POCHODNE CZ
STKOWE
Kn,
Niech X =
{e , ..., e }  baza kanoniczna Kn,
1 n
U ��TopKn,
f :U �� Y,
0 0 0
x0 ��U, x0 =� (�x1 , x2 , ..., xn)�
(czyli x0 - punkt należący do zbioru U otwartego w Kn).
Wtedy j-tą pochodną cząstkową funkcji f w punkcie x0 nazywamy pochodną kierunkową
w kierunku wektora e i oznaczamy
De f (�x0)� j
j
ś�f
(�x0)�:=� De f (�x0)�.
j
ś�xj
Zatem
z def . pochodnej
0 0 0 0 0 0
kierunkowej
f (�x0 +� tej)�-� f (x0) f (�x1 , x2 , ..., x0-�1, x0 +� t, x0+�1, ..., xn)�-� f (x1 , x2 , ..., xn )
ś�f
j j j
(�x0)� =� lim =� lim
t��0 t��0
ś�xj t t
Przykład
Niech f : R2 �� R
x, gdy y =� 0,
��
f (�x, y)�=�
��0, gdy y ą� 0.
��
x0 =� (�0,0)�.
Wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie
ś�f f (�0 +� t,0)�-� f (�0,0)� f (�t,0)�-� f (�0,0)� t -� 0
(�0,0)�=� lim =� lim =� lim =� lim1 =� 1
t��0 t��0 t��0 t��0
ś�x t t t
ś�f f (�0,0 +� t)�-� f (�0,0)� f (�0,t)�-� f (�0,0)� 0 -� 0
(�0,0)�=� lim =� lim =� lim =� lim0 =� 0
t��0 t��0 t��0 t��0
ś�x t t t
Związek między istnieniem pochodnych kierunkowych a ciągłością funkcji
Uwaga
1. Istnienie pochodnych cząstkowych w punkcie nie zapewnia ciągłości funkcji w tym
punkcie.
2. Istnienie pochodnej kierunkowej funkcji w punkcie w kierunku dowolnego wektora
(unormowanego) nie zapewnie ciągłości funkcji w tym punkcie.
1
Przykład
Niech f : R2 �� R
1, gdy x =� 0 lub y =� 0,
��
f (�x, y)�=�
��0, w przeciwnym przypadku.
��
Wtedy istnieją pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie (0, 0), choć funkcja nie jest ciągła w
tym punkcie.
Przykład
Niech f : R2 �� R
��
x3 y
�� , gdy (x, y) ą� (0,0),
f (�x, y)�=�
��
x6 +� y2
��0,
gdy (x, y) =� (0,0).
��
Zbadać ciągłość funkcji f oraz wyznaczyć pochodną kierunkową w kierunku dowolnego
x0 =� (�0,0)�
wektora w punkcie .
�� ��
��
v =� [�v1,v2]�ą� 0 v
Niech , - niezerowy wektor unormowany, tzn. v =� 1.
Wtedy
t4v13v2
-� 0
f (�(�0, 0)�+� t(�v1, v2)�)�-� f (�0, 0)� f (�tv1, tv2)�-� f (�0, 0)� t6v16 +� t2v22
D f (�0, 0)�=� lim =� lim =� lim =�
��
t��0 t��0 t��0
v
t t t
��
t4v13v2 v13v2 0, gdy v2 =� 0��
=� lim =�
��0, gdy v2 ą� 0ż� =� 0
{�
4
t��0 t��0
t3(�t4v16 +� v22)�=� lim t �� t{� +� v22 ��
v16
Ż�
��
0
Ż�
0
Udowodniliśmy, że istnieje pochodna kierunkowa funkcji w punkcie (0,0) w kierunku
dowolnego wektora.
1 1
ć� ��
Jednakże funkcja nie jest ciągła w tym punkcie, bo dla ciągu (�xn, yn)�=� ,
�� ��
n n3
Ł� ł�
"�n ��N: xn ą� 0, yn ą� 0;
lim(�xn, yn)�=� (0,0)
n��Ą�
oraz
1
n6 1
,
lim f (�xn, yn)�=� lim =� ą� 0 =� f (�0,0)�
n��Ą� n��Ą�
1
2
2
n6
zatem na podstawie definicji Heinego f ��C(�0, 0)�.
opracował Jacek Zańko
2