Wzorce wielkości elektrycznych i ocena niepewności pomiaru Zygmunt Kusmierek

POLITECHNIKA ŁÓDZKA

BOŻENNA KALUS-

JĘCEK ZYGMUNT
KUŚMIEREK

WZORCE WIELKOŚCI

ELEKTRYCZNYCH I

OCENA

NIEPEWNOŚCI POMIARU

ŁÓDŹ 2000

SPIS TREŚCI

PRZEDMOWA .....................................................................................

1. PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O POMIARACH ...............

1.1.

Metrologia w nauce i technice ............................................................................

1.2.

Istota pomiarów - pojęcia podstawowe ...............................................................

1.3.

Organizacja państwowej służby miar .................................................................

1.4.

Układ jednostek miar ...........................................................................................

2. WZORCE JEDNOSTEK MIAR .................................................

2.1. Wiadomości ogólne ............................................................................................

2.1.1.

Definicje ..................................................................................................

2.1.2.

Hierarchia wzorców ...............................................................................

2.2. Wzorce siły elektromotorycznej i napięcia .........................................................

2.2.1.

Ogniwo Westona .....................................................................................

2.2.2.

ródła napięć wzorcowych wykorzystujące efekt Josephsona ...............

2.2.3.

Elektroniczne wzorce napięcia stałego ....................................................

2.2.4.

Kalibratory napięcia ...............................................................................

2.3. Wzorce rezystancji ..............................................................................................

2.3.1.. Oporniki wzorcowe jednostopniowe ......................................................

2.3.2.

Oporniki w/.orcowe regulowane .............................................................

2.3.3.

Państwowy wzorzec oporu elektrycznego...............................................

2.4. Wzorce pojemności .............................................................................................

2.5 Wzorce indukcyjności.........................................................................................

2.5.1.

Wzorce indukcyjności własnej ................................................................

2.5.2.

Wzorce indukcyjności wzajemnej ...........................................................

2.6. Źródła częstotliwości wzorcowych ......................................................................

3. METODY POMIAROWE.............................................................

3.1.

Ogólna charakterystyka metod ............................................................................

3.2.

Metody analogowe i cyfrowe ..............................................................................

3.3.

Metody bezpośrednie i pośrednie .......................................................................

3.4.

Metody porównawcze .........................................................................................

4. ANALIZA BŁĘDÓW POMIAROWYCH...................................................

4.1.

Przyczyny i rodzaje błędów .................................................................................

4.2.

Teoria błędów .....................................................................................................

4.2.1.

Błąd pomiaru bezpośredniego ................................................................

4.2.2.

Błąd pomiaru pośredniego ......................................................................

4.2.3.

Błędy nadmierne i ich wykrywanie .........................................................

5. NIEPEWNOŚCI WYNIKU POMIARU ......................................................

5.1.

Podstawy teorii niepewności ..............................................................................

5.2.

Prawo propagacji niepewności ...........................................................................

5.3.

Ocena niepewności w pomiarach bezpośrednich .................................................

5.3.1.

Ocena niepewności typu A ......................................................................

5.3.2.

Ocena niepewności typu B ......................................................................

5.3.3.

Ocena niepewności typu A i B ................................................................

5.4. Ocena niepewności w pomiarach pośrednich .....................................................

5.4.1.

Ocena niepewności typu A ......................................................................

5.4.2.

Ocena niepewności typu B ......................................................................

5.4.3.

Ocena niepewności typu A i B ................................................................

102

5.5. Sposoby zapisu wyniku pomiaru ........................................................................

105

6. METODY REGRESJI ......................................................................

108

6.1.

Wprowadzenie .....................................................................................................

108

6.2.

Metoda graficzna ................................................................................................

108

6.3.

Metoda najmniejszych kwadratów .....................................................................

110

6.3.1.

Regresja liniowa ......................................................................................

110

6.3.2.

Regresja wielomianowa .........................................................................

] 13

6.3.3.

Regresja wielokrotna ...............................................................................

114

LITERATURA .....................................................................................................

116

NORMY ................................................................................................................

PRZEDMOWA

W technice pomiarowej szczególną rolę odgrywają wzorce. Stanowią one

podstawę dokładnych pomiarów różnych wielkości fizycznych. W skrypcie
przedstawiono i omówiono wzorce podstawowych wielkości elektrycznych, ta-
kich jak: wzorce siły elektromotorycznej, napięcia, oporu elektrycznego, pojem-
ności, indukcyjności własnej i wzajemnej oraz częstotliwości. Z prezentowanych
wzorców na szczególną uwagę zasługuje wzorzec napięcia zbudowany na bazie
złącza Josephsona. Wzorzec ten umożliwia uzyskanie napięcia wzorcowego w
przedziale od IV do 10V.

Jakość uzyskanego wyniku pomiaru można ocenić bazując na teorii niepew-

ności lub teorii błędów. Teoria niepewności jest zalecaną do oceny jakości po-
miaru przez międzynarodowe organizacje metrologiczne i europejskie
laboratoria akredytowane. Powinna być stosowana wszędzie tam, gdzie
wymagają tego przepisy. Obliczanie błędów czy niepewności jest procesem dość
złożonym. Poprawne stosowanie teorii błędów i niepewności wymaga
znajomości probabilistyki i statystyki matematycznej, a także dobrej znajomości
samego zagadnienia pomiarowego. W niniejszym opracowaniu podano jedynie
ogólne zasady wyznaczania błędów i niepewności.

Skrypt przeznaczony jest dla studentów wydziałów elektrycznych i elektro-

nicznych. Może być przydatny również dla studentów innych wydziałów.

Autorzy serdecznie dziękują Panu prof. dr hab. Zdzisławowi Nawrockiemu

za wnikliwą recenzję skryptu i cenne uwagi.

PODSTAWOWE WIADOMOŚCI
O POMIARACH

1.1. METROLOGIA W NAUCE I TECHNICE

Postęp nauki i techniki jest nierozerwalnie związany z rozwojem metrologii,

reprezentującej wiedzę o miarach i mierzeniu. Szybki rozwój techniki pomiaro-
wej wynika stąd, iż znajduje ona zastosowanie we wszystkich dziedzinach dzia-
łalności człowieka, a więc w badaniach naukowych, wytwarzaniu dóbr material-
nych, automatyzacji, komunikacji itd.

Nie ma takiej gałęzi nauk ścisłych lub stosowanych, w której nie

zachodziłaby potrzeba wykonywania pomiarów. O jakimkolwiek zjawisku czy
też wielkości można mówić, że jest znane dopiero wówczas, gdy umie się je
określić nie tylko jakościowo lecz i ilościowo. Teoria, której nie można
sprawdzić eksperymentalnie, może być jedynie hipotezą.

W szerszym ujęciu można powiedzieć, że metrologia ma do spełnienia trzy

ciśle ze sobą związane grupy zadań:

zadania naukowe,

zadania urzędowo-prawne,

zadania wynikające z udziału w procesach produkcji.

Zadania naukowe metrologii obejmują następujące zagadnienia:

ustalenie podstawowych pojęć metrologicznych, terminologii

i symbolistyki,

opracowanie podstaw teorii mierzenia i zasad budowy przyrządów

i urządzeń pomiarowych,

opracowanie kryteriów oceny dokładności otrzymywanych wyników

pomiarów,

- prace nad jednostkami miar - doskonalenie układu jednostek,

realizację, ochronę i doskonalenie podstawowych wzorców wielkości
fizycznych,

opracowanie systemu przekazywania jednostek miar od wzorców
podstawowych do narzędzi kontrolnych i użytkowych,

ustalenie dokładnych danych dla stałych fizycznych, chemicznych,
astronomicznych, biologicznych i geofizycznych, udział w kształceniu kadr
metrologów na wszystkich poziomach szkolnictwa. Zadania urzędowo-
prawne metrologii to:

zabezpieczenie jednolitości miar w nauce, technice i gospodarce
narodowej,

wprowadzenie legalnego układu jednostek i przestrzeganiu jego
stosowania,

ustalenie obowiązujących wymagań dotyczących przyrządów i
urządzeń pomiarowych,

ustalenie wymagań dotyczących laboratoriów pomiarowych,
przeprowadzanie badań prototypów przyrządów i urządzeń
pomiarowych,

dokonywanie urzędowego uwierzytelniania kontrolnych
wzorców miar i kontrolnych przyrządów pomiarowych, kontrola
jakości produkowanych narzędzi pomiarowych, sprawowanie
nadzoru nad służbą miar.

Zadania metrologii wynikające z jej udziału w procesach produkcji przemy-

słowej, to:

ustalenie dokładnych danych dotyczących właściwości
technicznych surowców i materiałów produkcyjnych,
wprowadzanie metod racjonalnego projektowania wyrobów,
wprowadzanie technicznie i ekonomicznie uzasadnionych
procesów technologicznych,

opracowanie zadań i struktury organizacyjnej nowoczesnej
kontroli jakości,

organizowanie służby miar w zakładach przemysłowych i
placówkach badawczych.

Odpowiedni poziom i stały rozwój metrologii jest nieodzownym warunkiem

unowocześniania produkcji i wzrostu jakości wyrobów. Wymagania stawiane
technice pomiarowej stale wzrastają. Mierzy się coraz więcej wielkości o szero-
kim zakresie mierzalnych wartości. Mierzone są wielkości o dużej zmienności w
czasie. Stosowane przyrządy pomiarowe powinny charakteryzować się dobrymi
właściwościami dynamicznymi, dużą czułością i niezawodnością.

Dążenie do centralizacji pomiaru, pozwalającej z pewnej odległości od

obiektu kontrolować i regulować proces technologiczny, implikuje rozwój auto-
matyzacji pomiarów oraz przyrządów rejestrujących. Budowane są całe systemy
pomiarowe, pomiarowo-diagnostyczne itp. Dąży się do uzyskania informacji o
coraz większej dokładności, uznając przy tym niemożność dokonania pomiaru

bezbłędnego. Powstaje konieczność określania dopuszczalnych granic błędów i
uzależnienia ich od wartości i od konkretnego celu, dla którego prowadzi się po-
miar. Udział kosztów aparatury pomiarowej w kosztach inwestycyjnych sięga
kilku do kilkunastu procent i ma tendencję rosnącą.

Rozwój technologii wytwarzania aparatury pomiarowej spowodował zmianę

treści metrologii. Przestają być problemem: technika odczytu, rola obserwatora,
dobór czułości czy zakresu pomiarowego, dobór rezystancji wewnętrznej i inne
zagadnienia, które dominowały w metrologii klasycznej. Zamiast tych proble-
mów powstają nowe jak np.: eliminacja zakłóceń, odpowiednie zaplanowanie
eksperymentu, oprogramowanie systemu itd.

1.2. ISTOTA POMIARU - POJĘCIA PODSTAWOWE.

Pomiar jest zbiorem operacji mających na celu określenie wartości wielkości

mierzonej. Według metrologii stosowanej definicja pomiaru jest następująca:

Pomiar jest to zespól czynności poznawczych, których celem jest

dostarczenie danych do ilościowego opisu przedmiotów lub zjawisk, polegający
na porównaniu, drogą doświadczenia fizycznego z określoną dokładnością,
wielkości mierzonej z pewną jej wartością obraną za jednostkę.

W wyniku pomiaru następuje przyporządkowanie badanym cechom przed-

miotów lub zjawisk pewnej miary liczbowej, wyrażającej stosunek wielkości
mierzonej do jej jednostki. Stosunek ten jest nazywany wartością wielkości mie-
rzonej. Definicje pojęć występujących w definicji pomiaru są następujące:

Wartość wielkości mierzonej jest to liczba wyrażająca stosunek wielkości

mierzonej do jej jednostki.

Wielkość mierzona (metrologiczna), mezurand jest to cecha zjawiska, dala

lub substancji, rozróżnialna jakościowo i możliwa do określenia ilościowo.

Jednostka miary jest to umownie przyjęta wartość danej wielkości, służąca

do porównywania ze sobą innych wartości tej samej wielkości.

Pomiar określa stan badanej wielkości w pewnej chwili czasowej i w

określonych warunkach zewnętrznych.

Z matematycznego punktu widzenia można zauważyć, że w pomiarze biorą

udział dwa zbiory wielkości:

zbiór X - wielkości x oraz zbiór W- znanej wielkości w.

Elementy zbioru- W są uporządkowane według wartości i oznaczone
wskaźnikiem i. Jest to zbiór skończony, utworzony przez wielkość wzorcową,
odtwarzaną w procesie pomiaru przez przyrząd pomiarowy. Kolejne elementy
tego zbioru w/ i w/+/ różnią się między sobą o wartość 2e > 0. Czyli

w,.-H>.

=2e>0

Wielkość mierzona stanowi skończony lub nieskończony zbiór ograniczony

od góry i od dołu. Na tej podstawie, pomiarem można nazwać takie czynności,
które podporządkowują elementowi x ze zbioru X element w ze zbioru W. Po-
nieważ zbiór W jest dyskretny, podporządkowanie nie może być jednoznaczne;
wynikiem podporządkowania pomiaru jest nierówność

<x<

Mogą istnieć zbiory W tej samej wielkości o różnych wartościach 2e,>0 od-

twarzane przez przyrządy pomiarowe o różnych właściwościach metrologicz-
nych. Nie istnieje jednak zbiór, dla którego e,=0. Założenie 2ep>0 jest
podstawowym założeniem metrologii.

Niedoskonałość zmysłów obserwatora nie pozwala odróżnić dwóch

sąsiednich elementów zbioru W o różnicy mniejszej niż próg czułości równy 2e

(

Ten próg jest ograniczony kwantowością wielu zjawisk.

1.3. ORGANIZACJA PAŃSTWOWEJ SŁUŻBY MIAR

Podstawą organizacji służby miar w Polsce są przepisy zawarte w ustawie z

dnia 3 kwietnia 1993 r. „Prawo o miarach" (Dziennik Ustaw nr 55, poz.248).
Zgodnie z tą ustawą sprawami miar i probiernictwa zajmuje się Główny Urząd
Miar (GUM) z siedzibą w Warszawie. Organizację GUM określa statut nadany
przez prezesa Rady Ministrów. Na czele Głównego Urzędu Miar stoi prezes,
który jest powoływany przez premiera Rzeczpospolitej Polskiej. Prezesowi
GUM podlegają dyrektorzy Okręgowych Urzędów Miar, a dyrektorom tym - na-
czelnicy Obwodowych Urzędów Miar. Okręgowe Urzędy Miar znajdują się w:
Bydgoszczy, Gdańsku, Katowicach, Krakowie, Łodzi, Szczecinie i Warszawie.

Główny zakres działań prezesa GUM to:

wydawanie przepisów metrologicznych określających wymagania,
jakim podlegają przyrządy pomiarowe, warunki właściwego ich sto
sowania oraz okresy ważności dowodów kontroli;

określanie metod sprawdzania zgodności właściwości przyrządów
pomiarowych z wymaganiami przepisów.

Ustawa „Prawo o miarach" określa system miar w Polsce oraz zasady jego

stosowania. Naczelną jego zasadą jest współpraca organów administracji miar
zapewniająca zgodność i wymaganą dokładność wyników pomiarów dokonywa-
nych w kraju oraz ich powiązanie z międzynarodowym systemem miar.

Ustawa „Prawo o miarach określa legalne jednostki miar, którymi są

jednostki Międzynarodowego Układu Jednostek Miar (SI) oraz jednostki nie
należące do układu SI, lecz dopuszczone do stosowania w drodze
rozporządzenia Rady Ministrów.

Najistotniejszą częścią prawa o miarach jest kontrola metrologiczna przyrzą-

dów pomiarowych.

Przyrządami pomiarowymi są urządzenia techniczne przeznaczone do wyko-

nywania pomiarów lub odtworzenia wartości danej wielkości.

Według art.9 ustawy „Prawo o miarach" przyrządy pomiarowe podlegają

kontroli metrologicznej organów administracji miar w formie:

legalizacji;

uwierzytelnienia;

zatwierdzenia typu.

Legalizacja jest sprawdzeniem, stwierdzeniem i poświadczeniem przez organ

administracji miar (GUM, Okręgowy lub Obwodowy UM), że przyrząd spełnia
wymagania przepisów metrologicznych. Dowodem legalizacji jest cecha legali-
zacyjna umieszczona na przyrządzie lub świadectwo legalizacyjne. Przyrządy
pomiarowe powinny być zgłaszane do legalizacji pierwotnej przez wytwórcę,
sprzedawcę lub importera przed wprowadzeniem ich do obrotu lub użytkowania.
Obowiązek zgłaszania do legalizacji ponownej ciąży na użytkowniku.

Uwierzytelnienie jest sprawdzeniem, stwierdzeniem i poświadczeniem, że

przyrząd pomiarowy spełnia wymagania metrologiczne ustalone w przepisach,
normach, zaleceniach międzynarodowych lub właściwych dokumentach, a jego
wskazania zostały odniesione do państwowych wzorców jednostek miar.
Obowiązkowi uwierzytelnienia podlegają przyrządy pomiarowe określone przez
prezesa GUM, mające znaczenie dla bezpieczeństwa życia, ochrony zdrowia i
ś

rodowiska.

Dowodem uwierzytelnienia jest świadectwo albo cecha uwierzytelnienia. Prezes
GUM określa okres ważności uwierzytelnienia.

Przyrządy pomiarowe zalegalizowane uważa się za odpowiadające uwierzytel-
nieniu.

Przyrządy pomiarowe podlegające legalizacji lub uwierzytelnieniu, a także

inne przyrządy pomiarowe określone przez prezesa GUM, podlegają zatwierdze-
niu typu. Przez typ przyrządu pomiarowego rozumie się ostateczną realizację -w
wykonaniu określonego wytwórcy - przyrządu pomiarowego, którego wszystkie
elementy mające wpływ na właściwości metrologiczne zostały określone w
dokumentacji. Decyzje zatwierdzenia typu są podejmowane na podstawie badań
prototypów lub egzemplarzy produkcyjnych tych przyrządów sprawdzających
zgodność z wymaganiami zawartymi w przepisach metrologicznych, normach,
zaleceniach międzynarodowych lub innych właściwych dokumentach.
Wykonanie tych badań GUM morze powierzyć Okręgowym lub Obwodowym
UM. Przyrządom, które uzyskały zatwierdzenie typu prezes GUM może nadać
znak typu. Znak typu składa się z dużych liter RP i T, dwóch ostatnich cyfr roku,
w którym nadano typ przyrządu pomiarowego i kolejnego numeru znaku. (Np.
RP T 97 5, gdzie 97 - są dwiema cyframi roku 1997, a 5 jest kolejnym numerem
nadanego znaku typu).

Większość przyrządów pomiarowych nie podlega legalizacji ani obowiąz-

kowi uwierzytelnienia lecz prawie wszystkie przyrządy pomiarowe podlegają
obowiązkowi zatwierdzenia typu.

1.4. UKŁAD JEDNOSTEK MIAR

W przyrodzie występuje bardzo duża liczba wielkości mierzalnych. Wielko-

ci te są ze sobą powiązane równaniami i definicjami wynikającymi z praw

przyrody. Dlatego definiowanie jednostek dla poszczególnych wielkości bez
powiązania z pozostałymi wielkościami byłoby nieracjonalne. Tworzy się
układy jednostek, w których jednostki miar wszystkich wielkości powinny być
jednoznaczne oraz łatwo odtwarzalne.

W procesie tworzenia układu jednostek tworzy się zbiór wszystkich wielko-

ci występujących w tych dziedzinach wiedzy, do których będzie stosowany

układ.

Zbiór wszystkich wielkości występujących w równaniach danej dziedziny

wiedzy nazywa się układem wielkości.

Spośród wielkości należących do układu wyróżnia się kilka wielkości, które

umownie przyjmuje się za wielkości podstawowe.

Każda wielkość podstawowa winna spełniać dwa warunki:

• W definicji wielkości podstawowej nie mogą występować pozostałe

wielkości podstawowe.

• Wraz z pozostałymi wielkościami podstawowymi układu pozwala zdefiniować
wszystkie wielkości danego układu wielkości. Z różnych przyczyn pierwszy
warunek nie zawsze bywa spełniony.

Wielkość pochodna jest to wielkość określona za pomocą wielkości

podstawowych.

Wielkościom układu przypisuje się jednostki miary; przy tym, jednostki

przypisane wielkościom podstawowym nazywa się jednostkami podstawowymi,
a jednostki miar wielkości pochodnych odpowiednio - jednostkami pochodnymi

Uporządkowany zbiór jednostek miar określonego układu wielkości

stanowi układ jednostek miar.

Dla jednego układu wielkości można utworzyć kilka układów jednostek po-

nieważ w pewnym stopniu dobór jednostek jest dowolny (np.: układy CGS i
MKS z różnymi modyfikacjami). Obecnie w większości krajów świata, w tym
również i w Polsce obowiązuje Międzynarodowy Układ Jednostek Miar Sl
(Systeme International d'Unites) w skrócie SI. Układ SI został zatwierdzony
przez XI Generalną Konferencję Miar w 1960r. Układ ten był kilkakrotnie
modyfikowany i uzupełniany uchwałami kolejnych Generalnych Konferencji
Miar (XII - 1964r., XIII - 1967/68r., XIV - 1971r., XV - 1975r. i XVI - 1979r.).

W układzie SI wyróżniono siedem wielkości i jednostek podstawowych

oraz dwie wielkości i jednostki uzupełniające.

Lp.

Wielkość

Jednostka

Symbol

długość

metr

masa

kilogram

czas

sekunda

natężenie prądu elektrycznego

amper

temperatura

kelwin

wiatłość

kandela

ilość materii

mol

kąt płaski

radian

rad

kąt bryłowy

steradian

W układzie SI przenikalność dielektryczna próżni e

i przenikalność ma-

gnetyczna próżni Ho są liczbami mianowanymi; ich wartości i wymiar są nastę-
pujące

—10-

36n m

= 47i.l(T

-m

(1.1)

Są one związane z pr
zależnością

Niektóre z jednostek podstawowych układu SI były stosowane ju

niej używanych układach jednostek miar, jednak wraz z rozwojem nauki i tech

niki pomiarowej zmieniały si
jednostek podstawowych przy wykorzystaniu zjawisk atomowych, co zapewnia
dużą dokładność i powtarzalno
definicji.

Jednostka długo

jednostek miar. Metr definiowano pocz
dnika ziemskiego, pó
wego Biura Miar i Wag w Sevres. Do 1983 roku metr był odwzorowywany
przez porównanie z długo
kryptonu 36

Kr. Obecnie metr jest definiowany na podstawie pr

w próżni. Obowiązuje poni

Metr jest to długo

___

l ____

299792458 '

Obowiązująca definicja metra nie spełnia jednego z warunków stawianych

wielkościom podstawowym układu jednostek lecz jej przyj
dokładność odtworzenia jednostki, co ma zwi
prędkości światła w pró

Kilogram -jednostka masy

jakkolwiek istnieje propozycja wykorzystania do tego celu izotopu w
(jako masę 50259,36217
klasyczna definicja.

Kilogram jest mas

w Międzynarodowym Biurze Miar i Wag pod Pary
początkowo była definiowana w odniesieniu do
zaś w odniesieniu do czasu trwania roku zwrot
wykorzystywania zjawisk atomowych obecnie sekund
tak zwanego „wzorca cezowego", a defini

Sekundajest czasem trwania 9 192 631 770 okresów promieniowania

odpowiadającego przej
podstawowego atomu

zane z prędkością światła w próżni

Niektóre z jednostek podstawowych układu SI były stosowane już

ywanych układach jednostek miar, jednak wraz z rozwojem nauki i tech

niki pomiarowej zmieniały się ich definicje. Obecnie dąży się do definiowania
jednostek podstawowych przy wykorzystaniu zjawisk atomowych, co zapewnia

ść

i powtarzalność wzorców „zbudowanych" według takich

Jednostka długości - metr występowała w wielu wcześniejszych układach

jednostek miar. Metr definiowano początkowo w odniesieniu do długo
dnika ziemskiego, później - według platynoirydowego wzorca z Mię
wego Biura Miar i Wag w Sevres. Do 1983 roku metr był odwzorowywany
przez porównanie z długością fali świetlnej, pomarańczowej linii widma izotopu

Kr. Obecnie metr jest definiowany na podstawie prędko

ni. Obowiązuje poniższa definicja.

Metr jest to długość drogi przebytej w próżni przez światło w czasie równym

ca definicja metra nie spełnia jednego z warunków stawianych

ciom podstawowym układu jednostek lecz jej przyjęcie zapewnia lepsz

ść

odtworzenia jednostki, co ma związek z rozwojem pomiarów

wiatła w próżni.

dnostka masy nie doczekał się dotychczas wzorca atomowego,

jakkolwiek istnieje propozycja wykorzystania do tego celu izotopu w

50259,36217-10

atomów tego izotopu). Nadal obowi

syczna definicja.

Kilogram jest masą międzynarodowego wzorca tej jednostki, przecho

dzynarodowym Biurze Miar i Wag pod Paryżem. Jednostka czasu

tkowo była definiowana w odniesieniu do średniej doby słonecznej, pó

w odniesieniu do czasu trwania roku zwrotnikowego. Zgodnie z tendencj

wykorzystywania zjawisk atomowych obecnie sekundę odwzorowuje si
tak zwanego „wzorca cezowego", a definicja sekundy jest następują

Sekundajest czasem trwania 9 192 631 770 okresów promieniowania

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami nadsubtelnymi stanu
podstawowego atomu

l33

Cs (cezu 133).

(1.2)

Niektóre z jednostek podstawowych układu SI były stosowane już we wcze-

ywanych układach jednostek miar, jednak wraz z rozwojem nauki i tech-

ąż

do definiowania

jednostek podstawowych przy wykorzystaniu zjawisk atomowych, co zapewnia

wzorców „zbudowanych" według takich

niejszych układach

tkowo w odniesieniu do długości połu-

według platynoirydowego wzorca z Międzynarodo-

wego Biura Miar i Wag w Sevres. Do 1983 roku metr był odwzorowywany

czowej linii widma izotopu

Kr. Obecnie metr jest definiowany na podstawie prędkości światła

wiatło w czasie równym

ca definicja metra nie spełnia jednego z warunków stawianych

cie zapewnia lepszą

zek z rozwojem pomiarów

dotychczas wzorca atomowego,

jakkolwiek istnieje propozycja wykorzystania do tego celu izotopu węgla

atomów tego izotopu). Nadal obowiązuje więc

rodowego wzorca tej jednostki, przechowywanego

em. Jednostka czasu - sekunda

redniej doby słonecznej, później

. Zgodnie z tendencją do

odwzorowuje się za pomocą

pująca.

Sekundajest czasem trwania 9 192 631 770 okresów promieniowania

dzy dwoma poziomami nadsubtelnymi stanu

Jednostka natężenia prądu - amper jest definiowana w oparciu o prawo Ampe-
re'a dotyczące wzajemnego oddziaływania dwóch przewodów wiodących prąd.
Amper Jest natężeniem prądu elektrycznego, nie ulegającego żadnym zmianom,
który - pfynąc w dwóch przewodach równoległych, prostoliniowych,
nieskończenie długich, o przekroju kołowym znikomo małym, umieszczonych w
próżni w odległości Im od siebie - wytwarza miedzy tymi przewodami silę 2-
10~

Nna każdy metr długości przewodu.

Praktyczna realizacja tak zdefiniowanego wzorca jest niemożliwa. Do od-

wzorowania wzorca ampera wykorzystuje się tzw. „wagą prądową", w której do
wytworzenia siły powodującej wychylenie belki wagi wykorzystuje się
wzajemne oddziaływanie dwu połączonych szeregowo cewek (ruchomej i
nieruchomej), przez które płynie prąd.

Jednostka temperatury - kelwin - jest definiowany jako jednostka termody-

namicznej (rozpoczynającej się od zera bezwzględnego) skali temperatur.

Kelwin jest ------- częścią temperatury termodynamicznej punktu potrój-

273,16

nego wody.

Punkt potrójny wody oznacza stan wody przy takich ciśnieniu i temperatu-

rze, że występuje ona w trzech stanach: stałym, ciekłym i gazowym. Ten
przypadek zachodzi przy temperaturze równej 273,16 K (0,01°C) i ciśnieniu
równym 631,163N/m

Ponieważ kelwin jest równy stosowanemu dotąd stopniowi Celsjusza, do-

puszczalne jest przejściowo stosownie skali Celsjusza.

Tę samą nazwę i oznaczenie stosuje się do wyrażania stanu temperatury jak

i różnicy temperatury.

Jednostka światłości - kandela -do niedawna była realizowana za pomocą

wzorca zbudowanego w oparciu o teoretyczne pojęcie „ciała doskonale czarne-
go", które całkowicie pochłania padające nań promieniowanie, zaś jako źródło
promieniuje najintensywniej ze wszystkich ciał fizycznych. Obecna definicja
kandeli jest następująca.

Kandela jest światłością, którą ma w określonym kierunku źródło emitujące
promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540-10

Hz i którego

natężenie promieniowania jest równe ---- W/sr.

Mol jako podstawowa jednostka układu SI, służąca do określenia ilości

materii, został wprowadzony dopiero w 1971 roku, zaś jego definicja jest
następująca.

Mol jest to liczność materii występująca, gdy liczba cząstek lub atomów jest
równa liczbie atomów zawartych w masie 0,012kg czystego nuklidu węgla

Radian i steradian są jednostkami uzupełniającymi, zaś ich definicje są

znane z geometrii.

Radian jest kątem płaskim o wierzchołku w środku koła, wycinającym z obwodu
tego koła łuk o długości równej jego promieniowi. Steradian jest kątem
bryłowym o wierzchołku w środku kuli, wycinającym z powierzchni tej kuli pole
równe kwadratowi jej promienia. Za pomocą jednostek podstawowych i
uzupełniających definiuje się. jednostki miar wszystkich wielkości pochodnych.
Będą to tzw. jednostki pochodne. Definicje jednostek pochodnych nie mają
urzędowych sformułowań słownych. Są one formułowane indywidualnie na
podstawie równań definicyjnych określających związek między daną wielkością
pochodną a wielkościami podstawowymi. Wykaz ważniejszych jednostek miar
układu SI zestawiono w tabeli 1.1.

Międzynarodowy Układ Jednostek Miar jest układem uniwersalnym i spój-

nym.

Uniwersalność układu oznacza, że może on być stosowany zarówno we

wszystkich dziedzinach nauki, jak i w technice. Jest to cecha pozwalająca wyeli-
minować bałagan i trudność współpracy, wynikające ze stosowania różnych
układów jednostek miar, różnych nazw jednostek, różnych ich wymiarów i róż-
nych oznaczeń. Koherentność układu, czyli spójność jednostek miar, oznacza, że
wszystkie należące do układu główne jednostki miar mają w równaniach defini-
cyjnych współczynnik liczbowy równy jedności (zob. Tabela 1.1). W innych
.wcześniej stosowanych układach jednostek miar wartości tych współczynników
liczbowych bywały różne. Spójność układu SI jest bardzo korzystna, upraszcza
bowiem dokonywanie wszelkich obliczeń. W układzie SI określona wielkość ma
jedną jednostkę miary, jedną nazwę tej jednostki, jeden symbol i jeden wymiar
jednostki.

Wykaz ważniejszych jednostek miar w układzie
SI

Tabela
1.1

L.p.

Wielkość

Nazwa

jednostki

miary

Ozna-

czenie

jed-

nostki

Definicje i relacje między
jednostkami

Wymiar

w jed-

nostkach

podsta-

wowych

Uwagi

Długość

metr

Metr jest to długość równa drodze, jaką przebywa świa-
tło w czasie równym 1/299792458 sekundy

Masa

kilogram

Kilogram jest to masa międzynarodowego wzorca tej
jednostki przechowywanego w Międzynarodowym Biu-
rze Miar w Sevres.

Czas

sekunda

Sekunda jest to czas równy 9192631770 okresów pro-
mieniowania

odpowiadającego

przejściu

między

dwoma nadsubtemymi poziomami stanu podstawowego
atomu

I33

Cs (cezu!33).

Natężenie

prądu

elek-

trycznego

amper

Amper jest to prąd elektryczny nie zmieniający się, któ-
ry płynąc w dwóch równoległych prostoliniowych, nie-
skończenie długich przewodach o przekroju znikomo
małym, umieszczonych w próżni w odległości Im
(metr) od siebie - wywołałby między tymi przewodami
siłę 2-10"

N (niuton) na każdy metr długości.

Stosuje się

również nazwę:
prąd elektryczny

Temperatu

kelwin

Kelwin jest to 1/273,16 temperatury termodynamicznej
punktu potrójnego wody.

Dopuszcza się

°C

Liczność

materii

mol

Mol jest to liczność materii występująca, gdy liczba

cząstek jest równa liczbie atomów zawartych w masie
0,012 kg (kilogram)

C (węgla 12).

Stosowana jest

również nazwa:

ilość materii

Tabela 1.1 cd

wiatłość

kandela

Kandela jest światłością, którą ma w określonym
kierunku źródło emitujące promieniowanie
monochromatyczne o częstotliwości 540-10

i którego natężenie promieniowania jest równe

Kąt płaski

radian

rad

Radian jest to kąt płaski, zawarty między dwoma
promieniami koła, wycinającym z jego okręgu
łuk o długości równej promieniowi tego koła.

Kąt bryło-

steradian

Steradian jest to kąt bryłowy o wierzchołku w
ś

rodku kuli, wycinający z jej powierzchni część

równą powierzchni kwadratu o boku równym
promieniowi tej kuli.

Pole

powierzchni

metr

kwadratow

Metr kwadratowy jest to powierzchnia równa
powierzchni kwadratu, którego bok ma długość

Objętość

metr

sześcienn

Metr sześcienny jest to objętość równa objętości
sześcianu, którego krawędź ma długość Im

Częstotli-

wość

herc

Herc jest to częstotliwość zjawiska okresowego,
którego okres jest równy Is (sekunda).

Is'

Prędkość

liniowa

metr na

sekundę

m/s

Metr na sekundę jest to prędkość liniowa, z jaką
poruszający się punkt przebywa drogę o
długości Im (metr) w czasie Is (sekunda)

Im-s'

Prędkość

kątowa

radian na

sekundę

rad/s

Radian na sekundę jest to prędkość kątowa, z
jaką poruszający się po okręgu koła punkt
zakreśla łuk odpowiadający Irad (radian) w

ls-'-rad

Przyspie-

szenie

liniowe

metr na

kwadrat

sekundy

m/s

Metr na kwadrat sekundy jest to przyspieszenie
liniowe, przy którym prędkość liniowa zmienia
się o Im/s (metr na sekundę) w czasie Is

Im-s'

Tabela 1.1 cd

Przyspie-

szenie

kątowe

radian na

kwadrat

sekundy

rad/s

Radian na kwadrat sekundy jest to przyspieszenie kąto-

we, przy którym prędkość kątowa zmienia się o 1 rad/s
(radian na sekundę) w czasie Is (sekunda).

ls-

-rad

Gęstość

(masy)

kilogram na

metr

sześcienny

kg/m

Kilogram na metr sześcienny jest to gęstość ciała mają-

cego masę Ikg (kilogram) i objętość Im

(metr sze-

cienny).

lm-

-kg

Pęd

kilogram o-

metr na

sekundę

kg-m/s Kilogramometr na sekundę jest to pęd ciała o masie Ikg

(kilogram) poruszającego się z prędkością Im/s ( metr
na sekund e).

Im-kg-s"'

Siła

niuton

Niuton jest to siła, która w kierunku jej działania nadaje

masie Ikg (kilogram) przyspieszenie Im/s

lm-kg-s"

Moment

siły

niutonometr

N-m

Niutonometr jest to moment siły IN (niuton) względem

punktu położonego w odległości Im (metr) od kierunku
działania tej siły.

-kg-s-

Ciśnienie

paskal

Paskal jest to ciśnienie występujące na powierzchni pła-
skiej Im

( metr kwadratowy), na którą działa prostopa-

dle siła IN (niuton).

lm-'-kg-s-

N/m

Energia,

praca

dżul

Dżul jest to energia równa pracy wykonanej przez siłę
IN (niuton) w kierunku jej działania, na drodze o długo-
ś

ci Im {metr).

-kg-s-

N-m

Moc

wat

Wat jest to moc, przy której praca U (dżul) wykonana
jest w czasie Is (sekunda).

-kg-s-

J/s

Gęstość

mocy

wat na metr

kwadratowy

W/m

Wat na metr kwadratowy jest to gęstość mocy wystę-

pująca, gdy moc 1W (wat) przypada na powierzchnię
Im

(metr kwadratowy).

Ikg-s'

Tabela 1.1 cd

Gęstość

prądu

elektrycz-

nego

amper na

metr

kwadratowy

A/m

Amper na metr kwadratowy jest to gęstość prądu elek-

trycznego występująca, gdy prąd 1A (amper) rozkłada
się równomiernie na powierzchni Im

(metr kwadrato-

wy), prostopadłej do kierunku tej gęstości elektrycznej.

lm'

-A

Ładunek

elektryczny

kulomb

Kulomb jest to ładunek elektryczny przepływający w
czasie Is (sekunda) przez powierzchnię, gdy prąd
elektryczny płynący przez tę powierzchnię wynosi 1A
(amper).

ls-A

Napięcie

elektryczne,

różnica po-

tencjałów,

siła elektro-
motoryczna

wolt

Wolt jest to napięcie elektryczne występujące między
dwiema powierzchniami ekwipotencjalnymi jednorod-
nego przewodu prostoliniowego, w którym płynie nie
zmieniający się prąd 1A (amper), a moc między tymi
powierzchniami jest równa 1 W (wat).

-kg-s'

-A°

W/A

Natężenie
pola elek-
trycznego

wolt na

metr

V/m

Wolt na metr jest to natężenie równomiernego pola

elektrycznego, w którym różnica potencjałów między
dwiema płaszczyznami ekwipotencjalnymi odległymi
od siebie o Im (metr) wynosi IV (wolt).

Im-kg-s'

- A'

Indukcja

elektryczna

kulomb na

metr kwa-

dratowy

C/m

Kulomb na metr kwadratowy jest to indukcja elektrycz-

na, przy której na powierzchni przewodnika równej Im

( metr kwadratowy), prostopadłej do linii pola elek-
trycznego, indukuje się ładunek elektryczny 1C (ku-
lomb).

lnT

-s-A

Pojemność

elektryczna

farad

Farad jest to pojemność elektryczna, jaką ma konden-
sator, w którym między elektrodami występuje napięcie
elektryczne IV (wolt), gdy znajdują się na nich różno-
imienne ładunki o wartości 1C (kulomb) każdy.

lm-

.kg-'s

-A

C/V

Tabela 1.1 cd

Przenikal-

ność die-

lektryczna

Paradna

metr

F/m

Parad na metr jest to przenikalność dielektryczna (bez-

względna) środowiska izotropowego, w którym polu
elektrycznemu odpowiada indukcja elektryczna IC/m

(kulomb na metr kwadratowy).

Im^-kg-tf-A

Opór elek-

tryczny,

(rezystancja,

reak-tancja,

im-

pedancja)

Om jest to opór elektryczny między dwiema powierzch-
niami ekwipotencjalnymi przewodu jednorodnego pro-
stoliniowego, gdy niezmienne napięcie elektryczne IV
(wolt) występujące między tymi powierzchniami wy-
wołuje w tym przewodzie prąd elektryczny 1 A (amper).

-kg-s-

-A'

V/A

Rezystyw-

ność, opór

elektryczny

właściwy

omometr

n-m

Omometr jest to rezystywność jednorodnego przewod-
nika, gdy wykonany z niego przewód o przekroju po-
przecznym Im

( metr kwadratowy) i długości Im (metr)

ma opór elektryczny 1Q (om)

-kg- s'

-A'

Przewod-

ność elek-

tryczna

simens

Simens jest to przewodność elektryczna przewodu o
oporze Ifł (om).

Im-^g-^-A

i/n

Konduk-

tywność

simens na

metr

S/m

Simens na metr jest to konduktywność przewodnika

jednorodnego o rezystywności Iftm ( omometr)

lm-

-kg-'s

-A

l/ttm

Strumień

magnetycz-

weber

Weber jest to strumień magnetyczny, który malejąc jed-
nostajnie do zera w czasie Is (sekunda) indukuje siłę
elektromotorycznąlY (wolt) w obejmującym ten stru-
mień magnetyczny obwodzie zamkniętym jednozwojo-
wym wykonanym z przewodu o przekroju kołowym
znikomo małym.

-kg-s°-A

-1

V-s

K> K)

Tabela 1.1 cd

Indukcja

magnetycz

tesla

Tesla jest to indukcja magnetyczna pola
magnetycznego równomiernego, przy której na
przekrój poprzeczny Im

(metr kwadratowy)

przypada strumień magnetyczny lWb(weber).

lkg-s-

.A-'

Wb/m

Natężenie

pola ma-

gnetyczne

amperna

metr

A/m

Amper na metr jest to natężenie pola
magnetycznego, jakie występuje na powierzchni
bocznej walca kołowego o obwodzie Im (metr),
stycznie do powierzchni bocznej tego walca i
prostopadle do jego tworzącej, gdy przez
znajdujący się w osi tego walca przewód
prostoliniowy nieskończenie długi o przekroju

lm-'-A

Indukcyj-

ność

henr

Henr jest to indukcyjność obwodu, w którym
indukuje się siła elektromotoryczna IV (wolt),
gdy prąd elektryczny płynący w tym obwodzie
zmienia się jednostajnie o 1 A (amper) w czasie

-kg-s-

A-

Vs/A

Przenikal-

ność ma-

gnetyczna

henr na

metr

H/m

Henr na metr jest to przenikalność magnetyczna
(bezwzględna) środowiska izotropowego, w
którym polu magnetycznemu lA/m (amper na
metr) odpowiada indukcja magnetyczna 1T

Ira-kg- s'

-A-

Tm/A

Siła ma-

gnetomoto

-ryczna

amper

Amper

jest

siła

magnetomotoryczna

występująca

wzdłuż

dowolnej

krzywej

zamkniętej stanowiącej brzeg powierzchni, gdy
przez tę powierzchnię przenika jeden przewód z
nie zmieniającym się prądem 1 A (amper).

Tabela 1.1 cd

' 7

Strumień

wietlny

lumen

Lumen jest to strumień świetlny wysyłany w kącie bry-
łowym Isr (steradian) przez punktowe źródło światła o
ś

wiatłości Icd (kandela)

lcd-sr

Natężenie

oświetlenia

luks

Luks jest to natężenie oświetlenia wytworzone przez
strumień świetlny llm (lumen) na powierzchni Im

(metr

kwadratowy).

lm"

-cd-sr

Im/m

Luminancja kandela na

metr kwa-

dratowy

cd/m

Kandela na metr kwadratowy jest to luminancja po-

wierzchni Im

(metr kwadratowy), której światłość w

kierunku prostopadłym do tej powierzchni jest równa
Icd (kandela).

lm"

-cd

Jeśli jednostki główne są zbyt duże lub zbyt małe do określenia w prosty

sposób jakiejś wielkości, stosuje się dziesiętne wielokrotności lub
podwielokrotności tych jednostek. Są one zapisywane za pomocą przedrostków
przed nazwą jednostki (por. Tabela 1.2).

Przedrostki oznaczające krotność jednostek miar Tabela 1.2

Przedrostek

Oznaczenie

Krotność

eksa

peta

tera

giga

mega

kilo

hekto

deka

10'

decy

itr

centy

io-

mili

lO'

mikro

1(T

nano

io-

piko

lO'

femto

io-

atto

io-

WZORCE JEDNOSTEK MIAR

2.1.WIADOMOŚCI OGÓLNE

2.1.1. Definicje

Wzorce jednostek miar są to narzędzia pomiarowe lub układy pomiarowe

przeznaczone do zdefiniowania, zrealizowania, zachowania lub odtworzenia
jednostki miary lub jej wielokrotności.

Zbiór wzorców miary, które poprzez ich wspólne zastosowanie tworzą wzo-

rzec jednostki miary, jest nazywany wzorcem zespołowym jednostki miary.

Zbiór wzorców jednostki miary o wybranych wartościach, które

indywidualnie lub dzięki kombinacji dostarczają szeregu wartości tego samego
rodzaju, jest nazywany wzorcem grupowym jednostki miary.

Wzorzec jednostki miary uznany umową międzynarodową za podstawę do

przypisywania wartości innym wzorcom jednostki danej wielkości jest
nazywany wzorcem międzynarodowym.

Wzorzec jednostki miary uznany urzędowo w danym kraju za podstawę do

przypisywania wartości innym wzorcom jednostki miary danej wielkości jest
nazywany wzorcem państwowym.

Wzorzec jednostki miary, który jest ustalony lub powszechnie uznany jako

charakteryzujący się najwyższą jakością metrologiczną i którego wartość jest
przyjęta bez odniesienia do innych wzorców miary tej samej wielkości jest
nazywany wzorcem pierwotnym.

Wzorzec jednostki miary, którego wartość jest uzyskana przez porównanie z

wzorcem pierwotnym jednostki miary tej samej wielkości jest nazywany
wzorcem wtórnym.

Wzorzec odniesienia jest to wzorzec jednostki miary o najwyższej jakości

metrologicznej w danym miejscu lub danej organizacji, który stanowi
odniesienie dla wykonywanych tam pomiarów.

Wzorzec roboczy jest to wzorzec jednostki miary używany do wzorcowania

lub sprawdzania przyrządów pomiarowych.

2.1.2. Hierarchia wzorców

Odtworzenie wartości jednostki miary danej wielkości odbywa się za pomocą

odpowiednich narządzi pomiarowych oraz według ustalonych procedur nazywa-
nych systemami sprawdzań narządzi pomiarowych. Systemy te są opisane praw-
nie ustalonymi dokumentami.

W zależności od roli jaką pełnią wzorce w procesach pomiarowych tworzą

one swoistą piramidę hierarchiczną. Zasady tworzenia tej piramidy wzorców w
Polsce pokazano na rysunku 2.1.

Na wierzchołku tej piramidy znajdują się cztery wzorce o najwyższej dokładno-
ś

ci: podstawowy, świadek, odniesienia i porównania.

Wzorzec podstawowy jest najczęściej wzorcem zespołowym, składającym

się z kilku do kilkunastu wzorców. Jego wartość określa się jako średnią wartość
miar wzorców wchodzących w skład zespołu. Wartość wzorca podstawowego
ustala się w wyniku porównań z wzorcem międzynarodowym,, np. w Międzyna-
rodowym Biurze Wag i Miar (BIPM -Bureau Internationale des Poids et Measu-
res) w Sevres.

Wzorzec świadek służy do kontroli stałości wzorca podstawowego lub

zastąpienia go w przypadku uszkodzenia. Jego właściwości metrologiczne nie są
gorsze niż właściwości wzorca podstawowego. Wzorca świadka nie używa się
do innych bieżących zadań metrologicznych, nawet do sprawdzania innych
wzorców Przez porównanie z wzorcem podstawowym wyznacza się wartości
wzorców odniesienia i porównania..

Wzorzec odniesienia służy do porównywania z wzorcami niższego rzędu pi-

ramidy .

Wzorzec porównania służy do komparacji międzynarodowych oraz

kompara-cji z innymi wzorcami, które nie mogą być bezpośrednio
porównywane. Te cztery wzorce tworzą Państwowy wzorzec jednostki miary
danej wielkości i jednocześnie pierwszy poziom schematu przekazywania
jednostki miary. Wzorce te znajdują się w Głównym Urzędzie Miar (GUM) w
Warszawie. Na drugim poziomie są wzorce I-rzędu, które znajdują się w GUM
oraz Okręgowych Urzędach Miar (OUM).

Trzeci poziom obejmuje wzorce H-rzędu znajdujące się w Okręgowych i Obwo-
dowych Urzędach Miar oraz w Laboratoriach Upoważnionych. Z wzorcami tymi
porównywane są wzorce i narzędzia pomiarowe znajdujące się u użytkowników.
Wzorce użytkowe biorą bezpośredni udział w procesach pomiarowych.

BIPM

Wzorzec
podstawowy

I GUM

Wzorzec
porównania

Wzorzec
odniesienia

Wzorzec
ś

wiadek

Wzorzec I-
rzędu

II GUM

OUM

Wzorzec Il-
rzędu

III GUM
OUM
Lab.upowa
ż

Wzorce niższych rzędów oraz narzędzia użytkowe

Rys.2.1. Układ sprawdzeń wzorców jednostki miary

Wymagania

Wymagania stawiane wzorcom jednostek miar:

niezmienność w czasie,

duża dokładność,

łatwa odtwarzalność,

łatwa porównywalność,

łatwość stosowania.

Parametry wzorca podawane na tabliczce znamionowej lub jego metryce:

nominalna miara wzorca,

niedokładność miary wzorca,

okres zachowania niedokładności miary wzorca,

warunki, w których miara i dokładności są zachowane.

W technice pomiarów wielkości elektrycznych, z największą precyzją

odtwarzane są jednostki miary następujących wielkości:

siły elektromotorycznej (napięcia),

rezystancji,

pojemności,

indukcyjności własnej i wzajemnej,

częstotliwości.

2.2. WZORCE SIŁY

ELEKTROMOTORYCZNEJ I NAPI

2.2.1. Ogniwo Westona

W Polsce wzorcami napi

ogniwa chemiczne Westona.
cone. Budowę ogniwa nasyconego pokazano na rysunku 2.1.

Ogniwo nasycone Westona mie

onym do litery H. Elektrodami ogniwa s

naczynia. Biegunem dodatnim ogniwa jest rt
gamat kadmu (Cd-Hg). Elektrolitem jest nasycony wodny roztwór siarczanu
kadmowego

(CdSO

(SCdSCU+SH^O). W całym zakresie u
roztworem nasyconym. Biegun dodatni jest pokryty past
mieszaniny siarczanu kadmu (CdSO4) i siarczanu rt
przed wpływem bez
uszkodzeniami mechanicznymi, ogniwa

2.2. WZORCE SIŁY

ELEKTROMOTORYCZNEJ I NAPIĘCIA

2.2.1. Ogniwo Westona

W Polsce wzorcami napięcia stałego (ściślej siły elektromotorycznej) s

ogniwa chemiczne Westona. Budowane są dwa typy ogniw: nasycone i nienasy

ogniwa nasyconego pokazano na rysunku 2.1.

Rys.2. l. Ogniwo Westona

Ogniwo nasycone Westona mieści się w szklanym naczyniu o kształcie z

onym do litery H. Elektrodami ogniwa są druty platynowe wtopione w ramiona

naczynia. Biegunem dodatnim ogniwa jest rtęć (Hg), biegunem ujemnym

Hg). Elektrolitem jest nasycony wodny roztwór siarczanu

kadmowego

(CdSO

)

nadmiarem

kryształów

siarczanu

kadmu

(SCdSCU+SH^O). W całym zakresie użytkowym temperatury elektrolit jest
roztworem nasyconym. Biegun dodatni jest pokryty pastą utworzon
mieszaniny siarczanu kadmu (CdSO4) i siarczanu rtęci (Hg2SO4).Dla ochrony
przed wpływem bezpośredniego działania słońca i strumieni ciepła oraz
uszkodzeniami mechanicznymi, ogniwa

CdSOj

3CdS0

lej siły elektromotorycznej) są

dwa typy ogniw: nasycone i nienasy-

w szklanym naczyniu o kształcie zbli-

druty platynowe wtopione w ramiona

(Hg), biegunem ujemnym - amal-

Hg). Elektrolitem jest nasycony wodny roztwór siarczanu

kryształów

siarczanu

kadmu

ytkowym temperatury elektrolit jest

utworzoną z

ci (Hg2SO4).Dla ochrony

ca i strumieni ciepła oraz

umieszcza się w obudowach wykonanych z masy plastycznej lub metalu. W
obudowie ogniwa znajduje się gniazdo na termometr umożliwiający pomiar
temperatury powietrza wewnątrz obudowy.

Wartość siły elektromotorycznej ogniwa wzorcowego jest zależna, od

temperatury.

Dla ogniw nasyconych polska norma PN-80 E-06531 Ogniwa wzorcowe.

Wymagania ogólne - podaje wzór pozwalający obliczyć tzw. wartość
charakterystyczną siły elektromotorycznej ogniwa w temperaturze t różnej od
temperatury znamionowej t|.

E = E,

+a(t-ti)+b(t-ti)

+c(t-t

)

(2.1)

w którym: E

- wartość uwierzytelniona, czyli wartość rzeczywista siły

elektromotorycznej, podana w świadectwie sprawdzenia, ti -

temperatura znamionowa, t - temperatura ogniwa, a, b, c - stałe,
określone oddzielnie dla każdego ogniwa, podane

w świadectwie sprawdzenia.

Np. dla temperatur zawartych w przedziale od 10°C do 30°C, wartości

współczynników a, b i c mogą mieć wartości jak we wzorze (2.2)

E, = E

- 4,06 • 10'

(t - 20)- 0,95 • 10"

(t - 20)

+ 0,01 • 10"* (t - 2Qf

(2.2)

gdzie: E

- siła elektromotoryczna ogniwa Westona w temperaturze t °C,

o - siła elektromotoryczna ogniwa Westona w temperaturze 20°C.

Wartość uwierzytelniona siły elektromotorycznej w temperaturze równej

+20°C wynosi od 1,018540V do 1,018730V, zależnie od jakości użytych mate-
riałów.

Temperatura znamionowa ogniwa według normy powinna być wybrana z

ciągu wartości: 20°C, 23°C, 25°C lub 28°C.

Wzór (2.1) jest słuszny dla przypadku, gdy „ramiona" ogniwa mają tę samą

temperaturę. Ogniwo to ma dużą bezwładność cieplną i stała czasowa ogniwa
jest duża, rzędu godzin, zatem wyrównywanie temperatury wszystkich jego
elementów może trwać kilkanaście godzin. Z tego powodu z ogniw, które były
narażone na zmiany temperatury, można korzystać dopiero po upływie 24
godzin. Okres karencji dotyczy również ogniw narażonych na wstrząsy np. w
wyniku transportu.

Z ogniw wzorcowych nie należy pobierać, ani też przepuszczać prądu. Ob-

ciążalność ogniw wzorcowych jest bardzo mała. Dopuszczalny krótkotrwały
prąd wynosi 1|JA. Dłuższe (już około l minuty) pobieranie prądu o wartości IpA
po-

woduje odczuwalne zmniejszenie siły elektromotorycznej ogniwa Westona
wskutek polaryzacji. Ogniwo odzyskuje właściwą wartość po kilkunastu minu-
tach. Przypadkowe zwarcie ogniwa trwające do kilkunastu minut przeważnie nie
powoduje trwałego uszkodzenia ogniwa, jednakże przed ponownym użyciem ta-
kie ogniwo musi być dokładnie sprawdzone. Pobór prądu o natężeniu większym
od lOOfiA trwale uszkadza ogniwo.

Rezystancja wewnętrzna nasyconego ogniwa Westona jest rzędu lk£2.

Celem uniknięcia przeciążeń należy dbać o to, by rezystancja obwodu, do
którego włącza się ogniwo nie była mniejsza niż 9kQ.

Właściwości metrologiczne ogniwa są podstawą do zakwalifikowania go do

określonej klasy dokładności. Według normy klasa dokładności to uogólniona
charakterystyka ogniw wzorcowych o takiej samej niestabilności czasowej siły
elektromotorycznej w czasie, określona po upływie jednego roku od daty pierw-
szego sprawdzenia podanej w świadectwie przy spełnieniu warunków przecho-
wywania i użytkowania określonych w normie.

Dla ogniw nasyconych norma rozróżnia sześć klas dokładności

oznaczonych symbolami:

0,0002; 0,0005; 0,001; 0,002; 0,005; 0,001

lub odpowiednio

2ppm; 5ppm; lOppm; 20ppm; 50ppm; lOOppm.

Liczba będąca wyróżnikiem klasy określa wartość dopuszczalnej rocznej

zmiany siły elektromotorycznej ogniwa wyrażonej w procentach wartości nomi-
nalnej. Tak określona zmiana nosi nazwę błędu podstawowego ogniwa wzorco-
wego.

Definicja błędu podstawowego przybliża ideę oznaczania klasy dokładności

za pomocą liter „ppm", które są skrótem od ang. „parts per milion", co w języku
polskim oznacza: jedna milionowa (xlO~

Na obudowie ogniwa wzorcowego umieszcza się następujące

dane: znak lub nazwa wytwórcy, typ ogniwa,

numer fabryczny, symbol klasy dokładności,
biegunowość zacisków, znamionowa i
dopuszczalna pozycja pracy.

Do każdego ogniwa wzorcowego dołącza się świadectwo zawierające nastę-

pujące dane:

nazwa lub znak wytwórcy,
nazwa i typ ogniwa, numer
fabryczny,

rodzaj ogniwa (nasycone, nienasycone),
symbol klasy dokładności, data sprawdzenia
i znak kontroli technicznej,

wartość uwierzytelniona siły elektromotorycznej wraz z
niepewnością pomiaru,

temperatura znamionowa,

wartości stałych a, b, c ze wzoru 2. l dla ogniw nasyconych, rezystancja
wewnętrzna dla prądu stałego w temperaturze znamionowej. Ogniwa wzorcowe
powinny być przechowywane w temperaturze mieszczącej się w granicach od
4°C do 40°C.

ródłem wzorcowego napięcia stałego, niewrażliwym na wstrząsy i

wibracje jest ogniwo nienasycone Westona. Elektrolit tego ogniwa jest
nienasycony (brak kryształków siarczanu kadmu). Dzięki wkładkom
ceramicznym, utrzymującym chemikalia we właściwym miejscu, ogniwo to
dobrze spełnia rolę wzorca w urządzeniach przenośnych.

Uwierzytelniona wartość siły elektromotorycznej tego typu ogniw zawiera

się w granicach od l,01882 V do 1,01902V w temperaturze 20°C.

Ogniwa nienasycone budowane są w czterech klasach dokładności

0,002; 0,005; 0,01; 0,02 lub

20ppm; 50ppm; lOOppm; 200ppm

Zmiana siły elektromotorycznej ogniwa nienasyconego wraz z temperaturą

nie powinna przekraczać 10jiV/

C dla temperatur od 4°C do 10°C oraz 5)iV/

dla temperatur powyżej 10°C do 40°C.

Zaletą ogniw nienasyconych jest mała rezystancja wewnętrzna - rzędu 600Q

oraz duży dopuszczalny prąd lOOpiA.

Grupowy wzorzec SEM

Jak widać, wymagania stawiane wzorcom jednostek miar lepiej spełniają

ogniwa Westona nasycone, dlatego właśnie ogniwa nasycone tworzą Państwowy
wzorzec siły elektromotorycznej i napięcia stałego, w skład którego wchodzą:
wzorzec podstawowy, wzorzec porównania, wzorzec odniesienia i wzorzec
ś

wiadek (zob. rysunek 2.1).

Wzorzec podstawowy jest wzorcem grupowym (zespołowym) składającym

się z grupy 12 ogniw nasyconych, utrzymywanych w stałej temperaturze równej
20°C±0,001°C. Są to ogniwa przechowywane w specjalnych warunkach już od

momentu wyprodukowania, tak aby uniknąć wpływu zjawiska histerezy.
Zjawisko to polega na tym, że wartość SEM ogniwa poddanego zmianom
temperatury, wstrząsom nie wraca do uprzedniej wartości.

Jako wartość wzorca jednostki SEM przyjmuje się średnią arytmetyczną

wartości sił elektromotorycznych wszystkich ogniw wchodzących w skład
grupy. Wartość SEM wzorca ustala się w wyniku porównań w
Międzynarodowym Biurze Miar i Wag (BIPM) w Sevres, gdzie jej wartość
jest odniesiona do wartości ustalonej w oparciu o efekt Josephsona.

Wzorce I-rzędu stanowią pojedyncze ogniwa nasycone Westona.

2.2.2. Źródła wzorcowe wykorzystujące efekt Josephsona

Podstawową wadą ogniw Westona jako wzorców jest to, że są wzorcami

sztucznymi, których właściwości zależą od użytych materiałów i technologii
wykonania. Ponadto ich parametry silnie zależą od wpływu warunków
otoczenia, a przede wszystkim zmian temperatury i przyspieszeń. Dlatego
dąży się do zdefiniowania jednostki napięcia na podstawie zjawisk
molekularnych jako powszechnych, praktycznie niezmiennych i prawie nie
podlegających wpływom zmian warunków otoczenia. W tym celu
prowadzone są intensywne prace nad wykorzystaniem właściwości złącza
Josephsona.

Złącze Josephsona składa się z dwóch nadprzewodników rozdzielonych

cienką warstwą dielektryka (l-s-2)nm. W temperaturze ciekłego helu 4,2K
przez warstwę dielektryczną może przepływać prąd (tzw. prąd tunelowy),
będący sumą prądu pojedynczych elektronów i elektronów związanych w
pary. Prąd par elektronowych i jego oddziaływanie z zewnętrznymi
wymuszeniami nadaje złączu wiele interesujących właściwości.

Stałoprądowy efekt Josephsona polega na tym, że przez złącze może

przepływać prąd stały o wartości mniejszej od pewnej wartości krytycznej Ik
nie wywołując spadku napięcia na złączu.

Przemiennoprądowy wewnętrzny efekt Josephsona występuje w

przypadku umieszczenia złącza spolaryzowanego prądem stałym o wartości
większej od wartości krytycznej w słabym (ImT) stałym polu
magnetycznym. Wówczas przez złącze, oprócz prądu stałego, płynie również
prąd przemienny o częstotliwości zależnej od napięcia U polaryzującego
złącze zgodnie z zależnością

(2.3)

w której: e - ładunek

elektronu, h - stała
Plancka.

Szczególnie interesuj

wzorców napięcia jest przemiennopr
ten występuje po umieszczeniu zł
częstotliwości f$. W tym przypadku charakterystyka pr
złącza przybiera kształt schodkowy. S
spełniającym zależność

w której: «-kolejny numer schodka.

Rys.2.3. Charakterystyka pr

Ostatnia zależność

pięciem przez stosunek stałych fizycznych
(2.4) jest niezależny od rodzaju nadprzewodnika i dielektryka, od temperatury,
od natężenia i intensywno
tego zjawiska, która predestynuje je do wykorzystania w charakterze wzorca
napięcia. Z porównania napi
częstotliwości) można wyznaczy
2e/h ma wartość wyznaczon
arbitralnie, złącze moż
wzorców napięcia. Decyzj
(1.01.1990r.) arbitralnie przyj

Ponieważ częstotliwość

10"

%, istnieje więc moż

schód-

Szczególnie interesujący z punktu widzenia przydatności złącza do budowy

cia jest przemiennoprądowy zewnętrzny efekt Josephsona. Efekt

puje po umieszczeniu złącza w polu elektromagnetycznym wielkiej

W tym przypadku charakterystyka prądowo-napię

cza przybiera kształt schodkowy. Skok prądu występuje przy napię

ność

*tf,=¥-Vn

kolejny numer schodka.

U, U

Rys.2.3. Charakterystyka prądowo-napięciowa złącza Josephsona.

ność wiąże częstotliwość pola elektromagnetycznego fs z na

ciem przez stosunek stałych fizycznych e i h. Związek wyrażony równaniem

ny od rodzaju nadprzewodnika i dielektryka, od temperatury,

enia i intensywności pola magnetycznego. Jest to bardzo istotna cecha

tego zjawiska, która predestynuje je do wykorzystania w charakterze wzorca

cia. Z porównania napięcia U„ z napięciem wzorca (przy znanej

na wyznaczyć stosunek 2e/h i odwrotnie - przy założ

ść

wyznaczoną z dostateczną dokładnością lub też

cze można zastosować do odtworzenia i kontroli istniej

cia. Decyzją Międzynarodowego Komitetu Miar i Wag

(1.01.1990r.) arbitralnie przyjęto, że:

2e/h=483597,910

Hz/V.

stotliwość fs można zmierzyć stosunkowo łatwo z błędem rz

c możliwość bardzo dokładnego porównania „napięcia

n=l

cza do budowy

trzny efekt Josephsona. Efekt

cza w polu elektromagnetycznym wielkiej

napięciowa

puje przy napięciu U„

(2-4)

pola elektromagnetycznego fs z na-

ony równaniem

ny od rodzaju nadprzewodnika i dielektryka, od temperatury,

t to bardzo istotna cecha

tego zjawiska, która predestynuje je do wykorzystania w charakterze wzorca

ciem wzorca (przy znanej

przy założeniu, że

lub też podaną

do odtworzenia i kontroli istniejących

dzynarodowego Komitetu Miar i Wag

dem rzędu

bardzo dokładnego porównania „napięcia

kowego" U„ z SEM wzorców i wyznaczenia ich zmienno
istnieje możliwość wykorzystania efektu Josephsona do odtwarzania jednostki
napięcia. Np. łączą
równe 10mV. Zaletą
i stabilność, lecz tak
którego wartości uzyskane w ró
Wymagałoby to j ednak zmiany defmicj i j ednostki napi

Stosowanie wzorców ze zł

technologicznych sameg
waniem złącza w temperaturze ok. 4,2K, w której wyst
wodnictwa materiałów zł
eliminacja sił termoelektrycznych wyst
temperatur między zł
ź

ródłem, wymaga zasto

Zgodnie z międzynarodowymi zaleceniami wzorce ze zł

są coraz szerzej stosowane w laboratoriach Na

Od 1998 roku w Głównym Urz

jednostki miary napię
ze złączem Josephsona oraz grupowym wzorcem z diodami Zenera.
Uproszczony schemat stanowiska pomiarowego pokazano na rysunku 2.4.

Rys.2.4. Schemat blokowy stanowiska pomiarowego wzorca

kowego" U„ z SEM wzorców i wyznaczenia ich zmienności czasowej. Ponadto

ść

wykorzystania efektu Josephsona do odtwarzania jednostki

cząc szeregowo 500 złącz Josephsona można uzyska

równe 10mV. Zaletą takiego wzorca podstawowego byłaby nie tylko dokładno

ść

, lecz także to, że byłby on wzorcem absolutnym,

ci uzyskane w różnych laboratoriach byłyby jednakowe.

Wymagałoby to j ednak zmiany defmicj i j ednostki napięcia.

Stosowanie wzorców ze złączem Josephsona wymaga pokonania trudno

technologicznych samego złącza jak również problemów związanych z utrzymy

cza w temperaturze ok. 4,2K, w której występuje zjawisko nadprze

wodnictwa materiałów złącza, np. stopów niobowo-ołowianych. Tak
eliminacja sił termoelektrycznych występujących przy tak duż

dzy złączem a otoczeniem , a w szczególności sprawdzanym

ródłem, wymaga zastosowania odpowiednich środków zaradczych.

Zgodnie z międzynarodowymi zaleceniami wzorce ze złączami Josephsona

coraz szerzej stosowane w laboratoriach Narodowych Biur Miar.

Od 1998 roku w Głównym Urzędzie Miar jako wzorzec najwyż

jednostki miary napięcia elektrycznego wykorzystuje się stanowisko pomiarowe

czem Josephsona oraz grupowym wzorcem z diodami Zenera.

Uproszczony schemat stanowiska pomiarowego pokazano na rysunku 2.4.

Rys.2.4. Schemat blokowy stanowiska pomiarowego wzorca

napięcia ze złączem Josephsona.

ci czasowej. Ponadto

wykorzystania efektu Josephsona do odtwarzania jednostki

na uzyskać napięcie

takiego wzorca podstawowego byłaby nie tylko dokładność

wzorcem absolutnym, tj. wzorcem,

nych laboratoriach byłyby jednakowe.

czem Josephsona wymaga pokonania trudności

zanych z utrzymy-

puje zjawisko nadprze-

ołowianych. Także

cych przy tak dużej różnicy

ci sprawdzanym

rodków zaradczych.

czami Josephsona

rodowych Biur Miar.

dzie Miar jako wzorzec najwyższego rzędu

stanowisko pomiarowe

czem Josephsona oraz grupowym wzorcem z diodami Zenera.

Uproszczony schemat stanowiska pomiarowego pokazano na rysunku 2.4.

Rys.2.4. Schemat blokowy stanowiska pomiarowego wzorca

Stanowisko pomiarowe wzorca napięcia przedstawione na rysunku 2.4

składa się z następujących podzespołów: naczynia Dewara z ciekłym helem,
sondy kriogenicznej ze złączem Josephsona, falowodem i układem
mikrofalowym,

oscyloskopu,

licznika

synchronizującego

sterowanego

sygnałem zewnętrznej podstawy czasu wzorcowego zegara cezowego, dwóch
zestawów wzorców wtórnych oraz komputera z oprogramowaniem NISTYolt.

Znamionowe napięcie wzorca Josephsona jest równe 10V, wzorców

wtórnych 10V i 1,018V, a częstotliwość układu mikrofalowego ustalana jest z
zakresu (74-77) GHz.

Napięcie we wzorcu Josephsona jest wytwarzane w strukturze około 20

tysięcy złącz półprzewodnikowych Nb/Al

O3/Nb z dielektrykiem SiOa.

Struktura złącz poddawana jest w temperaturze ciekłego helu (4,2K) działaniu
promieniowania pola elektromagnetycznego o częstotliwości około 75GHz.
Promieniowanie to jest wytwarzane w generatorze z diodą Gunn'a.
Częstotliwość jest mierzona licznikiem częstotliwości wysterowanym cezowym
wzorcem częstotliwości lOMHz.

W układzie tym uzyskuje się napięcia wzorcowe z zakresu (-10 •*• +10)V.

Jednostka napięcia przekazywana jest wzorcom wtórnym, którymi są wzorce
zbudowane na diodach Zenera produkcji firmy Fluke. Jako metodę pomiarową
stosuje się szeregowe przeciwsobne połączenie obu wzorców (Josephsona i
Fluke 734A) i pomiar różnicy napięć za pomocą woltomierza cyfrowego.

Stanowisko pomiarowe jest sterowane komputerowo. Program komputerowy

NISTYolt umożliwia wykonywanie piętnastu operacji niezbędnych przy stoso-
waniu wzorca. Wyniki pomiarów są podawane w postaci tabel i wykresów oraz
mogą być drukowane w postaci formalnego raportu.

Według [15] niepewność standardowa względna odtworzenia jednostki

napięcia elektrycznego za pomocą wzorca Josephsona nie przekracza wartości
210"

i wynika z niepewności odtwarzania częstotliwości, natomiast

niepewność standardowa względna przekazania jednostki wzorcom wtórnym
nie przekracza wartości l O"

Opisane stanowisko pomiarowe jest produkcji firmy RMC.

2.2.3. Elektroniczne wzorce napięcia stałego

Ogniwo Westona jako źródło napięcia wzorcowego jest mało praktyczne.

Mała wartość SEM, niemożność obciążania prądem, delikatna budowa - to
wady, które powodują, że coraz częściej jako wzorce użytkowe stosuje się
elektroniczne źródła napięcia stałego z diodami Zenera.

Dioda krzemowa Zenera jest złączem półprzewodnikowym typu p-n o cha-

rakterystyce prądowo-napięciowej jak na rysunku 2.5.

Rys.2.5. Charakterystyka prądowo-napięciowa diody Zenera.

Dla napięć i prądów dodatnich charakterystyka prądowo-napięciowa jest po-

dobna do charakterystyki zwykłej diody krzemowej. Dla napięć i prądów ujem-
nych charakterystyka gwałtownie załamuje się przy pewnej wartości napięcia,
zwanej napięciem Zenera (Uz). Wartość tego napięcia zależy od typu diody i
wynosi zwykle od ok. 3V do 27V. W obszarze załamywania się charakterystyki
następuje szybki wzrost prądu płynącego przez diodę przy prawie
niezmienionym napięciu. Właściwość tę wykorzystuje się do stabilizacji
napięcia. Ważnymi parametrami diod Zenera są: współczynnik stabilizacji Sd,
rezystancja dynamiczna Rj i współczynnik temperaturowy napięcia stabilizacji
(

Współczynnik stabilizacji wyraża stosunek względnych zmian prądu płyną-

cego przez diodę do wywołanych przez nie względnych zmian spadku napięcia
na diodzie

A/,

(2.5)

Dla typowych diod współczynnik ten wynosi ok. 100.

Rezystancja dynamiczna jest to rezystancja dla prądu zmiennego, diody wy-

sterowanej prądem stałym o wartości I

, obliczana według wzoru (2.6)

R -

(2.6)

Rezystancja ta zależy od wartości napięcia Zenera, zależnej od typu diody i od
wartości prądu stabilizacji czyli od punktu pracy. Wartość rezystancji dynamicz-
nej wynosi od kilku do kilkudziesięciu omów. Minimalną rezystancję
dynamiczną mają diody o napięciu Zenera równym U

=(6-s-8)V.

Współczynnik temperaturowy napięcia jest zdefiniowany wzorem (2.7).

l At/

•//

(2.7)

Współczynnik ten zależy od napięcia Zenera.. Ma on wartość ujemną dla

diod o U

<5V, a dodatnią dla diod U

>7V. Diody o napięciu Zenera U

=(5-*-

7)V mają współczynnik

bliski zeru.

S-KT

Rys.2.6. Zależność współczynnika temperaturowego od napięcia Zenera

Prosty układ wzorcowego

stawiono na rysunku (2.7).

-H*

o
-----
1

Rys.2.7. Schemat wzorcowego

Napięcie przemienne z transformatora zasilaj

diody

i Dj, a nast

kondensatora d. Oporniki R], R
nera

i D

. Przy wzro

oporniki

i R

zmian. Dioda D

Parametrem charakteryzuj

wzorcowego jest
względnej zmiany napi
wejściowego

Dla przedstawionego układu przy odpowiednim doborze elementów współczyn
nik ten wynosi od 0,005 do 0,0005.

Na rysunku 2.8 przedstawiono układ wysokostabilnego

wykorzystującego wzmacniacz operacyjny i
doborze elementów współczynnik stabilizacji tego
Układ ma zarówno ujemne, jak i dodatnie sprz
nia wzmacniacz pracuje z silnym sprz
małą rezystancję
sprzężenia, napię
namiczna diody jest wtedy mała i warto

Prosty układ wzorcowego źródła napięcia stałego z diodami Zenera przed

stawiono na rysunku (2.7).

+ -

Schemat wzorcowego źródła napięcia stałego z diodami Zenera

cie przemienne z transformatora zasilającego jest prostowane przez

i Dj, a następnie filtrowane przez filtr składający się z opornika

kondensatora d. Oporniki R], R

ograniczają prąd płynący przez diody Ze

. Przy wzroście napięcia sieci zasilającej wzrasta prąd płyn

oraz diodę

zaś napięcie na diodzie

utrzymuje si

zmian. Dioda D

powinna mieć możliwie mały współczynnik tempera

Parametrem charakteryzującym jakość elektronicznych źródeł napi

cowego jest współczynnik stabilizacji. Określa się go jako stosunek

dnej zmiany napięcia wyjściowego do względnej zmiany napi

A£7

Dla przedstawionego układu przy odpowiednim doborze elementów współczyn
nik ten wynosi od 0,005 do 0,0005.

Na rysunku 2.8 przedstawiono układ wysokostabilnego źródła wzorcowego,

cego wzmacniacz operacyjny i diodę Zenera. Przy odpowiednim

doborze elementów współczynnik stabilizacji tego źródła wynosi ok. l O"
Układ ma zarówno ujemne, jak i dodatnie sprzężenie zwrotne. W chwili wł
nia wzmacniacz pracuje z silnym sprzężeniem dodatnim, gdyż opornik

rezystancję, a rezystancja początkowa diody D jest duża. W wyniku tego

enia, napięcie na diodzie szybko wzrasta do wartości Uz. Rezystancja dy

namiczna diody jest wtedy mała i wartość sprzężenia dodatniego gwałtownie

cia stałego z diodami Zenera przed-

cia stałego z diodami Zenera

cego jest prostowane przez

cy się z opornika

cy przez diody Ze-

cej wzrasta prąd płynący przez

utrzymuje się bez

liwie mały współczynnik temperaturowy

elektronicznych źródeł napięcia

go jako stosunek

dnej zmiany napięcia

(2.8)

Dla przedstawionego układu przy odpowiednim doborze elementów współczyn-

ródła wzorcowego,

Zenera. Przy odpowiednim

ródła wynosi ok. l O"

enie zwrotne. W chwili włącze-

opornik R\ ma

a. W wyniku tego

ci Uz. Rezystancja dy-

enia dodatniego gwałtownie

maleje. W stanie ustalonym warto
zależności (2.9)

Rys.2.8. Schemat wzorcowego

ze wzmacniaczem operacyjnym i diod

Prąd wyjściowy jest ograniczony warto
wzmacniacza.

Wzorcowe źródła z diodami Zenera s

nowe, o wartościach dostosowanych do parametrów układów pomiarowych, z
którymi mają współpracowa
ź

ródeł jest ograniczony tylko parametrami u

diodami Zenera jest niewra
ź

ródeł-jako wzorców-jest stosunkowo mała stało

Obecnie na świecie wytwarza si

stabilności rocznej dla źródeł o warto
około l ppm. Źródła te ze wzgl
portu są obecnie powszechnie w
służą do przenoszenia warto
wzorce grupowe zbudowane z ogniw Westona. Równie

W stanie ustalonym wartość napięcia wyjściowego źródła oblicza się

TT _

Rys.2.8. Schemat wzorcowego źródła napięcia stałego

ze wzmacniaczem operacyjnym i diodą Zenera.

ciowy jest ograniczony wartością dopuszczalnego prądu wyjściowego

ródła z diodami Zenera są budowane na różne napięcia znamio

ciach dostosowanych do parametrów układów pomiarowych, z

współpracować. Prąd wyjściowy (obciążalność prądowa) tych

ródeł jest ograniczony tylko parametrami użytych elementów. Zaletą źródeł z

diodami Zenera jest niewrażliwość na wstrząsy i wibracje, natomiast wadą

jest stosunkowo mała stałość w czasie.

wiecie wytwarza się półprzewodnikowe źródła napię

ci rocznej dla źródeł o wartości 1,018V około2ppm, a dla źródeł 10V

ródła te ze względu na łatwość obsługi i przystosowanie do trans

obecnie powszechnie wykorzystywane jako tzw. transfery. Transfery

do przenoszenia wartości IV lub 10V ze źródeł ze złączami Josephsona na

wzorce grupowe zbudowane z ogniw Westona. Również transfery są stosowane

ródła oblicza się z

(2.9)

ciowego

cia znamio-

ciach dostosowanych do parametrów układów pomiarowych, z

ść

dowa) tych

źródeł z

sy i wibracje, natomiast wadą tych

ródła napięcia o

ródeł 10V -

obsługi i przystosowanie do trans-

ykorzystywane jako tzw. transfery. Transfery

czami Josephsona na

stosowane

w komparacjach mię
stwowych jednostki napi
wartości wolta otrzymywanych z ró
Jose-phsona, których bezpo

2.2.4. Kalibratory napi

Kalibratory napię

dła napięcia stałego, w których wykorzystuje si
nych diod Zenera. Umo
określoną dokładnoś
nastawień.

Budowane są jako wielozakresowe wzorce u

Siemens typu D2300 umo
czterech podzakresach: 0
0,0001 wartości podzakresu. Dopuszczalny pobór pr
i drugiego wynosi lOOmA, dla trzeciego lOmA, dla czwartego za
podstawowy kalibratora nie przekracza ±0,008%.
Produkowany w kraju k
napięć w zakresie 0
s-lY i O*l OV, w stopniach co 0,0001 warto
ż

enie prądowe dla wszystkich podzakresów wynosi lOOmA.

Schemat strukturalny kalibratora przedstawiono na rysunku 2.9.

Rys.2.9. Schemat strukturalny kalibratora napi

Żą

dana wartość

przełącznikach bloku nastawy
wielodekadowy prze
napięcie wzorcowe,

w komparacjach międzynarodowych ( porównywanie wartości wzorców pa
stwowych jednostki napięcia różnych krajów), a także przy porównywaniu

ci wolta otrzymywanych z różnych stanowisk wykorzystują

phsona, których bezpośrednie porównanie jest praktycznie niemo

.4. Kalibratory napięcia

Kalibratory napięcia stałego budowane są jako elektroniczne sterowane

cia stałego, w których wykorzystuje się właściwości wyselekcjonowa

nych diod Zenera. Umożliwiają one otrzymywanie żądanej wartoś

dokładnością bez konieczności mierzenia i ręcznego korygowania

jako wielozakresowe wzorce użytkowe - np. kalibrator firmy

Siemens typu D2300 umożliwia nastawienie napięć w zakresie O

rech podzakresach: 0-s-lV, O-IOY, 0-s-100V i (MOOOY, w stopniach co

ci podzakresu. Dopuszczalny pobór prądu dla zakresu pierwszego

go wynosi lOOmA, dla trzeciego lOmA, dla czwartego zaś

wy kalibratora nie przekracza ±0,008%.

Produkowany w kraju kalibrator typu SQ12 firmy Lumel umożliwia nastawianie

w zakresie 0-s-lOY w czterech podzakresach 0-*-10mV, O-

lY i O*l OV, w stopniach co 0,0001 wartości podzakresu. Maksymalne obci

dowe dla wszystkich podzakresów wynosi lOOmA.

Schemat strukturalny kalibratora przedstawiono na rysunku 2.9.

Rys.2.9. Schemat strukturalny kalibratora napięcia

dana wartość napięcia wyjściowego Uwy jest programowana na

kach bloku nastawy (BN). W zależności od ich poło

wielodekadowy przetwornik cyfrowo-analogowy (C/A) generuje odpowiednie

cie wzorcowe,

Ri U

ci wzorców pań-

e przy porównywaniu

nych stanowisk wykorzystujących złącza

rednie porównanie jest praktycznie niemożliwe.

jako elektroniczne sterowane źró-

ci wyselekcjonowa-

danej wartości napięcia z

cznego korygowania

np. kalibrator firmy

w zakresie O-s-lOOOY w

100V i (MOOOY, w stopniach co

du dla zakresu pierwszego

go wynosi lOOmA, dla trzeciego lOmA, dla czwartego zaś ImA. Błąd

liwia nastawianie

-s-lOOmY, 0-

ci podzakresu. Maksymalne obcią-

Schemat strukturalny kalibratora przedstawiono na rysunku 2.9.

ciowego Uwy jest programowana na

ci od ich położeń

analogowy (C/A) generuje odpowiednie

Ri U

które jest podawane na jedno z wejść komparatora (K). Do drugiego z wejść
komparatora jest doprowadzone napięcie sprzężenia zwrotnego. Napięcie sprzę-
ż

enia zwrotnego jest częścią napięcia wyjściowego (dzielnik napięcia

Sygnał wyjściowy z komparatora, tzw. sygnał błędu steruje wzmocnieniem
wzmacniacza mocy (W) przez regulator (Reg) i separator transoptorowy (S).
Błąd podstawowy tego wzorca nie przekracza: ±(0,02% wartości nastawionej
+0,005% wartości zakresu +5nV).

Budowane są również precyzyjne kalibratory napięcia przemiennego.

Zwykle wykonywane jako uniwersalne, wielofunkcyjne i wielozakresowe
wzorce napięć stałych i przemiennych o różnych zakresach częstotliwości. Do
czołowych firm produkujących te kalibratory należą J. Fluke, Hewlett-Packard,
Siemens, Datron i Lumel.

2.3. WZORCE REZYSTANCJI

Wzorcami rezystancji są bardzo starannie wykonane i dokładnie wywzorco-

wane oporniki z drutów i taśm rezystancyjnych. Materiał oporowy z którego
wykonuje

się

wzorce

powinien

się

charakteryzować

poniższymi

właściwościami:

duża rezystywność;

mały współczynnik temperaturowy,

mała siła termoelektryczna w styku z miedzią,

stałość oporu w czasie,

duża wytrzymałość mechaniczna i cieplna.

Materiałami spełniającymi te wymagania są stopy miedzi, znane pod

nazwami handlowymi manganin i nikrothal. Ich parametry elektryczne są
następujące:

manganin

nikrothal

współczynnik temperaturowy <2-10"

K"'

< 1-lO^K"

rezystancji

rezystywność

ok. 43-10~

ok. 133-10'

napięcie termoelektryczne

ok. l^Y/K

ok. 2jiV/K

w/m miedzi

Dla zapewnienia stałości rezystancji w czasie przeprowadza się sztuczne lub

naturalne starzenie materiału oporowego. Starzenie sztuczne polega na wygrze-
waniu materiału przez kilkadziesiąt godzin w temperaturze (100-s-150)°C.
Starzenie naturalne polega na wieloletnim przechowywaniu materiału w
warunkach znamionowych. Starzenie naturalne jest czasochłonne, a więc
kosztowne, jest ono

stosowane tylko dla materiałów przeznaczonych do wykonywania wzorców o
największej dokładno

Oporniki wzorcowe powinny mie

dużą dokładno
stałość
mała siła elektromotoryczna w styku z miedzi
mała zale
kąt przesuni

Ostanie dwa wymagania dotycz

prądu przemiennego. Spełnienie tych wymaga
opornika ponieważ
zjawisko naskórko
indukcyjności. Naskórkowo
zwiększa wartość
wpływ resztkowych pojemno
zastępczy opornika przy pr
rysunku 2.10.

Rys.2.10. Schemat zast

przemiennym Impedancj
2.10 jest równa

Z =

gdzie co jest pulsacj
Kąt fazowy mi

stosowane tylko dla materiałów przeznaczonych do wykonywania wzorców o

kszej dokładności.

Oporniki wzorcowe powinny mieć następujące właściwości:

żą

dokładność,

stałość rezystancji w czasie,

mała siła elektromotoryczna w styku z miedzią,

mała zależność rezystancji od częstotliwości,

t przesunięcia fazowego bliski zeru.

Ostanie dwa wymagania dotyczą wzorców pracujących w układach

du przemiennego. Spełnienie tych wymagań zależy od konstrukc

waż przy prądzie przemiennym muszą być brane pod uwag

zjawisko naskórko-wości oraz wpływ resztkowych pojemno

ci. Naskórkowość zmniejsza czynny przekrój przewodu, a wi

ksza wartość rezystancji wraz ze wzrostem częstotliwoś

wpływ resztkowych pojemności i indukcyjności powoduje,

pczy opornika przy prądzie przemiennym ma postać pokazan

Rys.2.10. Schemat zastępczy opornika przy prądzie

przemiennym Impedancja układu przedstawionego na rysunku
2.10 jest równa

(R + j(OL) -----

________ jcoC

Z = ------------------------- ~ K

JW-L + -

./co -C

gdzie co jest pulsacją prądu przemiennego.

t fazowy między prądem i napięciem oblicza się ze wzoru:

X co(L-/?

= — = — i - i

stosowane tylko dla materiałów przeznaczonych do wykonywania wzorców o

ciwości:

cych w układach

od konstrukcji

brane pod uwagę

ci oraz wpływ resztkowych pojemności i

zmniejsza czynny przekrój przewodu, a więc

tliwości. Natomiast

ci powoduje, że schemat

dzie przemiennym ma postać pokazaną na

dzie

a układu przedstawionego na rysunku

ze wzoru:

(2.10)

(2.11)

Przydatność opornika w obwodach pr

Stała czasowa jest

czasowa, tym lepszy jest opornik. Mał
przez odpowiednie ukształtowanie elementu oporowego tak, aby indukcyjno
pojemność resztkowa były jak najmniejsze lub przez ta
aby spełniona była zależ

Zmniejszenie indukcyjno

bifilarne. Przewód oporowy tworzy dług
prądu w przewodach leżą
sunku 2.11 a.

Rys.2.11. Sposoby nawijania oporników; a) nawini

Przy nawinięciu bifilarnym opornik charakteryzuje si

dlatego ten sposób nawini
mniejszej lub równej 100Q. W opornikach o wi
uzwojenie Chaperona. Uzwojenie to jest nawini
w kształcie walca, (rysunek 2.11.b). Ka
przy czym górna warstwa jest nawini
ż

e strumienie magnetyczne pr

praktyce stosuje się jeszcze inne rodzaje uz
plecione.

Stała czasowa oporników wzorcowych, w zale

zawarta jest w przedziale 10~

opornika w obwodach prądu przemiennego określa stalą czasowa t.

Stała czasowa jest wyrażana w jednostkach czasu. Im mniejsza stała

czasowa, tym lepszy jest opornik. Małą wartość stałej czasowej można uzyska

powiednie ukształtowanie elementu oporowego tak, aby indukcyjno

resztkowa były jak najmniejsze lub przez taki dobór tych warto

niona była zależność (2.13).

L_
~R

Zmniejszenie indukcyjności resztkowej można uzyskać stosując uzwojenie

bifilarne. Przewód oporowy tworzy długą pętlę o małej powierzchni. Kierunki

du w przewodach leżących obok siebie są przeciwne, tak jak pokazano na ry

Rys.2.11. Sposoby nawijania oporników; a) nawinięcie bifilarne,

b) nawinięcie Chaperona.

ciu bifilarnym opornik charakteryzuje się dużą pojemno

dlatego ten sposób nawinięcia można stosować w opornikach o rezystancji

szej lub równej 100Q. W opornikach o większej rezystancji stosuje si

uzwojenie Chaperona. Uzwojenie to jest nawinięte w kilku sekcjach na korpusie

e walca, (rysunek 2.11.b). Każda sekcja ma dwie warstwy zwojów,

na warstwa jest nawinięta w kierunku przeciwnym niż dolna, tak

e strumienie magnetyczne prądów płynących przez opornik znoszą si

jeszcze inne rodzaje uzwojeń jak np. uzwojenie Ayrtona czy

Stała czasowa oporników wzorcowych, w zależności od klasy dokładno

zawarta jest w przedziale 10~

s + 10~

czasowa t.

(2.12)

ana w jednostkach czasu. Im mniejsza stała

na uzyskać

powiednie ukształtowanie elementu oporowego tak, aby indukcyjność i

ki dobór tych wartości,

(2.13)

c uzwojenie

powierzchni. Kierunki

przeciwne, tak jak pokazano na ry-

cie bifilarne,

żą

pojemnością,

w opornikach o rezystancji

kszej rezystancji stosuje się

te w kilku sekcjach na korpusie

da sekcja ma dwie warstwy zwojów,

dolna, tak

cych przez opornik znoszą się. W

jak np. uzwojenie Ayrtona czy

ci od klasy dokładności,

W obwodach prądu przemiennego opornik jest reprezentowany przez impe-

dancję Z, tymczasem przyjmuje się ,że ma on tylko rezystancję -/?„. Błąd
spowodowany zaniedbaniem reaktancji opornika przy prądzie przemiennym,
można wyznaczyć za pomocą wzoru

" = r-y/l + (w-T)

-1]. 100%

(2.14)

R„ L

Przy częstotliwościach technicznych ( ok. 50Hz) wpływ stałej czasowej jest

pomijamy, jednak przy dokładnych pomiarach uwzględnia się go już przy
częstotliwościach powyżej lOOHz.

Najczęściej spotykany podział wzorców to: wzorce nienastawne

odtwarzające jedną wartość rezystancji - zwane opornikami wzorcowymi, i
wzorce nastawne, odtwarzające wiele wartości rezystancji - zwane opornikami
dekadowymi.

2.3.1. Oporniki wzorcowe jednostopniowe.

Oporniki wzorcowe powinny spełniać wymagania normy PN-90 E-06509

Oporniki wzorcowe. Ogólne wymagania i badania. Norma ta podaje poniższe
określenia.

Opornik wzorcowy jest to rezystor lub zespół rezystorów odwzorowujący

określoną wartość rezystancji między zaciskami napięciowymi opornika.

Wartość znamionowa rezystancji R„ - wartość rezystancji podana na

oporniku.

Wartość umowna rezystancji R

- wartość rezystancji, w stosunku do której

wyznacza się błąd opornika. Za wartość umowną przyjmuje się:

wartość uwierzytelnioną dla oporników o wskaźnikach klas dokład-
ności 0,0005-5-0,01, (Sppm-s-lOOppm),

wartość znamionową dla oporników pozostałych o wskaźnikach
0,02-5-0,2 (200ppm-5-2000ppm).

Wartości znamionowe rezystancji R„ oporników wzorcowych są podwielo-

krotnością lub wielokrotnością l Q zgodnie ze wzorem

=lO"-lQ,

(2.15)

w którym p jest liczbą całkowitą z przedziału (-4-H-7).

Jednym z podstawowych parametrów metrologicznych oporników, decydu-

jących o ich przydatności w układach pomiarowych prądu stałego, jest bląd
podstawowy zdefiniowany następująco

§=

<"» 100%

(2.16)

gdzie: R - wartość rzeczywista (poprawna) rezystancji opornika,

wyznaczona w warunkach znamionowych (odniesienia); Rum -
wartość umowna rezystancji opornika.

Warunki odniesienia podaje norma , a dotyczą one wartości takich parame-

trów jak:

temperatura otoczenia 23°C, wilgotność względna powietrza
50%, moc obciążenia - wartość dowolna w zakresie
znamionowym; rodzaj prądu, pozycja pracy,

natężenie zewnętrznego pola magnetycznego 40A/m,
chłodzenie - naturalne.

W zależności od wartości błędów podstawowych norma PN-90/06509 roz-

różnia 9 klas dokładności oporników wzorcowych, o wskaźnikach:

0,0005; 0,007; 0,002; 0,005; 0,07; 0,02; 0,05; 0,7 i 0.2. Przy tym,

wskaźnik klasy jest równy liczbowo wartości granicznej błędu podstawowego
wyrażonego w procentach lub ppm. Np. dla opornika klasy 0,0005 błąd
podstawowy wyznaczony w warunkach odniesienia nie powinien przekraczać
±0,0005%, (lub ±5 ppm), dla opornika klasy 0,001 nie powinien przekraczać
±10 ppm itd.

Elementy te umieszcza się w obudowach wykonanych z metalu lub masy

plastycznej, mających kształt kubka z pokrywą izolacyjną i zaciskami. Często w
pokrywie znajduje się gniazdo umożliwiające umieszczenie termometru. Otwory
w obudowie ułatwiają chłodzenie elementu rezystancyjnego po zanurzeniu opor-
nika w cieczy chłodzącej (olej, nafta).

Ważnym parametrem oporników wzorcowych jest ich obciążalność,

wyrażana za pomocą dopuszczalnej mocy wydzielanej na oporniku wzorcowym.
Wartość mocy dopuszczalnej zależy od warunków chłodzenia. W powietrzu
wynosi najczęściej Pd

=lW, zaś w kąpieli cieczowej P

dop

=3W. Moc ta określa

dopuszczalne wartości prądu jaki może płynąć przez opornik, zgodnie z
zależnością

Przekroczenie wartoś

zmianę rezystancji opornika lub jego zniszczenie. Utrzymanie mocy obci
temperatury otoczenia we wła
prawidłowego użytkowania oporników w

Oporniki wzorcowe maj

zaciski napięciowe. Zaciski pr
zaś zaciski napięciowe -
jest zawarta między zaciskami napi

/
o—

Rys.2.12. Schemat elektryczny opornika

wzorcowego; 1,2
napię

Stosowanie zacisków pr

wane wpływem rezystancji przej
ciskach, zwłaszcza tam, gdzie s
opornika wzorcowego. Oporniki wzorcowe o rezystancji powy
mieć tylko dwa zaciski.

Zaciski oporników prą

H. Literą L oznacza się
niższy potencjał.

Oporniki wzorcowe są

prądu. Częstotliwość ta jest wybrana z nast

Stałe czasowe oporników wzorcowych powinny by

podanej przez wytwórcę

Przekroczenie wartości dopuszczalnej prądu może spowodować

rezystancji opornika lub jego zniszczenie. Utrzymanie mocy obciąż

peratury otoczenia we właściwych granicach jest niezbędnym warunkiem

ytkowania oporników wzorcowych.

Oporniki wzorcowe mają dwie pary zacisków: dwa zaciski prądowe i dwa

ciowe. Zaciski prądowe służą do doprowadzenia prądu do opornika,

- do pomiaru napięcia na oporniku. Rezystancja opornika

zaciskami napięciowymi.

/ l >

—

Rys.2.12. Schemat elektryczny opornika

wzorcowego; 1,2 -zaciski prądowe, 3,4 - zaciski
napięciowe.

Stosowanie zacisków prądowych i napięciowych zmniejsza błędy spowodo

wane wpływem rezystancji przejściowych na stykach przewodów łączących i za
ciskach, zwłaszcza tam, gdzie są one porównywalne z wartością rezystancji

nika wzorcowego. Oporniki wzorcowe o rezystancji powyżej Ikfi! mog

Zaciski oporników prądu przemiennego powinny być oznaczone literami

oznacza się zacisk, który w układzie pomiarowym powinien mie

Oporniki wzorcowe są budowane na określoną częstotliwość znamionow

ść

ta jest wybrana z następującego szeregu:

50, 100, 200, 500 Hz

1,2,5,10,20,50,100 kHz.

Stałe czasowe oporników wzorcowych powinny być mniejsze od warto

podanej przez wytwórcę, wybranej z szeregu:

1,2,5,10 ....... 100 ns.

(2.17)

e spowodować trwałą

rezystancji opornika lub jego zniszczenie. Utrzymanie mocy obciążenia i

dnym warunkiem

dowe i dwa

du do opornika,

cia na oporniku. Rezystancja opornika

dy spowodo-

cych i za-

ś ą

rezystancji

ej Ikfi! mogą

oznaczone literami L i

zacisk, który w układzie pomiarowym powinien mieć

ść

znamionową

mniejsze od wartości

2.3.2. Oporniki wzorcowe regulowane

Opornikiem dekadowym

wspólnej obudowie.

Dekada jest to grupa oporników z przeł

lub kołkowym) umożliwiaj
oraz z mnożnikiem równym kolejnym liczbom naturalnym od l do 9, 10 lub 11.

Oporniki dekadowe z przeł

jednakowych elementów oporowych poł
przedstawiono układ połą

Rys.2.13. Układ połą

Oporniki z przełącznikiem kołkowym, maj

obrębie dekady są cztery oporniki o ró
lub (l+2+2+5)xlO

Q, gdzie p=±l,

każdy z nich odpowiednio do gniazda przewodz
zwarcie za pomocą stoż
2.14). Regulacja wartoś
rozwieraniu elementów oporowych o odpowiednich warto
rezystancji niezwartych elementów była równa

Na stykach między kołkiem a gniazdem wyst

(rzędu lmQ). Jego wartość
jakości wykonania i stanu stykaj
bardzo starannie konserwowa

Oporniki wzorcowe regulowane

Opornikiem dekadowym nazywa się zespół dekad umieszczonych we

jest to grupa oporników z przełącznikiem (najczęściej pokrę

liwiającym nastawianie rezystancji o wartości równej zer

nikiem równym kolejnym liczbom naturalnym od l do 9, 10 lub 11.

Oporniki dekadowe z przełącznikiem pokrętnym mają 10 lub 9

jednakowych elementów oporowych połączonych ze sobą szeregowo. Poni
przedstawiono układ połączeń opornika czterodekadowego.

Rys.2.13. Układ połączeń opornika dekadowego z przełącznikiem pokrętnym

cznikiem kołkowym, mają układ wagowy oporników. W

cztery oporniki o różnych wartościach, np. (l+2+3+4)xlO

Q, gdzie p=±l,+2,+3..., połączone ze sobą szeregowo oraz

dy z nich odpowiednio do gniazda przewodzącego, umożliwiającego jego

stożkowego kołka wykonanego z mosiądzu (zobacz rysunek

2.14). Regulacja wartości nastawionej polega na zwieraniu kołkami
rozwieraniu elementów oporowych o odpowiednich wartościach, tak aby suma
rezystancji niezwartych elementów była równa żądanej.

dzy kołkiem a gniazdem występuje zawsze pewien opór

du lmQ). Jego wartość zależy od siły z jaką kołek został wciśnięty oraz od

ci wykonania i stanu stykających się powierzchni. Z tego względu nale

bardzo starannie konserwować stykające się powierzchnie.

zespół dekad umieszczonych we

ęś

ciej pokrętnym
ś

ci równej zero

nikiem równym kolejnym liczbom naturalnym od l do 9, 10 lub 11.

10 lub 9

szeregowo. Poniżej

tnym

układ wagowy oporników. W

ciach, np. (l+2+3+4)xlO

szeregowo oraz

cego jego

dzu (zobacz rysunek

kami lub

ciach, tak aby suma

puje zawsze pewien opór

ś ę

ty oraz od

du należy

Oporniki dekadowe buduje si

dekadowe. Ze wzglę
ny O, l Q, a największy 1MQ.

Błędy oporników dekadowych, zarówno przy pr

przemiennym, okreś
W zależności od warto
dekadowe. Ogólne wymagania i badania,
oporników dekadowych:

Klasę opornika dekadowego nale
największej wartości jest wyra
liczbowo równym symbolowi klasy. Dekady o opornikach mniejszych s
wykonywane mniej dokładnie.

Ze względu na nienajlepsze warunki ch

opornikach dekadowych dopuszczalne obci
mentów oporowych) jest zawarte w przedziale (0,5*l)W/cewk
największe ograniczenie pr

2.3.3. Państwowy wzorzec oporu elektrycznego

Państwowy wzorzec oporu elektrycznego składa si

najwyższej dokładnoś
(zob. rys.2.1). W Polsce w skład wzorca podstawowego wchodzi sze
oporników wzorcowych o warto
wzorcowego przyjmuje si
oporników wchodzących w skład grupy. Warto
okresie między dwoma jej wyznaczeniam
międzynarodowym. Wzorzec podstawowy zapewnia odtwarzanie jednostki
oporu elektrycznego

Rys.2.14. Budowa dekady w oporniku kołkowym

Oporniki dekadowe buduje się najczęściej jako zestawy cztero-

dekadowe. Ze względów technologicznych najmniejszy stopień dekady jest rów

kszy 1MQ.

dy oporników dekadowych, zarówno przy prądzie stałym, jak i

nym, określa się w taki sam sposób jak błędy oporników wzorcowych.

ci od wartości tych błędów norma PN-90/E-06508 Oporniki

ne wymagania i badania, rozróżnia dziewięć klas dokładno

dowych:

0,01; 0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1; 2 i 5.

ekadowego należy rozumieć w ten sposób, że dekada o

szej wartości jest wyrażona z błędem (wyrażonym w procentach )

nym symbolowi klasy. Dekady o opornikach mniejszych s

wykonywane mniej dokładnie.

du na nienajlepsze warunki chłodzenia elementów oporowych w

opornikach dekadowych dopuszczalne obciążenie poszczególnych cewek (ele
mentów oporowych) jest zawarte w przedziale (0,5*l)W/cewkę oporow

ksze ograniczenie prądu mają oporniki (cewki) o największej rezystancji.

ństwowy wzorzec oporu elektrycznego

stwowy wzorzec oporu elektrycznego składa się z czterech wzorców o

szej dokładności: podstawowego, świadka, porównania i odniesienia

(zob. rys.2.1). W Polsce w skład wzorca podstawowego wchodzi sze
oporników wzorcowych o wartości nominalnej l Q. Jako wartość

muje się średnią arytmetyczną ze wszystkich warto

dzących w skład grupy. Wartość tę uznaje się za niezmienn

dzy dwoma jej wyznaczeniami na drodze porównań z wzorcem

dzynarodowym. Wzorzec podstawowy zapewnia odtwarzanie jednostki

oporu elektrycznego

lub sześcio-

dekady jest rów-

dzie stałym, jak i

dy oporników wzorcowych.

06508 Oporniki

ęć

klas dokładności

e dekada o

onym w procentach )

nym symbolowi klasy. Dekady o opornikach mniejszych są

łodzenia elementów oporowych w

enie poszczególnych cewek (ele-

oporową. Stąd

kszej rezystancji.

z czterech wzorców o

wiadka, porównania i odniesienia

(zob. rys.2.1). W Polsce w skład wzorca podstawowego wchodzi sześć

ci nominalnej l Q. Jako wartość oporu

ze wszystkich wartości oporu

za niezmienną w

z wzorcem

dzynarodowym. Wzorzec podstawowy zapewnia odtwarzanie jednostki

z odchyleniem średnim kwadratowym wyniku pomiaru nie gorszym niż 1-10"

(przy liczbie pomiarów nie mniejszej niż 10).

Wzorce świadek i porównania są również wzorcami grupowymi, utworzo-

nymi z oporników o wartości nominalnej równej l Q.

Wzorzec odniesienia tworzy grupa oporników wzorcowych o wartościach

nominalnych od 10"

2 do!0

Wartość jednostki oporu za pomocą precyzyjnych komparatorów, mostków,

kalibratorów i multimetrów jest przekazywana wzorcom niższych rzędów (
także wzorcom pracującym w układach prądu przemiennego.

Zgodnie z zasadą aby wzorce miary były określone ze zjawisk molekular-

nych jako niezmiennych w czasie, są prowadzone nad budową wzorca
rezystancji opartego na kwantowym efekcie Halla (QHR) odkrytym przez
Klausa von Klit-zingaw!980r.

Kwantowy efekt Halla występuje w półprzewodnikowych płytkach o

strukturach np.AlGaAs-GaAs lub InGaAs-InP ochłodzonych do temperatury
0,36K. Jeżeli płytkę taką, zasilaną w kierunku osi x prądem stałym o wartości
I=10nA umieści się w silnym polu magnetycznym, którego wektor indukcji
(B=12,6T) jest skierowany w kierunku osi z, to rezystancja w kierunku osi y jest
równa

n n gdzie: A-stała

Plancka; e-ładunek elektronu; n-2 lub 4.

Ponieważ wartości h i e zostały przyjęte arbitralnie (decyzja Międzynarodo-

wego Biura Miar i Wag z 1972r), więc rezystancja płytki jest stała i niezależna
od czasu. Wzorce tego typu umożliwiają odtworzenie jednostki rezystancji z
błędem od l do 3- 1 0"

(l ppm do 3- 1 0"

ppm ) i służą do kontroli stałości w

czasie wzorców użytkowych.

2.4. WZORCE POJEMNOŚCI

Wzorcami pojemności są kondensatory wzorcowe. Kondensatorom tym sta-

wia się następujące wymagania:

dokładna wartość pojemności, stałość
pojemności w czasie, niezależność
pojemności od temperatury, niezależność
pojemności od częstotliwości, mały
współczynnik stratności.

Wymagania te najlepiej spełniaj

prostych geometrycznie kształtach. S
wzorcowe, których pojemno
trycznych, wyznaczonych z du
trycznej próżni. Najcz
trod lub kondensatory cylindryczne. Elementy konstrukcyjne utrzymuj
trody we właściwym poło
ności (p=10

Qm) takich jak kwarc lub bursztyn. Elektrody kondensatorów s

umieszczane w metalowym ekranie, by ustali
tak jak pokazano na rysunku 2.15.

Rys.2.15. Schemat zast

Wzorzec ma trzy zaciski: dwa z nich (l oraz 2) s

trzeci (0) do ekranu. Je
kondensatora wzorcowego mi

gdzie: C\i - pojemno

o - pojemno

Jeżeli połączy się ze sob
między zaciskami l i 2 jest równa

Wymagania te najlepiej spełniają kondensatory powietrzne i pró

prostych geometrycznie kształtach. Są to wzorce liczalne, tj. kondensatory
wzorcowe, których pojemność jest obliczana na podstawie wymiarów geome
trycznych, wyznaczonych z dużą dokładnością oraz znajomości stałej dielek

ni. Najczęściej są to kondensatory płaskie o kolistym kształcie elek

trod lub kondensatory cylindryczne. Elementy konstrukcyjne utrzymuj

ciwym położeniu są wykonywane z materiałów o duż

Qm) takich jak kwarc lub bursztyn. Elektrody kondensatorów s

umieszczane w metalowym ekranie, by ustalić pojemności względem otoczenia,
tak jak pokazano na rysunku 2.15.

Rys.2.15. Schemat zastępczy ekranowanego wzorca pojemnoś

Wzorzec ma trzy zaciski: dwa z nich (l oraz 2) są przyłączone do elektrod, a

trzeci (0) do ekranu. Jeśli zacisk O jest połączony z zaciskiem l, to pojemno
kondensatora wzorcowego między zaciskami l i 2 jest równa

C — C

*- ~*-

pojemność między elektrodami kondensatora,

pojemność między elektrodą 2 a ekranem.

ze sobą zaciski O i 2, to pojemność kondensatora wzorcowego

zaciskami l i 2 jest równa

C = C,, +
C

'10

kondensatory powietrzne i próżniowe o

tj. kondensatory

jest obliczana na podstawie wymiarów geome-

ci stałej dielek-

to kondensatory płaskie o kolistym kształcie elek-

trod lub kondensatory cylindryczne. Elementy konstrukcyjne utrzymujące elek-

wykonywane z materiałów o dużej rezystyw-

Qm) takich jak kwarc lub bursztyn. Elektrody kondensatorów są

dem otoczenia,

czy ekranowanego wzorca pojemności

czone do elektrod, a

czony z zaciskiem l, to pojemność

(2.19)

kondensatora wzorcowego

(2.20)

gdzie: Cio - pojemność

Wartości pojemności C\
wzorca.

W idealnym kondensatorze (bezstratnym) k

prądem a napięciem wynosi
na histerezę dielektryczną
właściwości dielektryka i ele
Jakość rzeczywistego kondensatora okre
współczynnik strat dielektrycznych tg8.

Kondensator rzeczywisty

szeregowego lub równoległego zawieraj

tg8 =

u>C
ti>R

Rys.2.16. Układy zastę

pojemność między elektrodą l a ekranem.

\2, C\$ oraz €20 są podawane na tabliczce znamionowej

kondensatorze (bezstratnym) kąt przesunięcia fazowego (p mi

ciem wynosi n/2. W kondensatorach rzeczywistych występują

dielektryczną i straty cieplne. Straty te wynikają przede wszystkim z

ci dielektryka i elementów konstrukcyjnych: izolatorów i doprowadze

rzeczywistego kondensatora określa kąt strat dielektrycznych S

współczynnik strat dielektrycznych tg8.

= TC/2-
<p

Kondensator rzeczywisty można przedstawić za pomocą układu zastępczego

szeregowego lub równoległego zawierającego pojemność i rezystancję.

u>C

ti>R

C„

ooC,

Rys.2.16. Układy zastępcze kondensatora ze stratami; a) równoległy, b) szeregowy

podawane na tabliczce znamionowej

cia fazowego (p między

pują straty

przede wszystkim z

mentów konstrukcyjnych: izolatorów i doprowadzeń.

nych S lub

(2.21)

pczego

pcze kondensatora ze stratami; a) równoległy, b) szeregowy

Kąt strat dielektrycznych 8, charakteryzujący jakość kondensatora zależy od

częstotliwości i od napięcia przyłożonego do kondensatora. Dlatego też tg8
wzorców pojemności jest podawany dla znamionowej częstotliwości i
znamionowego napięcia.

Właściwości dielektryczne powietrza są zbliżone do właściwości

dielektryka doskonałego (bezstratnego), stąd też kondensatory powietrzne
charakteryzują się bardzo małym tgd (tgó * 1-lff

przy częstotliwości/ = IkHź).

Budowane są powietrzne kondensatory wzorcowe o wartościach

pojemności od kilku pF do lOOOOpF.

Wzorce odniesienia odtwarzają jednostkę pojemności z błędem względnym

<H(T

%(0,lppm).

Roczne względne zmiany pojemności kondensatorów wzorcowych

wynoszą < 0,2ppm.

Zmianę pojemności pod wpływem temperatury określa współczynnik

temperaturowy pojemności, który dla kondensatorów wzorcowych jest rzędu ok.
2-l(T

/K.

Kondensatory powietrzne są budowane na napięcia znamionowe: 250V-

500kV.

Wadą kondensatorów powietrznych jest mała wartość pojemności przy jed-

nocześnie dużych wymiarach. Dlatego kondensatory wzorcowe o pojemnościach
większych od lOOOOpF są budowane z dielektrykiem mikowym. Dzięki dużej
przenikalności dielektrycznej oraz dużej wytrzymałości na przebicie, wymiary i
masa wzorców mikowych są znacznie mniejsze niż wzorców powietrznych. Wy-
konuje się wzorce mikowe o pojemności do 10 pF. Ich tg 6 < 5-1 ff

przy często-

tliwości/= 7 kHz.

Obecnie buduje się wzorce polistyrenowe ( styrofleksowe ), których
właściwości są zbliżone do właściwości kondensatorów mikowych.

Wzorce mikowe i styrofleksowe są wykonywane jako dekadowe wzorce nastaw-
ne. Schemat połączeń dekady wzorca o regulowanej pojemności pokazano na
rysunku 2.17.

Zwykle największy stopień dekady wzorca pojemności wynosi l [iF, naj-

mniejszą dekadą zaś jest obrotowy kondensator powietrzny umożliwiający
płynne nastawianie pojemności w zakresie 0+ WOpF. Wzorce nastawne
budowane są jako zestawy cztero-, pięcio- lub sześciodekadowe, najczęściej w
klasie 0,1 lub 0,5.

Rys.2.17. Schemat poł

2.5.WZORCE INDUKCYJNO

2.5.1.Wzorce indukcyjno

Wzorcami indukcyjno

stwowo na korpusach z materiałów o minimalnym współczynniku
rozszerzalności temperaturowej, np. z marmuru, porcelany lub szkła. Ze
względu na zjawisko na
z wielu cienkich przewo
jedwabiem. Wzorce te na
wartość można obliczy
geometrycznych uzwojenia.

Budowane są wzorce indukcyjno

względny odtworzenia jednostki przez wzorzec odniesienia wynosi 5
ppm). Błędy wzorców uż
zmiany indukcyjności na skutek zmian temperatury (z
trycznych ) są mniejsze ni

Indukcyjność wzorca zale

wszystkim przez pojemno
przez prądy wirowe i straty dielektryczne w izolacji. Poje
zwojami można przedstawi
między zaciski wzorca. Schemat zast
sam jak schemat zastępczy opornika wzorcowego.

Rys.2.17. Schemat połączeń dekady pojemności.

2.5.WZORCE INDUKCYJNOŚCI

2.5.1.Wzorce indukcyjności własnej

indukcyjności własnej są cewki nawinięte jedno- lub wielowar

stwowo na korpusach z materiałów o minimalnym współczynniku

ci temperaturowej, np. z marmuru, porcelany lub szkła. Ze

du na zjawisko na-skórkowości cewki nawijane są przewodem skrę

z wielu cienkich przewodów miedzianych (tzw. lica), izolowanych emali
jedwabiem. Wzorce te należą do wzorców liczalnych tzn. takich, których

na obliczyć na podstawie liczby zwojów i wymiarów

geometrycznych uzwojenia.

wzorce indukcyjności o wartościach od lOjiH do 10H. Bł

dny odtworzenia jednostki przez wzorzec odniesienia wynosi 5-10"

dy wzorców użytkowych nie przekraczają zwykle 0,02%. Wzgl

ci na skutek zmian temperatury (zmiana wymiarów geome

mniejsze niż 4 ppm/K.

ść

wzorca zależy od częstotliwości. Jest to wywołane przede

wszystkim przez pojemności międzyzwojowe oraz - w mniejszym stopniu

dy wirowe i straty dielektryczne w izolacji. Pojemności mi

na przedstawić w uproszczeniu jako pojemność skupioną włą

ski wzorca. Schemat zastępczy wzorca indukcyjności jest wię

pczy opornika wzorcowego.

HH*

lub wielowar-

stwowo na korpusach z materiałów o minimalnym współczynniku

ci temperaturowej, np. z marmuru, porcelany lub szkła. Ze

kręconym

dów miedzianych (tzw. lica), izolowanych emalią lub

do wzorców liczalnych tzn. takich, których

stawie liczby zwojów i wymiarów

ciach od lOjiH do 10H. Błąd

10"

%, (5

zwykle 0,02%. Względne

miana wymiarów geome-

ci. Jest to wywołane przede

w mniejszym stopniu -

ci między

włączoną

ci jest więc taki

Rys.2.18. Schemat

Przy częstotliwo

dukcyjna układu wzrasta szybciej ni
zwiększaniem się indukcyjno
ce indukcyjności powinny by
szych niż częstotliwo
podawana dla konkretnej cz

Jednym z parametrów charakteryzu

jest dobroć Q, obliczana według wzoru

Budowane obecnie wzorce maj

Oprócz wzorców jednomiarowych budowane s

stawne w postaci zestawów dekadowych. Układ poł
pokazano na rysunku 2.19.

Rys.2.18. Schemat zastępczy wzorca indukcyjności własnej

stotliwościach bliskich częstotliwości rezonansowej reaktancja in

dukcyjna układu wzrasta szybciej niż częstotliwość. Jest to równoznaczne ze

kszaniem się indukcyjności wypadkowej ze wzrostem częstotliwo

ci powinny być używane przy częstotliwościach znacznie mniej

stotliwość rezonansowa. Zwykle wartość indukcyjnoś

podawana dla konkretnej częstotliwości, najczęściej dla l kHz.

Jednym z parametrów charakteryzujących jakość wzorców indukcyjno

obliczana według wzoru

i= ®L

Budowane obecnie wzorce mają dobroć od 50 do 200, przy f=lkHz.

Oprócz wzorców jednomiarowych budowane są wzorce indukcyj

w postaci zestawów dekadowych. Układ połączeń dekady indukcyjno

pokazano na rysunku 2.19.

Rys.2.19. Układ połączeń dekady indukcyjności

ci własnej

ci rezonansowej reaktancja in-

. Jest to równoznaczne ze

stotliwości. Wzor-

ciach znacznie mniej-

indukcyjności wzorca jest

wzorców indukcyjności

(2.22)

f=lkHz.

wzorce indukcyjności na-

dekady indukcyjności

Szeregowo z cewkami są włączone oporniki, dzięki czemu

rezystancja dekady ma wartość stałą, prawie niezależną od wartości
nastawionej indukcyjności. Wzorce te są nawijane na toroidalnych
rdzeniach ferromagnetycznych o stosunkowo niewielkiej względnej
przenikliwości magnetycznej (rzędu 20-5-50). Wartość indukcyjności
tych cewek zależy w pewnym stopniu od wartości przepływającego
prądu. Dlatego też błędy wzorców nastawnych są większe od błędów
wzorców nienastawnych. Wynoszą one od 0,1% do 2%.

2.5.2. Wzorce indukcyjności wzajemnej

Wzorce indukcyjności wzajemnej uzwaja się podobnie jak wzorce

indukcyjności własnej, ale dwoma przewodami jednocześnie. Istnieją
również wzorce, których uzwojenia są umieszczone w oddzielnych
przegrodach korpusu. Budowane są na wartości od Imffdo l H.

Buduje się również regulowane wzorce indukcyjności wzajemnej. Do

takich wzorców należy wariometr. Składa się on z dwu okrągłych cewek:
ruchomej i nieruchomej. Cewka ruchoma, którą można obracać dookoła
osi, jest umieszczona wewnątrz cewki nieruchomej. Indukcyjność
wzajemna obu cewek zmienia się w zależności od kąta, pod jakim
przecinają się płaszczyzny cewek i równa się zeru, gdy płaszczyzny
cewek są prostopadłe względem siebie. Jeśli kąt między płaszczyznami
jest większy niż 90°, to indukcyjność wzajemna zmienia znak. Niektóre
wariometry umożliwiają zmianę indukcyjności wzajemnej w granicach
odO,0004HdoO,2H.

W układach pomiarowych, w które są włączone cewki wzorcowe

należy zwrócić uwagę na to, by wartość prądu płynącego przez cewkę nie
przekroczyła wartości dopuszczalnej dla cewki, którą podaje producent.
Np. cewka wzorcowa indukcyjności własnej produkcji firmy Norma-
Wien o L„=1H ma dopuszczalny prąd 0,25A, a cewka indukcyjności
wzajemnej tej samej firmy dla L„=10mH ma prąd dopuszczalny l A.

2.6. ŹRÓDŁA CZĘSTOTLIWOŚCI WZORCOWYCH

W zależności od przeznaczenia, źródła częstotliwości wzorcowych

dzielą się na wzorce odniesienia, kontrolne i użytkowe.

Wzorcami odniesienia są atomowe wzorce cezowe, rubidowe oraz

masery wodorowe.

Wzorcami kontrolnymi są generatory kwarcowe oraz zespoły aparatury do
nadawania sygnałów wzorcowej częstotliwości drogą radiową i przewodową.
Wzorcami użytkowymi są generatory pomiarowe, zegary, stopery itp.

Cezowy wzorzec częstotliwości

Cezowy wzorzec częstotliwości realizuje fizyczną definicję sekundy, czyli

jednostki czasu, a zarazem jest wzorcem częstotliwości ponieważ częstotliwość
jest powiązana prostą zależnością z czasem.

Sekunda jest to czas równy 9192631770 okresów drgań pola elektromagne-

tycznego

jednoznacznie

odwzorowującego

przejście

między

stanami

energetycznymi F=4 i F=3 swobodnych atomów cezu 133.

Zgodnie z powyższą definicją, wzorzec ten pracuje na zasadzie porównania

częstotliwości drgań bardzo stabilnego generatora kwarcowego z częstotliwością
rezonansową linii absorbcyjnej atomów cezu. Linia ta jest uzyskiwana w spek-
trometrze masowym, przez który przebiega wiązka atomów tego pierwiastka.

Zasadę działania wzorca odniesienia ilustruje schemat funkcjonalny

cezowej lampy promieniowej przedstawiony na poniższym rysunku.

Ekrany magnetyczne

x
>
&

Piec
cezowy

Selektor
magnetycz
ny I

Selektor

magnetycz

ny II

Detektor

promenio-

wania

ow
a

Powielac

z jonów

Spektromet

r masowy

.........

1 .....

Wyjście

Wejście

mikrofalowe
f=9192631770Hz

Rys.2.20. Schemat funkcjonalny cezowej lampy promieniowej

Piec cezowy jest źródłem odpowiednio uformowanej wiązki atomów cezu o

wymaganej temperaturze. Wiązka ta, za pomocą kolimatora umieszczonego tuż
za piecem, jest kierowana w obszar oddziaływania selektora magnetycznego I.
Magnesy tego selektora powodują zmiany poziomów energetycznych ato-

mów cezu. Przy braku zewnętrznego pola magnetycznego w wiązce występują
atomy tylko o dwóch poziomach energetycznych F=4 i F=3. Jednakże już w
polu o indukcji B=6-10~

T (wytworzonym przez magnesy selektora I) atomy

grupy o większej energii (F=4) mogą przyjąć jeden z 9 nadsubtelnych
poziomów, atomy zaś o mniejszej energii (F=3) mogą przyjąć jeden z 7
poziomów. Przy dużej indukcji pola magnetycznego atomy o podpoziomie
energetycznym F=4, niF=-4 (F i mp - liczby kwantowe) przechodzą do grupy
F=4. Różnica energii między poziomami F=4 i F=3 jest opisana wzorem
Einsteina

&W=hf

(2.23)

gdzie: h - stała Plancka,

/- częstotliwość przejścia.

Przejście atomów cezu z jednego stanu energetycznego do drugiego jest

związane z rezonansowym pochłanianiem energii w komorze mikrofalowej, po-
budzonej do drgań o częstotliwości/=9192631770 Hz,

Selektor magnetyczny II wytwarza silne, niejednorodne pole magnetyczne o

indukcji B=1T. W polu tym atomy cezu ulegają odchyleniu w zależności od ich
energii. Atomy o podpoziomach energetycznych F=3 i atomy o podpozio-mach
F=4, mp=-4 są odchylane w obszar pola o większej indukcji, pozostałe zaś w
obszar pola o mniejszej indukcji. Selektor magnetyczny II separuje więc prze-
strzennie te dwie grupy atomów. Po wyjściu z komory mikrofalowej i przejściu
przez pole wytwarzane przez magnesy selektora II, wiązka atomów o podpozio-
mie energetycznym F=4, m

=4 trafia przez detektor promieniowania do spektro-

metru masowego, który przestrzennie separuje jony cezu od jonów innych pier-
wiastków stanowiących szumy. Stąd wiązka jest przesyłana na powielacz, który
wzmacnia sygnał prądowy (rzędu l O"

A) do poziomu wyższego od poziomu

szumów. Prąd wyjściowy ma składową stałą i składową przemienną o częstotli-
wości 137 Hz.

Sygnał wyjściowy cezowej lampy promieniowej ma małą moc. Dlatego

wzorzec cezowy nie jest stosowany bezpośrednio, lecz pośrednio - najczęściej
do stabilizacji częstotliwości stabilnego wzorca kwarcowego. Schemat struktury
takiego wzorca przedstawiono na rysunku 2.21.

Podstawowym podzespołem tego wzorca jest stabilny generator kwarcowy

generujący napięcie o częstotliwości f

= 5MHz. Sygnał wyjściowy z generatora

jest podawany do układu dwoma torami. W jednym torze sygnał o częstotliwości
f„ przez wzmacniacz dochodzi do syntetyzera. Z syntetyzera sygnał o częstotli-
wości//= 12,631770MHz jest podawany do generatora harmonicznych.

Rys.2.21.Schemat struktury cezowego wzorca cz

W drugim torze sygnał/,, jest modulowany cz

oraz/= 137Hz i również
rze następuje miesza
jego wyjściu pojawia si
więc sygnał o czę
częstotliwości/ jest nast
(ściślej do jej komory mikrofalowej).

Jeżeli częstotliwość

częstotliwości rezonansowej cezowej lampy promieniowej, a pad wyj
lampy zawiera składow
Jeżeli częstotliwość
składowe harmoniczne, których amplituda dostarcza informacji o ró
między częstotliwością

Prąd wyjściowy z cezowej lampy prom

dopo-wadzany do detektora, gdzie jest porównywany z sygnałem o
częstotliwości /= 137Hz. Otrzymany z detektora sygnał b^du koryguje
częstotliwość /,= 5 MHz generatora kwarcowego.

Tak skonstruowany wzorzec wytwarza sygnał wzorcow

csęstotliwości 5MHz z bł

Rys.2.21.Schemat struktury cezowego wzorca częstotliwości

W drugim torze sygnał/,, jest modulowany częstotliwościami/ = 90MHz

oraz/= 137Hz i również podawany do generatora harmonicznych. W generab

puje mieszanie sygnałów o częstotliwościach/ i/, w wyniku czego na

ciu pojawia się sygnał o częstotliwości/ = 9,192631770 GHz, a

c sygnał o częstotliwości rezonansowej atomów cezu. Sygnał o

ci/ jest następnie podawany do cezowej lampy promieni

lej do jej komory mikrofalowej).

stotliwość /, jest równa 5MHz, to częstotliwość / jest równa

ci rezonansowej cezowej lampy promieniowej, a pad wyj

lampy zawiera składową stałą i składową zmienną o częstotliwości/ =

stotliwość/, różni się od 5MHz, to prąd wyjściowy zawiera

niczne, których amplituda dostarcza informacji o ró

stotliwością /, a 5MHz, faza zaś informuje o znaku tej róż

ciowy z cezowej lampy promieniowej po wzmocnieniu jest

wadzany do detektora, gdzie jest porównywany z sygnałem o

ci /= 137Hz. Otrzymany z detektora sygnał b^du koryguje

ść

/,= 5 MHz generatora kwarcowego.

Tak skonstruowany wzorzec wytwarza sygnał wzorcowy o

ci 5MHz z błędem względnym niniejszym niż ±MO"

ciami/ = 90MHz

podawany do generatora harmonicznych. W generab-

ciach/ i/, w wyniku czego na

ci/ = 9,192631770 GHz, a

ci rezonansowej atomów cezu. Sygnał o

pnie podawany do cezowej lampy promieniowej

ść

/ jest równa

ci rezonansowej cezowej lampy promieniowej, a pad wyjściowy

ci/ = 137Hz.

ciowy zawiera

niczne, których amplituda dostarcza informacji o różnicy

informuje o znaku tej różnicy.

ieniowej po wzmocnieniu jest

wadzany do detektora, gdzie jest porównywany z sygnałem o

ci /= 137Hz. Otrzymany z detektora sygnał b^du koryguje

METODY POMIAROWE

3.1. OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA METOD

Terminem metoda pomiarowa określa się sposób porównywania wielkości

stosowany przy wykonywaniu pomiaru.

Każdą wielkość fizyczną można mierzyć różnymi sposobami korzystając z

różnych metod. Wybór metody jest uzależniony od wartości wielkości mierzo-
nej, jej rodzaju, wymaganej dokładności, wykorzystania wyniku pomiaru, itp.

Klasyfikacja metod pomiarowych może być dokonywana w bardzo różno-

rodny sposób. Wydaje się, że najbardziej celowe będzie dokonanie klasyfikacji,
mając na uwadze charakterystyczne cechy metrologiczne i użytkowe. Z tego
punktu widzenia metody pomiarowe można podzielić:

według przetwarzania sygnału pomiarowego w procesie pomiarowym,

według uzyskiwania wyniku pomiaru,

według porównania realizowanego w trakcie procesu pomiarowego.

3.2. METODY ANALOGOWE I CYFROWE

Ze względu na sposób przetwarzania sygnału pomiarowego w procesie po-

miarowym, metody pomiarowe można podzielić na metody analogowe i
cyfrowe.

Metoda analogowa polega na tym, że wartości wielkości mierzonej, zmie-

niającej się w sposób ciągły, jest przyporządkowana wartość zmieniająca się też
w sposób ciągły jak np. odchylenie organu ruchomego miernika. W metodzie cy-
frowej - ciągłym podziałom wartości wielkości mierzonej są podporządkowane
dyskretne (nieciągłe) przedziały wartości wielkości wyjściowej. Wielkość wyj-
ś

ciowa ma formę kwantów. Metoda cyfrowa charakteryzuje się zamianą wielko-

ci wejściowej na dyskretną, nieciągłą wartość wyjściową podawaną w formie

cyfrowej.

Jeżeli odbiorcą wyniku pomiaru w metodzie cyfrowej jest człowiek, to sto-

suje się zapis dziesiętny. Jeżeli odbiorcą jest komputer wynik pomiaru podany
jest w kodzie dwójkowym.

3.3. METODY BEZPO

REDNIE I PO

REDNIE

Ze względu na sposób uzyskiwania wyniku pomiaru metody pomiarowe

można podzielić na bezpośrednie i pośrednie.

Metoda jest bezpośrednia, jeżeli wartość wielkości mierzonej otrzymuje

się bezpośrednio bez wykonywania dodatkowych obliczeń. Przykładem
może być pomiar napięcia woltomierzem, lub pomiar oporu elektrycznego
omomierzem, pomiar czasu sekundomierzem, itp. Przyjmuje się, że metoda
pomiarowa jest bezpośrednia w przypadku, gdy podziałka przyrządu podaje
wartości umowne związane, w postaci wykresu czy tablic, z wartościami
wielkości mierzonej bądź, gdy

zachodzi potrzeba wykonywania

dodatkowych pomiarów w celu np. wyznaczenia wpływu czynników
zewnętrznych tak, aby można było wprowadzić poprawki. Trzeba jednak
mieć na uwadze fakt, że poprawkę oblicza się zawsze z pewnym błędem,
ponieważ parametry przyrządów, na podstawie wskazań których oblicza się
poprawkę, są znane z pewnym przybliżeniem.

W metodzie pośredniej wartość wielkości mierzonej otrzymuje się

pośrednio z pomiarów bezpośrednich innych wielkości związanych znaną
zależnością funkcyjną z wielkością mierzoną

Y = f(X

,X„...X

)

(3.1)

Wielkości X

,...X

są mierzone bezpośrednio. Przykładem może być

pomiar rezystancji metodą techniczną w układzie z woltomierzem i
amperomierzem

* = y

(3-2)

Zależność funkcyjna, jej postać, ma bezpośredni wpływ na dokładność

wyznaczenia wielkości mierzonej, gdyż błędy pomiarów wielkości
mierzonych bezpośrednio przenoszą się w różny sposób na wynik końcowy.

W praktyce można spotkać się z przypadkiem, że wykonanie

bezpośredniego pomiaru nie jest możliwe np. wyznaczenia gęstości ciała
można dokonać tylko przez wyznaczenie jego masy i objętości. Niekiedy
metodę bezpośrednią nazywamy metodą prostą,, a metodę pośrednią -
metodą złożoną.

3.4. METODY PORÓWNAWCZE

Ze względu na sposoby porównania wartości wielkości

mierzonych z wartościami wielkości wzorcowych rozróżnia się metody
pomiarowe bez-

względne i porównawcze. Metody porównawcze, ze względu na zasadę porów-
nania można podzielić na metodę odchyłową, metodę zerową i metodę różnico-
wą. Metody zerowe, to metody kompensacyjne i metody komparacyjne.

Metoda pomiarowa bezwzględna jest to metoda pośrednia, w której równa-

nie pomiaru jest równaniem definicyjnym tej wielkości. W metodzie
bezwzględnej mierzy się te wielkości za pomocą których jest zdefiniowana
wielkość mierzona. Do definicji najczęściej stosuje się wielkości podstawowe
odtwarzalne najdokładniej. Przykładem tej metody może być pomiar pola
prostokąta zdefiniowanego jako iloczyn długości boków lub ciśnienie jako siła
działająca na jednostkę powierzchni. W technice pomiarów elektrycznych
metoda ta nie znajduje szerszego zastosowania.

Metoda pomiarowa porównawcza polega na porównaniu wartości

wielkości mierzonej z inną wartością tej samej wielkości przyjętą za wartość
wzorcową lub odniesienia. Może to być porównanie ze znaną wartością innej
wielkości jako funkcji wielkości mierzonej. Można tu wyróżnić następujące
metody:

Metoda odchyłową - wielkość mierzona jest przetwarzana w przyrządzie na

taką samą wielkość jak wielkość wzorcowa. Przyrząd porównujący jest
skalowany w jednostkach wielkości mierzonej. Przyrządami porównującymi są
przyrządy elektromechaniczne. W przyrządach tych wielkość mierzona jest
przetworzona na moment napędowy, powodujący skręcenie organu ruchomego.
Położenie organu ruchomego, a więc i wskazówki, jest funkcją wielkości
mierzonej. Jest to metoda, która może być realizowana przy użyciu prostych
ś

rodków technicznych. Wadą natomiast jest stosunkowo mała, w porównaniu z

innymi metodami, dokładność (0,1-5-0,5%). Przykładem stosowania tej metody
jest

pomiar

natężenia

prądu,

pomiar

napięcia

miernikami

elektromechanicznymi, a także pomiar masy wagą sprężynową uchylną.

Metoda zerowa polega na sprowadzeniu do zera różnicy AX między warto-

cią wielkości mierzonej X, a znaną, regulowaną wartością wielkości wzorcowej

. Miarą wartości A'jest w tej metodzie wartość X

. Czynność badania różnicy

między Xi X

i sprowadzenia jej do zera nazywamy procesem równoważenia.

Proces ten jest realizowany za pośrednictwem detektora (wskaźnika zera) i
urządzenia wykonawczego regulującego wartość X

w zależności od wartości i

znaku sygnału AX . Elementem wykonawczym może być w układach au-
tomatycznych np. silnik nawrotny lub inne urządzenie elektryczne. W regulacji
ręcznej rolę elementu wykonawczego spełnia obserwator. Stan obserwacji nie
może być określony matematyczną równością X-X

=AX=0, gdyż istnieje

nieskończenie wiele wartości \X - X

\ < AX , dla których detektor przyjmuje ten

sam stan. Jest to spowodowane skończoną czułością detektora.

Metoda zerowa może być realizowana jako metoda komparacyjna i metoda
kompensacyjna.

Metoda komparacyjna - w tej metodzie można porównywać dwie różne
wielkości. W tym celu należy obie lub tylko jedną z nich tak przetworzyć, aby
reprezentowały jednakowe wielkości będące nośnikami energii, a następnie je
skompensować. Analizując metodę kompensacji, z matematycznego punktu wi-
dzenia, otrzymuje się, że wielkość mierzona X jest porównywana z wielkością
wzorcową X

za pomocą dodatkowego zbioru liczbowego k, który określa sto-X

sunek ----- = k . Badając różnicę X - X

• k sprowadza się ja do zera przez re-

gulację X

. W miernictwie elektrycznym metodę komparacyjna wykorzystuje

się do dokładnych pomiarów wartości skutecznej prądów lub napięć przemien-
nych. Błąd tej metody można oszacować na ~ 0,05%.

Metoda kompensacyjna polega na tym, że w procesie porównania wielość

mierzona jest przeciwstawiana wielkości wzorcowej tego samego rodzaju, która
kompensuje jej fizyczne działanie na detektor. W stanie równowagi obie wielko-
ś

ci są jednakowe i skierowane przeciwnie (napięcie, prąd), X = X

, i w tych wa-

runkach detektor nie pobiera ze źródeł tych wielkości żadnej energii.

Metoda kompensacyjna charakteryzuje się następującymi cechami:

kompensację fizycznego działania wielkości można przeprowadzić

tylko wtedy, gdy wielkość mierzona jest nośnikiem energii (rezystancji
nie można bezpośrednio mierzyć metodą kompensacyjną),

w stanie równowagi (skompensowania) przyrząd nie pobiera żadnej

energii z obiektu badanego; w stanie nieskompensowania w zależności
czy wielkość kompensująca jest mniejsza czy większa od mierzonej, raz
jest pobierana energia ze źródła wielkości mierzonej, drugi raz ze źródła
wielkości wzorcowej.

Przykładem praktycznego zastosowania metody kompensacyjnej mogą być
kompensatory prądowe i napięciowe lub waga dwuramienna mierząca na
zasadzie kompensacji momentów.

Metoda różnicowa polega na porównaniu wartości wielkości mierzonej z

niewiele różnicą się od niej znaną wartością X

tej samej wielkości i następnie

zmierzeniu różnicy tych wartości AX . Do pomiaru tej różnicy stosuje się
najczęściej metodę odchyłową. Równanie pomiaru dla przypadku idealnego ma
postać

X-X

=AX

(3.3)

a wielkość X

jest nazywana wielkością porównawczą.

Przyrząd różnicowy ma większą dokładność niż przyrząd odchyłowy, gdyż

łatwiej jest uzyskać błąd wielkości porównawczej mniejszy niż błąd przyrządu
odchyłowego. Przy zachowaniu tej samej dokładności w przyrządzie
różnicowym miernik może być mniej dokładny od przyrządu odchyłowego
stosowanego w metodzie odchyłowej.

Przyrządy różnicowe są najczęściej stosowane do pomiaru bardziej złożo-

nych wielkości fizycznych, których pomiar metodą odchyłową jest
wykonywany z niewystarczającą dokładnością. Przykładem tej metody maja
być mostki pracujące w stanie niezrównoważenia.

Ze względu na technikę porównania, metody pomiarowe można podzielić

na metody realizowane przez podstawienie i metody realizowane przez
przestawienie.

Metoda przez podstawienie - w metodzie tej wartość X wielkości mierzonej

zastępuje się w układzie pomiarowym znaną wartością X

tej samej wielkości,

wybraną w ten sposób, aby skutki wywołane przez te dwie wartości były takie
same. Wynik pomiaru wynosi wówczas X = X

. Przykładem może być pomiar

rezystancji omomierzem. Do zacisków wejściowych omomierza przyłączamy
raz opornik badany, drugi raz opornik wzorcowy regulowany, którego wartość
tak zmieniamy, aby wskazania miernika w obydwu przypadkach były takie
same.

Metoda przez przestawienie - stosowana w metodach zerowych polega na

porównaniu wartości wielkości mierzonej najpierw ze znaną wartością A tej
wielkości, a następnie na przestawieniu wielkości mierzonej w miejsce A, i
ponowne jej porównanie ze znana wartością B tej samej wielkości. Jeżeli w
obydwu przypadkach osiągnięto ten sam stan równowagi układu, to wówczas
wartość wielkości mierzonej jest równa X = J A- B . Przykładem może być
pomiar rezystancji mostkiem Wheatstone'a.

Jeżeli dla układu pomiarowego mostka Wheatstone'a stany równowagi wy-

stąpią wtedy, gdy

X • /?2

R ' R\

oraz

R"-R

=X-R

to po przekształceniach uzyskuje się

Innym przykładem może być układ z wagą szalkową do pomiaru masy.

ANALIZA BŁĘDÓW POMIAROWYCH

4.1. PRZYCZYNY I RODZAJE BŁĘDÓW

Otrzymany na drodze doświadczalnej wynik pomiaru dowolnej wielkości

fizycznej zawsze różni się od wartości rzeczywistej. Wartość rzeczywista jest
pojęciem abstrakcyjnym i nie może być znana eksperymentatorowi. Pomiar po-
zwala zatem na znalezienie przybliżonych wartości miar wielkości mierzonych.

Przyczynami rozbieżności między wynikiem pomiaru, a wartością
rzeczywistą są:

ograniczona dokładność narzędzi pomiarowych,

niedokładność stosowanej metody pomiarowej,

niedoskonałość zmysłów obserwatora,

wpływ zmieniających się w czasie pomiaru wielkości

wpływających.
Niedokładność przyrządu. Składowa błędu podstawowego przyrządu jest

spowodowana niedoskonałością wykonania elementów składowych, nieidealno-
ś

cią właściwości materiałów użytych do budowy przyrządu i niedokładnością

wzorcowania. Dla użytkowych narzędzi pomiarowych wartości błędów podsta-
wowych są podawane jako błędy graniczne dopuszczalne. Wyznaczają one naj-
większą wartość błędu wskazania, jaka może wystąpić w dowolnym punkcie za-
kresu pomiarowego przyrządu w przypadku jego poprawnego użytkowania w
warunkach odniesienia. Przez warunki odniesienia przyrządów rozumie się takie
warunki, dla których podawane są dopuszczalne błędy przyrządu pomiarowego.
Do najważniejszych parametrów charakteryzujących warunki odniesienia należy
zaliczyć:

temperaturę,

ciśnienie,

wilgotność względną,

brak wstrząsów, wibracji i innych zakłóceń.

Warunki odniesienia dotyczą danego przyrządu (urządzenia) pomiarowego i

powinny być podawane przez producentów.

Błędy metody są spowodowane przede wszystkim oddziaływaniem przyrzą-

dów pomiarowych na wielkość mierzoną lub zjawisko będące źródłem tej wiel-
kości. Przykładem może być przyłączenie woltomierza, który zmienia rozpływ

prądów w badanym obwodzie lub zainstalowanie termometru, co zmienia
rozkład pola temperaturowego.

Poza tym do błędu metody zaliczyć można błędy spowodowane sprzężenia-

mi galwanicznymi, indukcyjnymi, i pojemnościowymi występującymi miedzy
elementami układu pomiarowego. Błędy te powinny być sprowadzone do
wartości praktycznie pomijalnych w stosunku do wartości błędu podstawowego.
Jeżeli jest to niemożliwe, należy zmienić metodę pomiaru lub wprowadzić do
wyniku pomiaru poprawki eliminujące błąd metody.

Niedokładność zmysłów obserwatora powoduje powstanie błędów w takich

przypadkach, w których ocenia się położenie wskazówki między dwiema
sąsiednimi kreskami podziałki, ocenia się natężenie dźwięku za pomocą słuchu,
barwy lub równomierności oświetlenia całego pola widzenia za pomocą wzroku
lub też w przypadku wykonywania w czasie pomiaru takich czynności, których
jakość jest zależna od reakcji obserwatora.

Wartości czasu reakcji wynoszą średnio dla bodźców a) wzrokowych 0,15-

*-0,2s, b) słuchowych O, l •*-(), 15s, i zależą w pewnym stopniu od natężenia
bodźca jak i ogólnego stanu fizycznego obserwatora (np. zmęczenie fizyczne,
psychiczne, itp.).

Obserwator może rozróżnić nieuzbrojonym okiem odległość punktów lub

kresek wynoszącą 0,05+0, l mm. Odczytanie i zapamiętanie jednej cyfry jest
możliwe, gdy ekspozycja obrazu trwa ponad O, l s; liczba trzycyfrowa wymaga
już

czasu 0,3-5-0,5s. Jeżeli liczba ma więcej cyfr, to czas odczytywania znacznie
wzrasta.

Niekiedy w pomiarach słuch jest wykorzystywany do stwierdzenia zaniku

dźwięku lub do porównania wysokości dźwięków. Zakres częstotliwości, na
które reaguje ucho ludzkie wynosi od 16 do 20000Hz, przy czym największa
czułość występuje w zakresie 200-5-5000 Hz. W przedziale największej
czułości, graniczna czułość ucha wynosi około 1-10"

Błąd paralaksy jest związany z niedoskonałością zmysłów obserwatora i

powstaje w skutek niewłaściwego kierunku rzutowania wskazówki na płytkę
podziałkową. W celu wyeliminowania błędu paralaksy w przyrządach klas labo-
ratoryjnych pod płytką podziałkową umieszcza się lusterko do kontroli kierunku
patrzenia. Kierunek jest prawidłowy, gdy wskazówka pokrywa się z obrazem

wskazówki w lusterku. W przyrządach ze wskazówką świetlną ten błąd nie wy-
stępuje.

Wpływ warunków odniesienia

Błędy spowodowane czynnikami wpływającymi mają najczęściej wartości

zmienne w czasie. Wpływ tych błędów na wynik pomiaru jest odczuwalny
przede wszystkim w pomiarach bardzo dokładnych.. W pomiarach techniczno-
ruchowych, w których używane są mniej dokładne przyrządy, błędy
spowodowa-

ne zmieniającymi się w czasie wielkościami wpływającymi mają mniejszy
wpływ na końcowy wynik pomiaru.

Rodzaje błędów

Każdy wynik pomiaru różni się od wartości rzeczywistej. Różnicę między

wartością W

uzyskaną w wyniku /-tego pomiaru, a wartością rzeczywistą W

nazywamy błędem bezwzględnym prawdziwym

^=W

-W

(4.1)

Błąd ten może mieć znak dodatni lub ujemny. Występują jednak duże trud-

ności z jego wyznaczeniem ze względu na to, że nieznana jest wartość
rzeczywista mierzonej wartości. W praktyce, zamiast wartości rzeczywistej
przyjmuje się wartość poprawną W

. Jest to wartość najbardziej zbliżona do

rzeczywistej, wartość najbardziej prawdopodobna. Błąd ten nazywamy blędem
poprawnym.

* = W

-W„

(4.2)

W technice pomiarowej korzysta się często z tak zwanej poprawki, jest to

taka wartość, którą należy dodać do wartości zmierzonej, aby otrzymać wartość
poprawną

(4.3)

Poprawka jest równa błędowi bezwzględnemu poprawnemu ze znakiem

przeciwnym. Dla scharakteryzowania dokładności pomiarów wyznacza się błąd
względny

= ' ~ " 100

(4.4)

W praktyce często nie jest możliwe wyznaczenie błędu poprawnego i wprowa-
dzenia korekty do wyniku pomiaru. W takim przypadku szacuje się granice
przedziału w otoczeniu mierzonej wartości, w którym będzie mieścić się
wartość rzeczywista mierzonej wielkości. Stanowi to podstawę do wyznaczenia
tak zwanego błędu granicznego &

. Błąd graniczny wykorzystuje się najczęściej

do oceny

dokładności przyrządów i urządzeń pomiarowych.

Ze względu na przyczyny występowania błędy w pomiarach można

podzielić na:

- błędy systematyczne,

błędy przypadkowe,

błędy nadmierne, pomyłki.

Błędy systematyczne, to błędy, które przy wielu pomiarach wartości tej

samej wielkości, wykonywane w tych samych warunkach, pozostają stałe co do
wartości i znaku. Przykładem błędu systematycznego może być błąd wskazania
miernika analogowego wynikający z nieprawidłowego wykreślenia podziałki.
Błędy systematyczne powinny być w całości, lub częściowo, wyeliminowane z
wyniku pomiaru.

Błędami przypadkowymi nazywamy błędy zmieniające się w sposób nie-

przewidziany zarówno co do wartości jak i znaku przy wykonywaniu dużej licz-
by pomiarów w warunkach praktycznie niezmiennych. Wyeliminowanie błędu
przypadkowego nie jest możliwe. Wartość błędów przypadkowych wyznacza
się korzystając z metod rachunku prawdopodobieństwa i statystyki
matematycznej.

Błędy nadmierne powstają przy nieprawidłowym wykonywaniu pomiarów,

wadliwym działaniu przyrządów lub niespodziewanym wystąpieniu nieznanych
zjawisk. Przykładem może być powstanie błędu nadmiernego wskutek błędnego
odczytu wskazania. Wynik pomiaru obarczony błędem nadmiernym jest niewia-
rygodny i musi być usunięty z serii pomiarów.

Ocena dokładności uzyskanych w procesie pomiaru wyników może być

przeprowadzona przy wykorzystaniu teorii błędów lub przy wykorzystaniu
teorii niepewności.

Teoria błędów bazuje na modelu deterministycznym i losowym niedokład-

ności. Wyznaczanie błędów może być realizowane przy przyjęciu modelu loso-
wego metodą powtarzania błędów systematycznych, lub metodą randomizacji i
centryzacji błędów systematycznych. Teoria ta, wydaje się, że może być stoso-
wana do oceny dokładności przyrządów pomiarowych, w procesie oznaczania
klasy ich dokładności.

Teoria niepewności przyjmuje za punkt wyjścia losowy model

niedokładności

hipotetyczne

powtarzanie

pomiaru

prowadzące

nieobciążonej randomi-zowanej estymaty wielkości mierzonej. Stosowanie
teorii niepewności do oceny wyniku pomiaru stało się obowiązujące dla służb
związanych z miarami. Została ona przyjęta przez międzynarodowe organizacje
metrologiczne i europejskie laboratoria akredytowane. Trzeba ją znać i stosować
wszędzie tam, gdzie wymagają tego przepisy.

Obliczanie błędu lub niepewności wyniku pomiaru jest procesem dość zło-

onym. Pełne poznanie teorii błędu i teorii niepewności wymaga zrozumienia

ich istoty, co wymaga znajomości probabilistyki i statystyki matematycznej.
Stosowanie analogii przy obliczaniu błędów czy niepewności często okazuje się
bardzo zawodne.

4.2. TEORIA BŁĘDÓW

4.2.1. Błąd pomiaru bezpośredniego

Pomiar bezpośredni wykonuje się za pomocą przyrządu pomiarowego, któ-

rego wskazanie y jest wartością mierzonej wielkości. Do oceny dokładności po-
miaru przyjmuje się deterministyczny i losowy model błędu.

Model deterministyczny błędu pomiaru zakłada, że powtarzanie pomiaru

daje zawsze takie same wartości obarczone zawsze takim samym błędem po-
prawnym, nieznanym co do wartości. Jest to tak zwany błąd systematyczny.
Można w tym przypadku wyznaczyć tylko wartość graniczną błędu. Błąd
graniczny jest równy połowie szerokości przedziału, największego jaki można
ustalić wokół wartości oczekiwanej, w którym mieści się wartość prawdziwa.
Błąd poprawny w stosunku do błędu granicznego zachowuje relacje

Wartość graniczną błędu wyznacza się dla danego przyrządu pomiarowego na
podstawie jego klasy dokładności. Błąd graniczny dla przyrządów
elektromechanicznych liczbowo jest równy wskaźnikowi klasy dokładności. Na
przykład woltomierz klasy 0,5 i U„ = 100V charakteryzuje się błędem
granicznym

względnym równym 0,5%, a błędem bezwzględnym At/ = 0,5 • 0,01 • t/„ = 0,5V
. Model losowy błędu zakłada, że hipotetyczne powtarzanie pomiaru w wa-
runkach powtarzalności prowadzi do randomizacji wartości oczekiwanej. Staje
się ona zmienną losową, co pociąga za sobą randomizację błędu granicznego.
Przedział niepewności staje się przedziałem losowym. Błąd ten nazywamy błę-
dem przypadkowym. Błąd przypadkowy &

- - średniej arytmetycznej równy jest

redniej geome-

trycznej błędów przypadkowych pomiarów elementarnych. Błąd graniczny dla
modelu losowego wyznacza się przez powtarzanie serii n pomiarów elementar-
nych.

/??

= Za(Xj)/-Jn dla rozkładu normalnego (n > 30)

(

i )/V"

dla

rozkładu ^-Studenta

(4.5

)

gdzie: tf(X) i S(X) odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru i jej

estymata,

Zp, tkp współczynnik rozkładu normalnego i rozkładu f
Studenta o
ufności p.

Błąd graniczny całkowity wyniku pomiaru,
poziomie ufności p oblicza si
systematycznego i granicznego bł
przyjętego modelu losowego.

Przyjmując rozkład losowy bł

pierwiastkowi z sumy kwadratów skł

Przykład 4.1

Obliczyć graniczny bł
cyfrowego klasy 0,1 o zakresie znamionowym
przeprowadzono dziesię

t/, = 25,03V
f/

=25,05V

=25,06V

współczynnik rozkładu normalnego i rozkładu f-

Studenta o (n -1) stopniach swobody wyznaczony dla poziomu

d graniczny całkowity wyniku pomiaru, średniej arytmetycznej na

oblicza się jako sumę algebraiczną granicznego bł

systematycznego i granicznego błędu na poziomie ufności p obliczonego z

sowego.

c rozkład losowy błędów, błąd graniczny jest równy

pierwiastkowi z sumy kwadratów składowych błędów granicznych

graniczny błąd pomiaru napięcia za pomocą woltomierza

cyfrowego klasy 0,1 o zakresie znamionowym U „ =50V. Pomiar
przeprowadzono dziesięciokrotnie uzyskując następujące wyniki pomiaru:

t/, = 25,03V

= 25,01V

=25,05V

=25,06V

=25,02V

=24,98V

=25,OOV

= 24,93V

= 24,95V

M — l

) n-\

1) stopniach swobody wyznaczony dla poziomu

(4.8)

redniej arytmetycznej na

granicznego błędu

obliczonego z

(4.9)

(4.10)

woltomierza

„ =50V. Pomiar

ce wyniki pomiaru:

(4.6)

(4.7

Obliczenia błędu przeprowadzi
rozkładu błędów.

Obliczenia

Wartość średnia
napięcia

0,03 + 0,05 + 0,06
_

Odchylenie standardowe pojedynczego
pomiaru

Błędy
pozorne

Zestawienie wyników oblicze

25,03

25,05

25,06

24,98

24,93

25,01

25,05

25,02

25,00

24,95

Odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru

= 25,00 +

du przeprowadzić dla rozkładu najmniej korzystnego i losowego

0,03 + 0,05 + 0,06 - 0,02 - 0,07 + 0,01 + 0,05 + 0,02 + 0,0

= 25,008 = 25,0 IV

Odchylenie standardowe pojedynczego

Zestawienie wyników obliczeń

;

(A;)

+0,022

484

+0,042

1764

+0,052

2704

-0,028

784

-0,078

6084

+0,002

+0,042

1764

+0,012

144

-0,008

-0,058

3364

S°

£ = 17160-

10-*

Odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru

n-l

dla rozkładu najmniej korzystnego i losowego

0,07 + 0,01 + 0,05 + 0,02 + 0,0-0,05

Wartość graniczna błędu przypadkowego dla poziomu ufności p = l, k
= 3

=

= -.L • n
Vi O

Błąd graniczny systematyczny

t7, =8

£/„ = 0,01-0,1-50 = 0,C

Błąd graniczny całkowity pomiaru napięcia, przy przyjęciu najgorszego

rozkładu b

= &

+ tL

= 0,05 + 0,042 = 0,092 = 0,09V

Błąd graniczny względny

6 .

=-4^100 = ^^100 = 0,367% = 0,37%

25,01

Błąd graniczny całkowity pomiaru napięcia przy przyjęciu losowego rozkładu
błędów

;

= ^

= VO,05

+0,042

= 0,0652 » 0,07 V

Błąd graniczny względny

25,01

4.2.2. Błąd pomiaru pośredniego

Wielkość mierzona jest funkcją wielu zmiennych, w celu wyznaczenia jej
wartości mierzy się bezpośrednio wartości kilku wielkości wejściowych
X

...X

, a wartość mierzoną oblicza się z zależności funkcyjnej

= kS

= 3 -= = -. • 0,044 = 0,042V

Y = f(X

...X

)

(4.11)

Jest to tak zwany pomiar pośredni. Funkcję f(X

..X

)nazywa się funkcją

pomiaru.

Każda z wielkości wejściowych X, jest mierzona w warunkach
powtarzalności n razy, w wyniku otrzymuje się następujące wartości:

dlaX, są to x

,...x

dlaX, są to X

,...x

(4.12)

dlaX„ są to x

,...x

Uzyskane w wyniku pomiaru wartości X

... X

obarczone są błędami od-

powiednio AX,, AX

...AX

. Błędy te są funkcją błędów systematycznych i

błę-

dów przypadkowych.

Wartość wielkości mierzonej dla pomiaru idealnego oblicza się z

zależności funkcyjnej (4.11), dla warunków rzeczywistych funkcję tę można
opisać następująco

)]

(4.13)

Błąd pomiaru wielkości Obędzie w tych warunkach określony
zależnością

(414)

Należy zatem określić w jaki sposób błędy wyznaczenia wielkości
pośrednich X , , X

... X

przenoszą się na wynik pomiaru wielkości Y.

Zależność miedzy błędem wyznaczenia wielkości Y a błędami AX,, AX

,...

wynika z prawa przenoszenia błędów.

Ze wzoru (4.15) w praktyce nie można korzystać, gdyż nie są znane

błędy cząstkowe zarówno co do wartości, jak i znaku. Można jedynie
wyznaczyć wartości graniczne błędów. Dla wyznaczenia błędu A7 wielkości
mierzonej przyjmuje się najmniej korzystny przypadek, w którym błędy
wielkości pośrednich

jednocześnie przyjmują wartości graniczne i mają te same znaki. Wyznaczony w tych
warunkach błąd nosi nazwę błędu granicznego.

A X

# A V

+
..
*,

•

A X

ax,

d
x

"s^z

ax '

CTA

<*/'

(4.16)

, jest pochodną cząstkową funkcji pomiaru względem zmien-

nej X j , nazywa się współczynnikiem wrażliwości funkcji na zmiany wielkości
wejściowej X . .

Błąd A

X j

;

, który jest błędem całkowitym granicznym wielkości zmierzonej

metodą bezpośrednią wyznacza się tak, jak podano w punkcie 4.2. l .

Błąd graniczny dla najczęściej występujących funkcji pomiaru wyznaczają

następujące zależności

v —

f — l

X,-X

= CX"

y z x

Wielkości pośrednie X,, X

... X

, wyznacza się przeprowadzając serie po-

miarów. Na podstawie uzyskanych wyników określa się wartość średnią, błąd
systematyczny i błąd przypadkowy.

Wielkość

Wartość wielkości zmierzonej można wyznaczyć korzystając z

zależności funkcyjnej na wartości średnie

F = /(X„X

...X„)

(4.17)

lub wyznaczając wartości Y

...Y

dla kolejnych wartości

, X

—X

i ... X

...X

, a następnie obliczyć wartość średnią

(4.18)

Jeżeli funkcja pomiaru jest funkcją liniową, to uzyskane wartości Y wg

wzorów 4.17 i 4.18 będą takie same. Sposób drugi obliczania wartości
mierzonej nie może być stosowany, jeżeli poszczególne wielkości pośrednie
X,, X

... X

byty mierzone w seriach o różnej liczności.

Przykład 4.2

W celu wyznaczenia w badanym obwodzie natężenia prądu zmierzono
napięcie na zaciskach rezystora wzorcowego, włączonego do tego obwodu.
Napięcie zmierzono 5-ciokrotnie woltomierzem cyfrowym o zakresie U

100V, i rezystancji wejściowej R

>10

Q, dla którego błąd określony przez

producenta jest równy 0,05% wartości znamionowej. Uzyskano
następujące wartości C/,. = (80,03; 80,05; 80,06; 79,95; 79,98)V . Rezystor
wzorcowy R

= 100Q, klasy dokładności 0,02. Obliczyć graniczny błąd

pomiaru.

Rozwiązanie

Ze względu na dużą rezystancję wejściową woltomierza, można pominąć
jego wpływ na rozpływ prądów. Wartość średnia pomiaru napięcia.

= - V U, = - 400,07 = 80,014V

»w 5

Odchylenie standardowe wartości średniej

<//

(</,

80,03

0,016

80,05

0,036

80,06

0,046

79,95

-0,064

79,98

-0,034

Błąd graniczny przypadkowy pomiaru napi

AjjŻ

Błąd systematyczny graniczny woltomierza

Błąd graniczny całkowity pomiaru napi

przypadku

Błąd graniczny opornika wzorcowego

= 0,0211 = 0,02
V

U*_

80,014

/?„ 100

800

lmA

(</,-",)

(o, -"J

0,016

2,56 -10"

0,036

12,96 -10-

0,046

21,16 -10"

0,064

40,96-1 0"

0,034

11,56-KT

89,2 -10-

d graniczny przypadkowy pomiaru napięcia dla k = 3

AjjŻ/, = 3 • 5^ = 3 • 0,0211 = 0,063V

d systematyczny graniczny woltomierza

= 0,01 • 0,05 • 100 = 0,05V

d graniczny całkowity pomiaru napięcia dla najniekorzystniejszego

przypadku b

= &

+ b

= 0,05 + 0,063 = 0,103V

d graniczny opornika wzorcowego

R„ = 0,01 • 0,02 • 100Q = 0,02Q

5(5-1)

cia dla najniekorzystniejszego

0,05 + 0,063 = 0,103V

Korzystając z prawa przenoszenia błędów, błąd całkowity pomiaru natężenia
prądu

A„/ =

*,v*

-A„/?

—0,103 + -ir- • 80,01 • 0,02 = 0,103 • 10"

+ 80,01 • 10~

100

= (0,103 + 0,8001)- 10~

=9,OmA

Wynik pomiaru

= /± A

/,= (800,1 ±9,0)mA

4.2.3. Błędy nadmierne i ich wykrywanie

W serii przeprowadzonych pomiarów mogą występować wartości znacznie

różniące się od innych. Mówimy wówczas, że wyniki te są błędne, to znaczy
obarczone błędami nadmiernymi. Błędy te zaliczamy do grupy błędów przypad-
kowych.

Jedną z głównych przyczyn występowania błędów nadmiernych jest

nieuwaga mierzącego. Jeżeli wykonujemy tylko jeden pomiar, to ujawnienie
tego błędu nie jest możliwe. Tylko wykonanie serii pomiarów pozwala na
ujawnienie tych błędów. Istnieje wiele metod statystycznych pozwalających na
ujawnienie, a tym samym na eliminację błędów nadmiernych. Można przyjąć,
ż

e błędy dla których prawdopodobieństwo wystąpienia jest mniejsze od pewnej

założonej wartości np. p < P są pomyłkami. Przy określaniu wartości P
posługujemy się często odchyleniem standardowym.

Jedną z prostszych metod wykrywania błędów nadmiernych jest metoda

polegająca na przyjęciu, że p przyjmuje wartość prawdopodobieństwa
odpowiadającego potrójnej wartości odchylenia standardowego. Oznacza to, że
prawdopodobieństwo pojawienia się błędu większego od 35 jest mniejsze od
0,003. Można zatem uważać, że jeżeli w serii wyników pomiarów znajdzie się
wynik różniący się od wartości średniej więcej niż o 35, to jest on
prawdopodobnie spowodowany pomyłką.

Inną metodą jest metoda polegająca na określeniu, czy wynik budzący wąt-

pliwości mieści się z założonym prawdopodobieństwem w określonym
przedziale. Otrzymane w serii wyniki pomiarów porządkujemy według
rosnących wartości, od wartości najmniejszej X

{

do największej X

. Odrzucamy

wynik budzący

g *

g n

wątpliwość, może to by
pozostałych w serii wyników pomiarów o liczno
wartość średnią i odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru i
odchylenie standardowe dla

n -l

$
oraz

Przy próbie mało licznej (n < 30) dla zało
oraz wynikającej z pomiaru liczby stopni swobody
tablic rozkładu Studenta współczynnik
w którym może wystę

Jeżeli podejrzany wynik X, lub

dziale [17] odrzucamy go przyjmuj
nadmiernym.

Przykład 4.3

W wyniku dwunastokrotnego pomiaru napi
wyniki X,= (1,022; 1,023; 1,024; 1,024; 1,025; 1,025; 1,025; 1,026; 1,026;
1,027; 1,028; 1,053)V. Sprawdzi
z wyników pomiaru nie jest obarczony bł
przeprowadzić dla p = 0,99.

Rozwiązanie

Wartość średnia

Wyniki dalszych oblicze

e to być wynik najmniejszy lub największy. Dla

pozostałych w serii wyników pomiarów o liczności n = n - 1 oblicza si

i odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru i

odchylenie standardowe dla średniej.

Przy próbie mało licznej (n < 30) dla założonego prawdopodobień

cej z pomiaru liczby stopni swobody k = n' -1, wyznacza si

tablic rozkładu Studenta współczynnik t^. Następnie wyznacza się przedział,

e występować wartość poprawna mierzonej wielkości.

X-t

S<X<X+t

eli podejrzany wynik X, lub X

nie mieści się w wyznaczonym prze

odrzucamy go przyjmując, że jest on obarczony błędem

W wyniku dwunastokrotnego pomiaru napięcia U otrzymano nastę

(1,022; 1,023; 1,024; 1,024; 1,025; 1,025; 1,025; 1,026; 1,026;

1,027; 1,028; 1,053)V. Sprawdzić metodą 3S i metodą przedziału, czy który

miaru nie jest obarczony błędem nadmiernym. Obliczenia

= 0,99.

t/=J=L_ = lł328=i,027V

Wyniki dalszych obliczeń przedstawiono w tabeli

kszy. Dla
oblicza się

i odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru i

onego prawdopodobieństwa p

1, wyznacza się z

przedział,

ci.

w wyznaczonym prze-

otrzymano następujące

(1,022; 1,023; 1,024; 1,024; 1,025; 1,025; 1,025; 1,026; 1,026;

przedziału, czy któryś

dem nadmiernym. Obliczenia

,022

,023

-0,004

,024

,025

1,025

1,026

1,027

1,028

0,001

1,053

0,026

12,32

Odchylenie standardowe pojedynczego wyniku pomiaru

Stosujemy kryterium 35.

Z porównania wyników okazuje si
błędem przekraczają
uznać za błędny.

Metoda wyznaczania podziału.

Z otrzymanych warto
wiarygodności. Zostaje on pomini
«' = n-l = 12-l = ll pomiarów

Odchylenie standardowe pojedyncz

U, -U

(U i -U J
-HT

U, -U'

(j/,.

-0,003

0,004

-0,002

-0,001

0,00

0,001

0,00

0,002

0,001

0,03

0,026

476

750

Odchylenie standardowe pojedynczego wyniku pomiaru

=
0,008V

kryterium 35.

Wartość 35 = 3 • 0,008 = 0,024 V

Z porównania wyników okazuje się, że wynik pomiaru 12 obarczony jest

dem przekraczającym wartość 35 (0,026 > 0,024). Wynik ten nale

Metoda wyznaczania podziału.

Z otrzymanych wartości wynik 12 budzi wątpliwości co do swojej

ci. Zostaje on pominięty w obliczeniach. Obliczamy ś

l = ll pomiarów

U' = -

11,275

=
1.025Y

Odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru

(j/,.

e wynik pomiaru 12 obarczony jest

35 (0,026 > 0,024). Wynik ten należy

ci co do swojej

ty w obliczeniach. Obliczamy średnią na

S' = \|-ts!—. ---------

tv/

- o,0017 « 0,002V

Dla poziomu ufności p = 0,99 i punktów swobody n-l = ll-l = 10 z tablic
rozkładu Studenta znajdujemy współczynnik t^ = 3,169. Stąd

S = 3,169-0,002 = 0,00634 » 0,006V

Dla U = 1,025V otrzymuje się przedział

1,025 - 0,006 < U < 1,025 + 0,006

l,019V<f/<l,031V z prawdopodobieństwem p = 0,99.

Znacznie różniąca się wartość U

= 1,053V, nie mieści się w wyznaczonym

przedziale. Powinna zostać pominięta w dalszej analizie jako wartość obarczona
błędem nadmiernym.

NIEPEWNOŚCI WYNIKU POMIARU

5.1. PODSTAWY TEORII NIEPEWNOŚCI

Teoria niepewności przyjmuje losowy model niedokładności zakładając,

e wartość oczekiwana X, estymata wielkości mierzonej

(

)

jest jedną z

wartości zmiennej losowej X o wartościach danych przez hipotetyczne
doświadczenie

pozyskiwania

estymaty

Niedokładność

pomiaru

charakteryzuje się w tym przypadku za pomocą parametru zwanego
niepewnością. Niepewność w [3] definiowana jest jako parametr związany z
wynikiem pomiaru charakteryzujący rozrzut wartości, które można w
uzasadniony sposób przypisać wartości mierzonej. Takim parametrem może
być na przykład odchylenie standardowe (lub jego wielokrotność), albo
połowa szerokości przedziału odpowiadającego określonemu poziomowi
ufności. Niepewność pomiaru zawiera na ogół wiele składników. Niektóre z
nich można wyznaczyć na podstawie rozkładu statystycznego wyników
szeregu pomiarów i można je scharakteryzować odchyleniem standardowym.
Inne składniki pochodzące na przykład od efektów systematycznych są
szacowane na podstawie zakładanych rozkładów prawdopodobieństwa
opartych na posiadanym doświadczeniu lub uzyskiwanych z innych źródeł.

Niedokładność pomiaru charakteryzuje się przez podanie niepewności

standardowej, niepewności łącznej i niepewności rozszerzonej.

Niepewność standardowa u(x) wyrażana jest przez odchylenie

standardowe wyników szeregu pomiarów wykonywanych w niezmiennych
warunkach odniesienia.

u(x) = S

(5.1)

Niepewność złożona (łączna), to niepewność standardowa wyniku

pomiaru otrzymanego na podstawie pomiaru kilku wielkości, równa
pierwiastkowi kwadratowemu z sumy składników będących wariancjami i
kowariancjami

tych

wielkości

pomnożonymi

przez

odpowiednie

współczynniki zależne od funkcji pomiaru

t\
«D

0,0

0,000

0,0039

0,0079

0,0119

07926

0,8317

08706

09095

11791

12172

12552

12930

15542

15910

16276

16640

0,5

0,191

0,1949

0,1984

0,2019

22575

22907

23237

23565

25804

26115

26424

26730

28814

29103

29389

29673

31594

31859

32121

32381

1,0

34134

34375

34614

34850

36433

36650

36864

37076

38493

38686

38877

39065

40320

40490

40658

40824

41924

42073

42220

42364

43319

43448

43574

43699

44520

44630

44738

44845

45543

45637

45728

45818

46407

46485

46562

46638

47128

47193

47257

47320

2,0

47725

47778

47831

47882

48214

48257

48300

48341

48610

48645

48679

48713

48928

48956

48983

49010

49180

49202

49224

49245

2,5

49379

49396

49413

49430

49534

49547

49560

49573

49653

49664

49674

49683

49745

49752

49760

49767

49813

49819

49825

49831

3,0

49865

49869

49874

49878

49903

49906

49910

49913

49931

49934

49936

49938

49952

49953

49955

49957

49966

49968

49969

49970

49977

49978

49979

49984

49985

49986

49989

49990

49993

49994

49995

49996

Tabela 5.1

0,0119

0,015

0,019

0,023

0,027

0,031

0,035

09095

09483

09871

10257

10642

11026

11400

12930

13307

13683

14058

14431

14803

15173

16640

17003

17364

17724

18082

18439

18793

0,2019

0,2054

0,2088

0,2122

0,215

0,219

0,222

23565

23891

24215

24537

24857

25175

25490

26730

27035

27337

27637

27935

28230

28524

29673

29955

30234

30511

30785

31057

31327

32381

32639

32894

33147

33398

32646

33891

34850

35083

35314

35543

35769

35993

36214

37076

37286

37493

37698

37900

38100

38298

39065

39251

39435

39617

39796

39973

40147

40824

40988

41149

41309

41466

41621

41774

42364

42507

42647

42786

42922

43056

41389

43699

43822

43943

44062

44179

44295

44408

44845

44950

45053

45154

45254

45352

45449

45818

45907

45994

46080

46164

46246

46327

46638

46712

46784

46856

46926

46995

47062

47320

47381

47441

47500

47558

47615

47670

47882

47932

47982

48030

48077

48124

48169

48341

48382

48422

48461

48500

48537

48574

48713

48745

48778

48809

48840

48870

48899

49010

49036

49061

49086

49111

49134

49158

49245

49266

49286

49305

49324

49343

49361

49430

49446

49461

49477

49492

49506

49520

49573

49586

49598

49609

49621

49632

49643

49683

49693

49702

49711

49720

49728

49737

49767

49774

49781

49788

49795

49801

49807

49831

49836

49841

49846

49851

49856

49861

49878

49882

49886

49889

49893

49897

49900

49913

49916

49918

49921

49924

49926

49929

49938

49940

49942

49944

49946

49948

49950

49957

49958

49960

49961

49962

49964

49965

49970

49971

49972

49973

49974

49975

49976

49979

49980

49981

49982

49983

49986

49987

49988

49989

49990

49991

49992

49994

49995

49996

49997

(5.2)

Tabela 5.1

0,035

11400

15173

18793

0,222

25490

28524

31327

33891

36214

38298

40147

41774

41389

44408

45449

46327

47062

47670

48169

48574

48899

49158

49361

49520

49643

49737

49807

49861

49900

49929

49950

49965

49976

49983

49989

49992

49995

49997

Niepewność rozszerzona, to wielkość określająca przedział wartości

wokół wyniku pomiaru, jest ona równa iloczynowi niepewności złożonej i
współczynnika rozszerzenia k

U = ku,(y)

(5.3)

Współczynnik rozszerzenia zależy od przyjętego poziomu ufności i

rozkładu zmiennej losowej x. W przypadku, gdy współczynnik k jest
powiązany z poziomem ufności p to zapisuje się go jako k

i wtedy

niepewność rozszerzona jest

oznaczona przez U

i wynosi

U=k

u,(y)

(5.4)

Rozkład f-Studenta o k stopniach swobody

Liczba stopni

swobody k

Poziom ufności

68,27

95,45

99,73

1,84

6,31

12,71

13,97

63,66

235,80

1,32

2,92

4,30

4,53

9,92

19,21

1,20

2,35

3,18

3,31

5,84

9,22

1,14

2,13

2,78

2,87

4,60

6,62

1,11

2,02

2,57

2,65

4,03

5,51

1,09

1,94

2,45

2,52

3,71

4,90

1,08

1,89

2,36

2,43

3,50

4,53

1,07

1,86

2,31

2,37

3,36

4,28

1,06

1,83

2,26

2,32

3,25

4,09

1,05

1,81

2,23

2,28

3,17

3,96

1,05

1,80

2,20

2,25

3,11

3,85

1,04

1,78

2,18

2,23

3,05

3,76

1,04

1,77

2,16

2,21

3,01

3,69

1,04

1,76

2,14

2,20

2,98

3,64

1,03

1,75

2,13

2,18

2,95

3,59

1,03

1,75

2,12

2,17

2,92

3,54

1,03

1,74

2,11

2,16

2,90

3,51

1,03

1,73

2,10

2,15

2,88

3,48

1,03

1,73

2,09

2,14

2,86

3,45

1,03

1,72

2,09

2,13

2,85

3,42

1,02

1,71

2,06

2,11

2,79

3,33

1,02

1,70

2,04

2,09

2,75

3,27

1,01

1,70

2,03

2,07

2,72

3,23

1,01

1,68

2,02

2,06

2,70

3,20

1,01

1,68

2,01

2,06

2,69

3,18

1,01

1,68

2,01

2,05

2,68

3,16

100

1,005

1,660

1,984

2,025

2,626

3,077

1,000

1,645

1,960

2,000

2,576

3,000

Tabela 5.2

Jeżeli zmienna x ma rozkład normalny, to współczynnik rozszerzenia, dla

określonego poziomu ufności, jako współczynnik z

wyznacza się z tablic staty-

stycznych rozkładu normalnego (tabela 5.1). Przy niezbyt licznej próbie (mała
liczba wyników pomiaru, n< 30) rozkład normalny zastępuje się rozkładem Stu-
denta. W tym przypadku współczynnik rozszerzenia przyjmuje wartości współ-
czynnika rozkładu ^-Studenta dla określonej liczby stopni swobody równej
liczbie pomiarów pomniejszonej o jeden i określonego poziomu ufności (tabela
5.2).

Jeżeli są trudności z wyznaczeniem współczynnika rozszerzenia dla zaist-

niałych warunków pomiarowych, to zwykle przyjmuje się k

= 3 i przypisuje się

mu poziom ufności p = 0,99 lub k

=2 i przypisuje się mu poziom ufności p =

0,95.

Niepewność pomiaru może zawierać wiele składowych jak np.

niepełna definicja wielkości mierzonej, niedoskonała
realizacja definicji wielkości mierzonej, sposób pobierania
próbek wielkości mierzonej, wpływ czynników
zewnętrznych, rozdzielczość przyrządów pomiarowych,
przybliżenia i założenia wynikające z metody pomiarowej,
niedokładność wzorców.

Niektóre z tych niepewności można wyznaczyć na podstawie otrzymanego

rozrzutu wyników serii pomiarów i inne, które ocenia się na podstawie przewi-
dywanych rozkładów prawdopodobieństwa.

Te dwie, różne pod względem sposobu otrzymywania grupy niepewności,

stanowią podstawę do podziału niepewności na dwa typy:

niepewności typu A, wyznaczane metodami
statystycznymi, niepewności typu B, wyznaczane innymi
metodami.

Niepewność typu A, ze względu na źródła jej powstawania można przyjąć,

e odpowiada błędom spowodowanym efektami przypadkowymi, natomiast nie-

pewność typu B odpowiada błędom spowodowanym efektami systematycznymi.
Przy analizie niepewności pomiaru, typu A i typu B, zakłada się, że wszystkie
znane poprawki zostały uwzględnione w wyniku pomiaru. Każda niepewność
systematyczna o znanej wartości i znaku musi być uwzględniona w postaci po-
prawki, jeżeli nie jest znana jej wartość, musi być traktowana jako niepewność
dodatkowa. Niepewność ta ma charakter losowy. Należy ocenić miarę liczbową
tej niepewności, którą jest odchylenie standardowe. Jeżeli niepewność ta jest
wywołana przez efekty systematyczne, której najczęstszym źródłem jest błąd
aparatury pomiarowej, to wartość graniczna A

tego błędu umożliwia

wyznaczenie

wariancji dla przyjętego rozkładu prawdopodobieństwa.

5.2. PRAWO PROPAGACJI NIEPEWNO

W pomiarach poś

Jeżeli funkcja pomiaru jest

o wartościach średnich odpowiednio
zmiennych X

Każda z wielkości Xj
niepewnością łączną
niepewność u

(y) mierzonej wielko

W odniesieniu do warto

Gdy funkcja pomiaru charakteryzuje si

przy rozwinięciu jej w szereg Taylora nale
du. Najważniejszymi wyrazami wy

N N

Wyrazy te powinny być

Jeżeli wielkości po

między nimi zależność

5.2. PRAWO PROPAGACJI NIEPEWNOŚCI

W pomiarach pośrednich mierzona wielkość jest funkcją wielu zmiennych

eli funkcja pomiaru jest liniowa, to zmienne X

są zmiennymi losowymi

rednich odpowiednio X

a średnia mierzonej wielkości

Xj wyznaczona jest z niepewnością standardową

ą ą

czną M

). Jeżeli wielkości Xj są nieskorelowane, wówczas

mierzonej wielkości określona jest zależnością

W odniesieniu do wartości średnich wartość niepewności wyraża zale

Gdy funkcja pomiaru charakteryzuje się znaczną nieliniowością

ciu jej w szereg Taylora należy uwzględnić wyrazy wyż

niejszymi wyrazami wyższych rzędów są

/ l , a/ a

)

Wyrazy te powinny być uwzględnione przy obliczaniu niepewności łą

ci pośrednie X

... X

są ze sobą skorelowane, wystę

ność funkcyjna, to oprócz obliczenia wariancji, dla wyznacz

wielu zmiennych

zmiennymi losowymi

ci Y jest funkcją

(5.5)

standardową s(Xj) lub

nieskorelowane, wówczas

(5.6)

a zależność

(5.7)

cią wówczas

wyrazy wyższego rzę-

(5.8

ci łącznej.

skorelowane, występuje

obliczenia wariancji, dla wyznaczę-

nią niepewności trzeba także wyznaczyć kowariancję i wówczas niepewność łączna
będzie określona wzorem

w którym: .

,-,*,-

są oszacowaniami wartości wielkości X, i X

;

-^—,—ł— są pochodnymi cząstkowymi funkcji pomiaru względem X i X ,,

u(xj , *; ) jest kowariancją je, i x j .

Kowariancje u(x

) oblicza się ze wzoru

"v" t=i

w którym X

ilc

są A:-tym wynikiem bezpośredniego pomiaru wielkości X-, lub X

Dla oceny stopnia zależności miedzy poszczególnymi wielkościami X

i X

;

wyznacza się współczynnik korelacji

u(x ,jc

Wyznaczona kowariancja

(

,.;

;

)

jest równa kowariancji średnich ^(jć,;3ć

;

wówczas wzór 5. 1 1 przyjmuje postać

(5-12)

Jeżeli O < r < l , to jest to korelacja dodatnia, dla - 1 < r < O mamy do czy-

nienia z korelacją ujemną. Im większa wartość r, tym większa zależność między X, i
X

,przy r = O , wielkości te nie są skorelowane.

Jeżeli znany jest współczynnik korelacji, to estymator konwariancji przy
dwóch wielkościach oblicza się ze wzoru

";,ą =u

-u

-r(x„x

)

(5.13)

Wielkości

i u

oznaczają niepewności typu A dla wielkości X,,X

5.3. OCENA NIEPEWNOŚCI W POMIARACH

BEZPOŚREDNICH

5.3.1. Ocena niepewności typu A

W pomiarach bezpośrednich mogą występować niepewności typu A i

niepewności typu B. Zostanie rozpatrzony przypadek, gdy niepewność typu
A jest dużo większa od niepewności typu B.

(5.14)

W praktyce można uznać, że spełniony jest warunek

, jeżeli

<0,lu

Niepewność standardową typu A ocenia się za pomocą metod statystycz-

nych. Na podstawie serii pomiarów oblicza się wartość średnią

(5.15)

oraz niepewność standardową typu A

E (*,-*)

Przyjmuje się, że w wynikach pomiarów zostały uwzględnione wszystkie po-
prawki.

Ponieważ występuje tylko jedna niepewność

, to niepewność łączna jest

równa tej niepewności

=«

(5-17)

=TU

Niepewność rozszerzona jest równa niepewności łącznej pomnożonej przez

współczynnik rozszerzenia k

U = k

(5.18)

Współczynnik rozszerzenia, przy dużej liczbie pomiarów, gdy można uwa-

ać, że rozkład zmiennej losowej Xjest rozkładem normalnym, przyjmuje warto-

ci zmiennej standaryzowanej Z dla tego układu.

Wartości zmiennej Z odczytuje się z tablic rozkładu normalnego dla

określonego poziomu ufności p. Najczęściej stosowane wartości zmiennej Z dla
określonego poziomu ufności p przedstawiono w tabeli 5.3.

Vybrane wartości współczynnika Z dla rozkładu normalnego Tabela

0,6827

0,900

0,950

0,9545

0,990

0,9973

1,000

1,645

1,96

2,000

2,576

3,000

Dla innych wartości poziomu ufności współczynnik Z można wyznaczyć

korzystając z tabeli 5.1.

Jeżeli liczba pomiarów nie jest zbyt duża n < 30, to współczynnik rozsze-

rzenia przyjmuje wartość zmiennej standaryzowanej rozkładu f-Studenta. War-
tość tego współczynnika odczytuje się z tablic rozkładu Studenta dla założonego
poziomu ufności p i dla liczby stopni swobody równej k = n -1. Dla przypadku,
gdy rozkład zmiennej losowej nie może być uznany za rozkład normalny, ani za
rozkład f-Studenta, to przyjmuje się arbitralnie współczynnik rozszerzenia
równy 2 lub 3 uznając, że tym wartościom odpowiadają poziomy ufności p
odpowiednio równe 0,95 i 0,99.

Przykład 5.1

Woltomierzem cyfrowym o napięciu znamionowym 100V i błędzie granicznym
równym A

= 0,0217,, +0,01f/

, zmierzono sześciokrotnie napięcie. Otrzymano

następujące wartości: U

= (80,42; 80,92; 80,31; 80,02; 80,56;

80,96)V. Obliczyć niepewność pomiaru napięcia na poziomie ufności
p = 0,95.

Rozwiązanie

Wartość średnia mierzonego napi

«/=

Tabelaryczne przedstawienie wyników oblicze

tf,

80,42

80,92

80,31

80,02

80,56

80,96

483,19

Niepewność standardowa typu A

Sprawdzamy, czy niepewno
wyznacza się niepewność
rozkład prawdopodobień
niepewność standardowa typu B b

=•

Ponieważ niepewność
=0,0150V, to można uzna
można pominąć niepewno

rednia mierzonego napięcia

«/=-!>,=

483,19

=
80,53V

Tabelaryczne przedstawienie wyników obliczeń

fr -U)

fo-zry

-0,11

0,0121

0,39

0,1521

-0,22

0,0484

-0,57

0,2601

0,03

0,0009

0,43

0,1849

0,6585

standardowa typu A

= 0,148
IV

Sprawdzamy, czy niepewność typu A jest niepewnością dominującą. W tym celu

niepewność typu B wnoszona przez woltomierz. Zakładaj

rozkład prawdopodobieństwa błędu miernika jest rozkładem równomiernym,

standardowa typu B będzie równa

d = ^(0,02-80,53+ 0,01-100) = 0,0150V

ść

= 0,148IV jest znacznie większa od niepewno

na uznać, że

jest niepewnością dominującą i w obli

ąć

niepewność

ą ą

. W tym celu

typu B wnoszona przez woltomierz. Zakładając, że

du miernika jest rozkładem równomiernym,

100) = 0,0150V

ksza od niepewności

i w obliczeniach

Niepewność łączna pomiaru napięcia będzie równa

Liczba pomiarów jest mało liczna n = 6 , to dla obliczenia niepewności roz-

szerzonej na poziomie ufności p = 0,95 należy wyznaczyć współczynnik t

dla

rozkładu Studenta. Liczba stopni swobody k = n - 1 = 5 .

Z tablic rozkładu Studenta dla p = 0,95 i k = 5 współczynnik t

= 2,57 .

Niepewność rozszerzona pomiaru napięcia

= k

u^ = r^M

= 2,57 • 0,1481 = 0,3806V = 0,39V

Wynik pomiaru napięcia można zapisać następująco

=U±U

= (80,53 ± 0,39) V

5.3.2. Ocena niepewności typu B

W pomiarach wykonywanych w warunkach przemysłowych, gdy stosuje się

aparaturę pomiarową mniej dokładną może wystąpić przypadek, gdy
niepewność typu A jest dużo mniejsza od niepewności typu B tj.

< 0,1 u

Oznacza to, że

dominującą niepewnością jest niepewność typu B. Jest to niepewność wywołana
przez efekty systematyczne, a jej źródłem jest niedokładność aparatury pomiaro-
wej. Niepewność standardową typu B można ocenić w zależności od
posiadanych informacji, takich jak np.:

właściwości przyrządów i metod pomiarowych,

danych kalibracyjnych przyrządu,

informacji podanych przez producenta,

danych z wcześniejszych pomiarów.

Dla danej wielkości przyporządkowuje się określony rozkład prawdopodo-

bieństwa i oblicza odchylenie standardowe. W praktyce najczęściej mamy do
czynienia z sytuacją obliczania niepewności typu B wynikającej z błędów apara-
tury pomiarowej. Stosowaną aparaturę pomiarową charakteryzuje się za pomocą
wartości błędu granicznego określonego przez wskaźnik klasy dokładności. Roz-
kład błędów aparatury pomiarowej może być różnorodny, najczęściej jest to roz-
kład jednostajny, rzadziej rozkład trójkątny.

-A.

Dla rozkładu jednostajnego i trójk
określają zależności

Niepewność łączna dla tego przypadku
Niepewność rozszerzon

Dla rozkładu jednostajnego współczynnik ro
poziomu ufności, bę

Dla p = l, k

- >/3 niepewno

= A

. Jest to najcz

Przykład 5.2

Woltomierzem magnetoelekt
100V zmierzono napi
niepewność pomiaru na poziomie ufno

Rozwiązanie

Przyjmując, że rozkład prawdopodobie
równomiernym, niepew

Rys.5.1. Rozkład jednostajny i trójkątny

Dla rozkładu jednostajnego i trójkątnego wariancję i odchylenie standardowe

ść ą

czna dla tego przypadku

ść

rozszerzoną wyznacza się ze wzoru

Dla rozkładu jednostajnego współczynnik rozszerzenia, w zależnoś

ci, będzie miał wartość

=j3-p

>/3 niepewność rozszerzona jest równa błędowi granicznemu

. Jest to najczęściej spotykany w praktyce przypadek.

Woltomierzem magnetoelektrycznym klasy 0,5 o zakresie znamionowym
100V zmierzono napięcie uzyskując wynik U

= 80,2V. Obliczy

ść

pomiaru na poziomie ufności p - 0,95.

e rozkład prawdopodobieństwa błędu miernika jest rozkładem

nomiernym, niepewność standardowa typu B będzie równa

i odchylenie standardowe

(5.20)

ności od

(5.21)

dowi granicznemu

rycznym klasy 0,5 o zakresie znamionowym

80,2V. Obliczyć

du miernika jest rozkładem

,*>iy..Ml.M.|flO.

Niepewność typu B jest niepewnością dominującą, niepewność typu A jest

pomijalnie mała.

Niepewność łączna jest równa niepewności standardowej

Niepewność rozszerzona

Współczynnik rozszerzenia, dla jednostajnego rozkładu błędów miernika dla po-
ziomu ufności p oblicza się ze wzoru

=VŚp = V3- 0,95 = 1,645

Stąd niepewność rozszerzona

= k

= 1,645 • 0,289 = 0,475 » 0,5V

Wynik pomiaru napięcia

=U±U

=8Q,2V±0,5V

5.3.3. Ocena niepewności typu A i B

W praktyce najczęściej występuje przypadek, gdy niepewności typu A mają

rozkład bliski rozkładowi normalnemu, a niepewności typu B są spowodowane
przez błędy aparatury pomiarowej o rozkładzie równomiernym.

Niepewności typu A i B wyznacza się tak, jak to podano w punkcie 5.3.1 i

5.3.2. Znając wartości tych niepewności wyznacza się niepewność łączną.

+ "

(

)

Niepewność rozszerzoną określa zależność

Współczynnik rozszerzenia k

ma wartość zależną od przyjętego

poziomu

ufności oraz rozkładu wypadkowego wynikającego ze złożenia rozkładu
normalnego (niepewność typu A) i rozkładu jednostajnego (niepewność
typu B).

Rozkład wynikający ze złożenia rozkładu normalnego i rozkładu

jednostajnego opisany jest splotem tych rozkładów. Wyznaczenie
splotów rozkładu normalnego i jednostajnego stwarza wiele problemów.
W praktyce stosuje się różne metody przybliżone umożliwiające
wyznaczenie współczynnika rozszerzenia.

Jedną z tych metod jest metoda oparta na hipotezie, że nieznany splot

rozkładów składowych jest zbieżny do rozkładu składowego o większym
odchyleniu standardowym. Gdy S

> Sj , to splot rozkładu normalnego i

jednostajnego jest zbieżny do rozkładu normalnego. Współczynnik
rozszerzenia przyjmuje wówczas wartości zmiennej standaryzowanej Z
rozkładu normalnego, dla określonego poziomu ufności.

Jeżeli S

<Sj, odchylenie standardowe rozkładu normalnego jest

mniejsze od odchylenia standardowego rozkładu jednostajnego, to splot
rozkładów normalnego i jednostajnego jest zbieżny do rozkładu
jednostajnego. Współczynnik rozszerzenia przyjmuje wówczas wartości
zmiennej standaryzowanej rozkładu jednostajnego k

}

Niepewność rozszerzoną określa zależność

l/=Mt

(5-24)

Dla S

~ S j ocena niepewności rozszerzonej jest niejednoznaczna, zaleca

się

w tym przypadku przyjęcie współczynnika rozszerzenia takiego, jak dla
rozkładu normalnego.

Przykład 5.3

Watomierzem elektrodynamicznym klasy dokładności 0,2; P

= 500W;

= 100V ; /„ = 5A zmierzono moc odbiornika przy prądzie stałym w

układzie

o zadanym napięciu. Pomiar wykonano pięciokrotnie. Uzyskano
następujące wartości: P = (358,1; 358,4; 357,8; 357,5; 357,5)W.

Rezystancja obwodu napięciowego watomierza R

= 10000Q,

rezystancja woltomierza R

>10

Q. Wyznaczyć niepewność wyniku

pomiaru na poziomie ufności p = 0,95.

Rozwiązanie

Ze wskazań watomierza nie wynika, aby który
nadmiernym.

Wartość średnia pomiaru mocy

Zestawienie wyników oblicze

358,1

358,4

357,8

357,5

358,5

1790,3

Niepewność standardowa typu A

Niepewność typu

rzędu. Niepewność ą

M„ =-

watomierza nie wynika, aby któryś wynik był obarczony błę

rednia pomiaru mocy

» w

1790,3

= 358,06
W

Zestawienie wyników obliczeń

ti-f)

358,1

0,04

0,0016

358,4

0,34

0,1156

357,8

-0,26

0,0676

357,5

-0,56

0,3136

358,5

0,44

0,1936

1790,3

0,692

ść

standardowa typu A

= 0,186 W

Niepewność

standardowa typu B. Rozkład jednostajny błę
watomierza. 0,01- S

-P

0,01-0,2-500

• = 0,577 W

A i B są tego samego

du. Niepewność łączna

+0.577

=0,606W

n(n-l) \ 5(5-1)

wynik był obarczony błędem

standardowa typu B. Rozkład jednostajny błędów

Niepewność typu B, rozkład jednostajny, jest większa od niepewności
typu A, rozkład normalny. Współczynnik rozszerzenia w tym przypadku
zostaje przyjęty, tak jak dla rozkładu jednostajnego.

=V3-p = V3- 0,95 = 1,645

Niepewność rozszerzona

-u^= 1,645 • 0,606 = 0,997 » 1,OW

Poprawka do wyniku pomiaru wynikającego z mocy pobranej przez
obwód napięciowy watomierza

R 10000

Moc odbiornika

-P

,= 358,1 - 1,0 = 357.1W

Wynik pomiaru

P = P±U

= 357,1W ± 1,OW

5.4. OCENA NIEPEWNOŚCI W POMIARACH

POŚREDNICH

5.4.1. Ocena niepewności typu A

W pomiarach pośrednich, jak to przedstawiono w punkcie 5.1,

wielkość mierzona 7 jest funkcją wielkości X j mierzonych bezpośrednio.
Każda z wielkości

X j jest wyznaczana na podstawie serii pomiarów, z których oblicza się
wartość

rednią i niepewność standardową dla średniej Y .

Rozpatrywany jest przypadek, w którym niepewność typu A jest

niepewnością dominującą, to znaczy

podobnie jak w punkcie 5.3.

Wartość wielkości mierzonej wyznacza się ze wzoru

F = /(*,)

(5.25)

a niepewność standardow
(X j) jest praktycznie liniowa, z zale

Przy dużej nieliniowo

szego rzędu w szeregu Taylora (zale
jemnie zależne, to należy obliczy

Niepewność łączna, poniewa

równa tej niepewności u

Dla oceny niepewno

rozszerzenia, jego wartość
poziomu ufności i rozkładu prawdopodobie
splotem rozkładów Xj .
trudno-

ci i w praktyce operacji tych dokonuje si

Jeśli pomiary poszczególnych wielko

nich Xj są zbieżne do rozkładu normalnego.

Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym splotem rozkładów

normalnych jest rozkład normalny, nawet je
ograniczona

np. występują dwie wielko

wartościom współczynnika rozszerzenia warto
tablic

rozkładu

normalnego

dla

zało

(prawdopodobieństwa) .

Dla prób mało licznych

rozkładu średniej Xj jest rozkład Studenta. Splot rozkładów Studenta nie jest

rozkładem Studenta. Moż
wyznaczając efektywną
Satterwhite'a.

standardową dla średniej Y, dla przypadku, gdy funkcja

) jest praktycznie liniowa, z zależności

nieliniowości funkcji pomiaru, należy uwzględnić wyrazy wy

du w szeregu Taylora (zależność 5.8). Jeżeli zmienne losowe są

ne, to należy obliczyć kowariancję według zależności (5.9).

ść ą

czna, ponieważ występuje tylko niepewność typu A, jest

Dla oceny niepewności rozszerzonej trzeba wyznaczyć współczynnik

rzenia, jego wartość, jak już uprzednio podano, jest zależna od przyję

ci i rozkładu prawdopodobieństwa wielkości Y . Rozkład ten jest

Xj . Wyznaczenie splotu rozkładów Xj nastręcza wiele

ci i w praktyce operacji tych dokonuje się w wyjątkowych przypadkach.

li pomiary poszczególnych wielkości są liczne n > 30 , to rozkłady ś

ne do rozkładu normalnego.

Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym splotem rozkładów

nych jest rozkład normalny, nawet jeżeli liczba wielkości X j

dwie wielkości X, i X

. Można w tym przypadku przypisać

ciom współczynnika rozszerzenia wartości zmiennej standaryzowanej

tablic

rozkładu

normalnego

dla

założonego

poziomu

ufno

stwa) .

licznych n< 30 przyjmuje się, że najlepszym przybliż

jest rozkład Studenta. Splot rozkładów Studenta nie jest

rozkładem Studenta. Można jednak rozkład ten przybliżyć rozkładem Studenta

c efektywną liczbę stopni swobody m

zgodnie z regułą Welcha

i--
4t

£">«
*/

, dla przypadku, gdy funkcja Y = f

wyrazy wyż-

eli zmienne losowe są wza-

ść

typu A, jest

współczynnik

na od przyjętego

Rozkład ten jest

cza wiele

tkowych przypadkach.

> 30 , to rozkłady śred-

Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym splotem rozkładów

X j jest

na w tym przypadku przypisać

ci zmiennej standaryzowanej Z z

onego

poziomu

ufności

e najlepszym przybliżeniem

jest rozkład Studenta. Splot rozkładów Studenta nie jest

rozkładem Studenta

Welcha-

(5-27)

gdzie: u

y - niepewność standardowa dla średniej Y (zależność

5.26),

- niepewność standardowa dla średniej Xj.

Jeżeli liczba m

uzyskana w wyniku obliczeń nie jest liczbą całkowitą, to

należy zaokrąglić ją do najbliższej liczby całkowitej, zawsze w dół.

Przykład 5.4

Aby wyznaczyć objętość walca zmierzono jego średnicę mikromierzem i
wysokość za pomocą suwmiarki. Każdą z tych wielkości mierzono
pięciokrotnie. Uzyskano następujące wyniki pomiaru: d= (10,21; 10,00;
9,81; 10,22; 10,31)mm, h = = (50,3; 50,4; 50,5; 49,8; 49,5)mm. Ocenić
granice niepewności wyniku pomiarów dla p = 0,95 .

Rozwiązanie

Rozrzut otrzymanych wyników nie wskazuje na popełnienie błędu
nadmiernego. Średnie wartości pomiaru średnicy i wysokości

- 1A. 50,55

1A11

d = — > d.

,= - = 10,1 Imm

M '•»

250,0

50,0m
m

Zestawienie wyników obliczeń

(

-d)

fc-tf

(*,-

b-if

10,21

0,10

0,0100

50,3

0,3

0,09

10,00

-0,11

0,0121

50,4

0,4

0,16

9,81

-0,30

0,0900

50,0

0,0

0,00

10,22

0,11

0,0121

49,8

-0,2

0,04

10,31

0,20

0,400

49,5

-0,5

0,25

50,55

0,1642

250,0

0,54

Odchylenie standardowe średniej wartości średnicy

Odchylenie średnie kwadratowe dla

Wyznaczenie niepewnoś
kład błędów dla mikromierza i suwmiarki.

Wartości te są mniejsze od odpowiednich warto
pominięte w obliczeniach. Mo
ś

ci typu A.

Niepewność standardowa ł

Objętość walca oblicza si

Zatem niepewność łą

rednie kwadratowe dla średniej wysokości

=
0,16mm

Wyznaczenie niepewności standardowych typu B. Założono równomierny roz

dów dla mikromierza i suwmiarki.

</ _ 0,01

U OJ •"

—«." *~

>-_~ '

=-- = -J*>

mniejsze od odpowiednich wartości niepewności typu A i zostaj

te w obliczeniach. Można zatem przyjąć, że dominującymi są niepewno

ść

standardowa łączna

walca oblicza się ze wzoru

ść

łączną

równomierny roz-

ci typu A i zostają

niepewno-

= . --10,11-50,0 -0,09

+ --10,1 r -0,16

V 2

= V5107,0+ 164,8 = 72,6mm

Ze względu na to, że liczba pomiarów jest niewielka n < 30, współczynnik

rozszerzenia należy wyznaczyć dla rozkładu f-Studenta, dla p = 0,95 i efektyw-
nej liczby stopni swobody.

Liczbę efektywnych stopni swobody oblicza się ze wzoru

27,8-10*

d/Y 4 (# Y 4

vr K</

i "M,

od j

l d/i J

- (26,05 -10

)

Z tablic rozkładu t-Studenta dla m

= 5 i p = 0,95 współczynnik f ^ = 2,57 .

Niepewność rozszerzona

U=k

-u„= 2,57 • 72,6 = 186,58 »190mm

Objętość walca

-- _-.,._ ,

Wynik pomiaru

V=4010mm

±190mm

5.4.2. Ocena niepewności typu B

W pomiarach pośrednich, przy ocenie niepewności należy uwzględnić

więcej niż jedną niepewność standardową. Niepewności typu A są pomijalnie
małe. Podobnie jak w punkcie 5.4.1 wartość mierzonej wielkości Y, oraz
odchylenie standardowe tej wielkości wyznacza się z zależności

Y=f(x,) oraz «^= l£ JL u

(5.28)

V J'

\ ' J

Niepewność rozszerzoną oblicza się z zależności

Aby w tych przypadkach określić wartość współczynnika rozszerzenia, dla

danego poziomu ufności należy znać splot rozkładów wielkości pośrednich X

}

Niepewności typu B wynikające z błędów aparatury pomiarowej, przyjmuje się,
ż

e mają rozkład jednostajny. Można przyjąć, że splot trzech lub większej liczby

rozkładów jednostajnych staje się zbieżny do rozkładu normalnego. Współczyn-
nik rozszerzenia dla założonego poziomu ufności określa się z tablic rozkładu
normalnego.

Jeżeli w układzie pomiarowym będą występować dwie składowe niepewno-

ci typu B,

i u

, wtedy łączna niepewność standardowa przy założeniu, że

| -^7- [ = 1, będzie określona zależnością

;,+«&

(

)

Rozkłady niepewności u

i u

, są rozkładami jednostajnymi, splot tych

rozkładów jest rozkładem trapezowym. Gdy błędy graniczne

i A

przyrzą-

dów pomiarowych są sobie równe, to splot rozkładów jednostajnych jest rozkła-
dem trójkątnym. Współczynnik rozszerzenia dla rozkładu trójkątnego, dla
danego poziomu ufności określa zależność

=j6-p

Dla innych sytuacji można przyjąć współczynnik rozszerzenia równy 2 dla po-
ziomu ufności p = 0,95 lub 3 dla p = 0,99 .

Przykład 5.5

Metodą techniczną woltomierza i amperomierza wyznaczono rezystancję.
Napięcie na oporniku zmierzono woltomierzem magnetoelektrycznym klasy 0,5
o napięciu znamionowym U

=10V, natomiast do pomiaru natężenia prądu użyto

amperomierza magnetoelektrycznego klasy 0,5 o prądzie znamionowym /„ =
1A.

100

W wyniku przeprowadzonego pomiaru otrzymano U

= 8,2 IV i I

= 0,501A. Po

uwzględnieniu prądu płynącego przez woltomierz otrzymano prąd płynący przez
opornik l

= 0,500A. Należy ocenić niepewność wyniku dla poziomu ufności p =

0,95.

Rozwiązanie

Przyjęto jednostajny rozkład błędów przyrządów pomiarowych.

Niepewność typu B pomiaru napięcia i natężenia prądu

0,01-0,5-10

0,01-0,5-1,0

Niepewność łączną wyraża się wzorem

0-500

0,500

= V3,l 36 -10"

+ 8,455 -10'

= 0,1 07Q

Dla obliczenia niepewności rozszerzonej przyjmuję dla p - 0,95 przyjęto współ-

czynnik k

=2.

Niepewność rozszerzona

TB=

- °.

107

= 0,214Q = 0,3Q .

Wartość mierzonej rezystancji

U 871

= ±

= _^£1

42 "

I 0,500

Wynik pomiaru

=16,4Q±0,3Q.

__.(o

)

028)

-0,0028

;

101

Przykład 5.6

Moc czynna prądu trójfazowego zmierzono w układzie dwóch watomierzy kl.
0,5; o U„ =100V i /„ =5A, P„ =500W. Po uwzględnieniu poprawek na moc
pobraną przez obwody pomiarowe przyrządów, otrzymano następujące wartości:
P

=320W i P

=410W. Ocenić niepewność pomiaru na poziomie ufności p =

0,95

Rozwiązanie

Składowe niepewności typu B przy jednostajnym rozkładzie błędów.

0,01.05-500

P = p

+ P

= 320 + 410 = 730W

Niepewność łączna

4 = 2,03 W

Błędy graniczne watomierzy są sobie równe, zatem rozkład wypadkowy będzie
rozkładem trójkątnym. Dla rozkładu trójkątnego współczynnik rozszerzenia
przyjmuje wartość

*,=V6 -p = 76-0,95 = 2,327

Niepewność rozszerzona
Wynik
pomiaru

= P±[/=730W±5W

U=k

Urp

= 2,327 • 2,03 = 4,7238 1 » 5 W

102

5.4.3. Ocena niepewności typu A i B

W pomiarach pośrednich dla każdej pośredniej wielkości mierzonej X . wy-

znacza się, według zasad podanych w rozdziałach 5.4.1 i 5.4.2, niepewności ty-
pu A i B. Jeżeli niepewności te mają wartości porównywalne, to oblicza się nie-
pewność standardowa łączną dla wielkości X j.

Niepewność standardową dla średniej Y oblicza się ze wzoru

,-,,

(5-3D

dXj

Podobnie, jak w przypadkach poprzednich, jeżeli funkcja f\Xj) jest nieli-

niowa, uwzględnia się dodatkowe wyrazy szeregu Taylora, a gdy występują za-
leżności miedzy wartościami X

oblicza się kowariancję. W pomiarach o naj-

większej dokładności zagadnienia dotyczące wyznaczania korelacji są bardzo
złożone. Trzeba uwzględnić wszystkie wielkości wpływające oraz wszystkie po-
prawki podane w świadectwach kalibracji przyrządów pomiarowych. Zagadnie-
nia te są dokładniej omówione w publikacji [3].

pomiarach

pośrednich

podstawowym

problemem

jest

ocena

współczynnika k

. Przy znacznej liczbie wielkości pośrednich o różnych

rozkładach prawdopodobieństwa wyznaczenie splotu tych rozkładów jest bardzo
złożone, a niekiedy niecelowe.

Jeżeli będą spełnione warunki centralnego twierdzenia granicznego, to moż-

na współczynnikowi rozszerzenia przypisać wartość zmiennej standaryzowanej
Z

0 rozkładzie normalnym. Przy próbach mało licznych, o małej liczbie pomia
rów, a z takimi przypadkami spotykamy się często w praktyce, lepszą oceną
współczynnika k będzie przypisanie mu wartości zmiennej standaryzowanej

rozkładu f-Studenta dla zadanego poziomu ufności i dla efektywnej liczby stopni
swobody m

W skrajnych przypadkach dla oceny współczynnika rozszerzenia można

stosować metodę przybliżoną przyjmując k

= 2 dla poziomu ufności p = 0,95

1 k

- 3 dla poziomu ufności p = 0,99.

Przykład 5.7

Aby wyznaczyć natęż
zmierzono spadek napię
dokładności 0,02. Pomiar napi
pomocą woltomierza cyfrowe
przez producenta jako At/ =0,02%t/^ +0,01%£/„. W wyniku pomiaru
otrzymano następują
8,544)V. Należy wyznaczy
poziomu ufności p =

Rozwiązanie

Ponieważ rezystancja wej
można pominąć prąd płyn
wyników nie wskazuje na wyst
ś

rednia napięcia

Zestawienie wyników oblicze

1
2
3
4
5

8,545
8,536
8,542
8,538
8,544

42,705

Niepewność standardowa typu A

Niepewność standardowa typu B, przy zało

rozkładu błędów

natężenie prądu płynącego w badanym obwodzie

zmierzono spadek napięcia na rezystorze wzorcowym /?„ = 10Q i klasie

ci 0,02. Pomiar napięcia przeprowadzono pięciokrotnie za

woltomierza cyfrowego na zakresie 10V i błędzie okreś

przez producenta jako At/ =0,02%t/^ +0,01%£/„. W wyniku pomiaru

pujące wartości Ui = (8,545; 8,536; 8,542; 8,538;

y wyznaczyć przedział niepewności wyników pomiaru dla

p = 0,99.

rezystancja wejściowa woltomierza jest większa od l O

ąć

d płynący przez jego obwód. Rozrzut otrzymanych

wyników nie wskazuje na występowanie błędów nadmiernych. Warto

U = - Y U, = -42,705 =

8,54IV n£ ' 5

Zestawienie wyników obliczeń

(£/,. -U)

((/,.- U J

- KT

0,004 -
0,005
0,001 -
0,003
0,003

16
25

1 9

ść

standardowa typu A

= 1,7-10-

ść

standardowa typu B, przy założeniu jednostajnego

5(5-1)

103

cego w badanym obwodzie

wzorcowym /?„ = 10Q i klasie

ciokrotnie za

dzie określonym

przez producenta jako At/ =0,02%t/^ +0,01%£/„. W wyniku pomiaru

(8,545; 8,536; 8,542; 8,538;

ci wyników pomiaru dla

Q, to

Rozrzut otrzymanych

dów nadmiernych. Wartość

eniu jednostajnego

104

_ _ 0.01 • 0.02 • U + 0,01 • 0,01
• U

;'•"'.

Ponieważ niepewności u

i u

są tego samego rzędu, to niepewność łączna

standardowa pomiaru napięcia

«» = V"L + «L = V(

' W

J +1

• 10"

/ =2,3-l(T

Standardowa niepewność dla rezystora, przy jednostajnym rozkładzie
błędów

0,01-0,02-10

B/f

= ------------- ;= -------- = 1,2-10

Wartość prądu

R„ 10,0

Niepewność łączna dla natężenia prądu

= V5,29 • 10'

+ 1,05 • 10~

= 2,5 • 10'

Dla poziomu ufności 0,99, z tablic rozkładu normalnego, współczynnik
k„= 2,576.

Niepewność rozszerzona

U=k

-u« =2,576-2,5-10"

A = 6,44-10"

=7-10"

Ostateczny wynik pomiaru

I = I±U= 0,854 1A ± 0,0007A

105

W rozpatrywanym przykładzie wykonano tylko niewielką liczbę

pomiarów. Współczynnik rozszerzenia zostanie wyznaczony z rozkładu f-
Studenta.

Efektywną liczbę stopni swobody, przy występowaniu niepewności

typu A i B oblicza się ze wzoru

y Y..4 ,v

m. =•

= 5,82

5(10)

' i( io

m =5

.(1.2.10-')

Z tablic rozkładu Studenta dla p = 0,99 i liczby stopni swobody m

= 5 ,

^=4,03.

Niepewność rozszerzona

(/ = t

• u

- = 4,03 • 2,5 • 10"

« 10 • KT

Ostateczny wynik pomiaru

I = I±U= 0,854 1A ± 0.0010A

Uzyskana wartość przedziahi ufności jest w tym przypadku większa niż

przy przyjęciu rozkładu normalnego.

5.5. SPOSOBY ZAPISU WYNIKU POMIARU

Wyniki pomiarów wielkości ciągłych są liczbami przybliżonymi.

Sposób prezentacji tych wyników powinien umożliwiać ocenę dokładności
ich otrzymania.

106

Dokładność liczby przybliżonej określa liczba jej cyfr znaczących. Cyfrą

znaczącą jest każda cyfra, z wyjątkiem zer na początku liczby dziesiętnej. I
tak np.:

liczba 328,01 ma 5 cyfr znaczących,

liczba 0,023 ma 2 cyfry znaczące,

a liczba 2,30 ma 3 cyfry znaczące.

Zera na końcu liczby są cyframi znaczącymi, należy o tym pamiętać przy
zapisie np. liczby 5000. Liczbę tę odczytujemy jako liczbę z czterema
cyframi znaczącymi. Jeżeli chcemy zaznaczyć, że liczba ta ma mniejszą
liczbę cyfr znaczących stosujemy zapis z mnożnikiem 10", np.

liczba o zapisie 50 • l O

ma 2 cyfry znaczące,

a liczba o zapisie 5-10

ma l cyfrę znaczącą.

Liczbę przybliżoną zaokrągla się tak, aby zawierała tyle cyfr

znaczących, że tylko cyfra na ostatnim, najmniej znaczącym miejscu jest
cyfrą niepewną, a błąd może wynosić nie więcej niż 5 jednostek następnego
nieujawnionego miejsca. Zatem, jeśli wartość rezystancji zapisano w postaci
628,l'Q, to według tej reguły należy wnioskować, że błąd nie przekracza
wartości 0,05'Q.

Reguły te należy stosować przy zapisie wyników danych pomiarowych.

Należy przy tym pamiętać, że liczbę cyfr znaczących wyniku determinuje
najmniejsza jednostka pomiarowa, wynikająca najczęściej z rozdzielczości
stosowanego przyrządu. Nie można np. poprawki miernika zapisać jako k=
0,035 dz, gdy dokładność odczytu wynosi 0,1 dz. Ta dokładność odczytu,
stanowi w tym przypadku najmniejszą jednostkę pomiarową.

Działania na liczbach przybliżonych, na przykład w pomiarach

pośrednich, powinny być wykonywane z taką liczbą cyfr znaczących, aby nie
zwiększały w sposób istotny błędu wyniku obliczeń. Należy przy tym
pamiętać, że nie wolno zwiększać liczby cyfr znaczących przez zmianę
jednostek miar czy mnożenie przez liczbę n. Przyjmuje się, że przy
mnożeniu, dzieleniu, potęgowaniu itp. obowiązuje zasada zachowania stałej
względnej dokładności. Oznacza to, że stosunek cyfry na najmniej
znaczącym miejscu do liczby przybliżonej powinien być na takim samym
poziomie w wyniku obliczeń jaki jest w liczbie mniej dokładnej. Np.:

3,14-2,1=6,594 = 6,6

0,1:2,1=0,04 oraz 0,5:6,594 = 0,07.

Przy dodawaniu i odejmowaniu, ostatnią cyfrę w wyniku obliczeń

zostawia się na tym miejscu po przecinku ile ma liczba mniej dokładna. Np.:

3,14+2,1=5,24=5,2

107

Przypadek oceny dokładności na podstawie liczby cyfr znaczących dotyczy

zwykle surowych wyników pomiarowych, z reguły końcowy wynik pomiaru
przedstawia się za pomocą dwóch liczb przybliżonych. Jedna z tych liczb jest
oceną wartości otrzymaną w wyniku pomiaru, a druga jest oceną granic błędu.
Zwykle liczby te przed uporządkowaniem zawierają więcej cyfr, niż jest to uza-
sadnione osiągniętą dokładnością pomiaru. Dlatego w końcowym zapisie
wyniku należy odrzucić te zbędne cyfry. W pierwszej kolejności zaokrągla się
liczbę wyrażającą granice błędu. Liczbę tę zaokrągla się zawsze „w górę" do
jednej cyfry znaczącej. Tylko w szczególnie uzasadnionych przypadkach stosuje
się zaokrąglanie do dwóch cyfr znaczących. Jednym z nich jest zasada polecana
przez Międzynarodową Unię Fizyki Czystej i Stosowanej, według której liczbę
wyrażającą granice błędu należy zaokrąglać do dwóch cyfr znaczących wtedy,
gdy błąd zaokrąglenia przekracza 20%.

Np. obliczone wartości błędu wynoszą:

A!=l,06, A

=0,821, A

=241, A4=0,0105. Po zaokrągleniu

według podanych wyżej reguł, liczby te należy zapisać: A,=l,l,
A

=0,9, A

=3-10

, A4=0,011.

W drugiej kolejności zaokrągla się liczbę wyrażającą wartość mierzonej

wielkości, zostawiając ostatnią cyfrę znaczącą na tym miejscu, na którym wystę-
puje ostatnia cyfra znacząca w oszacowaniu błędu. Liczbę tę zaokrągla się „w
górę" lub „w dół" w zależności od wartości cyfry odrzucanej:

-jeżeli pierwsza z odrzucanych cyfr jest większa od 5, to ostatnią cyfrę w

wyniku pomiaru należy zwiększyć o l,(zaokrąglanie - „w górę")

-jeżeli pierwsza z odrzucanych cyfr jest mniejsza od 5, to ostatnią cyfrę w

wyniku pozostawia się bez zmian (zaokrąglanie - „w dół"),

- jeżeli zbędna cyfra jest równa 5, a po niej występuje cyfra różna od zera,

to zaokrągla się „w górę",

- jeżeli zbędna cyfra jest równa 5, a po niej następuje zero, to zaokrągla się

„do parzystej", co oznacza, że ostatnia cyfra po zaokrągleniu musi być cyfrą pa-
rzystą.

Poniżej przedstawiono przykładowe zapisy wyniku pomiaru przed zaokrą-

gleniem i po uporządkowaniu zapisu według podanych reguł.

1531,15±0,351=1531,2±0,4

36587125,3±590=(365871,253±6)-10

=(365871±6)-10

0,00453512±46-10

-6

=(454±5)-10'

525,415±0,113=525,42±0,12

METODY REGRESJI

6.1. WPROWADZENIE

Często celem doświadczeń polegających na pomiarze wielu różnych

wartości kilku różnych wielkości jest zbadanie prawdziwości założonej
matematycznej formuły opisującej związek zachodzący pomiędzy jedną z tych
wielkości i pozostałymi mierzonymi wielkościami. Najprostszym, a zarazem
najczęstszym przypadkiem, jest badanie relacji między dwiema wielkościami,
przy tym zakłada się, że ta relacja jest prostoliniowa.

Jeśli zakłada się, że dwie wielkości są związane relacją liniową, to szukana

jest linia prosta, która jest najlepiej „dopasowana" do wyników pomiarów. Pro-
blem ten można rozwiązać metodą graficzną lub analityczną. Ta analityczna me-
toda znajdowania linii prostej, która najlepiej uwzględnia wyniki otrzymane z
pomiarów nazywa się metodą regresji liniowej lub metodą najmniejszych kwa-
dratów.

Rozszerzeniem problemu jest ocena „dopasowania" znalezionej funkcji, w

szczególnym przypadku liniowej do danych pomiarowych. Liczbowych danych
do tej oceny dostarcza analiza współczynnika korelacji.

6.2. METODA GRAFICZNA

Metoda graficzna jest stosowana do wyznaczania przebiegu charakterystyk

prostoliniowych czyli opisanych zależnością (6. l)

y = A + Bx

(6.1)

Rozwiązaniem problemu jest wyznaczenie wartości stałych A i B. W tym

celu wyniki pomiarów przedstawia się w postaci punktów w układzie współrzęd-
nych prostokątnych x,y, a następnie wykreśla się taką prostą, aby przechodziła
przez największą liczbę zaznaczonych punktów lub blisko nich. Współczynniki
A i B charakterystyki (6.1) wyznacza się ze współrzędnych dwóch punktów leżą-

109

cych na wykreślonej prostej. Na rysunku 6.1 pokazano tę metodę dla 6-ciu punktów
pomiarowych.

-*-

Rys.6. l. Metoda graficzna.

Metodę tę można również zastosować do wyznaczania charakterystyk

niektórych funkcji nieliniowych. Jest to możliwe przez zastosowanie takiego
skalowania współrzędnych aby wykreślona w takim układzie charakterystyka
była linią prostą. Na przykład dla charakterystyk potęgowych opisanych
zależnością (6.2)

y = A-x

(6.2)

stosuje się linearyzację przez logarytmowanie obu stron zależności (6.2) czyli

log y = B log x + log A

(6.3)

Gdy w wykresie zastosujemy skalę podwójnie logarytmiczną ( czyli na obu

osiach współrzędnych), to otrzymany wykres zależności (6.2) powinien być linią
prostą.

Dla charakterystyk wykładniczych, jak we wzorze (6.4)

y = A-B

(6.4)

stosuje się linearyzację przez zastosowanie skali półlogarytmicznej, tzn. dla
rzędnej y - skala logarytmiczna, a dla odciętej x - skala liniowa, jak to wynika z
zależności (6.5) otrzymanej w wyniku logarytmowania zależności (6.4).

log y = xlog B + log
A

(6.5)

110

Metoda graficzna jest metodą mało dokładną. Zaletą j ej łatwość uzyskania

informacji pomagających zrozumieniu badanych zjawisk.

6.3. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

Metoda najmniejszych kwadratów jest metodą najbardziej ogólną,

stosowaną do różnego rodzaju krzywych obrazujących zależności między
dwiema wielkościami. Metoda ta opiera się na twierdzeniu, że jeżeli suma
kwadratów różnic między rzędnymi punktów wyznaczonych z pomiarów i
rzędnymi odpowiadających im punktów leżących na hipotetycznej krzywej
osiąga minimum, (zobacz zależność (6.6)), to taka krzywa jest najlepiej
„dopasowana" do otrzymanych wyników pomiarowych.

£(>>,.-y,,)

=min

(6.6)

1 gdzie

yi - wartości uzyskane z pomiarów, yhi - rzędne punktów leżących na
hipotetycznej krzywej. Jest to równoznaczne ze sformułowaniem problemu:
znaleźć krzywą, dla której prawdopodobieństwo, że wartości pomierzone znajdą
się na krzywej jest największe.

6.3.1. Regresja liniowa

Dla liniowej zależności między wielkościami x i y opisanej wzorem (6.1)

należy obliczyć wartości stałych A i B spełniających warunek najmniejszych
kwadratów. Zakłada się przy tym, że w wyniku pomiarów uzyskano N - punktów
pomiarowych: (*/, yi),...,(xn„ yn) oraz, że niepewności w pomiarach wielkości x,
są znacznie mniejsze niż niepewności w pomiarach wielkości y

{

. Dla poszczegól-

nych punktów pomiaru oblicza się różnice - Ay„ uzyskując zależności (6.7).

= y

- y

2 = y i - (

2 )= y 2 ~

2 »

(

)

gdzie oznaczenia jak we wzorze (6.6).

111

Suma kwadratów różnic opisanych wzorem (6.7) wyraża się zależnością

= (Ay, )

+ (Ay

)

+ ... 4- (Ay„ )

= f (A,

)

(6.8)

Poszukiwanie wartości stałych A i B, dla których funkcja w = f (A,

]

osiąga

minimum jest równoważne z rozwiązaniem układu równań (6.9)

= 0 i = 0

(6.9)

Po podstawieniu do (6.9) zależności (6.7) i (6.8) otrzymuje się układ równań

(6.10). Równania ta nazywają się równaniami normalnymi.

(6.10)

Z rozwiązań układu równań (6.10) otrzymuje się najlepsze przybliżenie sta-

łych A i B otrzymane metodą najmniejszych kwadratów. Rozwiązania te są
postaci:

N Y N \ f N Y N

.11)

-s«

M S'? -
1.*,

/=!

(6.12)

Linia prosta o stałych obliczonych według zależności (6.11) i (6.12) nazywa

się prostą regresji zmiennych y i x.

112

Zakładając, że znana jest niepewno

przenoszenia niepewnoś
można oszacować niepewno
równe:

gdzie:

- jest niepewno

-jest niepewno

- niepewno

M - jest wyra

Współczynnik korelacji liniowej

Słuszność hipotezy liniowej zale

oceniana wieloma metodami. Jedna z nich polega na sprawdzeniu, czy punkty
pomiarowe leżą dostatecznie blisko linii prostej o obliczonych stałych
przez wyznaczenie ich niepewno
nieczna jest znajomość niepewno
oszacowaniem niepewnoś
(jc^, y

)potwierdzają hipotez

liniowej - r. Współczynnik ten oblicza si

e znana jest niepewność pomiarów y\

iK<

i stosując prawo

przenoszenia niepewności do wyrażeń (6.11) i (6.12) opisujących stałe

niepewności tych stałych. Ich wariancje będą odpowiednio

= N-u

jest niepewnością stałej A,

jest niepewnością stałej B,

niepewność pomiarów y, ,K , y

jest wyrażeniem opisanym zależnością (6. 14).

Współczynnik korelacji liniowej

ść

hipotezy liniowej zależności między wielkościami x, y moż

oceniana wieloma metodami. Jedna z nich polega na sprawdzeniu, czy punkty

żą

dostatecznie blisko linii prostej o obliczonych stałych A

przez wyznaczenie ich niepewności według wzorów (6.13). W metodzie tej ko

ść

niepewności pomiarów x

i y

. W przypadku trudno

oszacowaniem niepewności danych x

,stopień, w jakim punkty (je,, y, ),K ,

)potwierdzają hipotezę liniowości , wyraża współczynnik ko

Współczynnik ten oblicza się według wzoru (6.15).

1=1

c prawo

cych stałe A i B

ę ą

odpowiednio

(6.13)

może być

oceniana wieloma metodami. Jedna z nich polega na sprawdzeniu, czy punkty

A i B po-

ci według wzorów (6.13). W metodzie tej ko-

W przypadku trudności z

, w jakim punkty (je,, y, ),K ,

współczynnik korelacji

113

Wartość liczbowa współczynnika korelacji liniowej - r może mieć

wartości od -l do +1. Jeżeli r jest bliskie ±1, to punkty są rozłożone
wzdłuż pewnej prostej; jeżeli r jest bliskie O, to punkty są nieskorelowane
i nie wyznaczają prostej. W przypadkach przybierania przez r wartości
pośrednich należy skorzystać z oceny prawdopodobieństwa uzyskania na
podstawie N pomiarów nieskorelowa-nych zmiennych x i y
współczynnika r większego od określonej wartości r

. Co można zapisać:

(6.16)

Prawdopodobieństwo to (wyrażone w %), dla różnej liczby pomiarów

- N i różnych wartości r

podano w tabeli 6. l .

Aby skorzystać z tabeli 6.1 należy najpierw na podstawie punktów

pomiarowych obliczyć współczynnik korelacji - r

. Następnie z tabeli

należy odczytać prawdopodobieństwo, że N nieskorelowanych par da
współczynnik korelacji nie mniejszy niż obliczony - r

. Jeżeli

prawdopodobieństwo to jest wystarczająco małe, to można wnioskować,
ż

e jest mało prawdopodobne, aby zmienne x i y były ze sobą

nieskorelowane, a więc jest bardzo prawdopodobne, że są one sko-
relowane.

Tabela 6.1

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8 |0,9

100

0,5

100

0,5

0,1

100

0,4

6.3.2. Regresja wielomianowa

Regresja liniowa jest szczególnym przypadkiem szerokiej klasy

zagadnień znajdowania krzywych obrazujących relację między dwiema
zmiennymi x i y. Często zakłada się, że zmienna y daje się wyrazić za
pomocą wielomianu zmiennej x:

"+A+£x"

(6.17)

Stosując do wielomianu (6.17) metodę najmniejszych kwadratów

uzyskuje się układ równań normalnych o postaci

114

1=1

(=1

1=1

n ,

i=l

1=1

Rozwiązanie tego układu («+/) równań to wyrażenia opisujące

najlepsze przybliżenia współczynników A,B,...,K, krzywej opisanej
wzorem (6.17), zwanej krzywą regresji wielomianowej.

Należy zauważyć, że im wyższy stopień wielomianu, tym

rozwiązywanie układu równań normalnych jest bardziej czasochłonne.
Istnieją programy komputerowe, które pozwalają zminimalizować tę
trudność.

6.3.3. Regresja wielokrotna

Regresja wielokrotna dotyczy zagadnień wzajemnych zależności

między więcej niż dwiema zmiennymi. Najprostszy przypadek regresji
wielokrotnej dotyczy trzech zmiennych x, y, z, z których jedna - z zależy
liniowo od dwóch pozostałych, co można opisać zależnością:

z = A + Bx + Cy

(6.19)

Przypadek ten można rozwiązać przez uogólnienie metody

najmniejszych kwadratów stosowanej przy dwóch zmiennych. Założenia
są następujące:

wykonano serię pomiarów wielkości x, y, z, uzyskując wyniki x

i, z

i=l,...,N

wyniki z/ - mają jednakowe niepewności,

niepewności wyników x

i y

są pomijalnie małe.

Zastosowanie zasady największego prawdopodobieństwa czyli

metody najmniejszych kwadratów prowadzi do układu równań
normalnych opisanych zależnościami (6.20)

115

S*, + *|>,

+ CJ^y,. = j^

,y,,

(6.20)

/=!

i=l

1=1

;=1

Równania te należy rozwiązać względem A, B i C, aby otrzymać najlepsze

dopasowanie funkcji (6.19) do otrzymanych wyników pomiaru.

116

LITERATURA

[I]

Chwaleba A., Pomiński M., Siedlecki A.: Metrologia elektryczna. WNT,
Warszawa 1996.

[2] Dudziewicz J., praca zbiorowa: Etalony i precyzyjne pomiary wielkości

elektrycznych. PWN, Warszawa 1982. [3] Guide to the Expression of

Uncertainty in Measurement. ISO 1993, 1995.

Tłum. poi.: Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik. GUM 1999.

[4] Jaworski J.M.: Niedokładność pomiaru w procesie nauczania metrologii.

XXXII Międzyuczelniana Konferencja Metrologów, Rzeszów 2000. [5]

Jaworski J.M.: Problem niedokładności w wykładzie. Metrologia

elektryczna. XXXII Międzyuczelniana Konferencja Metrologów,

Rzeszów 2000. [6] Jaworski J.M., Morawski R. Z., Olędzki J. S.:

Wstęp do metrologii i

techniki eksperymentu. WNT, Warszawa 19992. [7] Jaworski J.:

Błąd i niepewność pomiaru bezpośredniego. Pomiary,

Automatyka, Robotyka 9/1999 [8] Jaworski J.: Błąd i

niepewność pomiarów pośrednich. Pomiary,

Automatyka, Robotyka 10/1999 [9] Jaworski J.: Błąd i niepewność

przyrządów pomiarowych. Pomiary,

Automatyka, Robotyka 11/1999 [10] Jaworski J.: Niedokładność, błąd,

niepewność. XXIX MKM, Nałęczów

Tl 1997

[II]

Kalus-Jęcek B., No wieki R.: Podstawy miernictwa elektrycznego dla
elektroników. Skrypt Politechniki Łódzkiej, Łódź 1995.

[12] Kuśmierek Z.: Podstawy metrologii elektrycznej. Wzorce i
teoria

pomiarów. Skrypt Politechniki Łódzkiej, Łódź 1990. [13] Kuśmierek

Z., praca zbiorowa: Metrologia elektryczna i elektroniczna.

wiczenia laboratoryjne. Skrypt Politechniki Łódzkiej, Łódź 2000. [14]

Lisowski M.: Prawo o miarach w świetle przepisów i norm. Normalizacja

1/1996,8.15-18. [15] Sochocka D., Stanioch W.: Odtwarzanie i

przekazywanie jednostki

napięcia elektrycznego w Głównym Urzędzie Miar. XXXII

Międzyuczelniana Konferencja Metrologów, Rzeszów 2000. [16]

Taylor J. R.: Wstęp do analizy błędu pomiarowego. PWN, Warszawa

1995. [17] Turzeniecka D.: Ocena niepewności wyniku pomiaru. Wyd.

Politechniki

Poznańskiej, Poznań 1997.

117

NORMY

[18] PN-90/E-06508. Oporniki dekadowe. Ogólne wymagania i badania. [19]
PN-90/E-06509. Oporniki wzorcowe. Ogólne wymagania i badania. [20] PN-
80/E-06531. Ogniwa wzorcowe. Wymagania ogólne. [21] PN-88/E-01100.
Oznaczenia wielkości i jednostek miar używanych w elektryce. Postanowienia
ogólne. Wiadomości podstawowe..