POCHODNE CZ
STKOWE WYŻSZYCH RZ
DÓW
Niech X =� Kn,
(�Y, �� )�-�
przestrzeń unormowana nad K,
U ��TopKn,
f :U �� Y,
x0 ��U.
Definicja
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu są to pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych rzędu
pierwszego
��
ć� ��ł�
ś�2 f ś� ś�f
�� ��ś�
(�x0)�:=� (�x0)�, gdzie k, j =� 1,..., n
ę�
ś�xjś�xk
ę�ś�x �� ś�xk ��ś�
j Ł� ł���
��
(liczymy pochodne zgodnie z kierunkiem składania).
Zakładamy, że określiliśmy pochodne cząstkowe rzędu k 1 -szego. Wtedy definiujemy pochodne
cząstkowe rzędu k-tego:
�� ł�
ć� ��
ś�k f ś� ś�k -�1 f
�� ��ś� gdzie i1,i2,...,ik ��{1,..., n}
(�x0)�:=� ę� (�x0)�,
ś�xi ...ś�xi
ę�ś�x �� ś�xi ...ś�xi ��ś�
i1 2 k
1 k Ł� ł�
�� ��
Oznaczenia
ozn.
ś�k f
(�x0)� =� fx xik-�1 ...xi1 (�x0)�
ik
ś�xi ...ś�xi
1 k
ozn.
ś�k f ś�k f
(�x0)� (�x0)�
=�
ś�4�...ś�3� ś�xik
x x
1�i2�4�i
k razy
Twierdzenie (o istnieniu k-tej pochodnej cząstkowej)
k
$�dx f
Zał: - istnieje k-ta różniczka funkcji f w punkcie x0
0
Teza: pochodne cząstkowe funkcji f rzędu k w punkcie
$� x0
oraz
k
ś� f
k
1
(�x0)�=� dx f (�ei ,...,ei )�, gdzie i ,...,ik ��{1,..., n},
0 1
ś�xi ...ś� k
xi
1 k
e1,...,en -� baza kanoniczna Kn.
wartość różniczki
k-tego rzędu w
x0
punkcie dla
wektorów bazowych
1
Twierdzenie (o istnieniu k-tej różniczki)
Zał:
U �� TopRn,
f :U �� R
oraz
istnieją wszystkie pochodne cząstkowe k-tego rzędu funkcji f w U.
Teza: Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu k funkcji f są ciągłe na zbiorze U, to
f ��Ck
oraz
n
ś�k f
k
dx f (�h1,..., hk)�=� (�x)��� hi1 �� hi2 ��...�� hik , gdzie x ��U,
��
1 2 k
ś�xi ...ś�xi
i1,...,ik =�1 j
1 k
h =� (�h1j ,..., hnj)��� Rn dla j =� 1,..., k ,
tzn. funkcja posiada ciągłą pochodną rzędu k oraz wartość k-tej różniczki w punkcie x jest równa
sumie pochodnych cząstkowych pomnożonych przez odpowiednie współrzędne kolejnych
Rn
wektorów z .
Twierdzenie (o równości pochodnych mieszanych)
Zał:
U �� TopRn,
f :U �� R,
x0 ��
U.
Teza:
x0
1� Jeśli funkcja f ma k-tą różniczkę w punkcie x , to k-te pochodne cząstkowe tej funkcji w punkcie
0
nie zależą od kolejności zmiennych, tzn.
ś�k f ś�k f
k
$�dx f �� "� P, P -� permutacja k -�elementowa : (�x0)�=� (�x0)�
0
ś�xi ...ś�xi ś�xi ...ś�xi )�
1 k P(�1)� P(�k
2� Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu k funkcji f istnieją i są ciągłe w punkcie x , to
0
ś�k f ś�k f
"� P, P -� permutacja k -� elementowa : (�x0)�=� (�x0)�
ś�xi ...ś�xi ś�xi ...ś�xi )�
1 k P(�1)� P(�k
czyli również w tym przypadku możemy zmieniać kolejność liczenia pochodnych cząstkowych
względem ustalonych zmiennych, a pochodne te nie zmieniają się.
Uwaga
Pochodne występujące w tezie powyższego twierdzenia nazywamy pochodnymi mieszanymi.
2
Przykład
f (�x, y)�=� 2x3 y +� 3xy2 +�1.
Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji
Pochodnych trzeciego rzędu jest tyle ile jest trzyelementowych wariacji zbioru dwuelementowego,
W=23=8. Pochodne cząstkowe dowolnego rzędu funkcji f są ciągłe, zatem pochodne mieszane są
równe. Wystarczy więc, że policzymy tylko cztery pochodne:
f =� 0
yyy
fxyy =� 6
fxxy =� 12x
fxxx =� 12 y
bo
fxyy =� fyxy =� fyyx
fxxy =� fxyx =� fyxx.
Przykład
m
Liczba pochodnych cząstkowych rzędu m funkcji dwóch zmiennych wynosi 2 , jednakże jeśli
pochodne te są ciągłe, to wystarczy wyznaczyć tylko m+1 spośród nich.
Uwaga
x0 , f �� D2(�x0)�, to pochodne mieszne
Jeśli funkcja nie jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie
drugiego rzędu nie muszą być równe.
Przykład
Obliczyć pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu funkcji
��
xy(�x2 -� y2)�
�� dla (x, y) ą� (0,0),
f (�x, y)�=�
�� x2 +� y2
��0
dla (x, y) =� (0,0),
��
w punkcie (0,0).
ś�f f (�0 +� t,0)�-� f (�0,0)� f (�t,0)�-� f (�0,0)� 0
(�0,0)�=� lim =� lim =� lim =� lim0 =� 0
t��0 t��0 t��0 t��0
ś�x t t t
ś�f f (�0,0 +� t)�-� f (�0,0)� f (�0,t)�-� f (�0,0)� 0
(�0,0)�=� lim =� lim =� lim =� lim 0 =� 0
t��0 t��0 t��0 t��0
ś�y t t t
Natomiast dla (�x,y)�ą� (�0,0)� otrzymujemy :
ś�f (�3x2 y -� y3)�(�x2 +� y2)�-� 2x2 y(�x2 -� y2)� y ��(�x4 +� 4�� x2 �� y2 -� y4)�
(�x, y)�=� =�
2 2
ś�x
(�x2 +� y2)� (�x2 +� y2)�
ś�f (�x3 -� 3xy2)�(�x2 +� y2)�-� 2xy2(�x2 -� y2)� x ��(�x4 -� 4�� x2 �� y2 -� y4)�
(�x, y)�=� =�
2 2
ś�y
(�x2 +� y2)� (�x2 +� y2)�
3
Zatem
ś�f ś�f ś�f ś�f
(�0 +� t,0)�-� (�0,0)� (�t,0)�-� (�0,0)�
ś�2 f ś�y ś�y ś�y ś�y t
(�0,0)�=� lim =� lim =� lim =� lim1 =� 1
t��0 t��0 t��0 t��0
ś�xś�y t t t
Podobnie
ś�f ś�f ś�f ś�f
(�0,0 +� t)�-� (�0,0)� (�0,t)�-� (�0,0)�
ś�2 f -� t
ś�x ś�x ś�x ś�x
(�0,0)�=� lim =� lim =� lim =� lim(�-�1)�=� -�1
t��0 t��0 t��0 t��0
ś�yś�x t t t
i w konsekwencji
ś�2 f ś�2 f
(�0,0)�ą� (�0,0)�.
ś�xś�y ś�yś�x
Stąd można wnioskować, że każda z pochodnych cząstkowych mieszanych rzędu drugiego nie jest
ciągła w punkcie (0,0).
opracował Marcin Uszko
4