Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 15  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
Spójne przestrzenie metryczne
Def. Przestrzeń metryczną (X , �) nazywamy spójną jeżeli nie da się jej przedstawić w postaci
sumy dwóch zbiorów niepustych, otwartych, rozłącznych.
X = X1 *" X
ńł
2
�łX `" ", X `" "
�ł
1 2
(X , �) - przestrzeń spójna �! ~
�łX , X - otwarte
1 2
�ł
�łX1 )" X 2 = "
ół
Inaczej X jest zbiorem spójnym jeżeli dla dowolnych punktów x1, x2 " X istnieje droga łącząca
x1, x2 , czyli istnieje ciągła funkcja ł :[a,b] X :ł(a)=x1 i ł(b)=x2
Tw. Ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym
f : X Y
�ł
�ł
�! f [X ] jest przestrzenią spójną
żł
(X , �) - przestrzeń spójna
�ł
�ł
f - ciągła
Dow: (a.a.) f[X] nie jest przestrzenią spójną, czyli istnieją Y1,Y2 �" Y otwarte w Y takie, że: f[X] =Y1*"Y2,
-1
Y1`"", Y2`"", Y1)"Y2=". Stąd X= f -1[f[X]]=f -1(Y1)*"f (Y2) , czyli przestrzeń X jest sumą dwóch
zbiorów niepustych, otwartych i rozłącznych (z własności przeciwobrazu), co prowadzi do
sprzeczności.
Podstawowe twierdzenia o funkcjach ciągłych
Tw. (Weierstrassa)
f : X R - ciągła na X f  ograniczona na X
�ł
�!
żł
X  przestrzeń metryczna zwarta
�ł f (x1) = sup f (x)
x"X
"x ,x2"X :
1
f (x2 ) = inf f (x)
x"X
Dowód jest natychmiastową konsekwencją faktu, że f[X] jest zwartym podzbiorem R, czyli
ograniczonym i domkniętym wiec zawierającym w sobie swoje ograniczenia (czyli kresy).
Tw. (Darboux) (o przyjmowaniu wartości pośrednich)
Jeżeli f : X R - ciągła i X  przestrzeń metryczna spójna to
"x ,x2"X " f (x1) < y < f (x2 ) �! "x"X y = f (x)
y"R
1
Dowód jest natychmiastową konsekwencją faktu, że ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem
spójnym i faktu, że jedynymi zbiorami spójnymi w R są przedziały.
1
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 15  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
Tw: (o lokalnym zachowaniu znaku )
Jeżeli funkcja f: X�"AR - ciągła na zbiorze otwartym A , x0"A i f(x0)>0 , to istnieje
otoczenie punktu x0 (powiedzmy K(x0,�)) takie, że "x" K(x0,�) f(x)>0.
Dowód. Ponieważ f(x0)>0, więc "�>0 0< f(x0)- � . Z ciągłości f �! zbiór f  1[(f(x0)- �, f(x0)+ �)] jest
otwarty w X a więc f  1[(f(x0)- �, f(x0)+ �)])"A jest również otwarty. Stąd "�>0
K(x0,�)�" f  1[(f(x0)- �, f(x0)+ �)]. Wobec tego "�>0 "x" K(x0, �) f(x)>0
(bo f(x)"(f(x0)- �, f(x0)+ �) )
Tw. (Cantora) Jeżeli
" X  przestrzeń metryczna zwarta
" Y  dowolna przestrzeń metryczna
" f : X Y - ciągła na X
to f jest jednostajnie ciągła na X.
Inaczej. Funkcja ciągła określona na przestrzeni metrycznej zwartej jest jednostajnie ciągła.
Dow: (a.a.) Nieprawda, że f jest jednostajnie ciągła �!
~ ["� >0"� >0"x"X "x'"X � (x, x') < � �! � ( f (x), f (x'))< �]�!
x y
"� >0"� >0"x"X "x'"X � (x, x') < � '" � ( f (x), f (x'))e" � Dla każdego � , czyli w szczególności dla
x y
' ' '
1
� =1 n też �! istnieją ciągi (xn ) , (xn ) takie, że � (xn , xn ) < i �Y ( f (xn ), f (xn )) e" �
X
n
(istnieje takie �).
Ponieważ (xn ) jest ciągiem w zwartej przestrzeni metrycznej X, więc można z niego wybrać podciąg
' '
zbieżny xn a. Z warunku trójkąta mamy � (xn , a) d" � (xn , xn ) + � (xn , a)
X X X
k k k k k
' '
skąd wynika, że xn a . Z ciągłości funkcji f mamy f (xn ) f (a) i f (xn ) f (a) , więc z
k k k
' '
ciągłości metryki �Y ( f (xn ), f (xn )) 0) , co przeczy warunkowi �Y ( f (xn ), f (xn )) e" � "n
k k
Tw: (o ciągłości funkcji odwrotnej) Jeżeli
" X  przestrzeń metryczna zwarta, Y  przestrzeń metryczna
" funkcja f: XY - ciągła na X
" f - różnowartościowa
to f -1 istnieje i jest ciągła na f[X].
Dowód. Aby dowieść ciągłości funkcji g=f 1 wystarczy pokazać, że dla dowolnego zbioru
domkniętego A�"X zbiór g 1[A]=f[A] jest domknięty w Y . Jest to oczywiste, bo zbiór A jest
zwarty (domknięty podzbiór przestrzeni zwartej) więc f[A] jest również zwarty (ciągły obraz
zbioru zwartego) a więc domknięty w Y.
x(t) = cost
ńł
Uwaga. Założenie zwartości X jest istotne. Np. f :[0,2Ą)R2 . Rysunek
�ł
y(t) = sin t
ół
2
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 15  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
Pochodna Frecheta (pochodna mocna)
Niech (X , ) i (Y, ) będą przestrzeniami Banacha , E �" X , E - otwarty, x�" E .
x y
Def: Odwzorowanie f : X �" E Y nazywamy różniczkowalnym w sensie Frecheta w punkcie
x�" E jeżeli istnieje odwzorowanie liniowe ciągłe Ax� : X Y takie, że "h"E : x� + h " E
r (x�,h)
y
zachodzi f (x� + h) - f (x�) = Ax� h + r(x�,h) , przy czym lim = 0 .
h
ho x
2
Odwzorowanie Ax� nazywamy pochodną Frecheta funkcji f w punkcie x� i oznaczamy f (x�)
lub df (x�) .
Wartość odwzorowania Ax� na przyroście (wektorze) h" X nazywamy różniczką
odwzorowania f przy danym przyroście i oznaczamy Ax�h = df (x�,h) = df (x�)h .
Wiadomo z kursu algebry, że przypadku przestrzeni liniowych o skończonym wymiarze
odwzorowanie liniowe Ax� jest reprezentowane przez macierz. W przypadku przestrzeni
euklidesowych przyjmujemy standardowo bazy kanoniczne i przekształcenie liniowe
utożsamiamy z macierzą reprezentującą to przekształcenia w bazach kanonicznych
.
Gdy f jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru E, to mówimy, że odwzorowanie f jest
2 2
różniczkowalne na E a odwzorowanie f : x" E �" X f (x)" L(X ,Y ) [ L(X ,Y ) - zbiór funkcji
liniowych ciągłych� : X Y ] nazywamy pochodną odwzorowania f.
Tw. Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie x� , to jest ona ciągła w punkcie x� .
Jest to natychmiastowa konsekwencja definicji różniczkowalności
Przypadek szczególny
f : Rn �" E R , E - otwarty, x�" E
r(x�,h)
f (x� + h) - f (x�) = ęx�h + r(x�,h) , lim = 0
h o
h
� �
x� = (x1 ,..., xn ) Ax� = [A1,..., An ] h = (h1,..., hn )T
h1
�ł łł
�ł śł
2 2
f (x�) = [A1,..., An]= df (x�) df (x�,h) = df (x�)h = f (x�)h = [A1,..., An ] M
�ł śł
�ł śł
n
�łh �ł
Macierz wierszową (wektor) [A1,..., An] nazywamy gradientem funkcji f w punkcie x� i oznaczamy
grad f (x�) = [A1,..., An ].
Inny przypadek szczególny
f1(x) A1
�ł łł �ł łł
r(x�,h)
�łM śł �łM śłh
f : R �" (a,b) Rn ; f (x) = f (x� + h) - f (x�) = + r(x�, h) 0
�ł śł �ł śł
h
�ł śł �ł śł
fn (x)�ł
n
�ł �łA �ł
Funkcję f interpretujemy jako równanie parametryczne krzywej w Rn , a x jako czas.
A1
�ł łł
r
�łM śł
Okaże się, że wektor jest styczny do krzywej o równaniu parametrycznym r = f (x) .
�ł śł
�ł śł
n
�łA �ł
3
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 15  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
POCHODNE CZ
STKOWE I KIERUNKOWE
o o
f : Rn �" E R , E - otwarty, x� = (x1 ,..., xn )" E
Def. Pochodną cząstkową funkcji f w punkcie xo względem i-tej zmiennej (czyli xio ) nazywamy
skończoną (o ile istnieje) granicę
o o o o
df
f (x1 ,..., xio + hi ,..., xn ) - f (x1 ,..., xio ,..., xn ) "f
2
lim = (x�) = f (x�)
xi
hi 0
hi "xi
Def. Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie x� w kierunku wektora k `" 0 (zwykle przyjmuje
się, że k =1, czyli w kierunku wersora) nazywamy skończoną (o ile istnieje) granicę
df
f (xo + tk) - f (xo )
2
lim = fk (xo ) = "k (xo ) .
t0
t
Uwaga 1. �(t) = f (xo + tk) - funkcja jednej zmiennej
Uwaga 2. Pochodna cząstkowa jest szczególnym przypadkiem pochodnej kierunkowej w kierunku i-
"f
2
tego wersora bazy kanonicznej (x�) = fe (x�)
i
"xi
Pochodne cząstkowe i kierunkowe a różniczkowalność.
o o
Załóżmy, że f : Rn �" E R , E - otwarty, x� = (x1 ,..., xn )" E jest różniczkowalna w sensie
Frecheta w punkcie x�. Wówczas
2
f (x� + tk) - f (x�) = f (x�) �" tk + r(x�,tk) : t r(x�,tk) = Ą
( tk )
f (x� + tk) - f (x�) r(x�,tk)
2
= f (x�) �" k +
t t
r(x�,tk)
r(x�,tk)
'
= k 0 , gdy t0 �! fk' (x0 ) = f (x0 )k
t tk
Niech ei- i-ty wektor bazy kanonicznej
0
�ł łł
"f
2
(x�) = fe (x�) = [A1,..., An]�ł1śł �! {i-te miejsce } = Ai
i
�ł śł
"xi
�ł
�ł0śł
�ł
�ł łł
"f "f
2
f (x�) = grad f (x�) = (x�),..., (x�)śł
�ł"x
"xn �ł
�ł 1
Ogólnie dla f : Rn �" E Rm
"f1 "f1
�ł łł
�ł"x (x�),..., "xn (x�) śł
f1(x)
�ł łł
1
m
�ł śł
�łM śł
2 �ł śł
f (x) = = f (x)e f (x�) = M
" j j
�ł śł
�ł śł
�ł śł
fm (x)�ł j=1
m
�ł �ł"f (x�),..., "fm (x�)śł
�ł
"x1 "xn śłm�n
�ł �ł
4
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 15  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
Pokazano więc fakt: Jeżeli funkcja f : Rn �" E Rm , x0"E- otwarty jest różniczkowalna w punkcie
"f
j
x0, to istnieją pochodne cząstkowe (x0 ) ,j=1,...,m i=1,...,n.
"xi
Twierdzenie odwrotne nie zachodzi, tzn. istnienie pochodnych cząstkowych nie gwarantuje
różniczkowalności (a nawet nie gwarantuje ciągłości)
ńł
xy3
, (x, y) `" (0,0)
�ł
Przykład . f (x, y) =
x2 + y6
�ł
�ł0, (x, y) = (0,0)
ół
" pochodne cząstkowe
"f y3 (x2 + y6 ) - xy3 (2x) y3 (-x2 + y6 )
x= (x, y) `" (0,0) (x, y) = =
"x
(x2 + y6 )2 (x2 + y6 )2
"f 3y2 x(x2 + y6 ) - xy3 (6y5 ) 3xy2 (x2 - y6 )
(x, y) = =
"y
(x2 + y6 )2 (x2 + y6 )2
"x0
- 0
"f f (0 + "x,0) - f (0,0) "f
"x2 + 0
(x, y) = (0,0) (0,0) = lim = lim = 0 = (0,0)
"x0 "x0
"x "x "x "y
" pochodna kierunkowa
x= (x, y) `" (0,0) k = (k1, k2 ) (k1, k2 ) `" 0
f (x� + tk) - f (x�) f (x + tk1, y + tk2 ) - f (x, y)
2
f(k ,k2 ) (x, y) = lim = lim =
1
t0 t0
t t
(x + tk1)(y + tk2 )3 xy3
-
2
(x + tk1)2 + (y + tk2 )6 x2 + y6 y (-x2 + y6 )(yk1 - 3xk2 )
= lim = =
t0
t
(x2 + y6 )2
y3 (-x2 + y6 ) 3xy2 (x2 - y6 ) "f "f
= k1 + k2 = (x, y)k1 + (x, y)k2
"x "y
(x2 + y6 )2 (x2 + y6 )2
x = (x, y) = (0,0)
tk1(tk2 )3
f ((0,0) + t(k1, k2 ))- f (0,0) f (tk1,tk2 ) (tk1)2 + (tk2 )6
2
fk (0,0) = lim = lim = lim = 0
t0 t0 t0
t t t
Funkcja f ma więc w każdym punkcie i w każdym kierunku pochodną. Czy jest więc różniczkowalna
w (0,0) . Jeśli tak, to:
1
f ((0,0) + (h1, h2 ))- f (0,0) = [0 , 0]�łh łł + r((0,0),(h1, h2 )), gdzie r((0,0), (h1, h2 ))= f (h1, h2 )
�łh śł
�ł 2 �ł
?
r((0,0), (h1, h2 ))
Pytanie. Czy lim = 0 ? Nie, gdyż granica ta nie istnieje, bo
(h1,h2 )(0,0)
(h1, h2 )
1 1 1 1 1 1
(1 ,0) (0,0) i f (1 ,0) = 0 0 , a ( , ) (0,0) i f ( , ) = .
n n
n3 n n3 n 2 2
Wykazaliśmy wiec, że posiadanie pochodnej kierunkowej w dowolnym kierunku (w szczególności
posiadanie pochodnych cząstkowych) nie zapewnia różniczkowalności a nawet ciągłości.
5