WAT WME IMMT
ZAKA
AD MECHANIKI OGÓLNEJ
Agnieszka Derewońko
SIA
Y WEWN
TRZNE
W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE
WYZNACZALNYCH
Zbiór zadań
Warszawa  2007
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
WST
P
Zbiór zawiera zadania z sił wewnętrznych układów statycznie wyznaczalnych.
Dla takiego układu liczba reakcji jest równa liczbie niezależnych równań równowagi,
oraz liczba stopni swobody, która zapewnia geometryczną niezmienność układu, jest
równa zeru.
W zbiorze zawarte są zadania z pełnym rozwiązaniem i szczegółowym opisem
rozwiązania, zadania do ćwiczeń obliczeniowych z odpowiedziami w postaci
wykresów sił wewnętrznych oraz zestawy zadań do samodzielnego rozwiązania.
PODPORY
Konstrukcja statycznie wyznaczalna jest unieruchomiona gdy odebrano jej
wszystkie stopnie swobody (na płaszczyz
nie, dla bryły sztywnej - trzy stopnie
swobody, w przestrzeni sześć), co realizowane jest przez połączenie konstrukcji
z nieodkształcalnym podłożem za pomocą podpór.
Wyidealizowanym rysunkiem konstrukcji jest schemat statyczny, w którym
rysowana jest tylko oś pręta (miejsce geometryczne punktów będących środkami
ciężkości przekrojów pręta). Zakładane jest, że podpory są przyłożone do osi pręta.
Siły przekazywane z podłoża na konstrukcję poprzez podpory nazywane są siłami
reakcji.
Podstawowe rodzaje podpór dla płaskich układów konstrukcyjnych:
1. Podpora przegubowo-przesuwna  zastępowana jest jedną siłą reakcji
o znanym kierunku, prostopadłym do płaszczyzny przesunięcia. Podpora ta odbiera
ciału jeden stopień swobody, gdyż eliminuje przesunięcie w jednym kierunku,
a zezwala na przesunięcie w drugim kierunku i swobodny obrót.
R
2. Podpora przegubowa - zastępowana jest jedną siłą reakcji o nieznanym
kierunku. Taką siłę reakcji przedstawiamy często w postaci jej dwóch składowych
w kierunku pionowym i poziomym. Podpora ta odbiera ciału dwa stopnie swobody
przez eliminację przesunięć w dwóch kierunkach. Zezwala tylko na obrót wokół
punktu podparcia.
Rx
Ry
3. Sztywne utwierdzenie - zastępowana jest jedną siłą reakcji o nieznanym
kierunku i parą sił. Podpora ta odbiera ciału trzy stopnie swobody: przesunięcie
w dwóch kierunkach i obrót.
P
Mu
P
Rx Ry
2
AGNIESZKA DEREWOC
KO
Zasadnicze rodzaje podpór w przestrzennych układach konstrukcyjnych:
4. Przegub walcowy - ciało sztywne jest osadzone na walcowym sworzniu
przechodzącym przez kołowy otwór wykonany w tym ciele. Występujące dwie
reakcje Rx i Ry stanowią dwie niewiadome i umożliwiają wyznaczenie wartości reakcji
R, której linia działania przechodził przez oś sworznia.
5. Podpora przegubowa - koniec podparcia ciała sztywnego może się
obracać dookoła osi przegubu, ale nie może się przemieszczać w trzech kierunkach
i dlatego występują trzy niezależne składowe reakcje Rx, Ry i Rz.
z
Rz
Ry y
x
Rx
6. Przegub kulisty - uniemożliwia swobodę przesunięć, ale umożliwia obrót
wokół dowolnej osi. Jego zakończenie jest wykonane w kształcie kuli, która jest
osadzona w łożysku kulistym. Reakcja R o dowolnym kierunku w przestrzeni,
przechodzi przez środek kuli i ma trzy niezależne składowe Rx, Ry i Rz.
7. Utwierdzenie całkowite (sztywne utwierdzenie)  zastępowane jest
reakcją R o trzech składowych Rx, Ry i Rz oraz momentem utwierdzenia M o trzech
składowych Mx, My i Mz. Podpora ta odbiera ciału sześć stopni swobody:
przesunięcie w trzech kierunkach i obrót względem trzech osi.
Mz
Rz
Ry My
Rx
Mx
3
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
Szczególne przypadki podpór:
8. Zawieszenie na cięgnach wiotkich  inaczej podpory kierunkowe
jednostronne, bo cięgna mogą być tylko rozciągane. Reakcje S1 i S2 działają na ciało
wzdłuż tych cięgien.
S1
S2
G G
9a. Oparcie o gładką powierzchnię - styk punktowy, występuje jedna reakcja
R, prostopadła do powierzchni styku.
R
9b. Oparcie o chropowatą powierzchnię - styk punktowy, występują dwie
składowe reakcji R: normalna do powierzchni N i styczna siła tarcia T.
R
N
T
10. Ciało podparte na prętach zamocowanych przegubowo na obu
końcach (prętach przegubowych) - ciało sztywne można unieruchomić przez
podparcie na prętach zakończonych przegubami. Reakcje na ciało będą działać
wzdłuż prętów S1, S2 i S3.
S2
S1
G G
OBCI
ŻENIA
Obciążenie na schemacie statycznym przykładane jest do osi pręta.
W zależności od sposobu rozłożenia obciążenia na powierzchni elementu
rozróżniane są:
1. Obciążenie skupione - jest to obciążenie, które działa na element na
niewielkiej jego powierzchni i jest przedstawiane jako obciążenie przyłożone do
punktu. Do obciążeń skupionych zaliczane jest siła skupiona i moment skupiony.
Jednostką momentu skupionego jest jednostka siły pomnożona przez jednostkę
długości, np. Nm.
2. Obciążenie ciągłe - jest to obciążenie rozłożone na pewnej długości.
Można tutaj wyróżnić obciążenie równomiernie rozłożone (np. ciężar belki o stałym
przekroju) i obciążenie nierównomiernie rozłożone. Wymiarem obciążenia ciągłego,
często oznaczanego literą q, jest jednostka siły dzielona przez jednostkę długości,
np. N/m.
4
AGNIESZKA DEREWOC
KO
SIA
Y WEWNETRZNE
Obciążenie przyłożone do elementu konstrukcyjnego powoduje powstanie
w nim sił nazwanych siłami wewnętrznymi. Siły te wywołują w materiale stan
wytężenia, który może doprowadzić do zniszczenia elementu. Ich znajomość jest
konieczna do zaprojektowania danej konstrukcji.
Zakładane jest, że daną konstrukcję można przedstawić jako podparte
w sposób zapewniający równowagę i niezmienność (w sensie analizy kinematycznej)
względem ustalonego układu odniesienia, ciało sztywne. Ciało to zostało obciążone
układem sił czynnych (obciążenie) i biernych (reakcje). Jeżeli jest unieruchomiona, to
układ sił działających na nie jest równoważny układowi zerowemu.
P2
P2
MII
P
3
P1
PII
P3
P1
P I
4
R2
I C
P4
C
II
R2
R1
R3
II
PII
R
1
R3
R6
R4
R6
R5 R4
R5
MII
Dokonano podziału ciała sztywnego na dwie części I i II. Aby utrzymać
w równowadze cześć I, na powierzchni przecięcia należy przyłożyć układ sił
wewnętrznych, z jakimi działa na nią cześć II. Układ ten możemy określić jako wektor
główny PII tych sił oraz moment ogólny MII wyznaczony względem dowolnie
obranego bieguna redukcji C leżącego w płaszczyz
nie przekroju. Część I będzie
w równowadze jeżeli działające na nią siły zewnętrzne (przyłożone obciążenie
i reakcje) i wektor główny sił PII, oraz moment ogólny MII, z jakimi część II działa na
część I spełniać będą odpowiednie warunki równowagi.
Rozumowanie powyższe pozwala sformułować następujące zasady:
- Układ sił zewnętrznych przyłożonych do części pierwszej jest równoważny
układowi sił wewnętrznych przyłożonych do części drugiej.
- Układ sił zewnętrznych przyłożonych do części drugiej jest równoważny układowi
sił wewnętrznych przyłożonych do części pierwszej.
- Dwa układy sił są równoważne jeżeli mają równe sumy i równe momenty liczone
względem tego samego punktu.
W przypadku układów prętowych należy przyjąć, że biegunem redukcji będą
punkty należące do osi pręta. Zredukowany w każdym przekroju układ sił nazywamy
siłami wewnętrznymi (przekrojowymi). Siły wewnętrzne określane są w lokalnym
układzie współrzędnych, przyjmując że oś x tego układu leży wzdłuż osi obojętnej
belki. Suma sił i momentów sił rozkładana jest na trzy składowe: jedna wzdłuż i dwie
prostopadłe do osi pręta. Składowa sił równoległa do osi pręta nazywana jest siłą
normalną (N). Dwie składowe sił prostopadłe do osi pręta są nazywane siłami
tnącymi (poprzecznymi) i oznaczane odpowiednio Ty i Tz. Moment ogólny, będący
wynikiem redukcji, rozkładany jest również na trzy składowe. Składowa równoległa
do osi pręta jest nazywana momentem skręcającym i oznaczana przez Ms. Dwie
składowe prostopadłe to momenty gnące (zginające) oznaczone Mgy i Mgz.
W zagadnieniu płaskim (konstrukcja i działające siły zewnętrzne leżą w jednej
płaszczyz
nie) wyznaczane są jedynie: siła normalna (N), siła tnąca (T) oraz moment
gnÄ…cy (Mg).
5
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
Określane siły wewnętrzne zapisywane są w postaci równań funkcji momentu
gnącego, siły normalnej i siły tnącej dla każdego punktu konstrukcji. Na ich
podstawie sporządzane są wykresy. Równania zapisywane są w lokalnych układach
współrzędnych odrębnie przyjmowanych dla poszczególnych przedziałów. Przedział
określany jest punktami:
- zmiany krzywizny osi konstrukcji;
- więzy;
- przyłożenia obciążenia skupionego;
- początku i końca obciążenia ciągłego.
Wygodnie jest zaliczyć do tych punktów również nieciągłość konstrukcji (np.
przegub).
ZASADY ZNAKOWANIA WYKRESÓW SIA
WEWN
TRZNYCH
Po wyróżnieniu pewnych włókien w pręcie (w belce włókna dolne, tzw.
spody), przyjmujemy konwencję znakowania tak ja na rysunku poniżej.
M M(x)
M M(x)
w
w
x x
y
y
M(x) M
M(x)
M
w
w
x
x
y
y
y y
T
T
T(x) T(x)
x x
y y
T(x)
T
T(x)
T
x
x
y
y
N(x)
N N(x)
N
x x
N(x) N N N(x)
x
x
ROZCI
GANIE ÅšCISKANIE
6
AGNIESZKA DEREWOC
KO
Uproszczona tablica znaków wygląda następująco:
M M
M M
T T T T
N N N N
ROZCI
GANIE ÅšCISKANIE
Przy oznaczeniach znaków momentów gnących narysowano postać
odkształconą belki pod wpływem działającego momentu gnącego.
Zależności pomiędzy siłami wewnętrznymi.
dT
= -q
dx
(1)
dM
g
= -T
dx
(2)
2
d M
g
= -q
dx2
(3)
gdzie:
T - siła tnąca; Mg - moment gnący;
q - intensywność obciążenia; x - współrzędna
WYKORZYSTANIE ZASADY SUPERPOZYCJI
Poniżej przedstawiono belkę obciążoną obciążeniem ciągłym równomiernie
rozłożonym. Zgodnie z zasadą superpozycji wykres momentów zginających można
rozłożyć na dwa wykresy, będące efektem działania poszczególnych obciążeń
oddzielnie tzn. obciążenia ciągłego i siły reakcji.
q
l
R1 = ql/2 x
R2 = ql/2
R2
ql2/2
+
Obciążenie
ql2/2
ciągłe
=
SUMA
7
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
BELKA
PRZYKA
ADY ZADAC
Z ROZWI
ZANIAMI
PRZYKA
AD 1
Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla
konstrukcji jak na rysunku. Dane: l  długość, q  intensywność obciążenia.
q
BC
A
l l
1. Uwolnienie z więzów
q
y
A B C x
RAx
RAy
RC
l l
2. Wyznaczanie sił reakcji. Równania równowagi
Fx = RAX = 0
"
Fy = RAY + RC - ql = 0 Ò! RAY = ql - RC
"
3
M = -ql Å" l + 2lRC = 0
"
A
2
ql 3
RAX = 0 , RAY = , RC = ql
4 4
3. Rysunek konstrukcji z obliczonymi reakcjami
W miejsce założonych reakcji należy wstawić ich obliczone wartości oraz
zmienić zwroty założonych wektorów reakcji, jeżeli ich wartość jest ujemna.
y2
y1 q
A B C
x1 x2 3ql/4
ql/4
l l
4. Sprawdzenie wartości obliczonych reakcji
Obliczenie sumy momentów gnących względem dowolnego punktu konstrukcji,
innego niż przy obliczaniu reakcji (np. pkt. C). Należy sprawdzić, czy wartość tej
sumy jest równa zero. W równaniu brane są pod uwagę obliczone reakcje (patrz
rysunek wyżej).
1 1
MC = -ql Å" l + ql Å" 2l = 0
"
2 4
5. Określanie przedziałów i zdefiniowanie spodów
Oznaczenia przedziałów można nanieść na rysunku konstrukcji z obliczonymi
reakcjami. Strzałka wskazuje kierunek redukcji, który jest obierany dowolnie.
6. Równania sił wewnętrznych. Obliczanie wartości funkcji w charakterystycznych
punktach przedziałów (np. na początku i końcu przedziału)
8
AGNIESZKA DEREWOC
KO
x1 ")# A,B*# 0 d" x1 d" l x2 ")#C,B*# 0 d" x2 d" l
N(x1 ) = 0 N(x2 ) = 0
1 3
T(x1 ) = ql T(x2 ) = - ql + qx2
4 4
2
1 3 qx2
M (x1 ) = qlx1 M (x2 ) = qlx2 -
g g
4 4 2
Obliczone wartości poszczególnych funkcji w charakterystycznych punktach
przedziałów zestawione są w tablicy.
Funkcja momentów gnących dla przedziału x2 jest funkcją kwadratową,
dlatego należy wyznaczyć co najmniej trzy punkty do jej scharakteryzowania.
Wskazane jest wyznaczenie ekstremum funkcji w danym przedziale czyli pochodnÄ…
funkcji momentu gnącego w danym przedziale należy przyrównać do zera.
Znajdujemy miejsce zerowe funkcji siły tnącej w tym przedziale (zgodnie ze wzorem
(2) jest to współrzędna ekstremum funkcji momentów gnących).
3 3
T(x2 ) = - ql + qx = 0 Ò! x = l
4 4
Siła wewnętrzna
x = 0 x = l
3l
x =
4
T(x) 0
3ql ql
-
4 4
Mg(x) 0
1 9
ql2 ql2
4 32
Wyznaczenie wartości sił wewnętrznych w charakterystycznych punktach
ułatwia narysowanie wykresów.
7. Wykresy sił wewnętrznych
y
q
A B C
x
1/4ql
x1 x2 3/4ql
N(x)
3/4l
T(x)
1/4ql
3/4ql
1/4ql2
9/32ql2
9
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
8. Sprawdzanie wykresów
a) Sprawdzanie zależności między funkcjami sił tnących i momentów gnących na
podstawie wzorów (1, 2, 3). Jeżeli równanie momentów gnących w danym
przedziale jest funkcją kwadratową to równanie sił tnących w tym samym
przedziale jest funkcją liniową, natomiast jeżeli równanie momentów gnących
jest funkcją liniową to równanie sił tnących jest funkcją stałą.
b) Wykres momentów gnących powinien być ciągły. Jeżeli występuje nieciągłość
(skok) to znaczy, że w tym miejscu do konstrukcji przyłożony jest skupiony
moment gnący. Wartość skoku powinna być równa wartości przyłożonego
momentu skupionego.
c) Wykres sił tnących powinien być ciągły. Jeżeli występuje nieciągłość (skok) to
znaczy, że w tym miejscu do konstrukcji przyłożona jest skupiona siła 
również siła reakcji. Wartość skoku równa jest wartości przyłożonej siły
skupionej.
d) Na początku i na końcu konstrukcji wartość momentów gnących jest równa
zero (o ile nie jest przyłożony moment skupiony).
e) Wykresy momentów gnących rysujemy po stronie włókien rozciąganych.
Podane zasady znakowania podlegajÄ… jej zasadzie.
Przy pisaniu równań sił wewnętrznych mogą być pomocne różnego typu rysunki
i metody. Niżej przedstawiono rysunki dla rozwiązanego zadania. Linią ciągłą
zaznaczono odcinek przedziału o długości x a linią przerywaną  pozostałą część
przedziału. W odległości x od początku przedziału narysowano wektory sił
wewnętrznych o wartościach dodatnich, zgodnie z zasadami znakowania sił
wewnętrznych (str. 5).
x1 ")# A,B*# 0 d" x1 d" l
Mg(x1)
y
A B
w
N(x1)
x
x1
T(x1)
1/4ql
1 1
Py = ql -T(x) = 0 Ò!T(x1 ) = ql
"
4 4
1 1
M = M (x1 ) - qlx1 = 0 Ò!M (x1 ) = qlx1
"
w g g
4 4
x2 ")#C,B*# 0 d" x2 d" l
Mg(x2)
B q
y
w
x
C
N(x2)
x2
3/4ql
T(x2)
3 3
Py = ql + T(x2 ) - qx2 = 0 Ò!T(x2 ) = - ql + qx2
"
4 4
10
AGNIESZKA DEREWOC
KO
3 x2 3 qx2
M = M (x2 ) - qlx2 + qx2 Å" = Ò!M (x2 ) = qlx2 -
"
w g g
4 2 4 2
Wykres momentów gnących można również narysować stosując metodę
superpozycji.
y q
x
A B C
3/4ql
1/4ql
x2
x1
od obciążenia
1/2ql2
ciągłego
M(x)
od siły
3/4ql
1/4ql2
3/4ql2
M(x)
SUMA
1/4ql2
9/32ql2
PRZYKA
AD 2
Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla
konstrukcji jak na rysunku. Dane: L  długość, q  intensywność obciążenia.
qL2
q
C
D
A
B
qL
L L L
Po obliczeniu reakcji należy wykonać rysunek konstrukcji o obliczonymi reakcjami.
q
qL2
x2 x3 qL
x1
R=qL
Równania sił wewnętrznych:
0 d" x1 d" L 0 d" x2 d" L 0 d" x3 d" L
N(x1 ) = 0 N(x2 ) = 0 N(x3 ) = 0
T(x1 ) = 0 T(x2 ) = -qx2 T(x3 ) = -qL - qx3
2 2
qx2 qx3
M (x1) = qL2 M (x2 ) = qL2 - M (x3 ) = qLx3 -
g g g
2 2
11
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
Wykresy sił wewnętrznych.
q
qL2
qL
R=qL
T(x)
qL
Mg(x)
qL2/2
qL2
UWAGA: Pominięto wykres sił normalnych, gdyż jest on zerowy. W rozwiązaniu nie
podano równań równowagi konstrukcji służących do wyznaczenia wartości
i zwrotów sił reakcji. Na rysunku zaznaczono właściwe zwroty i wartości
obliczonych sił reakcji.
Warto zwrócić uwagę, że w punkcie A belki wartość momentu nie jest równa
zeru. Dlaczego?
PRZYKA
AD 3
Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla
konstrukcji jak na rysunku. Dane: l  długość, q  intensywność obciążenia.
q
A B C E
M=ql2 D
2ql
l 2l l l
Uwolnienie z więzów:
q
A B C E
RAx
RE
M=ql2 D
RAy
2ql
l 2l l l
Równania równowagi:
1) Fx = RAx = 0
"
2) Fy = RAy + 2ql + RE - 2ql = 0
"
3) M = 2ql Å" l - 2ql Å" 4l + M + RE Å" 5l = 0
"
A
4) M = 2ql Å" l - 2ql Å" 4l + ql2 + RE Å" 5l = 0
"
A
Równanie 4) jest równoważne równaniu 3). W miejsce ogólnego oznaczenia
momentu gnącego M wstawiono jego wartość.
Wartości reakcji:
RAy = -ql, RE = ql
12
AGNIESZKA DEREWOC
KO
Rysunek konstrukcji z obliczonymi wartościami reakcji
UWAGA: Jeżeli obliczona wartość siły reakcji jest ujemna to na rysunku konstrukcji
z obliczonymi reakcjami zmieniamy założony zwrot reakcji i wpisujemy jej
wartość (bez znaku minus).
q
A B E
ql 2ql C D
ql
ql2
x3
x1 x2 x4
l 2l l l
Sprawdzenie:
M = -ql Å" 5l + 2ql Å" 4l - 2ql Å" l - ql2 = 0
"
E
Równania sił wewnętrznych. Siły normalne we wszystkich przedziałach są
równe zero dlatego nie umieszczono ich równań ani wykresu.
0 d" x1 d" l 0 d" x2 d" 2l
T (x1) = -ql T(x2 ) = -ql + 2ql = ql
M (x1 ) = -qlx1 M (x2 ) = -ql(l + x2 ) + 2ql Å" x2 = -ql2 + qlx2
g g
0 d" x3 d" l
T (x3) = -ql + qx3
2 2 2
qx3 ql ql l 3
2
M (x3) = qlx3 - ; M (x3 = l) = ql - = ; M (x3 = ) = ql2
g g g
2 2 2 2 8
0 d" x4 d" l
T (x4 ) = -ql + q(l + x4 ) = qx4
l + x4 3 q
2 2
M (x4 ) = ql(l + x4 ) - q(l + x4 ) Å" + ql2 = ql - x4
g
2 2 2
l 11
2
M (x4 = l) = ql M (x4 = ) = ql2
g g
2 8
q
A B C E
D
ql ql2
ql
2ql
ql
T(x)
ql
ql2
Mg(x)
1/2ql2
ql2
3/2ql2
13
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
PRZYKA
AD 4
Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla
konstrukcji jak na rysunku. Dane: L  długość, q  intensywność obciążenia.
q
qL2/2
qL
L L L L
ODP.: Wykresy sił wewnętrznych:
qL2/2 q
qL/4
qL/4
qL
3qL/4
T(x)
qL/4
qL2
3qL2/4
Mg(x)
qL2/4
qL2/32
PRZYKA
AD 5
Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla
konstrukcji jak na rysunku. Dane: a  długość, q  intensywność obciążenia.
2qa2
2q
A B C D E
qa
a a a a
Uwolnienie z więzów:
2qa2 Mu
2q
REx
A B C D E
REy
qa
RA
a a a a
Równania równowagi:
1) Fx = REx = 0
"
2) Fy = RA + REy - 2qa + qa = 0 REy = -RA + qa
"
5
3) M = Mu - qa Å" a + 2qa2 + 2qa Å" a - RA Å" 4a = 0
"
E
2
14
AGNIESZKA DEREWOC
KO
Równanie dodatkowe (wykorzystujemy właściwość przegubu  nie przenosi
momentu sił)  suma momentów sił względem lewej strony przegubu:
a
l
4) MC = RA Å" 2a - 2qa Å" = 0
"
2
UWAGA: Dodatkowe równanie równowagi warto napisać względem takiej strony
przegubu aby łatwo uzyskać było rozwiązanie matematyczne. Równanie 4)
można zapisać dla prawej strony przegubu. Będzie miało wtedy postać:
p
4a) MC = qa Å" a + REy Å" 2a + Mu = 0 .
"
Wyznaczenie reakcji jest wówczas bardziej pracochłonne ponieważ wymaga
złożonych przekształceń matematycznych. Istnieje wtedy większa szansa
pomyłki.
Obliczone wartości reakcji z równań 1 do 4:
qa qa
RA = REy = REx = 0 Mu = -4qa2
2 2
Sprawdzenie:
3 qa
M = 2qa Å" a - qa Å" 3a - 2qa2 - 4a Å" + 4qa2 = 0
"
A
2 2
Rysunek konstrukcji z obliczonymi siłami reakcji i określonymi przedziałami:
2qa2
2q
A B C D E
qa/2
qa
qa/2
x1 x2 x4 x3
4qa2
a a a a
Równania sił wewnętrznych:
0 d" x1 d" a
qa
T(x1 ) =
2
qa
M (x1 ) = x1
g
2
0 d" x2 d" a
qa
T(x2 ) = - 2qx2
2
qa x qa qa2
2
M (x2 ) = (a + x2 ) - 2qx = -qx2 + x2 + (funkcja kwadratowa)
g
2 2 2 2
qa2
M (x2 = 0) = ; M (x2 = a) = 0
g g
2
qa a
Miejsce zerowe funkcji siÅ‚y tnÄ…cej: T(x2 ) = - 2ax2 = 0 Ò! x2 =
2 4
a 9
Wartość funkcji momentów gnących dla ekstremum: M (x2 = ) = qa2
g
4 16
15
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
0 d" x3 d" a
qa
T(x3 ) = -
2
qa 7
M (x3 ) = x3 - 4qa2 ; M (x3 = 0) = -4qa2 ; M (x3 = a) = - qa2
g g g
2 2
0 d" x4 d" a
qa 3
T(x4 ) = - - qa = - qa
2 2
qa 7 3
M (x4 ) = (a + x4 ) - 4qa2 + qax4 = - qa2 + qax4
g
2 2 2
2qa2
2q
A B C D E
qa/2
qa
qa/2
4qa2
qa/2
qa/2
T(x)
a/4
3qa/2
4qa2
7qa2/2
2qa2
Mg(x)
qa2/2
9qa2/16
PRZYKA
AD 6
Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla
konstrukcji jak na rysunku. Dane: l  długość, q  intensywność obciążenia.
ql
q
A
B C D E
l l l l
Uwolnienie z więzów:
ql
q
A
RAX B C D E
R
DY
R
AY
Mu
l l l l
Równania równowagi:
1) Fx = RAX = 0
"
2) Fy = RAY + RDY - 2ql - ql = 0 RAY = -RDY + 3ql
"
3)
"M A = -Mu + 2ql Å" 2l + ql Å" 4l - RDY Å" 3l = 0
16
AGNIESZKA DEREWOC
KO
Równanie dodatkowe - suma momentów sił względem lewej strony przegubu:
l
p
4) MC = -RDY Å" l + ql Å" + ql Å" 2l = 0
"
2
5ql ql 1
2
Wartości reakcji: RDY = RAY = RAX = 0 Mu = ql
2 2 2
Rysunek konstrukcji z obliczonymi siłami reakcji i przedziałami
q
ql
A
B D E
C 5ql/2
ql/2
x1 x2 x4 x3
ql2/2 l l l l
Sprawdzenie:
5 ql2 ql
M = l Å" ql - 2ql Å" 2l - + 4l Å" = 0
"
E
2 2 2
Równania sił wewnętrznych:
0 d" x1 d" l
ql
T(x1 ) =
2
ql ql2
M (x1 ) = x1 -
g
2 2
0 d" x2 d" l
ql
T(x2 ) = - qx2
2
2 2
ql x2 ql2 ql qx2
M ( x2 ) = ( l + x2 ) - q - = x2 -
g
2 2 2 2 2
M (x2 = 0) = 0 ; M (x2 = l) = 0
g g
ql l
Miejsce zerowe funkcji siÅ‚y tnÄ…cej: T(x2 ) = - qx2 Ò! x2 =
2 2
l 1
Wartość funkcji momentów gnących dla ekstremum: M (x2 = ) = ql2
g
2 8
0 d" x3 d" l
T (x3) = ql
M (x3) = -qlx3
g
0 d" x4 d" l
5ql 3
T(x4 ) = qx4 - + ql = - ql + qx4
2 2
2 2
5 qx4 3 qx4
M (x4 ) = -ql(l + x4 ) + qlx4 - = -ql2 + qlx4 -
g
2 2 2 2
l 3
2
M (x4 = 0) = -ql2 ; M (x4 = l) = 0 ; M (x4 = ) = - ql
g g g
2 8
17
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
q ql
A
B C D E
5ql/2
ql/2
ql2/2
ql/2
ql
T(x)
3ql/2
ql2
ql2/2
Mg(x)
ql2/8
PRZYKA
AD 7
Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla
konstrukcji jak na rysunku. Dane: l  długość, q  intensywność obciążenia.
q
ql2
A
B C D E
Ä…
l l l l
Uwolnienie z więzów. W punkcie B jest podpora przegubowa przesuwna, która
zastępowana jest jedną siłą reakcji leżącą prostopadle do podłoża, czyli nachyloną
pod kątem ą do pionu. Do tworzenia równań równowagi wygodniej jest rozłożyć tę
siłę na dwie składowe: pionową i poziomą.
q ql2
RBx
B
REx
RB
A B C RBy Ä…
D E
RB
REy
Ä…
l l l l
RBy
RBx RBY
= sinÄ… Ò! RBx = RBsinÄ… = cosÄ… Ò! RB =
RB RB cosÄ…
Równania równowagi:
Fx = -RBx + REx = 0
"
Fy = RBy + REy - 2ql = 0
"
M = ql2 - REy Å" 3l = 0
"
B
Reakcje:
5 5 5 ql 5ql
RBx = ql Å"tgÄ… RBy = ql REx = ql Å"tgÄ… REy = RB =
3 3 3 3 3cosÄ…
18
AGNIESZKA DEREWOC
KO
q
ql2
5ql/3tgÄ…
5ql/3tgÄ…
ql/3
5ql/3
x1 x2 x4 x3
l l l l
Sprawdzenie:
5
M = -2ql Å" 3l + ql Å" 3l + ql2 = 0
"
E
3
Równania sił wewnętrznych:
0 d" x2 d" l
0 d" x1 d" l
5
N(x2 ) = qltgÄ…
N(x1 ) = 0
3
T(x1 ) = -qx1 5 2
T(x2 ) = -q(l + x2 ) + ql = ql - qx2
2
3 3
qx1
M (x1 ) = -
2
g
5 (l + x2 )2 2 q qx2
2
M (x1 ) = qlx2 - q = qlx2 - l2 -
g
3 2 3 2 2
0 d" x3 d" l 0 d" x4 d" l
5 5
N(x3 ) = qltgÄ… N(x4 ) = qltgÄ…
3 3
ql ql
T(x3 ) = - T(x4 ) = -
3 3
ql ql 2 qlx
M (x3 ) = x3 M (x4 ) = (l + x4 ) - ql2 = - ql2 +
g g
3 3 3 3
Wykresy sił wewnętrznych:
ql2
q
5ql/3tgÄ…
5ql/3tgÄ…
ql/3
5ql/3
N(x)
5ql/3tgÄ…
2ql/3
T(x)
ql/3
ql
ql2/3
ql2/2 2ql2/3
Mg(x)
ql2/3
19
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWI
ZANIA
Zad. 1
Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla belek jak
na rysunkach. Dane: a  długość, q  intensywność obciążenia.
2qa2
2qa2
q
q
2qa
2,5qa
a a
a a a a
BT1 BT2
2qa
q
5qa2
1,5qa2
qa
q
a
a a
a
a a
BT3 BT4
q
2qa
3qa2
2qa2
3qa
q
a
a a
a
a a
BT5 BT6
3qa
3qa2/2
2qa2
q
q
qa
a
a a
a
a a
BT7 BT8
2qa
3,5qa2
q
2qa2
qa
q
a
a a a
a a
BT9 BT10
3qa qa
q
q
qa2
qa2
a
a a
a
a a
BT11 BT12
2qa2
q
q
2qa2
3qa
2qa
a
a a
a
a a
BT13 BT14
20
AGNIESZKA DEREWOC
KO
3qa2
qa
q
q
2qa2
2qa
a
a a
a
a a
BT15 BT16
5/2qa2
q
3qa2
q
4qa
3qa
a
a a a
a a
BT17 BT18
qa
3 qa2/2
qa
q
q
2qa2
a a
a a a a
BT19 BT20
2qa
qa2 3qa2
q
2qa
q
a
a a
a
a a
BT21 BT22
2qa
4qa2
qa
q
q
qa2
a a
a a a a
BT23 BT24
q
2qa2 2qa
2qa2
2qa
q
a
a a
a
a a
BT25 BT26
2qa
q
2qa2
q
qa2
3qa
a
a a
a
a a
BT27 BT28
21
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
Zad. 2
Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla belek jak
na rysunkach. Dane: a  długość, q  intensywność obciążenia.
qa2/2
qa
qa2
q
q
qa
a a a a
a a a a
CB1 CB2
qa2
q
qa/2
qa2
qa
q
a a a a
a a a a
CB3 CB4
q
qa2 q qa2
qa
qa
qa/2
a a a
a
a a a a
CB5 CB6
qa/2
qa2/2
qa/2
qa2
q
q
a a a a
a a a a
CB7 CB8
qa2
qa2
qa/2
qa/2
q
q
a a a a
a a a a
CB9 CB10
q
qa2
qa
qa2
q
qa
a a a a a a a a
CB11 CB12
qa2 qa2
qa/2 q
q
qa
a a a a
a a a a
CB13 CB14
22
AGNIESZKA DEREWOC
KO
qa
qa2/2
qa q
2qa2
q
qa
a a a a
a a a a
CB15 CB16
2qa2
qa2/2
qa
2qa
q q
qa/2
qa
a a a a
a a a a
CB17 CB18
qa qa2/2
qa/2
qa2/2
q
q
a a a a
a a a
a
CB19 CB20
qa
qa2/2
q
2qa2
qa
q
a a a a
a a a a
CB21 CB22
qa2
q
qa
2qa2
q
qa/2
a a a a
a a a a
CB23 CB24
qa
qa
qa2 q
qa2
q
a a a a a a a a
CB25 CB26
qa
q
qa2 qa
qa2
q
a a a a
a a a a
CB27 CB28
23
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
RAMY PA
ASKIE
PRZYKA
AD 8
Obliczyć siły reakcji. Napisać równania i narysować wykresy sił wewnętrznych. Dane:
l  długość, q  intensywność obciążenia.
2q
2q
3ql
3ql
C
B D
l
l
ql2
ql2
2l
E
2l
RE
l l
R
AX
l l
A
R
AY
Równania równowagi:
Px = RAX + 3ql = 0 Ò! RAX = -3ql
"
Py = RAY + RE - 2ql = 0
"
l
M = 3ql Å" 2l + 2ql Å" - ql2 - RE Å" 2l = 0
"
A
2
Reakcje:
RAX = -3ql , RAY = -ql , RE = 3ql
Rysunek konstrukcji z obliczonymi wartościami reakcji:
2q
x4
3ql
x2
ql2
x3
E
3ql
x1
3ql
ql
Sprawdzenie:
3
M = ql2 + 2ql Å" l - 3ql2 + ql Å" 2l - 3ql Å" l = 0
"
E
2
Równania sił wewnętrznych:
M(x)
dodatnie zwroty
sił wewnętrznych
0 d" x1 d" 2l
T(x) zgodnie z tablicÄ…
N(x)
Fx = N(x) - ql = 0 Ò! N(x) = ql
"
znaków
w
Fy = 3ql - T(x) = 0 Ò! T(x) = 3ql
"
x1
MW = 3ql Å" x1 - M(x) = 0 Ò! M(x) = 3qlx1
"
3ql
ql
x1
y1
24
AGNIESZKA DEREWOC
KO
T(x)
2q
0 d" x2 d" l
3ql
w
M(x)
Fx = N(x) - 3ql + 3ql = 0 Ò! N(x) = 0
"
x2
N(x)
Fy =
" -ql - 2qx2 - T(x) = 0 Ò! T(x) = -ql - 2qx2
2
x2
y2 MW = -ql Å" x2 + 2ql Å" 2l - 2q - M(x) = 0 Ò!
"
3ql
2
x2
ql 2 2
M(x) = 6ql - qlx2 - qx2
M(x)
0 d" x3 d" l
T(x)
N(x)
Fx = N(x) + 3ql = 0 Ò! N(x) = -3ql
"
w
x3
Fy = T(x) = 0
"
x MW = M(x) = 0
3 "
3ql
y
3
x4
N(x)
0 d" x4 d" l
M(x)
w
Fx = N(x) = 0
"
T(x)
Fy = T(x) + 3ql = 0 Ò! T(x) = -3ql
"
MW = 3qlx4 - M(x) = 0 Ò! M(x) = 3qlx4
"
x
4
y
4
3ql
6ql2
B
B
3ql2
B
4ql2
6ql2
ql
3ql
3ql
N(x) T(x)
ql Mg(x)
3ql
W przypadku ram, oprócz metod przedstawionych na stronie 8, dodatkowym
sprawdzeniem otrzymanych wyników jest badanie równowagi naroży. W tym celu
należy narysować wybrane dowolnie naroże konstrukcji (np. pkt. B) wraz
z obciążeniem zewnętrznym (w tym przypadku bez siły skupionej od obciążenia
ciągłego gdyż jest ona równa zero  długość odcinka na którym działa jest równa
zero). Następnie w przekrojach nanoszone są wektory sił wewnętrznych odczytane
z wykresów. Należy napisać trzy równania równowagi. Jeżeli równania są spełnione
tożsamościowo (sumy są równe 0) naroże jest w równowadze.
Mg(x2)
B
3ql
6ql2
Fx =
" -3ql + 3ql = 0
ql T(x2)
3ql ql
Fy =
" -ql + ql = 0
N(x2)
6ql2
2 2
M = 6ql - 6ql = 0
"
B
T(x2)
Mg(x1)
25
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
PRZYKA
AD 9
Obliczyć siły reakcji. Napisać równania i narysować wykresy sił wewnętrznych. Dane:
a  długość, q  intensywność obciążenia.
2q q
B C D
2a
a
2a
A E
Uwolnienie z więzów
2q q
B C D
2a
a
2a
A E
RAX R
EX
RAY REY
Równania równowagi:
Px = RAX - REX = 0
"
Py = RAY + REY - 2qa - q Å" 2a = 0
"
a
M = -2qa Å" - q Å" 2a Å" 2a + REY Å" 3a = 0
"
A
2
p
MC = 2qa Å" a - REX Å" 2a - REY Å" 2a = 0
"
Reakcje:
2 7 2 5
RAX = qa , RAY = qa , REX = qa , REY = qa
3 3 3 3
Rysunek konstrukcji z obliczonymi wartościami reakcji i przyjętymi spodami:
2q q
B D
x2 x4
C
2a
a
2a
A
x3
E
x1
2qa/3 2qa/3
5qa/3
7qa/3
26
AGNIESZKA DEREWOC
KO
Równania sił wewnętrznych:
0 d" x1 d" 2a
7
N(x1 ) = - qa
3
2
T(x1 ) = - qa
3
2
M (x1 ) = - qax
g
3
0 d" x2 d" a
Obciążenie konstrukcji w przedziale x2
Siły w punkcie B:
a x2/2
2q
- Pionowa siła 7qa/3 została przesunięta po
C
2qa/3
2qa/3
swojej linii działania z punktu A
- Obciążenie ciągłe działające na odcinku x2
B 2qx2 w
jest zredukowane do siły skupionej o wartości
7qa/3
2qx2 przyłożonej w połowie przedziału x2
x2
- Do pkt. B przyłożona jest dwójka  zerowa
2a
złożona z dwóch przeciwnie skierowanych
poziomych sił o wartości 2qa/3 równej wartości
a
siły poziomej działającej w pkt. A. Para sił
oznaczona  \\ działająca na ramieniu 2a
A
powoduje powstanie momentu sił o wartości
2qa/3 4qa2/3, leżącego prostopadle do płaszczyzny, w
7qa/3
której leżą siły i odcinek 2a.
b
W efekcie na fragment konstrukcji BW (o długości
x2/2
2q
x2) działa obciążenie jak na rysunku b.
C
4qa2/3
2qa/3
B 2qx2 W
7qa/3
x2
2
N(x2 ) = - qa
3
7
T(x2 ) = qa - 2qx2
3
7 4 x2 7 4
2
M (x2 ) = qax2 - qa2 - 2qx2 Å" = qax2 - qa2 - qx2
g
3 3 2 3 3
a
x = a
Siła wewnętrzna x = 0 x =
2
7 1 4
T(x) qa qa qa
3 3 3
4 5
Mg(x) - qa2 0 - qa2
3 12
27
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
0 d" x3 d" 2a
5
N(x3 ) = - qa
3
2
T(x3 ) = qa
3
2
M (x3 ) = - qax
g
3
0 d" x4 d" 2a
Przedział x4 rozpatrujemy podobnie jak przedział x2.
q
2qa/3
W
C D
qx4 2qa/3
4qa2/3
5qa/3
q
2qa/3
x4
2a
W
C D
qx4
5qa/3
2a
x4
E
2qa/3
5qa/3
2
N(x4 ) = - qa
3
5
T(x4 ) = - qa + qx4
3
2
4 x4 4 qx4
M (x4 ) = - qa2 - qx4 Å" = - qa2 -
g
3 2 3 2
a
Siła wewnętrzna x = 0 x = 2a x =
2
5 1 2
T(x) - qa qa - qa
3 3 3
4 1
Mg(x) - qa2 0 - qa2
3 6
Wykresy sił wewnętrznych
7qa/3
qa/3
2qa/3
5qa/3
N(x)
T(x)
7qa/3 5qa/3
2qa/3 2qa/3
28
AGNIESZKA DEREWOC
KO
qa/6
5qa/12
4qa/3 4qa/3
a/2 a
Mg(x)
Wykresy po stronie włókien rozciąganych
PRZYKA
AD 10
Obliczyć siły reakcji. Napisać równania i narysować wykresy sił wewnętrznych. Dane:
L  długość, q  intensywność obciążenia.
q q qL
L L
2qL
L L L
L
L
L
qL2 qL2
2L
2L
2qL
2qL
N(x)
L
R3=3qL
R1=qL
L
3qL qL
R2=3qL
R4=qL
5qL2/2
2qL
2qL2
3qL
6qL2
qL
2qL2
7qL2/2
2qL
Mg(x)
T(x)
qL
3qL qL2
PRZYKA
AD 11
Obliczyć siły reakcji. Napisać równania i narysować wykresy sił wewnętrznych. Dane:
L  długość, q  intensywność obciążenia.
q
q
L L
L
L
L L
R4=2qL
R =3qL
3
L
qL2 L
qL2
qL
R =qL
2
R =qL
1
qL
29
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
2,5qL2
2qL2
2qL
qL qL2
0,5qL2
2qL
qL2
qL
2qL
3qL
qL2
T(x)
Mg(x)
qL
N(x) qL
qL
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWI
ZANIA
Zad. 3
Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla ram jak
na rysunkach. Dane: a  długość, q  intensywność obciążenia.
q
q
a a
a a a a
2qa qa
2 2
a a a
1KP 2KP
q q
a a
qa2
2qa
a a a a
2qa
2 2
a a a
3KP 4KP
q q
a a
qa2/2
qa2 qa
a a
a a
qa
a a
5KP 6KP
q q
a a
qa2/2
qa2
a a
a a
2qa qa
a a
7KP 8KP
30
AGNIESZKA DEREWOC
KO
q
q
a
qa2 2qa2 a
qa
a a
a
a
qa
a a
9KP 10KP
q
qa
a
a
qa2
qa2
q
a
a
a
qa
a a
a
11KP 12KP
q
q
a a
qa2
qa2
qa
a a
2qa
a a
a a
13KP 14KP
q
2qa
q
a
qa2
/2
qa2 a
a a
2q
a a
a a
15KP 16KP
q q
a a
qa2 qa2 2qa
/2
a a
qa
a a a a
17KP 18KP
q
q
2qa2
a a
a a a a a a
2qa
2qa
2 2 2 2
a
a
19KP 20KP
31
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
q
q
qa
a a
qa2
a a a a
2qa
2 2
a a
a
21KP 22KP
q
qa
2qa
q
qa2
a a
2qa2
a a a a
2 2
a a
a
23KP 24KP
q
qa
q
a a
qa2
a a a a
qa
2 2
a a a
25KP 26KP
2qa
q
q
a a
qa2 2qa
qa2 a
a a a
2 2
a
a a
27KP 28KP
q
a a
qa2
2qa
q
a a a a
2 2
a a
a
29KP 30KP
32
AGNIESZKA DEREWOC
KO
Zad. 4
Napisać równania sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy dla ram jak
na rysunkach. Dane: l  długość, q  intensywność obciążenia.
l l
2ql
q
l
l
q
l
l
l l
2ql
A
1 A
2
ql
q
5ql/2
l
l
l
l l q l l l
A
3 A
4
q
2ql q
l
l
l
ql
l
l
l l l
ql
A
5 A
6
l l l
l
l l
ql/2
l
q
ql
l
l
q
A
7 A
8
q
q
l l
ql2
l l
ql2
l l l l
A
9 A
10
33
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
ql
l
2
q
q
ql2 l
l
2
l l
l l
2 2 l
A
11 A
12
ql
ql
l
q
2
q
l
l
2
l l
l
l
2 2
l
A
13 A
14
l l
l
2 2 l
2
l
q
2
q
l
ql
2ql2
l
2
l
A
15 A
16
ql
l
l
2
2
l
l
q
2
2
q
l
l l l
2
2 2 2 l
A
17 A
18
l l
l l
2 2 l
ql2
ql
l
ql2
q
l
2
2
q
l
l
2
2
A
19 A
20
l
q
2
ql
l
2ql2
l
q
l
l l
2 2
l l
A
21
A
22
34
AGNIESZKA DEREWOC
KO
RAMA PRZESTRZENNA
PRZYKA
AD 12
Narysować wykresy sił wewnętrznych. Dane: długości a, b, c; obciążenie P, M.
P
Z
a
b
M
P
a
c
b
M
Y
RY
MAX RX MAY
c
X
RZ
M
AZ
Równania równowagi:
FX = RX - P = 0 RX = P
"
FY = RY = 0 RY = 0
"
FZ = RZ = 0 RZ = 0
"
M = M - M = 0 M = M
"
X AX AX
MY = M - Pc = 0 M = Pc
"
AY AY
M = M + Pa = 0 M = -Pa
"
Z AZ AZ
D P
Z
a
x
1
b
C
x
B 2
M
x
3
c
Y
M
P
Pc
X
A
Pa
Równania sił wewnętrznych:
y1
D
DC 0 d" x1 d" a
P
Ty1( x1 ) = 0
N( x1 ) = 0 Tz1( x1 ) = P
z1
Mgy1( x1 ) = Px1 Mgz1( x1 ) = 0
Ms(x1 ) = 0
x1
x1
Na rysunkach linią dwukrotnie kropkowaną oraz szarą płaszczyzną oznaczono
spody. Wektory z ozdobnymi grotami oraz ozdobne podpisy dotyczÄ… redukowanych
sił i powstałych w wyniku momentów sił.
35
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
y2
CB 0 d" x2 d" b
D
P
N( x2 ) = -P
Pa
C
Ty 2( x2 ) = 0
a
Tz2(x2 ) = 0
M
P P
Mgy2( x2 ) = Pa
Mgz2( x2 ) = 0
x2
Ms(x2 ) = -M
z2
P
D
BA 0 d" x3 d" c
N(x3 ) = 0
Pa
B
C
a
y3 Ty3(x3 ) = P
Tz3(x3 ) = 0
M
z3
P P
M
M (x3 ) = M
gy3
Mgz3( x3 ) = Px3
x3
M (x3 ) = Pa
s
Wykresy sił wewnętrznych:
N(x) Ms(x)
Z
M
P
Y
X
P
Mg(x)
P
T(x)
P
Z
M Pa
Pa
Y
X
Pc
P
36
AGNIESZKA DEREWOC
KO
PRZYKA
AD 13
Narysować wykresy sił wewnętrznych. Dane: L - długości; obciążenie P.
x1
y
q
B C
2L
x2
P
L
A
x
z
Równania sił wewnętrznych:
y1 CB 0 d" x1 d" 2L
q
N( x1 ) = 0
Ty1(x1 ) = -qx
Tz1(x1 ) = -P
2
qx1
x1 P
M (x1 ) = Px1
Mgz1(x1 ) = -
gy1
2
z1
M (x1 ) = 0
s
2
2qL
q
BA 0 d" x2 d" L
2PL P
y2 B N(x2 ) = -2qL
C
2qL
Ty2(x2 ) = 0
P
z2
Tz2(x2 ) = -P
P
L
x2
M (x2 ) = Px2
gy2
2L
M (x2 ) = -2qL2
2qL
gz2
M (x2 ) = -2PL
s
Wykresy sił wewnętrznych:
y y
2qL 2PL
N(x)
Ms(x)
x x
z
z
y
2qL2
y
P
2qL2
2PL
2qL
P
Mg(x)
x
x
T(x)
z
z
PL
37
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWI
ZANIA
Zad. 5
Narysować wykresy sił wewnętrznych. Dane długości prętów oznaczone są
kolejnymi, małymi literami alfabetu; siły i skupione momenty sił literami dużymi.
Wektor z pojedynczym grotem jest oznaczeniem siły, z podwójnym grotem -
skupionym momentem siły.
101K-D 102K-D
F A
a c
b d
103K-D 104K-D
C
B
h
g
f
e
105K-D 106K-D
Q
P
n
m
k
j
107K-D 108K-D
A
F
a c
b d
38
AGNIESZKA DEREWOC
KO
109K-D 110K-D
C
B
h
g
f
e
111K-D 112K-D
Q
P
n
m
k
j
113K-D 114K-D
A
F
a c
b d
115K-D 116K-D
C
B
h
g
f
e
117K-D 118K-D
Q
P n
m
k
j
39
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
119K-D 120K-D
A
a c
F
b d
121K-D 122K-D
B h
g
f
e C
123K-D 124K-D
n
P m
k
j
Q
Zad. 5
Narysować wykresy sił wewnętrznych. Dane: l - długości prętów; P  siła.
200RPS 201RPS
P
P
P
P
l
l
l
l
l
l
l
202RPS 203RPS
P
P
P
l
P
l
l
l
l
l
l
40
AGNIESZKA DEREWOC
KO
204RPS 205RPS
P
P
P
P
l
l
l
l
l
l
l
206RPS 207RPS
P
P P
P
l
l
l
l
l
l
l
208RPS 209RPS
P
P P
P
l
l
l
l
l
l
l
210RPS 211RPS
P
2P
2P
P
l
l
l
l
l
l
l
212RPS 213RPS
2P
P
2P
l
l P
l
l
l
l
l
41
SIA
Y WEWN
TRZNE W KONSTRUKCJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
214RPS 215RPS
2P
P
P
2P
l
l
l
l
l
l
l
216RPS 217RPS
2P
2P P
P
l
l
l
l
l
l
l
218RPS 219RPS
P
P 2P
2P
l
l
l
l
l
l
l
220RPS 221RPS
2P
2P P
P
l
l
l
l
l
l
l
42