ROZCI
GANIE PR
TA PROSTEGO
NAPR
śENIA DOPUSZCZALNE
1. Analiza pręta statycznie wyznaczalnego
Przy osiowym rozciąganiu i ściskaniu w przekrojach poprzecznych pręta występu-
jÄ… tylko naprÄ™\
enia normalne Ã. Badania doÅ›wiadczalne wykazujÄ…, \
e przy ściska-
niu większość materiałów podlega tym samym zale\
nościom, co przy rozciąganiu.
Zatem, rozpatrzymy przypadek pręta rozciąganego siłą N (rys. 1).
Rys. 1. Pręt rozciągany siłą N
Na podstawie zasady de Saint-Venanta przyjmuje siÄ™, \
e niezale\
nie od sposobu
przyło\
enia obciÄ…\
enia w poszczególnych przekrojach poprzecznych pręta naprę-
\
enia normalne są rozło\
one równomiernie (Ã = const). StÄ…d
N
N = dA = ÃA
à =
+"ÃdA = Ã +"
(1)
A
A A
Podczas rozciągania długość początkowa pręta lo zwiększa się, a wymiary po-
przeczne ulegajÄ… zmniejszeniu.
Bezwzględne wydłu\
enie pręta jest równe
Nl0 Ã
"l = = l0 (2)
EA E
W celu obliczenia naprÄ™\
eń i odkształceń w poszczególnych przekrojach
pręta nale\
y wyznaczyć rozkład sił wzdłu\
nych N. Wartość siły wzdłu\
nej w do-
wolnym przekroju poprzecznym jest równa sumie algebraicznej rzutów na oś pręta
wszystkich sił zewnętrznych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju
n
N = Pi (3)
"
i=1
1
W przypadku, gdy rozpatrywany pręt składa się z kilku odcinków o ró\
nych prze-
krojach, wydłu\
enie bezwzględne pręta oblicza się sumując algebraiczne zmiany
odległości poszczególnych jego odcinków
n
Nili
"l =
"
EiAi (4)
i=1
2. NaprÄ™\
enia dopuszczalne. Obliczenia wytrzymałościowe
Wzrost naprÄ™\
eń i związanych z nimi odkształceń ciała powoduje zmiany w je-
go stanie fizycznym, które prowadzą w rezultacie do odkształceń trwałych, a na-
wet zniszczenia spójności materiału. Zmiany te określa się jako wytę\
enie mate-
riału Wzrost wytę\
enia mówi nam "o wyczerpywaniu wytrzymałości materiału".
MiarÄ… wytÄ™\
enia w przypadku osiowego działania siły w pręcie jest naprę\
enie
normalne à w jego przekroju. Próba rozciÄ…gania lub Å›ciskania pozwala na wyzna-
czenie naprÄ™\
enia niebezpiecznego Ãnieb, za które w zale\
ności od warunków
mo\
na uznać Rm, Re lub wytrzymałość na zmęczenie. W poprawnie zaprojektowa-
nej konstrukcji wytÄ™\
enie nie powinno nigdzie osiągnąć stanu niebezpiecznego.
W przypadku prętów rozciąganych (ściskanych) naprę\
enia à powinny mieć war-
tość mniejszą ni\
naprÄ™\
enia niebezpieczne. Tę dopuszczalną wartość naprę\
enia
nazywa siÄ™ naprÄ™\
eniem dopuszczalnym Ãdop (Ãdop < Ãnieb).
Ã
nieb
Ãdop =
(5)
n
gdzie n > 1 - współczynnik bezpieczeństwa (pewności).
Współczynnik ten powinien uwzględniać prawdopodobieństwo zupełnie przypad-
kowych odstępstw od warunków przyjętych za podstawę obliczeń. Mo\
na by siÄ™
spodziewać, \
e współczynnik ten będzie niewiele większy od 1. W praktyce jed-
nak współczynnik ten, odnoszący się do wytrzymałości Rm nierzadko osiąga war-
tość 6, a nawet 10. Właściwy dobór współczynnika bezpieczeństwa jest jednym z
podstawowych zagadnień w nauce konstrukcji maszyn i wymaga dokładnej zna-
jomości całokształtu problemów konstrukcyjnych, technologicznych i eksploata-
cyjnych.
Podstawą do obliczeń wytrzymałościowych prętów poddanych działaniu siły
osiowej jest równanie (1)
N
à =
à d" Ãdop
i warunek
A
2
N
à =
Zale\
nie od tego, która z wielkości równania
jest nieznana, rozró\
nia siÄ™
A
trzy typy obliczeń wytrzymałościowych.
2.1. Obliczenie sprawdzajÄ…ce
Dane są: siła podłu\
na N, kształt oraz wymiary przekroju pręta, a tym samym
wielkość A i Ãdop lub Ãnieb. Wyznacza siÄ™ wartość naprÄ™\
eń normalnych à i spraw-
dza, czy spełniony jest warunek
à d" Ã
dop
lub oblicza wartość współczynnika bezpieczeństwa
Ãnieb
n =
Ã
2.2. Wyznaczenie obciÄ…\
enia dopuszczalnego
Dane sÄ…: pole powierzchni przekroju prÄ™ta A i Ãdop. Wyznacza siÄ™ dopuszczalnÄ…
wartość siły osiowej
Ndop = AÃdop
a stÄ…d w zale\
ności od związków między obcią\
eniem P a siłą podłu\
nÄ… N - war-
tość obcią\
enia dopuszczalnego Pdop.
2.3. Wyznaczenie wymiarów
Dane są: siła podłu\
na N i naprÄ™\
enie dopuszczalne Ãdop. Wyznacza siÄ™ koniecznÄ…
wielkość przekroju.
N
A =
Ãdop
Znając zaś A, oblicza się dla danego kształtu przekroju jego wymiary charaktery-
styczne.
3
Zadanie 1. Wykonać wykresy sił i naprę\
eń normalnych dla pręta przedstawione-
go na rysunku. Obliczyć całkowite wydłu\
enie tego pręta oraz przemieszczenie
punktu B dla danych jak na rysunku.
1. Warunki równowagi.
N1 = Q dla 0 d" x d" l
N2 = -3Q dla l d" x d" 2l
2. Warunki geometryczne.
 = 1 + 2
3. ZwiÄ…zki fizyczne.
x2
d Ã
µ = d = µdx;  =
+"µdx µ = E
dx
x1
x2
1
 =
+"Ãdx
E
x1
N Å"l N
 = = Ã
E Å" F F
l 2l
1 N1 1 N2
1 = dx; 2 = dx
+" +"
E F E F
0 l
4
N1 Q N2 3Q
Ã1 = = ; Ã2 = = -
F F 2F 2F
l 2l
1 N1 1 N2
1 = dx; 2 = dx
+" +"
E F E 2F
0 l
1 Q 1 3Q
1 = Å" l; 2 = - Å" l
E F E 2F
1 Q 1 3Q 1 Ql
 = 1 + 2 = Å" l + (- Å" l ) = -
E F E 2F 2 EF
Wykresy sił i naprę\
eń normalnych
Rys. Wykresy siły normalnej i naprę\
enia
5
Zadanie 2. Przeprowadzić analizę pryzmatycznego pręta pionowego obcią\
onego
siłami P1, P2 i cię\
arem własnym. Wyznaczyć wartości sił rozciągających, naprę-
\
eń normalnych i wydłu\
eń poszczególnych części. Długość l1, l2, przekrój A, mo-
duł Younga E oraz cię\
ar właściwy ł są znane.
1. Warunki równowagi.
Przy zastosowaniu metody przecięć wyznaczono wartości sił normalnych w prze-
krojach określonych współrzędnymi xa i xb
Na = P1 + Å‚ Axa
dla 0 d" x d" l1
N = P1
A
NB = P1 + Å‚Al1 NB = P1 + P2 + Å‚Al1
i
.............................................................................................................
Nb = P1 + P2 + Å‚ Axb
dla 0 d" x d" l1 + l2
NB = P1 + P2 + Å‚Al1
NC = P1 + P2 + Å‚ A(l1 + l2)
..............................................................................................................
Rc = P1 + P2 + Å‚ A l1 + l2 dla 0 d" x d" l1 + l2
( )
6
2. Warunki geometryczne.
 = AB + BC
3. ZwiÄ…zki fizyczne.
Wydłu\
enia poszczególnych odcinków wynoszą
x2
d Ã
µ = d = µdx;  =
+"µdx µ = E
dx
x1
x2
1
 =
+"Ãdx
E
x1
N Å"l N
 = = Ã
E Å" F F
Wartości naprę\
eń normalnych w przedziałach AB i BC wynoszą
P1 Å‚ xa A
P1 + P2
à = +
à = + ł xb
i
AB
BC
A A A
oraz w punktach A, B i C
P1
à =
A
A
P1 P1 + P2
ÃB = + Å‚ l1 ÃB = + Å‚ l1
i
A A
P1 + P2
ÃC = + Å‚ l1 + l2
( )
A
l1 l1+l2
1 P1 1 P1 + P2
ëÅ‚ öÅ‚dx ëÅ‚
AB = BC = + Å‚ xb öÅ‚dxb
ìÅ‚ ÷Å‚
a
+"ìÅ‚ + Å‚ xa ÷Å‚ ; +"
E A E A
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
2
P1l1 l12
P1 + P2 (l1 +l2)
AB = + Å‚
BC = (l1 +l2)+ Å‚
EA 2E EA 2E
 = AB + BC
7
8