XIV Konferencja Naukowa – Korbielów 2002

„Metody Komputerowe w Projektowaniu i Analizie Konstrukcji Hydrotechnicznych”

Metoda rozwiązywania przestrzennych (3-D) zagadnień

odkształceń i naprężeń termicznych w masywnych,

betonowych konstrukcjach hydrotechnicznych

przez sprowadzenie do zadania płaskiego (2-D)

Wojciech Biliński

1

Krzysztof Podleś

2

1.

WSTĘP - ASPEKTY KONSTRUKCYJNE, TECHNOLOGICZNE

I ŚRODOWISKOWE KSZTAŁTOWANIA MASYWNYCH ELEMENTÓW
BETONOWYCH

Podczas hydratacji cementu wydziela się ciepło, które powoduje znaczny wzrost

temperatury betonu. Jeżeli jest on równomierny w całym elemencie betonowym bez
jakiegokolwiek ograniczenia zewnętrznego, to wtedy element będzie pęczniał, aż do
osiągnięcia temperatury maksymalnej. Następnie podczas chłodzenia wskutek
odprowadzenia ciepła do otoczenia nastąpi równomierne kurczenie się betonu – tak więc
nie wystąpią żadne naprężenia termiczne w elemencie betonowym. W praktyce występują
jednak i są przyłożone określone więzy wewnętrzne i zewnętrzne, prawie we wszystkich
elementach betonowych.

Więzy wewnętrzne wynikają z faktu, że gdy powierzchnia betonu oddaje ciepło do

otoczenia, to następuje zróżnicowanie temperatur pomiędzy chłodną warstwą zewnętrzną, a
gorącym wnętrzem masywnego bloku betonowego. Ciepło nie jest przekazywane do
przypowierzchniowych części zewnętrznych dostatecznie szybko z powodu niskiego
przewodnictwa cieplnego betonu, co w rezultacie powoduje to, że swobodne pęcznienie
termiczne jest niejednakowe w różnych częściach elementu betonowego. Te zagadnienia
zostały szczegółowo omówione w [2], [3], [4].

Ograniczenie swobodnego pęcznienia powoduje powstawanie naprężeń ściskających

w jednych częściach elementu i rozciągające w innych. Jeżeli naprężenie rozciągające na
powierzchni elementu wskutek pęcznienia wnętrza przekroczy wytrzymałość na rozciąganie
betonu lub jeżeli przekroczona jest zdolność na odkształcenie przy rozciąganiu powstaną
wtedy spękania na powierzchni masywnego bloku betonowego.

W rzeczywistości sytuacja jest bardzo złożona, gdyż pojawia się zjawisko pełzania,

które wyraźnie zaznacza się w bardzo młodym betonie, redukuje część naprężeń

1

Dr inż., Wydział Inżynierii Środowiska, Politechnika Krakowska

2

Mgr inż., Wydział Inżynierii Środowiska, Politechnika Krakowska

75

ściskających pozostałych we wnętrzu elementu betonowego, jednak szybkość zmiany
temperatury odgrywa również pewną ważną rolę.

Więzy wewnętrzne mogą wystąpić również gdy beton, o wyższej temperaturze

początkowej, układany jest na powierzchni o znacznie niższej temperaturze podłoża lub
formowany w niezaizolowanym deskowaniu, przy niskiej temperaturze otoczenia. W takich
warunkach różne części elementu betonowego są formowane faktycznie w różnych
temperaturach. Podczas oziębienia wnętrza bloku betonowego następuje skurcz cieplny,
który jest ograniczony przez wcześniej oziębioną część zewnętrzną i wtedy mogą wystąpić
groźne spękania wewnętrzne. Według badaczy zajmujących się tą dziedziną można
przytoczyć, że pękanie wystąpi wtedy, gdy różnica temperatur określonych warstw betonów
przekroczy graniczną wartość 20

C (podana w normie europejskiej ENV 206:1992 - [5]).

Dla różnicy temperatur wynoszącej 20

C, przyjmując współczynnik rozszerzalności

cieplnej betonu równy



T

= 1,0

 10

-5

[1/

C] zróżnicowanie odkształceń wynosi 2,0  10

-4

i

jest to realistyczna ocena rozciągających odkształceń powodujących spękania betonu [2].

Główną przyczyną różnic temperatur w elemencie betonowym jest powstawanie ciepła

podczas procesu hydratacji cementu. Należy zastosować cement o takim składzie
chemicznym, który charakteryzuje się niską szybkością wydzielania ciepła. Z punktu
widzenia powstawania różnicy temperatur, nie chodzi tylko o całkowite ciepło wydzielania,
ale także o szybkość jego wydzielania. Tak więc odpowiedni dobór jakościowy i ilościowy
cementu ma kapitalne znaczenie ostatecznie na wytrzymałość betonu na rozciąganie, a więc
na mniejszą podatność na spękania. Środkiem zaradczym jest również ograniczanie ilości
cementu w betonie, jak również stosowanie cementów mieszanych z dodatkiem pucolany
przez co można obniżyć maksymalną temperaturę i opóźnić jej wystąpienie.

Oczywiście dla masywnych elementów betonowych może nastąpić wzrost temperatury

przekraczający graniczną wartość 20

C i wtedy nie należy dopuścić, aby powierzchnia

betonu ochładzała się zbyt raptownie. Stąd też muszą być kontrolowane izolacyjne
własności deskowania i czas jego usunięcia [2].

Dotyczy to również stałej kontroli wartości temperatur zarówno wnętrza masywnego

betonu jak i wody schładzającej go, przepływającej wewnątrz sieci rurek o nieznacznym
przekroju umieszczonych wewnątrz bloku betonowego. Problemy technologiczne dot.
stałego monitoringu temperatur masywnych bloków betonowych w trakcie ich realizacji,
stanowiących przyczółki i inne elementy konstrukcyjne nowego mostu wzniesionego w
Warszawie, oraz ustalania odpowiedniej temperatury wody schładzającej w sieciach rurek
umieszczonych we wnętrzu bloku betonowego z zastosowaniem specjalistycznego
oprogramowania komputerowego, zostały przedstawione na XIII Konferencji Naukowej w
Korbielowie 7 marca 2001 r. przez dra hab. inż. Piotra Witakowskiego [6].

Dobra znajomość cieplnego zachowania betonu jest konieczna dla zmniejszenia

ujemnych skutków tego zjawiska. Wzrost temperatury betonu uzależniony jest od miejsca w
elemencie betonowym, jak również od wieku betonu i szczegółów dotyczących izolacji.
Właściwości betonu w poszczególnych miejscach mogą być w znaczącej mierze
ukształtowane przez zastosowanie pielęgnacji dostosowanej do temperatury.

Pomiary temperatury w różnych miejscach masywnego betonu mogą być przydatne w

dostosowaniu izolacji cieplnej tak, aby zminimalizować gradienty temperatur wewnątrz
dojrzewającego betonu.

Na rys. 1, 2, 3 zamieszczono praktyczny przykład realizacji masywnego bloku

betonowego w budownictwie hydrotechnicznym, tzw. galerii kontrolno-zastrzykowej
usytuowanej pod zaporą ziemną na rzece Skawie.

76

Rys.1.

Widok ogólny masywnej

hydrotechnicznej, konstrukcji betonowej

Rys.2

Wejście do wnętrza masywnego bloku

betonowego, tzw. galerii kontrolno-

zastrzykowej pod zaporą ziemną

2.

CEL I ZAKRES ANALIZY

Szczegółowa analiza pól termiczno-skurczowych jak i analiza mechaniczna

masywnych konstrukcji betonowych stanowi problem trójwymiarowy (3-D), jednak
powstaje pytanie, czy w szczególnych sytuacjach praktycznych możliwa jest redukcja
wymiarowości zagadnienia do dwuwymiarowego (2-D), nie prowadząca do zbyt istotnej
utraty dokładności analizy.

Celem niniejszego opracowania była odpowiedź na powyższe pytanie i zbadanie

wpływów : oddziaływania więzów - podłoża (o różnej sztywności) na blok betonowy i
długości masywnego bloku betonowego na wartości odkształceń i naprężeń efektywnych
oraz sił całkowitych i rozciągających w masywnym bloku betonowym, w jego kierunku
podłużnym (wzdłuż osi „z”), w przekroju usytuowanym w połowie jego długości.

W przeprowadzonej analizie uwzględniono wpływ niestacjonarnych (zmiennych w

czasie i przestrzeni) pól termicznych oraz wpływ oddziaływań różnorodnego podłoża (od
miękkiego poprzez średnio sztywne do sztywnego) na stan odkształceń, naprężeń i rozkłady
sił całkowitych oraz rozciągających, w masywnym bloku betonowym i w zależności od jego
długości. Przyjęto kilkuetapowy tok postępowania w analizie numerycznej powyższego
zagadnienia :

1) wykonano trójwymiarową (3-D) analizę komputerową MES pól termicznych,

naprężeń oraz sił całkowitych i rozciągających termiczno-skurczowych w masywnym
bloku betonowym, dla różnych warunków początkowo-brzegowych, posadowionym
na podłożach gruntowych o różnych sztywnościach. Do obliczeń (3-D)
niestacjonarnego przepływu ciepła wewnątrz bloku (rozkłady pól temperatur T
(x,y,z,t)) oraz do analizy mechanicznej zastosowano program Z-SOIL-3D [1],
wykorzystując model betonu ze starzeniem, ze zmiennymi w czasie : modułem
Younga E i miarą pełzania,

77

2) wykonano (2-D) dwuwymiarową analizę komputerową MES (programami dotychczas

opracowanymi w Zakładzie Podstaw Konstrukcji Budowli Wodnych PK) pól
termicznych T(x,y,t) w przekrojach poprzecznych oraz podłużnym, naprężeń oraz sił
całkowitych i rozciągających termiczno-skurczowych w ww. bloku betonowym, o
tych samych wymiarach poprzecznych i długości oraz posadowionym na podłożach o
sztywnościach odpowiadających wartościom przyjętym dla zagadnienia
przestrzennego (3-D),

2.1)

wyznaczono niejednorodne pole temperatur T(x,y,t) w przekroju
poprzecznym konstrukcji,

2.2)

dokonano uśrednienia temperatur w przekroju poprzecznym (osie x-y),
wyznaczono odkształcenia narzucone



0

(x,y,T) i „przeniesiono” je na

przekrój podłużny (wzdłuż osi z),

2.3)

obliczono naprężenia oraz siły całkowite i rozciągające w ww. bloku
betonowym, w przekroju podłużnym (oś z),

3) porównano rezultaty obliczeń komputerowych MES, uzyskanych dla obu różnych

dróg analizy komputerowej ww. zagadnienia : dwuwymiarowej (2-D) z przestrzenną
(3-D).

3.

OBLICZENIA KOMPUTEROWE MES

3.1. Przyjęte założenia

Model numeryczny formułuje się przy następujących założeniach :

Z1. Rozważany układ : geometria masywnego bloku betonowego (3-D oraz 2-D) +

przyjęty model podłoża traktuje się jako jednorodny w kierunku osi „z”.

Z2. Zakłada się, że w analizie trójwymiarowej (3-D) odkształcenia narzucone



0

(x,y,z,t)

są niejednorodne w płaszczyznach : przekroju poprzecznego „x-y” i przekroju
podłużnego „y-z” .

Z3. Zakłada się, że w analizie dwuwymiarowej (2-D) odkształcenia narzucone



0

(x,y,z,t)

są niejednorodne w płaszczyźnie przekroju poprzecznego „x-y” i jednorodne w
kierunku osi „z” (w płaszczyźnie przekroju podłużnego „y-z” ).

Z4. W części dotyczącej analizy cieplnej i mechanicznej uwzględniono model (3-D oraz

2-D) masywnego bloku betonowego współpracujący z podłożem gruntowym o różnej
sztywności (np. skałą, piaskowcem, żwirem) w kierunku osi „z”.

Z5. Dla obu analiz (3-D i 2-D) całkowite odkształcenia

(x,y,z,t), niejednorodne w

kierunku osi „z”, są superpozycją odkształceń narzuconych



0

(x,y,z,t) oraz

niejednorodnych w kierunku osi „z” odkształceń wynikających z przyłożonych
więzów zewnętrznych - podłoża.

Z6. Do obliczeń komputerowych MES zagadnienia ciepłoprzewodności i odkształceń

termicznych, w wyniku procesu hydratacji cementu w tężejącym betonie, przyjęto
symetryczną część przekroju poprzecznego bloku betonowego, bez uwzględnienia
podłużnego i poprzecznego zbrojenia.

Z7. Przyjęto w analizie mechanicznej nieliniowy model konstytutywny betonu ze

starzeniem wg [1] - wzór nr (2.8). Dane materiałowe dla betonu i podłoża przyjęto wg
tabeli nr 1 i nr 2.

78

Z8. Przeprowadzono analizę wyników efektywnych naprężeń (od wpływów termicznych

oraz podłoża), sił całkowitych i rozciągających w charakterystycznym przekroju
poprzecznym : a

 h = 5,0 [m]  2,50 [m], usytuowanym w połowie długości

masywnego bloku betonowego (rys.4 i rys.5) oraz dla dwóch długości : L

1

=16,00 [m]

oraz L

2

= 24,00 [m], przy czym w zadaniu 2-D przyjęto szerokość 1 mb, a wyniki

skorelowano do szerokości 2,50 m dla zadania 3-D.

3.2. Model numeryczny do wyznaczenia pól odkształceń narzuconych

Szczegółowy opis modelu numerycznego służącego do wyznaczania odkształceń,

naprężeń narzuconych można znaleźć w [1]. Poniżej podano najbardziej ogólne informacje
dotyczące tego zagadnienia :

3.2.1.

Matematyczny opis zagadnienia przepływu ciepła

Wektor gęstości strumienia ciepła w izotropowych ciałach stałych jest opisany prawem

Fouriera :

Równanie Fouriera-Kirchoffa związane z matematycznym opisem zjawisk przepływu

ciepła w betonie ma postać :

gdzie : q

T

- wektor gestości strumienia ciepła [kJ/(m

2

 d)],

 - współcz. przewodzenia ciepła [kJ/(m  C  d)],
T= T(x,y,z,t) - temperatura [

C],

H - gęstość źródła ciepła hydratacji cementu w postaci funkcji dojrzewania

betonu [kJ/(kg

 d)],

M - miarodajny wskaźnik dojrzewania betonu jako funkcja absolutna czasu i

temepratury [ - ],



B

- gęstość betonu [kg /m

3

)],

c

B

- ciepło właściwe betonu [kJ/(kg

 K)].

Ciepło hydratacji z 1 kg cementu w betonie, wydzielone w temperaturze T do chwili t, w
[kJ/kg], wyraża poniższy związek :

w którym :

H



- ozn. całkowite ciepło hydratacji 1 [kg] cementu w betonie w [kJ/kg],

a

- parametr źródła ciepła [1/dzień],

M - miarodajny wskaźnik dojrzewania betonu, podcałkowa funkcja

exponencjalna określona wg, [1],

)

1

.

2

(

)

,

,

,

(

t

z

y

x

T

T

grad

q





 

)

2

.

2

(

)

(

t

T

c

t

H

T

div

B

B





















 grad

)

3

.

2

(

1

)

,

(

M

a

M

a

H

T

t

H













79

Q / R - aktywacja energii / uniwersalna stała gazowa [

K],

T

f

- temperatura odniesienia, przyjmuje się 20

C = 293K [K],

t

d

- początkowy czas dojrzewania betonu [dni].

Przyjęto mieszane warunki brzegowe Dirichleta i Cauche’go :

gdzie :

n

i

- normalna zewnętrzna do brzegu



B

,

q

T

- strumień ciepła na jednostkę powierzchni [kJ/(m

 K  d)],

T

p

- temperatura otoczenia [

K],



K

- współczynnik przejmowania ciepła z powierzchni do otaczającego ośrodka,

tzw. współczynnik konwekcji, w [kJ/(m

2

 K  d)].

3.2.2.

Odkształcenia narzucone



0

Odkształcenia narzucone



0

uzyskano wg prostej zależności :

gdzie :



T

- przyrost odkształceń termicznych,



T

- współczynnik liniowej rozszerzalności termicznej betonu w [1/

C],

T

n

- przyrost temperatur na n-tym kroku czasowym.

3.2.3.

Moduł sprężystości Younga E dla betonu

Moduł sprężystości Younga betonu przyjęto za [1] wg zależności :
gdzie :

E(t,

) - moduł Younga na danym kroku obliczeniowym w chwili  [kPa],

E



- całkowity moduł Younga [kPa],

 - parametr starzenia betonu.

3.3. Opis przeprowadzonych obliczeń komputerowych MES

Przeprowadzono obliczenia komputerowe i analizy porównawcze niestacjonarnych :

pól, naprężeń, sił całkowitych oraz rozciągających termiczno-skurczowych w masywnych
konstrukcjach hydrotechnicznych z betonu, uzyskanych dla przykładowego testowego
zadania opisanego szczegółowo dla dwóch różnych sformułowań zagadnienia :

)

4

.

2

(

1

1

exp

)

,

(

dt

T

T

R

Q

T

t

M

t

t

f

d





































)

5

.

2

(

),

,

(

)

1

*

A

i

i

A

A

x

t

x

T

T







)

6

.

2

(

;

0

)

(

)

(

)

2

B

i

P

K

T

i

x

T

T

q

n

T

























)

7

.

2

(

0

n

T

T



















80





)

8

.

2

(

)

exp(

1

)

,

(

















E

t

E



dwuwymiarowego (2-D) zadania

– masywnego bloku betonowego o wymiarach

poprzecznych: a = 5,00 m, h = 2,50 m, oraz dwóch różnych długościach : L

1

=

16,00 m oraz L

2

= 24,00 m, z uwzględnieniem współpracy z podłożem, którego

sztywność zmieniała się od mało sztywnego poprzez średnio-sztywne, aż do bardzo
sztywnego, moduł Younga podłoża przyjęto : E

1

= 100 MPa, E

2

= 200 MPa, E

3

=

300 MPa, E

4

= 500 MPa, E

5

= 1000 MPa, E

6

= 5000 MPa,



trójwymiarowego (3-D) zadania

– masywnego bloku betonowego o wymiarach

poprzecznych jak w zadaniu (2-D), również z uwzględnieniem współpracy bloku z
podłożem, którego sztywność zmieniała się jak wyżej, a moduł Younga podłoża
przyjęto : E

1

= 100 MPa, E

2

= 200 MPa, E

3

= 300 MPa, E

4

= 500 MPa, E

5

= 1000

MPa, E

6

= 5000 MPa.

Analizę wyników obliczeń komputerowych MES, dla zadań : dwuwymiarowego (2-

D) – rys.4 oraz trójwymiarowego (3-D) – rys.5, ograniczono (w przekroju poprzecznym
„A-A”, umiejscowionym w połowie rozpatrywanych długości : L

1

= 16,00 m lub

L

2

=24,00 m (wzdłuż osi „z” masywnego elementu betonowego) do wyznaczenia i

porównania :



siatek dyskretyzacyjnych dla zadań (2-D) i (3-D),



kolorowych map warstwicowych naprężeń efektywnych



z

,



wykresów siły całkowitej w rozpatrywanym przekroju „A-A”,



wykresów siły rozciągającej w rozpatrywanym przekroju „A-A”,



wykresów siły całkowitej w zależności od sztywności podłoża E

s

oraz długości

elementu betonowego L

i

,



wykresów - określających korelację zredukowanej sztywności dla zadania (2-D) w
porównaniu do sztywności z zadania (3-D).

81

ZADANIE DWUWYMIAROWE (2-D)

PRZEKRÓJ „A – A”

PRZEKRÓJ „B – B”

//////////////////////

L = 16,00 - 24,00 [m] //////////////// 5,00 [m] /////////

PODŁOŻE - BARDZO SZTYWNE

 E

s

= 5000 [MPa]

PODŁOŻE - ŚREDNIO SZTYWNE

 E

s

= 1000 [MPa]

PODŁOŻE - PODATNE

 E

s

= 500 [MPa]

 E

s

= 300 [MPa]

 E

s

= 200 [MPa]

 E

s

= 100 [MPa]

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
/

Rys. 4. Przekrój podłużny „A-A” i poprzeczny „B-B” masywnego elementu betonowego.

82

h = 2,50

X

Y

Y

Z

ZADANIE TRÓJWYMIAROWE (3-D)

L

1

= 16,0 m / L

2

= 24,0 m

Rys.5. Masywny element na podłożu

83

PODŁOŻE

MASYWNY
BLOK
BETONOWY

h = 2,50 m

a = 5,00 m

Z

X

Y

a)

b)

Rys.6. Siatki dyskretyzacji masywnego elementu betonowego dla zadań

a) 2-D i b) 3-D.

84

a)

b)

Rys.7. Mapy naprężeń efektywnych



z

w chwili t = 5 dni - dla masywnego elementu

betonowego o dł. L

1

= 16,00 [m], na sztywnym podłożu (E

s

= 5000 [MPa]) dla

zadań a) 2-D i b) 3-D.

85

a)

b)

Rys.8.

Mapy naprężeń efektywnych



z

w chwili t = 5 dni - dla masywnego elementu

betonowego o dł. L

2

= 24,00 [m], na sztywnym podłożu (E

s

= 5000 [MPa]) dla

zadań a) (2-D) i b) (3-D).

86

a) L(1) = 16,00 [m] (3-D) Es = 100 [MPa]

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

T [doba]

F_tot [kN]

3D_Es=100 [MPa]

2D_Es=100 [MPa]

2D_Es=200 [MPa]

2D_Es=300 [MPa]

b) L(1) = 16,00 [m] (3-D) Es = 100 [MPa]

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

T [doba]

F_tens [kN]

3D_Es=100 [MPa]

2D_Es=100 [MPa]

2D_Es=200 [MPa]

2D_Es=300 [MPa]

Rys.9. Porównanie wykresów w czasie " t " : a) F_

tot

- siły całkowitej , b) F_

tens

- siły

rozciągającej od efektów termicznych i oddziaływania podłoża (dla 2-D



przyjęto E

s

= 100, 200, 300 [MPa]) na masywny element betonowy o długości L

1

= 16,00 m. Przyjęto sztywność porównawczą podłoża E

s

= 100 [MPa] dla

zadania 3-D.

87

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

T [doba]

F_tot [kN]

3D_Es=200 [MPa]
2D_Es=100 [MPa]
2D_Es=200 [MPa]
2D_Es=300 [MPa]

a) L(1) = 16,00 [m] (3-D) Es = 200 [MPa]

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

T [doba]

3D_Es=200 [MPa]

2D_Es=100 [MPa]

2D_Es=200 [MPa]

2D_Es=300 [MPa]

b) L(1) = 16,00 [m] (3-D) Es = 200 [MPa]

F_tens

Rys 10. Porównanie wykresów w czasie " t " : a) F_

tot

- całkowitej siły, b) F_

tens

- siły

rozciągającej od efektów termicznych i oddziaływania podłoża (dla 2-D



przyjęto E

s

= 100, 200, 300 [MPa]) na masywny element betonowy o długości

L

1

=16,00 m. Przyjęto sztywność porównawczą podłoża E

s

= 200 [MPa] dla

zadania 3-D.

88

a) L(1) = 16,00 [m] (3-D) Es = 500 [MPa]

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

0

20

40

60

80

100

T [doba]

F_tot [kN]

3D_Es=500 [MPa]
2D_Es=500 [MPa]
2D_Es=1000 [MPa]
2D_Es=5000 [MPa]

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

T [doba]

F_tens [kN]

3D_Es=500 [MPa]
2D_Es=500 [MPa]
2D_Es=1000 [MPa]
2D_Es=5000 [MPa]

b) L(1) = 16,00 [m] (3-D) Es = 500 [MPa]

Rys.11. Porównanie wykresów w czasie " t " : a) F_

tot

- siły całkowitej , b) F_

tens

- siły

rozciągającej od efektów termicznych i oddziaływania podłoża (dla 2-D



przyjęto E

s

= 500, 1000, 5000 [MPa]) na masywny element betonowy o długości

L

1

= 16,00 m. Przyjęto sztywność porównawczą podłoża E

s

= 500 [MPa] dla

zadania 3-D.

89

-900

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

0

20

40

60

80

100

T [doba]

F_tot [kN]

3D_Es=100 [MPa]

2D_Es=100 [MPa]

2D_Es=200 [MPa]

2D_Es=300 [MPa]

a) L(2) = 24,00 [m] (3-D) Es = 100 [MPa]

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0

20

40

60

80

100

T [doba]

F_tens [kN]

3D_Es=100 [MPa]

2D_Es=100 [MPa]

2D_Es=200 [MPa]

2D_Es=300 [MPa]

b) L(2) = 24,00 [m] (3-D) Es = 100 [MPa]

Rys.12. Porównanie wykresów w czasie " t " : a) F_

tot

- siły całkowitej , b) F_

tens

- siły

rozciągającej od efektów termicznych i oddziaływania podłoża (dla 2-D



przyjęto E

s

= 100, 200, 300 [MPa]) na masywny element betonowy o długości

L

2

=24,00 m. Przyjęto sztywność porównawczą podłoża E

s

= 100 [MPa] dla

zadania 3-D.

90

a) L(2) = 24,00 [m] (3-D) Es = 200 [MPa]

-900

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

T [doba]

F_tot [kN]

3D_Es=200 [MPa]

2D_Es=100 [MPa]

2D_Es=200 [MPa]

2D_Es=300 [MPa]

b) L(2) = 24,00 [m] (3-D) Es = 200 [MPa]

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0

20

40

60

80

100

T [doba]

F_tens [kN]

3D_Es=200 [MPa]

2D_Es=100 [MPa]

2D_Es=200 [MPa]

2D_Es=300 [MPa]

Rys.13. Porównanie wykresów w czasie " t " : a) F_

tot

- siły całkowitej , b) F_

tens

- siły

rozciągającej od efektów termicznych i oddziaływania podłoża (dla 2-D



przyjęto E

s

= 100, 200, 300 [MPa]) na masywny element betonowy o długości

L

2

=24,00 m. Przyjęto sztywność porównawczą podłoża E

s

= 200 [MPa] dla

zadania 3-D.

91

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

T [doba]

F_tot [kN]

3D_Es=500 [MPa]

2D_Es=500 [MPa]

2D_Es=1000 [MPa]

2D_Es=5000 [MPa]

a) L(2) = 24,00 [m] (3-D) Es = 500 [MPa]

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0

20

40

60

80

100

T [doba]

F_tens [kN]

3D_Es=500 [MPa]

2D_Es=500 [MPa]

2D_Es=1000 [MPa]

2D_Es=5000 [MPa]

b) L(2) = 24,00 [m] (3-D) Es = 500 [MPa]

Rys.14. Porównanie wykresów w czasie " t " : a) F_

tot

- siły całkowitej , b) F_

tens

- siły

rozciągającej od efektów termicznych i oddziaływania podłoża (dla 2-D



przyjęto E

s

= 500, 1000, 5000 [MPa]) na masywny element betonowy o długości

L

2

= 24,00 m. Przyjęto sztywność porównawczą podłoża E

s

= 500 [MPa] dla

zadania 3-D.

a)

92

(3-D) F_tot-max(t=5,0) E = 100 [MPa]

L = 16,00 [m]

-202,89

-367,49

-501,72

-600,00

-500,00

-400,00

-300,00

-200,00

-100,00

0,00

0

100

200

300

400

(2-D) Es [MPa]

F_tot [kN]

(2-D) Es=139

- 265,85

b)

(3-D) F_tot-max(t=5,0) E = 200 [MPa]

L = 16,00 [m]

-501,72

-367,49

-202,89

-600,00

-500,00

-400,00

-300,00

-200,00

-100,00

0,00

0

100

200

300

400

(2-D) Es [MPa]

F_tot [kN]

(2-D) Es=269

- 459,78

Rys.15. Wykresy F_

tot

- siły całkowitej w masywnym elemencie betonowym o długości

L

1

= 16,00 m, w zależności od różnej sztywności podłoża dla zadania (2-D)

oraz założonej - porównawczej sztywności podłoża dla zadania 3-D: a) E

s

=

100 [MPa], b) E

s

= 200 [MPa] .

a)

93

(3-D) F_tot-max(t=4,0) E = 500 [MPa]

L = 16,00 [m]

-501,72

-729,68

-1161,87

-1400,00

-1200,00

-1000,00

-800,00

-600,00

-400,00

-200,00

0,00

0

250

500

750

1000

1250

(2-D) Es [MPa]

F_tot [kN]

(2-D) Es=666

- 872,79

b)

(3-D) F_tot-max(t=3,0) E = 1000 [MPa]

L = 16,00 [m]

-729,68

-1161,87

-2821,72

-3000,00

-2500,00

-2000,00

-1500,00

-1000,00

-500,00

0,00

0

1000

2000

3000

4000

5000

(2-D) Es [MPa]

F_tot [kN]

(2-D) Es=1384

- 1321,38

Rys.16. Wykresy F_

tot

- siły całkowitej w masywnym elemencie betonowym o długości

L

1

= 16,00 m, w zależności od różnej sztywności podłoża dla zadania (2-D)

oraz założonej - porównawczej sztywności podłoża dla zadania 3-D:

a) E

s

= 500 [MPa], b) E

s

= 1000 [MPa] .

a)

94

(3-D) F_tot-max(t=4,0) E = 100 [MPa]

L = 24,00 [m]

-346,36

-590,65

-795,43

-900

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

0

100

200

300

400

(2-D) Es [MPa]

F_tot [kN]

(2-D) Es=140

- 444,85

b)

(3-D) F_tot-max(t=4,0) E = 200 [MPa]

L = 24,00 [m]

-795,43

-590,65

-346,36

-900

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

0

100

200

300

400

(2-D) Es [MPa]

F_tot [kN]

(2-D) Es=278

- 750,07

Rys.17. Wykresy F_

tot

- siły całkowitej w masywnym elemencie betonowym o długości

L

1

= 24,00 m, w zależności od różnej sztywności podłoża dla zadania (2-D)

oraz założonej - porównawczej sztywności podłoża dla zadania 3-D: a) E

s

=

100 [MPa], b) E

s

= 200 [MPa] .

a)

95

(3-D) F_tot-max(t=4,0) E = 500 [MPa]

L = 24,00 [m]

-795,43

-1139,42

-1805,26

-2000,00

-1800,00

-1600,00

-1400,00

-1200,00

-1000,00

-800,00

-600,00

-400,00

-200,00

0,00

0

250

500

750

1000

1250

(2-D) Es [MPa]

F_tot [kN]

(2-D) Es=702

- 1408,36

b)

(3-D) F_tot-max(t=3,0) E = 1000 [MPa]

L = 24,00 [m]

-1139,42

-1805,26

-4331,71

-5000,00

-4500,00

-4000,00

-3500,00

-3000,00

-2500,00

-2000,00

-1500,00

-1000,00

-500,00

0,00

0

1000

2000

3000

4000

5000

(2-D) Es [MPa]

F_tot [kN]

(2-D) Es=1561

- 2159,54

Rys.18. Wykresy F_

tot

- siły całkowitej w masywnym elemencie betonowym o długości

L

1

= 24,00 m, w zależności od różnej sztywności podłoża dla zadania (2-D)

oraz założonej - porównawczej sztywności podłoża dla zadania 3-D:

a) E

s

= 500 [MPa], b) E

s

= 1000 [MPa].

a)

96

SZTYWNOŚĆ ZASTĘPCZA DLA Es (2-D)

139

269

666

1384

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0

200

400

600

800

1000

1200

(3-D) Es [MPa]

(2

-D

)

Es

[MP

a

]

L = 16,00 [m]

700

950

b)

SZTYWNOŚĆ ZASTĘPCZA DLA Es (2-D)

140

278

702

1561

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0

200

400

600

800

1000

1200

(3-D) Es [MPa]

(2

-D

)

Es

[MPa

]

L = 24,00 [m]

700

1080

Rys.19. Wykresy określające korelacje zredukowanej sztywności dla zadania (2-D) w

zależności od sztywności z zadania (3-D), przy założonej długości

masywnego

elementu betonowego a) L

1

= 16,00 m, b) L

1

= 24,00 m.

97

4. WNIOSKI

4.1. Możliwa jest redukcja wymiarowości zagadnienia trójwymiarowego (3-D) do

dwuwymiarowego (2-D), gdyż nie prowadzi ona do zbyt dużej różnicy (ok. 25%)
rozwiązań siły całkowitej " F_tot " po przejściu szoku termicznego, który ma
zasadnicze znaczenie w analizie statyczno-wytrzymałościowej dla całości bloku (a nie
dla warstwy przypowierzchniowej), od wpływów termicznych i podłoża w obu
przypadkach obliczeń, przeprowadzonych dla testowanego pryzmatycznego bloku
betonowego. Nawet dla tego stosunkowo prostego elementu konstrukcyjnego
obliczenie okazało się jednak tak pracochłonne, złożone i oparte na szeregu
upraszczających założeniach, że niezależnie od tego zadania opracowano program
MES dla pełnego 3-D zagadnienia, który stanowi znacznie lepsze i dokładniejsze
narzędzie inżynierskie do analizy przedmiotowego zagadnienia (program ten posłużył
do weryfikacji rozwiązania 2-D). Niemniej dla jakościowej analizy problemu oceny
wpływu warunków posadowienia i długości bloku na jego zarysowanie, czy nawet
pękanie, opracowany już MES 2-D (poprzecznie i podłużnie) może być stosowany.
Pewną jego niewątpliwą zaletą jest prostota wynikająca z płaskiego przedstawienia
wyników i znacznie krótszego czasu obliczeniowego niż w przypadku zadania 3-D.
Do dokładnej i odpowiedzialnej analizy tego zagadnienia zaleca się jednak stosowanie
pełnej wersji 3-D programu MES.

4.2. Możliwa jest redukcja wymiarowości zagadnienia (3-D) do dwuwymiarowego (2-D),

nie prowadząca do zbyt istotnej utraty dokładności jakościowej analizy odkształceń,
naprężeń i sił całkowitych w masywnym bloku betonowym, w jego kierunku
podłużnym (wzdłuż osi „z”); wymaga to jednak odpowiedniego uwzględnienia
zastępczej sztywności podłoża pod blokiem betonowym w przypadku zadania (2-D) –
patrz rys. 19 a) i b).

4.3. Pomimo zgodności rozwiązań pól termicznych dla obu przypadków wymiarowości

zadania (3-D) i (2-D) zaobserwowano wpływ długości " L

i

" elementu betonowego na

odkształcenia i naprężenia efektywne oraz całkowite siły rozciągające w czasie
obliczeniowym po przejściu szoku termicznego. Przy wydłużeniu bloku betonowego
z 16,00 m do 24,00 m te ostatnie wzrastają o ok. 25-40% w zależności od sztywności
podłoża, co jest zgodne z intuicją inżynierską.

4.4. Analiza porównawcza ww. zadań przestrzennych z płaskimi ma również sens ze

względów na czas trwania obliczeń komputerowych. Czas obliczeń komputerowych
wynosił odpowiednio : dla zadań 3-D ok. 45 min. , a dla 2-D ok. 1 min. Nakład czasu
na przygotowanie danych tzw. preprocessing, oraz obróbkę otrzymanych rezultatów
tzw. postprocessing jest prawie porównywalny dla obu przypadków.

5.

WYKAZ LITERATURY I MATERIAŁÓW POMOCNICZYCH

[1] Program komputerowy ZSOIL_3D – dokumentacja techniczna obsługi.
[2] Biliński W.: Analiza numeryczna odkształceń termiczno-skurczowych w masywnych,

betonowych konstrukcjach hydrotechnicznych, praca doktorska, Politechnika
Krakowska, Samodzielna Katedra Podstaw Konstrukcji Budowli Wodnych, Kraków,
1993, s.186.

98

[3] Biliński W., Kordecki Z.: „Analiza MES wpływu warunków środowiskowych i

technologicznych na rozwój pól temperatury, odkształceń i naprężeń termicznych w
betonowych konstrukcjach hydrotechnicznych”, II Ogólnopolskie Sympozjum
„Wpływy środowiskowe na budowle i ludzi - obciążenia, oddziaływania, interakcje,
dyskomfort”, Lublin - Kazimierz Dolny, 24-26.10.1997 r., s.263

1

270.

[4] Biliński W., Podleś K. Kordecki Z. : „Quasi-przestrzenna (3-D) analiza odkształceń i

naprężeń termicznych w masywnych konstrukcjach hydrotechnicznych z betonu,
uzyskana na podstawie rozwiązań z dwuwymiarowej analizy (2-D)”, XII Konferencja
Naukowa Korbielów 2000 – Metody komputerowe w analizie i projektowaniu
konstrukcji hydrotechnicznych, materiały pokonferencyjne, Korbielów-2000,
s.167

176.

[5] ENV 206:1992 : Concrete: performance, production, placing and compliance criteria

(Beton: Cechy, produkcja, układanie i kryteria zgodności).

[6] Witakowski P.: „Technologia masywnego betonu”, referat wygłoszony na XIII

Konferencji Naukowej - Korbielów 2001 – Metody komputerowe w analizie i
projektowaniu konstrukcji hydrotechnicznych, Korbielów, 7 marca 2001 r.

STRESZCZENIE

W wyniku przeprowadzonych (2-D) i (3-D) analiz komputerowych MES, z obliczeń

pól termiczno-skurczowych dla masywnego bloku betonowego, otrzymano rozwiązania
zagadnień niestacjonarnego przepływu ciepła z uwzględnieniem oddziaływania podłoża o
różnych sztywnościach. Zasadniczą treścią referatu jest odpowiedź kiedy w szczególnych
sytuacjach praktycznych możliwa jest redukcja wymiarowości zagadnienia (3-D) do
dwuwymiarowego (2-D), nie prowadząca do zbyt istotnej utraty dokładności analizy oraz
zbadanie wpływów : długości masywnego bloku betonowego i oddziaływania więzów –
(różnych sztywności podłoża na blok betonowy) na wartości

odkształceń, naprężeń i sił

całkowitych oraz rozciągających w masywnym bloku betonowym, w jego kierunku
podłużnym (wzdłuż osi „z”).

The method of solving 3-dimensional problems of the

thermal strains and stresses in massive concrete hydraulic

structures through to reduce to 2-dimensional

SUMMARY

In the paper a method for averaging results of cross-section calculations to prepare

data for computing the longitudinal-section is presented. A comparative analysis of 2D
results obtained by such approach with those obtained by full 3D analysis for massive
concrete block laid upon a ground were made. The computations were performed for two
length of the block and five various stiffness of the ground, changing from 100 kPa to 5000
kPa. It appears from the analysis, that the method of bringing 3D problem to 2D One gives
results which differs even by 100 % in extreme cases from those of full 3D analysis;
however, the method can be applied for a qualitative analysis, if the full 3D one is not
necessary.

99