KOMUNIKATY
1. 31.10.2013  Dzień rektorski !
2. 4.11.2013  Wykład przeniesiony na
inny termin.
3. 12.11.2013 (Wtorek) odbędzie się
wykład tak jak w poniedziałek.
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej
TERMODYNAMIKA PROCESOWA I
TECHNICZNA
Wykład IV
Proste przemiany cd.
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej
Przemiana izotermiczna
Przemiana izotermiczna odbywa się w stałej temperaturze:
T const. dT 0 T2 T1
v1,p1
p
v2
w pdv w p(v)dv
v1
p2
wt vdp wt v( p)dp
v2,p2 p1
v
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 3
Przemiana izotermiczna cd.
Rozpatrzmy teraz przemianę izotermiczną gazów doskonałych.
W każdy punkcie takiej przemiany musi być spełnione równanie stanu gazu
doskonałego. Dla punku początkowego i końcowego mamy:
p1v1 RT1 RT RT2 p2v2
pv RT const.
RT RT
p(v)(GD) v( p)(GD)
v p
Wyrażenia powyższe pozwalają na wyprowadzenie wzorów określających
pracę oraz pracę techniczną w przemianie izotermicznej gazów doskonałych:
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 4
Przemiana izotermiczna cd.
v2 v2
RT v2 p1
(
(w)TGD) p(v)(GD) dv dv RT ln RT ln
const.
v v1 p2
v1 v1
p2 p2
RT p1 v2
(
(wt )TGD) v( p)(GD) dp dp RT ln RT ln
const.
p p2 v1
p1 p1
v2 p1
( (
(w)TGD) (wt )TGD) RT ln RT ln
const. const.
v1 p2
W celu wyznaczenia ciepła przemiany izotermicznej należy zastosować
I zasadÄ™ termodynamiki:
q du w q u w
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 5
Przemiana izotermiczna cd.
W przypadku przemiany gazu doskonałego można zauważyć, że jego
energia wewnętrzna i entalpia zależą tylko od temperatury. Zatem w stałej
temperaturze zarówno  u jak i  h są stałe czyli:
( ( ( (
uTGD) const. duTGD) 0 hTGD) const. dhTGD) 0
const. const. const. const.
Uwzględniając I zasadę termodynamiki otrzymujemy wzory określające
ciepło przemiany izotermicznej gazów doskonałych:
dv dp
( ( )
qTGD) wTGD) wt(,GDconst. RT RT
const. const. T
v p
v2 p1
( ( )
qTGD) wTGD) wt(,GDconst. RT ln RT ln
const. const. T
v1 p2
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 6
Przemiana izotermiczna cd.
Na koniec określimy wzory określające przyrosty (zmiany) najważniejszych
funkcji stanu w przemianie izotermicznej gazów doskonałych.
a) Energia wewnętrzna  u.
Z własności gazów doskonałych wynikają proste zależności:
( ( (
uTGD) const. (du)TGD) 0 ( u)TGD) 0
const. const. const.
b) Entalpia  h.
Analogiczne zależności obowiązują dla entalpii:
( ( (
hTGD) const. (dh)TGD) 0 ( h)TGD) 0
const. const. const.
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 7
Przemiana izotermiczna cd.
c) Entropia  s. Przy założeniu, że nasza przemiana izotermiczna jest
odwracalna można napisać:
dv
RT
( q)T const. dv
( (
v
(ds)T const. (ds)TGD) (ds)TGD) R
const. const.
T T v
v2
dv v2 p1
( (
( s)TGD) R ( s)TGD) R ln R ln
const. const.
v v1 p2
v1
v2 p1
(
( s)TGD) Rln Rln
const.
v1 p2
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 8
Przemiana izotermiczna cd.
Wykres przemiany izotermicznej w układzie T  s jest
T szczególnie prosty:
1 2
T=const.
s2
(q)T const. Tds T (s2 s1)
s1
s2 s
s1
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 9
Przemiana adiabatyczna
(izentropowa)
Przemiana adiabatyczna odbywa się w układzie adiabatycznym tzn. bez
wymiany ciepła z otoczeniem. Jeżeli jednocześnie jest to przemiana
odwracalna to wtedy:
q 0 ds 0 s const s2 s1
Oznacza to, że odwracalna przemiana adiabatyczna odbywa się przy stałej
entropii czyli jest izentropowa.
s
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 10
Przemiana adiabatyczna
(izentropowa)
Wykres przemiany izentropowej jest szczególnie prosty w układzie T  s.
T
1
2
s
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 11
Przemiana adiabatyczna gazu
doskonałego
W przemianie adiabatycznej układ może wymieniać z otoczeniem energię
mechaniczną czyli wykonywać pracę (lub praca może być wykonana na
układzie). W celu wyznaczenia tej pracy konieczna jest znajomość zależności
ciśnienia od objętości czyli konieczna jest znajomość tzw. równania
przemiany. Równanie takie można wyprowadzić dla gazu doskonałego.
Rozpatrzmy zatem teraz przemianę adiabatyczną gazów doskonałych.
Zarówno energia wewnętrzna jak i entalpia gazów doskonałych zależą tylko
od temperatury. W połączeniu I zasady termodynamiki ze wzorami określającymi
właściwe pojemności cieplne cv i cp możemy napisać:
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 12
Przemiana adiabatyczna gazu
doskonałego
(
(du)(GD) cvGD)dT w pdv
(dh)(GD) c(GD)dT wt vdp
p
Dzieląc stronami powyższe równości dostajemy:
c(GD)dT c(GD) dv dp
vdp
p p
0
( (
cvGD)dT pdv cvGD) v p
c(GD)
dv dp
p
0 gdzie
(
v p cvGD)
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 13
Przemiana adiabatyczna gazu
doskonałego
Wielkość ł dla gazów doskonałych jest stała i wynosi:
k k
(
cvGD) R c(GD) 1 R
p
2 2
(k / 2)R k 2
gdzie :
(k / 2 1)R k
k 3 dla gazów 1 atomowych
k 5 dla gazów 2 atomowych
k 6 dla gazów wieloatomowych
5/ 3 1.667 dla gazów 1 atomowych
7 / 5 1.4 dla gazów 2 atomowych
8/ 6 1.333 dla gazów wieloatomowych
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 14
Przemiana adiabatyczna gazu
doskonałego cd.
Wróćmy do równania różniczkowego przemiany adiabatycznej
opisującego zależność między zmiennymi p i v:
dv dp
0
v p
Całkowanie otrzymanego równania różniczkowego prowadzi do:
dv dp
const.
v p
ln v ln p const. ln( v p) const.
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 15
Przemiana adiabatyczna gazu
doskonałego cd.
pv const.
Otrzymana zależność nosi nazwę równania przemiany adiabatycznej gazu
doskonałego.
Bezwymiarowa liczba ł jest to tzw. wykładnik adiabaty.
W związku z tym, że wartość cp dla gazów doskonałych jest zawsze o R
większa od cv, wykładnik adiabaty jest zawsze liczbą większą od 1.
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 16
Przemiana adiabatyczna gazu
doskonałego cd.
Znajomość wykładnika adiabaty ł pozwala powiązać ze sobą parametry układu
w skrajnych punktach przemiany:
pv const. p1v1 p2v2
lub za pomocÄ… proporcji:
p2 v1 v2
p2 v1 v2
p1 v2 v1
p1 v2 v1
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 17
Przemiana adiabatyczna gazu
doskonałego cd.
Równanie adiabaty w połączeniu z RSGD pozwala na wzajemne uzależnienie
w układzie zmiennych p  T :
RT
pv const. v
p
1 1
RT
p const p1 T const. ( p1 T ) (const.)
p
1 1
1
T2 p1 p2
Tp const.
T1 p2 p1
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 18
Przemiana adiabatyczna gazu
doskonałego cd.
Uzależnienie zmiennych v i T jest analogiczne:
RT
pv const. p
v
( 1)
RT T2 v1
v const Tv( 1) const.
v T1 v2
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 19
Przemiana adiabatyczna
Na koniec określimy wzory określające przyrosty (zmiany) najważniejszych
funkcji stanu w odwracalnej przemianie adiabatycznej.
a) Energia wewnętrzna  u.
Dla dowolnego ośrodka:
v2
(du) dw pdv ( u)s const. p(v)dv
q const.
v1
Dla gazów doskonałych:
(du)(GD) cvdT ( u)(GD) cv (T2 T1)
s const. s const.
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 20
Przemiana adiabatyczna
b) Entalpia  h.
dla dowolnego ośrodka:
p2
(dh) dwt vdp ( h)s const. v( p)dp
q const.
p1
Dla gazów doskonałych:
(dh)(GD) cpdT ( h)(GD) cp(T2 T1)
s const. s const.
c) Entropia  s. Przy założeniu, że nasza przemiana adiabatyczna jest
odwracalna można napisać:
(ds) 0 s 0 s const.
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 21
Przemiana adiabatyczna cd.
p
1(p1,v1,T1)
pv RT const.
cp
pv const. 1
cv
2(p2,v2,T2)
v
v2
(w)(GD) p(v)dv ( u)(GD) cv(T1 T2)
s const s const.
v1
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 22
Przemiana politropowa
W przemianie politropowej stała jest pojemność cieplna układu:
q
c const.
dT
1(p1,v1,T1) 2(p2,v2,T2)
c
T2
q cdT c(T2 T1)
T1
T
Szczególnie proste do obliczenia w przemianie politropowej jest ciepło przemiany,
które jest równe polu prostokąta na wykresie c  T.
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 23
Przemiana politropowa gazu
doskonałego
Rozpatrzmy teraz przemianę politropową gazów doskonałych.
Zarówno energia wewnętrzna jak i entalpia gazów doskonałych zależą tylko
od temperatury. W połączeniu I zasady termodynamiki ze wzorami określającymi
właściwe pojemności cieplne cv i cp możemy napisać:
( (
(du)(GD) cvGD)dT q w c(GD)dT pdv (cvGD) c(GD))dT pdv
(dh)(GD) c(GD)dT q wt c(GD)dT vdp (c(GD) c(GD))dT vdp
p p
Dzieląc stronami otrzymane na końcu równości dostajemy:
(c(GD) c(GD))dT c(GD) c(GD) dv dp
vdp
p p
0
( (
(cvGD) c(GD))dT pdv cvGD) c(GD) v p
c(GD) c(GD)
dv dp
p
m 0 gdzie m
(
v p cvGD) c(GD)
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 24
Przemiana politropowa gazu
doskonałego cd.
dv dp
Równanie różniczkowe przemiany politropowej
m 0
opisujące zależność między zmiennymi p i v
v p
Całkowanie otrzymanego równania różniczkowego prowadzi do:
dv dp
m const.
v p
mln v ln p const. ln( vm p) const.
pvm const.
Otrzymana zależność nosi nazwę równania przemiany politropowej gazu
doskonałego. Bezwymiarowa liczba m jest to tzw. wykładnik politropy.
Wartość wykładnika m zależy od sposobu prowadzenia przemiany.
W rzeczywistych przemianach jest on większy od 1.
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 25
Przemiana politropowa gazu
doskonałego cd.
Wielkość  m dla przemiany politropowej gazów doskonałych jest stała i zależy
od ciepła właściwego przemiany. Można zauważyć, że wszystkie do tej pory
rozważane przemiany gazu doskonałego są politropowe gdyż:
q
(
cvGD) const. c(GD) const. cT const. mð const. cs const. 0 const.
p
0
(
c(GD) cvGD) R
p
mv const. ( pvm const p1/ mv p0v v const
(
cvGD) cvGD) 0
c(GD) c(GD) 0
p p
mp const. ( 0 pvm const pv0 p const
cvGD) c(GD) R
p
c(GD)
p
mT const. ( 1 pvm const pv1 pv RT const
cvGD)
c(GD) 0 c(GD)
p p
ms const. ( pvm const pv const
(
cvGD) 0 cvGD)
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 26
Przemiana politropowa gazu
doskonałego cd.
Znajomość wykładnika politropy m pozwala powiązać ze sobą parametry układu
w skrajnych punktach przemiany:
m m
pvm const. p1v1 p2v2
lub za pomocÄ… proporcji:
m m
p2 v1 v2
p1 v2 v1
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 27
Przemiana politropowa gazu
doskonałego cd.
Równanie adiabaty w połączeniu z RSGD pozwala na wzajemne uzależnienie
w układzie zmiennych p  T :
RT
pvm const. v
p
m
1 1
RT
m m
m m
p const p1 mT const. ( p1 mT ) (const.)
p
1 m m 1
1 m
T2 p1 m p2 m
m
Tp const.
T1 p2 p1
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 28
Przemiana politropowa gazu
doskonałego cd.
Uzależnienie zmiennych v i T jest analogiczne:
RT
pvm const. p
v
(m 1)
RT T2 v1
vm const Tv(m 1) const.
v T1 v2
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 29
Przemiana politropowa cd.
Na koniec określimy wzory określające przyrosty (zmiany) najważniejszych
funkcji stanu w przemianie politropowej.
a) Energia wewnętrzna  u.
Dla dowolnego ośrodka:
v2
(du)c const. q dw q pdv ( u)c const. c(T2 T1) p(v)dv
v1
Dla gazów doskonałych:
(du)(GD) cvdT ( u)(GD) cv (T2 T1)
s const. s const.
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 30
Przemiana politropowa cd.
b) Entalpia  h.
Dla dowolnego ośrodka:
p2
(dh) q dwt q vdp ( h)s const. c(T2 T1) v( p)dp
q const.
p1
Dla gazów doskonałych:
(dh)(GD) cpdT ( h)(GD) cp(T2 T1)
s const. s const.
c) Entropia  s. Przy założeniu, że nasza przemiana politropowa jest
odwracalna można napisać:
T2
q cdT cdT T2
(ds)c const. s cln
T T T T1
T1
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 31
Przemiana politropowa
Wykres w układzie p - v
p
1(p1,v1,T1)
pv RT const.
pv const.
pvm const. (m )
2(p2,v2,T2)
v
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 32
Przemiana politropowa
Wykres w układzie T - s
2
( q)c const. cdT Tds
T
dT T
m c cv
ds c
v=const.
p=const.
s2
1
(q)c const. T (s)ds
s1
s2 s
s1
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 33
Porównanie przemian na
wykresie p -v
p
v=const., c=cv, m=", izochora
p=const., c=cp, m=0, izobara
T=const., c=", m=1, izoterma
s=const., c=0, m=Å‚, izentropa(adiabata)
c=const., c=c, m=m, politropa (m>Å‚)
v
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 34
Porównanie przemian na
wykresie T - s
T
c=const., c=c, m=m, politropa (m>Å‚)
v=const., c=cv, m=", izochora
p=const., c=cp, m=0, izobara
T=const., c=", m=1, izoterma
s=const., c=0, m=Å‚, izentropa(adiabata)
s
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 35
To tyle na dzisiaj
Dziękuję Państwu za uwagę
© Prof. Antoni KozioÅ‚, WydziaÅ‚ Chemiczny Politechniki WrocÅ‚awskiej 36