Elementy i Obwody Elektryczne
Element ( element obwodowy )  jedno z podstawowych pojęć teorii obwodów.
Element jest modelem pewnego zjawiska lub cechy fizycznej związanej z
obwodem. Elementy ( jako modele ) mogą mieć różny stopień komplikacji.
Funkcja zaciskowa
Funkcja zaciskowa
(obwodowa)
(obwodowa)
ELEMENT
u
Zacisk
Zacisk
A B
i
Końcówka
Końcówka
Element dwuzaciskowy (dwukońcówkowy)  DWÓJNIK
Strzałkowanie odbiornikowe !
Funkcje zaciskowe elementu: prąd elementu i oraz napięcie elementu u związane
są ze sobą równaniem elementu, które definiuje dany element i określa jego
podstawowe właściwości.
W TO Używane są elementy wielozaciskowe: trójnik, czwórnik itd.
Obwody, układy, sieci
Obwód  możliwie najprostsze połączenie elementów umożliwiające
przepływ prądu elektrycznego.
w [J]
Obwód
i
Dwójnik 2
p(t) = u(t)i(t) [W]
Dwójnik 1
t
p [W]< 0 w(t) = p(�)d� [J]
p [W] > 0
+"
u
t0
dw(t)
p(t) =
dt
i
OtoczenieObwodu
w [J]
w [J]
Układ ( obwód rozgałęziony )  struktura bardziej rozbudowana niż obwód.
Sieć  bardzo duży układ.
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Podstawowe modele zjawisk w obwodzie
Zjawisko: BEZSTRATNY PRZEPA
YW PR
DU
Element: ZWARCIE ( GALWANICZNE )
i
u a" 0
Równanie elementu:
0
"u a"
i
Moc chwilowa z jaką zwarcie pobiera energię elektryczną z obwodu:
pR(t) = u(t) i(t) = 0�"i(t) a" 0
Energia chwilowa pobrana przez zwarcie w przedziale czasu < t0, t >:
t
wzw(t0,t) = p(�)d� a" 0
+"
t0
Zjawisko: BRAK PRZEPA
YWU PR
DU
Element: ROZWARCIE ( PRZERWA)
i a" 0
u
Równanie elementu:
0
"i a"
u
Moc chwilowa z jaką rozwarcie pobiera energię elektryczną z obwodu:
pR(t) = u(t) i(t) = u(t)�"0 a" 0
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Energia chwilowa pobrana przez rozwarcie w przedziale < t0, t >:
t
wroz(t0,t) = p(�)d� a" 0
+"
t0
Zjawisko: ROZPRASZANIE ( DYSSYPACJA )
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element: OPÓR LINIOWY
R (G)
i
u
Równanie elementu ( POSTULAT OHMA ):
= R = G
u �"i lub i �"u
G = R 1
Strzałkowanie odbiornikowe !
Jednostki: R: [&!]  ohm
G: [S]  simens
Opór jest elementem dyssypatywnym ( rozpraszającym ) bezinercyjnym.
Moc chwilowa z jaką opór pobiera energię elektryczną z obwodu:
pR(t) = u(t) i(t) = R i2(t) = G u2(t) e" 0
Energia chwilowa pobrana przez opór w przedziale czasu < t0, t >:
t t t
22
wR(t0,t) = p(�)d� = R (�)d� = G (�)d�
+"+"u
+"i
t0 t0 t0
dwR (t)
= pR (t) e" 0
dt
Przykład Dane: R = 5 &! ( G = 1 Ą# 1 ń#= 0,2 S )
ó#&!Ą#
5
Ł# Ś#
u(t) = 10�"1(t)  15�"1(t 2) + 5�"1(t 3) [V]
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Obliczenia: i(t) = u(t) �"G = 2�"1(t)  3�"1(t 2) + 1�"1(t 3) [A]
u(t) [V] i(t) [A]
+10
t [s] +2
t [s]
 1
2 2
3 3
 5
p(t) = G�"u2(t) = R�"i2(t)
u2(t) = 100�"1(t)  75�"1(t 2)  25�"1(t 3)
u2(t) [V2] i2(t) [A2]
+4
+100
+25
+1
t [s] t [s]
2 2
3 3
p(t)=G�"u2(t) = 20�"1(t)  15�"1(t 2)  5�"1(t 3)
t
wR (0,t) = p(�)d� =
+"
0
tt t
20
+"1(�)d� -15+"1(� - 2)d� - 5+"1(� - 3)d� =
00 0
( ) ( )
20t �"1(t) -15 t - 2 �"1(t - 2) - 5 t - 3 �"1(t - 3)
wR(0,t) [J]
p(t) [W]
+20
45
40
20
+5
t [s]
t [s]
1
2 3
3 2
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Zjawisko: GROMADZENIE ( KONSERWACJA )
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element: INDUKCYJNOŚĆ LINIOWA
L
i
�
u
Równania elementu :
= L
� �"i
d�
u =
dt
Strzałkowanie odbiornikowe !
Jednostki: L: [H]  henr = 1V�"1s�"1A 1
�: [Wb]  weber = 1V�"1s
di(t)
u(t) = L
dt
t
1
i(t) =
+"u(�)d� + i(t0 )
L
t0
Indukcyjność jest elementem konserwatywnym inercyjnym.
Przykład
1. i(t) = I0 = const, t"( ", + " ): u(t) = 0
2. i(t) = Im sin(�t + �), t"( ", + " ): u(t) = �LIm cos(�t + �) =
= Um sin(�t + � + 90o)
3. i(t) = I0(1 e ą t), ą > 0 '" t"<0, + " ): u(t) = ąLI0 e ą t = U0 e ą t
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Moc chwilowa z jaką energia elektryczna jest gromadzona w polu
magnetycznym indukcyjności:
d�(t)
pL(t) = u(t)�" i(t) = �" i(t) [W]
dt
pL(t) > 0  indukcyjność pobiera energię
pL(t) < 0  indukcyjność oddaje energię
Energia chwilowa pobrana przez indukcyjność liniową w przedziale
czasu < t0, t >:
�(t ) i(t )
t
wL(t0,t) = p(�)d� = i(�)d� = L i(�)di
+"+" +"
t0 �(t0 ) i(t0 )
1 1
wL(t0,t) = Li2(t) - Li2(t0 ) = wL(t) - wL(t0 )
2 2
Dla i(t0) = 0 '" �(t0) = 0
1 1
wL(t) = �(t)i(t) = Li2(t) e" 0
2 2
� [Wb]
Pp
L
�(t)
wL(t) = 0,5 Li2(t)
wL(t)
Gromadzenie energii: p(t) > 0
wL(t) = 0
i [A]
i (t)
Oddawanie energii: p(t) < 0
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Zjawisko: GROMADZENIE ( KONSERWACJA )
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element: POJEMNOŚĆ LINIOWA
C
q
i
u
Równania elementu :
= C
q �"u
dq
i =
dt
Strzałkowanie odbiornikowe !
Jednostki: C: [F]  farad = 1A�"1s�"1V 1
q: [C]  kulomb = 1A�"1s
du(t)
i(t) = C
dt
t
1
u(t) =
+"i(�)d� + u(t0 )
C
t0
Pojemność jest elementem konserwatywnym inercyjnym.
Przykład
1. u(t) = U0 = const, t"( ", + " ): i(t) = 0;
2. u(t) = Um sin(�t + �), t"( ", + " ): i(t) = �CUm cos(�t + �) =
= Im sin(�t + � + 90o);
3. u(t) = U0(1 e ą t), ą > 0 '" t"<0, + " ): i(t) = ąCU0 e ą t = I0e ą t;
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Moc chwilowa z jaką energia elektryczna jest gromadzona w polu
elektrycznym pojemności:
dq(t)
pL(t) = u(t)�" i(t) = u(t)�" [W]
dt
pL(t) > 0  pojemność pobiera energię
pL(t) < 0  pojemność oddaje energię
Energia chwilowa pobrana przez pojemność liniową w przedziale
czasu < t0, t >:
q(t ) u(t )
t
wC(t0,t) = p(�)d� = u(�)dq = C u(�)du
+"+" +"
t0 q(t0 ) u(t0 )
1 1
wC(t0,t) = Cu2(t) - Cu2(t0 ) = wC(t) - wC(t0 )
2 2
Dla u(t0) = 0 '" q(t0) = 0
1 1
wC(t) = q(t)u(t) = Cu2(t) e" 0
2 2
q [C]
Pp
C
q(t)
wC(t) = 0,5 Cu2(t)
wC(t)
Gromadzenie energii: p(t) > 0
wC(t) = 0
u [V]
u (t)
Oddawanie energii: p(t) < 0
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Zjawisko: DOSTARCZANIE LUB POBIERANIE
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element: y
RÓDA
O NAPI
CIA ( DOWOLNA MOC CHWILOWA )
e
ie
u
Równania elementu :
e 
dowolne ( zadane )
ie 
wymuszone przez
obwód zewnętrzny
Strzałkowanie z
ródłowe !
e [V]
pe > 0
pe < 0
Pp
E
e
i
i [A]
i
Charakterystyka z
ródła napięcia o
!?
stałej wartości: e(t) = E = const
Moc chwilowa energii elektrycznej z
ródła napięcia:
pe(t) = u(t)�" i(t) = e(t)�" ie(t) [W]
pe(t) > 0  z
ródło oddaje energię
pe(t) < 0  z
ródło pobiera energię
Energia chwilowa z
ródła napięcia w przedziale czasu < t0, t >:
t t
we(t0,t) = p(�)d� =
e
+"+"e(�)i (�)d�
t0 t0
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Zjawisko: DOSTARCZANIE LUB POBIERANIE
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element: y
RÓDA
O PR
DU ( DOWOLNA MOC CHWILOWA )
j
i
uj
Równania elementu :
j 
dowolne ( zadane )
uj 
wymuszone przez
obwód zewnętrzny
Strzałkowanie z
ródłowe !
j [A]
pj < 0 pj > 0
Pp
J j
i
u [V]
up
! ?
Charakterystyka z
ródła prądu o stałej
wydajności: j(t) = J = const
Moc chwilowa energii elektrycznej z
ródła prądu:
pj(t) = u(t)�" i(t) = uj(t)�" j(t) [W]
pj(t) > 0  z
ródło oddaje energię
pj(t) < 0  z
ródło pobiera energię
Energia chwilowa z
ródła prądu w przedziale czasu < t0, t >:
t t
we(t0,t) = p(�)d� = (�) j(�)d�
j
+"+"u
t0 t0
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Element: y
RÓDA
O STEROWANE
i2
i1 0
a"
i2
k u1
r i1
u1 i1
u2
u2
u1a"0
ZNSN ( VCVS ) ZNSP ( CCVS )
i2
i1a"0
i2
g
u1
ą i1
i1
u1
u2
u2
u1a"0
ZPSN ( VCCS ) ZPSP ( CCCS )
W przypadku z
ródeł sterowanych moc chwilowa  pierwotna
jest zawsze równa zero: p1(t) a" 0 co oznacza, że z
ródła nie pobierają
energii od strony sterowania.
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Postulaty Teorii Obwodów
Prądowy Postulat Kirchhoffa ( PPK )
i = 0
"
Algebraiczna suma prądów we węz
le jest równa zero.
Napięciowy Postulat Kirchhoffa ( NPK )
u = 0
"
Algebraiczna suma napięć w oczku jest równa zero.
Postulat Ohma ( PO )
u = R �" i lub i = G �"u
1 1
Ą# ń#
G [S] =
ó#&!Ą#
R
Ł# Ś#
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Zjawisko: DOSTARCZANIE LUB POBIERANIE
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element: NAPI
CIOWE y
RÓDA
O ENERGII
( OGRANICZONA MOC CHWILOWA )
U
r�"I
E
r
I
Równania elementu :
E 
dowolne ( zadane )
I  wymuszone
Strzałkowanie z
ródłowe !
NPK: (+U) + ( E) + (+ r I) = 0
U = E  r I p = U�"I = E�"I  r�"I2
E
p [W]
U [V]
Iz =
r
p < 0
p > 0
E2
pmax =
4r
I [A]
Pp(0,5Iz,0,5E)
U0= E
rIp
pmax E
1
Ip = = Iz
Up 2
2r
E
p < 0 p < 0
Iz =
I [A]
r
p > 0
Ip
p < 0
Zadanie 1 Przedyskutować prądowe z
ródło energii i porównać jego
zachowanie w różnych stanach pracy ze z
ródłem prądu.
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE