerów
i przysi´gli muszà sami zmagaç si´ z teo-
rià prawdopodobieƒstwa.

Dzieje si´ tak m.in. z powodu rosnà-

cej roli testów DNA. Genetyka to nauka
stosunkowo m∏oda, tak wi´c interpreta-
cja dowodów opartych na badaniu DNA
polega na ocenie prawdopodobieƒstwa.
Tego typu problemy mog∏y powstaç, gdy
po raz pierwszy jako dowód sàdowy
dopuszczono odciski palców, ale – jak
mo˝na przypuszczaç – w tamtych cza-
sach adwokaci byli zapewne mniej wy-
kszta∏ceni; w ˝adnym jednak przypad-
ku odciski palców nie sà kwestiono-
wanym dowodem na gruncie rachunku
prawdopodobieƒstwa.

Robert A. J. Matthews, któ-

rego prace na temat „zasady
antropomurphicznej” przed-
stawione zosta∏y par´ miesi´-
cy temu w „Rekreacjach ma-
tematycznych” [Âwiat Nauki,
luty 1996], zauwa˝y∏, ˝e na-
wet pewien bardziej tradycyj-
ny typ dowodu sàdowego
powinien byç analizowany za
pomocà teorii prawdopodo-
bieƒstwa. Chodzi mianowi-
cie o przyznanie si´ do winy.
Dla Tomása de Torquemady,
pierwszego hiszpaƒskiego
wielkiego inkwizytora, przy-
znanie si´ do winy by∏o pe∏-
nym jej dowodem – nawet
gdy zosta∏o wymuszone tor-
turami pod przymusem, jak
to zwykle si´ dzia∏o. Jednà
z najbardziej zaskakujàcych
konkluzji Matthewsa jest ta,
którà nazywa „kardynalnym
b∏´dem Êledczego”: w pew-
nych okolicznoÊciach przy-

znanie si´ oskar˝onego do winy mo˝e
Êwiadczyç raczej o jego niewinnoÊci.

Matthews uwa˝a, ˝e przyznanie si´

do winy w procesach terrorystów –
szkolonych przecie˝ w sk∏adaniu ze-
znaƒ – powinno byç traktowane z du-
˝à dozà sceptycyzmu, chyba ˝e jest po-
parte innymi dowodami. We wspó∏-
czesnej praktyce sàdowej zeznania z∏o-
˝one pod przymusem traktowane sà
z du˝à rezerwà. W Wielkiej Brytanii sze-
reg bardzo g∏oÊnych wyroków w spra-
wach terrorystycznych, opartych na
przyznaniu si´ oskar˝onych do winy,
zosta∏o niedawno uchylonych z powo-
du wàtpliwoÊci, czy zeznania te by∏y
autentyczne.

G∏ównym matematycznym poj´ciem,

na którym opar∏ swoje rozwa˝ania Mat-
thews, jest prawdopodobieƒstwo wa-
runkowe. Za∏ó˝my, ˝e paƒstwo Smith
powiedzieli, i˝ majà dwoje dzieci, z któ-
rych jedno jest dziewczynkà. Jakie jest
prawdopodobieƒstwo tego, ˝e i drugie
dziecko jest dziewczynkà?

Automatyczna odpowiedê to: drugie

dziecko jest dziewczynkà lub ch∏opcem
z tym samym prawdopodobieƒstwem
równym

1

/

2

w obu przypadkach. Jed-

nak˝e sà cztery mo˝liwoÊci rozk∏adu
p∏ci dwojga dzieci: CC, CD, DC oraz
DD, gdzie C i D oznaczajà odpowied-
nio ch∏opca i dziewczynk´, a kolejnoÊç
liter odpowiada kolejnoÊci ich narodzin.
Ka˝da z tych kombinacji jest równie
prawdopodobna, a wi´c ma prawdopo-
dobieƒstwo

1

/

4

. Dok∏adnie w trzech

przypadkach rodzina ma dziewczynk´,
tj. CD, DC oraz DD, ale tylko w jednym
z nich drugie dziecko jest tak˝e dziew-
czynkà. A zatem prawdopodobieƒstwo
posiadania przez paƒstwa Smith dwóch
dziewczynek, obliczone z uwzgl´dnie-
niem warunku, ˝e co najmniej jedno
z ich dzieci jest p∏ci ˝eƒskiej, wynosi

1

/

3

.

Za∏ó˝my, ˝e paƒstwo Smith powie-

dzieli, i˝ ich najstarszym dzieckiem jest
dziewczynka. Jakie jest prawdopodo-
bieƒstwo, ˝e ich najm∏odsze dziecko to
tak˝e dziewczynka? Tym razem sà dwie
mo˝liwoÊci rozk∏adu p∏ci dzieci: DC
oraz DD, a wi´c m∏odsze dziecko jest
dziewczynkà tylko w przypadku DD.
Tak wi´c prawdopodobieƒstwo jest
równe

1

/

2

.

Prawdopodobieƒstwo tego typu na-

zywamy warunkowym: jest to prawdo-
podobieƒstwo pewnego zdarzenia pod
warunkiem, ˝e zasz∏o pewne inne zda-
rzenie. Jak pokazuje przyk∏ad dzieci
paƒstwa Smith, zastosowanie prawdo-
podobieƒstwa warunkowego wymaga

okreÊlenia kontekstu, co mo˝e
mieç istotny wp∏yw na wynik.

By podkreÊliç, jak delikatne

sà to sprawy, przypuÊçmy, ˝e
widzimy paƒstwa Smith w
ogrodzie. Jedno z ich dzieci jest
w sposób widoczny dziew-
czynkà, drugie cz´Êciowo za-
s∏ania pies, tak ˝e nie mo˝emy
okreÊliç jego p∏ci. Jakie jest
prawdopodobieƒstwo, ˝e paƒ-
stwo Smith majà dwie córki?

Mo˝na argumentowaç jak

w pierwszym przypadku,
otrzymujàc prawdopodobieƒ-
stwo

1

/

3

. Mo˝na te˝ przyjàç, ˝e

wiemy tylko, ˝e „dziecko, któ-
re nie bawi si´ z psem, jest
dziewczynkà”. Tak jak w dru-
gim przypadku odpowiedzià
b´dzie

1

/

2

. Paƒstwo Smith wie-

dzà, ˝e dziecko bawiàce si´
z psem ma na imi´ William, a
wi´c prawdopodobieƒstwo po-
siadania przez nich dwóch
dziewczynek jest równe zeru.
Kto ma zatem racj´?

REKREACJE MATEMATYCZNE

Ian Stewart

Kardynalny b∏àd Êledczego

RODZINA PA¡STWA SMITH. Jakie jest prawdopodobieƒstwo,

˝e kl´czàce dziecko jest dziewczynkà?

SUSAN BONNER

144 Â

WIAT

N

AUKI

Listopad 1996

Odpowiedê zale˝y od kontekstu. Czy

wybraliÊmy losowo sytuacj´ charakte-
rystycznà dla wielu rodzin, w których
ka˝de dziecko bawi si´ z psem, czy te˝
spoÊród rodzin, w których tylko jedno
dziecko zawsze bawi si´ z psem? A mo-
˝e przyglàdamy si´ pewnej szczególnej
rodzinie? W którym to przypadku mo-
del jest ca∏kowicie z∏y?

Interpretacja danych statystycznych

wymaga zrozumienia rachunku praw-
dopodobieƒstwa i kontekstu, w którym
go stosujemy. Przez lata adwokaci bez
skrupu∏ów wykorzystywali braki wie-
dzy matematycznej wÊród s´dziów
przysi´g∏ych. Jednym z przyk∏adów jest
interpretacja profili DNA – obecnie do-
brze rozumiana w sàdach – prowadzà-
ca do tzw. kardynalnego b∏´du prokura-
tora. OkreÊlenie profili DNA zosta∏o
wprowadzone przez Aleca J. Jeffreysa
z University of Leicester w roku 1985
i bazuje na tzw. zmiennej liczbie tande-
mowych powtórzeƒ (VNTR – variable
number of tandem repeat) w genotypie
cz∏owieka. W ka˝dym takim obszarze
pewna sekwencja DNA powtarza si´
wielokrotnie. Powszechnie uwa˝a si´,

˝e sekwencje VNTR jednoznacznie iden-
tyfikujà osobnika.

Na potrzeby sàdów naukowcy u˝ywa-

jà standardowej techniki biologii moleku-
larnej do porównania kilku ró˝nych ob-
szarów VNTR w dwóch próbkach DNA
– jednej zwiàzanej z przest´pstwem,
a drugiej pobranej od oskar˝onego. Od-
powiednia liczba zgodnoÊci powinna do-
starczyç przekonujàcego statystycznego
dowodu na to, ˝e obie próbki pochodzà
od jednej i tej samej osoby.

„Kardynalny b∏àd prokuratora” pole-

ga na pomyleniu dwóch ró˝nych praw-
dopodobieƒstw. „Prawdopodobieƒstwo
zgodnoÊci” to odpowiedê na pytanie:
„Jakie jest prawdopodobieƒstwo, ˝e se-
kwencja DNA danej osoby b´dzie zgod-
na z próbkà DNA pobranego z miejsca
przest´pstwa pod warunkiem, ˝e ta oso-
ba jest niewinna?” Ale pytanie, które po-
winien zadaç wysoki sàd, brzmi: „Jakie
jest prawdopodobieƒstwo tego, ˝e po-
dejrzany jest niewinny, jeÊli sekwencje
DNA sà zgodne?” Obydwie odpowie-
dzi sà bardzo ró˝ne.

Zale˝à one jeszcze raz od kontekstu.

W pierwszym przypadku dana osoba

jest poj´ciowo umieszczana w du˝ej po-
pulacji wybranej na potrzeby nauki.
W drugim – umieszczona w mniej pre-
cyzyjnie zdefiniowanej, lecz bardziej
adekwatnej grupie osób, które mog∏y
dokonaç przest´pstwa.

O zastosowaniu prawdopodobieƒstw

warunkowych w takich okolicznoÊciach
decyduje twierdzenie przypisywane
Anglikowi Thomasowi Bayesowi. Niech
A i C b´dà zdarzeniami o prawdopodo-
bieƒstwie odpowiednio P(A) i P(C).
Oznaczmy przez P(A|C) prawdopodo-
bieƒstwo zdarzenia A pod warunkiem,
˝e zdarzenie C na pewno zasz∏o. Niech
A & C oznacza przypadek, w którym
jednoczeÊnie zasz∏y zdarzenia A i C.
Wtedy twierdzenie Bayesa mówi, ˝e
P(A|C) = P(A & C)/P(C).

1

Na przyk∏ad w przypadku dzieci

paƒstwa Smith w pierwszym scenariu-
szu mamy:

C = co najmniej jedno z dzieci jest

dziewczynkà

A = drugie dziecko jest dziewczynkà
P(C) =

3

/

4

P(A & C) =

1

/

4,

poniewa˝ A & C jest tak˝e zdarzeniem
„dwójka dzieci to dziewczynki”, czyli
DD. Wtedy twierdzenie Bayesa mówi:
prawdopodobieƒstwo tego, i˝ to dru-
gie dziecko jest dziewczynkà pod wa-
runkiem, ˝e jedno z nich jest dziewczyn-
kà, jest równe (

1

/

4

)/(

3

/

4

) =

1

/

3

; t´ samà

wartoÊç otrzymaliÊmy wczeÊniej. Po-
dobnie w drugim scenariuszu twierdze-
nie Bayesa daje odpowiedê

1

/

2

, tj. takà

samà, jakà otrzymaliÊmy wczeÊniej.

W przypadku wersji z przyznaniem si´

do winy Matthews oznacza

A = oskar˝ony jest winny
C = on (ona) przyzna∏(a) si´ do winy
W rozumowaniu typu Bayesa P(A)

oznacza pierwsze (wczeÊniejsze) praw-
dopodobieƒstwo faktu, ˝e „oskar˝ony
jest winny”, tj. prawdopodobieƒstwo
winy oskar˝onego otrzymane na pod-
stawie dowodów uzyskanych przed
przyznaniem si´ do winy. Niech A’
oznacza zaprzeczenie zdarzenia A, tj.
„oskar˝ony jest niewinny”.

Wtedy (na podstawie obliczeƒ prze-

prowadzonych w ramce powy˝ej) Mat-
thews otrzymuje nast´pujàcy wzór

P(A|C) = p/[p+r(1–p)],

2

gdzie p

oznacza P(A), a r = P(C|A’)/P(C|A),
i jest to tzw. iloraz przyznania si´ do wi-
ny. P(C |A’) to prawdopodobieƒstwo
zdarzenia, ˝e osoba niewinna przyzna si´
do winy, a P(C|A) prawdopodobieƒstwo,
˝e osoba winna przyzna si´ do winy.
A zatem iloraz przyznania si´ do winy
jest mniejszy ni˝ jeden, jeÊli osob´
niewinnà uznamy za mniej sk∏onnà do
przyznania si´ do winy ni˝ osob´ winnà.
Gdy przyznanie si´ do winy ma zwi´k-

P

ó∏ roku temu [Âwiat Nauki, maj 1996] opisana zosta∏a gra planszowa w kwady
wymyÊlona przez G. Keitha Stilla. (Jak sam twierdzi, woli on pisowni´ „Quod”,

tak jak w quod erat demonstrandum oznaczajàcym „co nale˝a∏o udowodniç”.) Gra
ta zdoby∏a wielu zwolenników. David Weiblen z Reston (Wirginia) napisa∏ do niej pro-
gram komputerowy oparty na strategii oceny pozycji zgodnie z zasadami, które sà
odbiciem ich widocznej si∏y.

W symulacjach Weiblena zawsze wygrywa∏ pierwszy gracz. Ta obserwacja przy-

wiod∏a go do pytania, jak interesujàca jest w rzeczywistoÊci ta gra. Z kolei mnie na-
sun´∏o to pytanie, czy jego zasady oceny sytuacji prowadzà do najlepszych rozwiàzaƒ.
Stwierdza on tak˝e, ˝e istniejà dok∏adnie 1173 mo˝liwe kwadraty – liczba potwierdzo-
na przez Lesa Reida z Southwest Missouri State University, który przypomina, ˝e
problem ten zosta∏ umieszczony na internetowej stronicy Wydzia∏u Matematyki te-
go˝ uniwersytetu (http://science.smsu.edu/math/index.html). Rozwiàzania zosta∏y
nades∏ane przez Michaela Kennedy’ego z University of Kansas, Kena Duisenberga
z Hewlett-Packard oraz Denisa Borrisa z Ottawy w Ontario. Borris uogólni∏ wynik na
przypadek n x n, wtedy odpowiedzià jest (n

4

– n

2

– 48n + 84)/12; Duisenberg roz-

strzygnà∏ tak˝e przypadek m x n.

SPRZ¢˚ENIE ZWROTNE

Z twierdzenia Bayesa mamy

P

(A | C) = P(A & C)/P(C)

i podobnie

P

(C | A) = P(C & A)/P(A).

Ale C & A = A & C, tak wi´c mo˝emy po-
∏àczyç oba równania i otrzymamy

P

(A | C) = P(C | A)P(A)/P(C).

Co wi´cej,

P

(C) = P(C | A)P(A) + P(C | A’)P(A’),

poniewa˝ musi zajÊç albo A, albo A’, ale

nigdy oba zdarzenia nie zajdà jednocze-
Ênie. Na koniec

P

(A’) = 1–P(A).

¸àczàc wszystko razem otrzymujemy

P

(A | C) = P(A)/[P(A)+

P

(C | A’)P(A’ )/P(C | A)].

JeÊli zastàpimy P(A) przez p oraz

P

(C | A’)/P(C | A) przez r,

to

P

(A | C) = p/[p+r(1–p)].

Wyprowadzenie formu∏y Matthewsa

szyç prawdopodobieƒstwo winy, to
P(A|C) musi byç wi´ksze ni˝ P(A) = p.
Potrzebujemy zatem, by p/[p+r(1–p)]>p,
co po krótkich obliczeniach daje r < 1.
Podsumowujàc: przyznanie si´ do winy
zwi´ksza prawdopodobieƒstwo winy
wtedy i tylko wtedy, gdy osoba niewin-
na jest mniej sk∏onna do przyznania si´
do winy ni˝ osoba winna.

Jednà z konsekwencji tego stwierdze-

nia jest w∏aÊnie fakt, ˝e czasami przyzna-
nie si´ do winy mo˝e zmniejszyç praw-
dopodobieƒstwo winy oskar˝onego, na
przyk∏ad zawsze wtedy, gdy osoba nie-
winna jest bardziej sk∏onna do przyzna-
nia si´ do winy ni˝ osoba winna. Sytu-
acja taka mo˝e si´ zdarzyç w przypadku
procesów terrorystów. Analizy psycho-
logiczne wskazujà, ˝e osoby bardziej po-
datne na wp∏yw innych lub w ogóle bar-
dziej uleg∏e, sà bardziej sk∏onne do
przyznania si´ do winy podczas prze-
s∏uchaƒ. TerroryÊci rzadko majà ten typ
charakteru, sà oni çwiczeni w metodach
nieulegania presji w trakcie Êledztwa.
Jest zatem prawdopodobne, ˝e dok∏adnie
z takim w∏aÊnie przypadkiem – samo-
oskar˝enia – mieli do czynienia s´dzio-
wie w procesach, które zosta∏y niedaw-
no uniewa˝nione w Wielkiej Brytanii.

Bayesowska analiza uwidacznia tak-

˝e pewne inne sprzeczne z intuicjà w∏a-
ÊciwoÊci dowodów sàdowych. Za∏ó˝-
my na przyk∏ad, ˝e wst´pne dowody

winy (X) zosta∏y uzupe∏nione dodatko-
wymi dowodami winy (Y). Prawie na
pewno s´dziowie przysi´gli b´dà uwa-
˝aç, ˝e w tym przypadku zwi´kszy∏o
si´ ˆ prawdopodobieƒstwo winy oskar-
˝onego. Ale pradopodobieƒstwo winy
nie roÊnie w ten sposób. W rzeczywi-
stoÊci nowe dowody pot´gujà prawdo-
podobieƒstwo winy tylko wtedy, gdy
prawdopodobieƒstwo nowych dowo-
dów pod warunkiem uwzgl´dnienia sta-
rych dowodów i winy oskar˝onego jest
wi´ksze ni˝ prawdopodobieƒstwo no-
wych dowodów pod warunkiem starych
dowodów i niewinnoÊci oskar˝onego.

Gdy oskar˝enie zale˝y od przyzna-

nia si´ do winy, mogà zdarzyç si´ dwie
ró˝ne rzeczy. Po pierwsze, oznaczmy
przez X przyznanie si´ do winy i przez
Y dowody znalezione dzi´ki temu ze-
znaniu – na przyk∏ad odkrycie cia∏a ofia-
ry tam, gdzie wskaza∏ oskar˝ony. Po-
niewa˝ osoba niewinna bardzo rzadko
mo˝e dostarczyç takiej informacji, zgod-
nie z rozwa˝aniami Bayesa prawdopo-
dobieƒstwo winy oskar˝onego si´
zwi´kszy∏o. Tak wi´c dowody wspiera-
jàce zale˝ne od prawdziwoÊci przyzna-
nia si´ do winy zwi´kszajà prawdopo-
dobieƒstwo winy.

Z drugiej jednak strony X mo˝e byç

odkryciem cia∏a ofiary, a Y przyznaniem
si´ do winy po tym fakcie. W tym przy-
padku dostarczony dowód nie zale˝y

od przyznania si´ do winy oskar˝onego
i nie mo˝e byç potwierdzeniem tego ze-
znania. Pomimo to nie ma „kardynal-
nego b∏´du odnalezienia cia∏a”, nato-
miast istnieje kardynalny b∏àd Êled-
czego, poniewa˝ trudno argumentowaç,
˝e osoba niewinna jest bardziej sk∏on-
na przyznaç si´ do winy, gdy dowie si´,
˝e cia∏o ofiary zosta∏o odkryte, ni˝ oso-
ba winna.

OczywiÊcie nierozsàdne by∏oby su-

gerowanie, ˝eby ka˝dy potencjalny s´-
dzia przysi´g∏y zaliczy∏ kurs wniosko-
wania Bayesowskiego, ale wydaje si´
ca∏kowicie mo˝liwe, by s´dzia instru-
owa∏ ∏aw´ przysi´g∏ych o pewnych pod-
stawowych zasadach. Co wi´cej, te same
zasady stosujà si´ do testów DNA, ale
okolicznoÊci sà jeszcze bardziej intuicyj-
ne dla s´dziów przysi´g∏ych. Krótkie
przedstawienie kardynalnego b∏´du
Êledczego mo˝e byç wspania∏ym spo-
sobem, by zniech´ciç adwokatów do
sk∏adania fa∏szywych oÊwiadczeƒ do-
tyczàcych dowodów DNA.

T∏umaczyli

Zdzis∏aw Pogoda i Rober Wolak

Przypisy t∏umaczy:

1

W literaturze polskiej (i nie tylko) twierdzeniem

Bayesa nazywa si´ inny wzór; to, co Autor okreÊla
wzorem Bayesa, uwa˝a si´ za definicj´ prawdopo-
dobieƒstwa warunkowego.

2

Ten wzór jest najbardziej zbli˝ony do wzoru Ba-

yesa podawanego w literaturze.

FANTASY ● SCIENCE FICTION ● HORROR

INDEKS 358452

10 (57) 1996

CENA 3,50 Z¸ (35 000 Z¸)

GWIEZDNA ESKADRA

Uwolnij swój umys∏ i wybierz si´

w podró˝ do granic wyobraêni

W najnowszym numerze „Fenixa”

10(57)1996

MIROS¸AWA S¢DZIKOWSKA

JERZY NOWOSAD

PETER S. BEAGLE

ÂWIATOS¸AW ¸OGINOW

URSZULA SEWERY¡SKA

ponadto:

WOJTEK BIREK

PAULINA BRAITER

PAWE¸ ZIEMKIEWICZ

MAREK ORAMUS

oraz

dziesiàta cz´Êç

interaktywnej gry

HITALIA

Inne pisma poinformujà Ci´ o tym,

co si´ dzieje na Êwiecie,

FENIX pozwoli Ci o tym zapomnieç.