2011-02-27
POWTÓRKA Z I SEMESTRU
Z.KASPERSKI, t.2 1
Z.KASPERSKI, t.2 2
1
2011-02-27
Pochodne cząstkowe funkcji n zmiennych
n=2
z =� f (x, y)
określona w otoczeniu Q punktu Po =� (x(o) , y(o) )
D�x
przyrost zmiennej niezależnej x
D�y
przyrost zmiennej niezależnej y
D� z =� D� f =� f (x +� D�x, y) -� f (x, y)
przyrost cząstkowy funkcji dwóch zmiennych x i y względem zmiennej x przy y=const.
x x
D� z =� D� f =� f (x, y +� D�y) -� f (x, y) przyrost cząstkowy funkcji dwóch zmiennych y i x względem zmiennej y przy x=const.
y y
przyrost funkcji dwóch zmiennych y i x (przyrost całkowity)
D�z =� D�f =� f (x +� D�x, y +� D�y) -� f (x, y)
Def.
ś�f D�x f f (x +� D�x, y) -� f (x, y)
=� =�
Pochodna cząstkowa funkcji dwóch zmiennych x i y względem zmiennej x lim lim
ś�x D�x D�x
D�x��0 D�x��0
jeżeli granica właściwa (skończona) istnieje
D� f
ś�f f (x, y +� D�y) -� f (x, y)
y
=� =�
analogicznie lim lim
ś�y D�y D�y
D�y��0 D�y��0
Pochodną liczymy tak samo jak dla funkcji jednej zmiennej zakładając, że druga zmienna jest stała
(jest parametrem)
Z.KASPERSKI, .3
Z.KASPERSKI, t.2 3
3
Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych
)
)
5��5�S�
5�e�0, 5�f�0 = 5�a�5�Tܲ = 5��2 (5�f�0)
5��5�f�
5��5�S�
5�e�0, 5�f�0 = 5�a�5�T�5��� = 5��2 (5�e�0)
5��5�e�
Z.KASPERSKI, t.2 4
2
2011-02-27
P1. Policzyd pochodne
cząstkowe
1
ó�
12. (arccos x) =� -�
1-� x2
1
ó�
13. (arctgx) =�
1 +� x2
1
ó�
14 (arcctgx) =� -�
1 +� x2
pochodne funkcji złożonych
(�g( f (x))�'=� g'(�f (�x)�)�� f '(�x )�
Z.KASPERSKI, t.2 5
POCHODNE CZ
STKOWE WYŻSZYCH RZ
DÓW
Pochodne rzędu drugiego:
ś� ś�f ś�2 f ś� ć� ś�f �� ś�2 f
ć� ��
'' ''
=� �� fxx �� �� =� �� fyy
�� ��
- pochodne czyste,
�� ��
ś�x ś�x ś�x2 , ś�y ś�y ś�y2
Ł� ł�
Ł� ł�
ś� ć� ś�f �� ś�2 f ś� ś�f ś�2 f
ć� ��
'' ''
�� �� =� �� fxy =� �� fyx - pochodne mieszane.
�� ��
,
�� ��
ś�x ś�y ś�xś�y ś�y ś�x ś�yś�x
Ł� ł�
Ł� ł�
Pochodne rzędu trzeciego:
ć� �� ć� ��
ś� ś�2 f ś�3 f ś� ś�2 f ś�3 f
�� �� =� �� �� =�
np. , itd.
�� �� �� ��
ś�x ś�xś�y ś�x2ś�y ś�y ś�xś�y ś�yś�xś�y
Ł� ł� Ł� ł�
P2. Policzyd pochodne rzędu drugiego dla funkcji 5�S� 5�e�, 5�f� = 5�e�3 sin 5�f�
Z.KASPERSKI, t.2 6
3
2011-02-27
n>2
( ( (
z =� f (x1, x2,..., xn ) określona w otoczeniu Q punktu
Po =� (x1o) , x2o) ,..., xno) )
D�xk
przyrost zmiennej niezależnej xk
D�x z =� D�xk f =� f (x1, x2,..., xk +� D�xk ,..., xn ) -� f (x1, x2 ,..., xk ,..., xn )
k przyrost cząstkowy funkcji n zmiennych względem zmiennej xk
D�z =� D�f =� f (x1 +� D�x1, x2 +� D�x2 ,..., xn +� D�xn ) -� f (x1, x2,..., xn )
przyrost funkcji n zmiennych (przyrost całkowity)
Def.
Pochodna cząstkowa funkcji n zmiennych względem zmiennej xk
D�x f
ś�f f (x1, x2 ,..., xk +� D�xk ,..., xn ) -� f (x1, x2 ,..., xk ,..., xn )
k
=� =�
lim lim
ś�xk D�x��0 D�xk D�xk ��0 D�xk
jeżeli granica właściwa (skończona) istnieje
Różniczkowanie  można stosować wszystkie metody dla funkcji jednej zmiennej
Różne oznaczenia pochodnej cząstkowej
ś�z ś�f ś�
'
, , f , f , f , ś�k f , fk'
ś�xk ś�xk ś�xk xk xk
Uwaga: inaczej niż dla funkcji jednej zmiennej, funkcja f może mied w punkcie Po
wszystkie pochodne cząstkowe i mimo to byd nieciągła w tym punkcie
Z.KASPERSKI, t.2 7
Tw1. (uogólnione twierdzenie Schwarza). Jeśli funkcja
f (P) =� f (x1, x2,..., xk )
ma w pewnym otoczeniu punktu P0 wszystkie
pochodne do rzędu (i-1) włącznie oraz pochodne mieszane rzędu i
ciągłe w P0, to wszystkie pochodne mieszane rzędu i, które różnią się
tylko kolejnością wykonanych różniczkowań są równe w P0.
W szczególności dla funkcji dwóch zmiennych przy odpowiednich
założeniach mamy
ś�2 f ś�2 f
=�
.
ś�xś�y ś�yś�x
P3. Sprawdzid twierdzenie Schwarza dla funkcji 5�e�2 5�f�
Z.KASPERSKI, t.2 8
4