Matematyka dyskretna – ćwiczenia (04.11.2009)

1.

~൫∀ݔܲሺݔሻ൯ ⇔ ∃ݔ[~ܲሺݔሻ]

~ሺ∀ݔ ∈ ܴ[ݔ < ݔ + 1]ሻ ⇔ ∃ݔ ∈ ܴ[ݔ ≥ ݔ + 1]

∃ݔ ∈ ܴ[ݔ ≥ ݔ + 1] ⇔ ∃ݔ ∈ ܴ[ݔ ≥ ݔ + 1]

0 ⇔ 0

~൫∀ݔܲሺݔሻ൯ ⇔ ∃ݔ[~ܲሺݔሻ] = 1

Wpierw przeprowadzamy negację lewej stronie „równania”, w wyniku czego otrzymujemy postać

taką samą jak prawa strona. Nieważne jest w tym wypadku więc że obie strony mają

wartość

0,zawsze będą one równoważne, więc ogólna wartość logiczna wyrażenia wynosi 1.

2.

൫∀ݔܲሺݔሻ൯ ⇒ ൫∀ݔܲሺݔሻ൯ ⇔ ൫∃ݔܲሺݔሻ൯ ⇒ ሺ∃ݔܳሺݔሻሻ

൫∀ݔܲሺݔሻ൯ = ܣ, ൫∃ݔܲሺݔሻ൯ = ܤ, ൫∃ݔܳሺݔሻ൯ = ܥ

ܣ

ܤ

ܥ

ܣ ⇒ ܣ

⇔

ܤ ⇒ ܥ

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

൫∀ݔܲሺݔሻ൯ ⇒ ൫∀ݔܲሺݔሻ൯ ⇔ ൫∃ݔܲሺݔሻ൯ ⇒ ൫∃ݔܳሺݔሻ൯ = 0

Mamy tu do czynienia ze zdaniem logicznym, w którym po lewej stronie mamy implikację i po prawej

implikację. Możemy za każdą różną część tego zdania przypisać inną „zmienną literową”, a następnie

skorzystać z tabeli prawdy. Jeżeli pojawi nam się gdziekolwiek w równoważności dwóch stron

0,

wiemy że zdanie to ma wartość logiczną równą

0.

3.

∃! ݔ ∈ ܴ[ݔ ∗ 6 = 0]

ݔ ∗ 6 = 0 ⇔ ݔ = 0

0 ∗ 6 = 0

Znak

∃! wskazuje na fakt, że istnieje jedno ݔ mające jakąś cechę. Wystarczy więc wskazać jeden

przykład jako spełniający tę właściwość. W tym przypadku odpowiedzią jest

0.

4.

ൣ~൫∃ݔ ∈ ܺหܲሺݔሻ൯൧ ⇔ [∀ݔ ∈ ܺ|~ܲሺܺሻ

[∀ݔ ∈ ܺ|~ܲሺݔሻ] ⇔ [∀ݔ ∈ ܺ|~ܲሺݔሻ]

Podobnie jak w zadaniu 1

5.

ܷ

ᇱ

= ሼ1,2,3ሽ, ܷ" = ሼ4,5,6,7ሽ

∃ݔ ∈ ܷ

ᇱ

∃ݕ ∈ ܷ"[ݔ < ݔ]

W związku z tym, że ze zbioru x wybieramy jedną liczbę, nieważne czy będzie to

1,2 czy 3, wybrana

liczba nigdy nie będzie niższa od niej samej

∀ݔ ∈ ܷ

ᇱ

∀ݕ ∈ ܷ"[ݕ < ݔ]

Patrząc na zbiór

ܷ′ widzimy, że są w nim elementy o niższych wartościach niż w zbiorze ܷ", więc

niemożliwym jest by

ݕ pochodzące z ܷ" było mniejsze niż ݔ z ܷ′

6.

Każdy człowiek jest śmiertelny. Marek jest Iti. Czy Marek jest śmiertelny?

~ܥݖሺݔሻ⋁Ś݉ሺݔሻ

ܫݐ݅ሺܯሻ = ~ܥݖሺܯሻ

~ܥݖሺܯሻ⋁Ś݉ሺܯሻ

~ܥݖሺܯሻ

~ܥݖሺܯሻ⋁Ś݉ሺܯሻ ⋁ ~ܥݖሺܯሻ ⇔ ~ܥݖሺܯሻ⋁Ś݉ሺܯሻ

~Ś݉ሺܯሻ

~ܥݖሺܯሻ

W celu rozwiązania tego zadania korzystamy z zadania. Mamy dane że każdy człowiek jest śmiertelny.

Czyli albo istota nie jest człowiekiem, albo jest śmiertlena

~ܥݖሺݔሻ⋁Ś݉ሺݔሻ. Następnie wiemy, że

Marek jest Iti. Możemy więc to zapisać

ܫݐ݅ሺܯሻ lub, biorąc fakt że ITI nie jest człowiekiem ܫݐ݅ሺܯሻ – nie

będzie to miało wpływu na otrzymany wynik. Jak widać na powyższym schemacie, „zderzamy” ze

sobą fragmenty informacji (w dowolnej kolejności). Na końc u wychodzi nam (zależnie od wybranej

wersji)

~ܥݖሺܯሻ lub ~ܥݖሺܯሻ⋁ܫݐ݅ሺܯሻ. Jakoż że nie jest to klauzula pusta, nie możemy wnioskować na

dany temat.

Autor: shenlon