Zasady wykonywania obliczeń geodezyjnych.
Prawie we wszystkich obliczeniach, z jakimi spotykamy się w praktyce inżynierskiej, mamy
do czynienia z liczbami przybliżonymi, będącymi zazwyczaj wynikami pomiarów lub obserwacji
wykonywanych z określoną dokładnością, zależną od precyzji przyrządów pomiarowych, jak
również od wielu innych czynników. Często są to liczby stanowiące rezultat wcześniejszych
obliczeń wykonywanych z pewną dokładnością, jak np. wartości funkcji trygonometrycznych czy
inne, brane z tablic funkcyjnych. Zwykle znamy stopień przybliżenia występujących w rachunku
liczb, tzn. dla każdej liczby x możemy napisać nierówność:
(x0 - "x)< x <(x0 + "x)
w której "x jest wielkością stałą, zwaną błędem krańcowym lub granicą błędu, zaś x0 znaną
wielkością przybliżoną. Dla przykładu możemy napisać:
3,14  0,005 < Ä„ < 3,14 + 0,005
3,135 < Ä„ < 3,145
Błąd krańcowy nie przekracza zwykle połowy jednostki ostatniego rzędu danej liczby
przybliżonej. Wraz z zawężeniem granic powyższej nierówności przez obliczenie kolejnych
dziesiętnych wartości Ą, wartość błędu krańcowego będzie dążyć do 0. Błąd krańcowy można
ogólnie wyrazić w następujący sposób:
"x = Ä…5Å"10k
gdzie k jest wielkością dodatnią lub ujemną, odpowiadającą następnemu rzędowi po ostatnim
występującym w liczbie. W rozpatrywanym przykładzie "x = ą0,005 , czyli:
"x = Ä…5Å"10-3 oraz k=-3
Posługując się liczbami przybliżonymi, w przypadkach, gdy dokładność danych lub
obliczonych liczb przybliżonych przewyższa potrzebną nam dokładność, spotykamy się często
z koniecznością zaokrąglania tych liczb. Zasadą, jaką należy się przy tym kierować, jest
stwierdzenie, że błąd krańcowy liczby przybliżonej nie powinien przekraczać połowy jednostki
ostatniego rzędu rozpatrywanej liczby przybliżonej.
ZaokrÄ…glanie i zapis liczb.
1. Zaokrąglanie liczb wykonujemy według następujących reguł:
" gdy następna cyfra za cyfrą zaokrąglaną jest większa od 5, to cyfrę tę zaokrąglamy w górę;
" gdy następna cyfra za cyfrą zaokrąglaną jest mniejsza od 5, to cyfrę tę pozostawiamy bez
zmiany;
" gdy następna cyfra za cyfrą zaokrąglaną jest równa 5, zaś dalsze są zerami, to cyfrę tę
zaokrÄ…glamy do cyfry parzystej.
2. Liczbę całkowitą od ułamkowej oddzielamy przecinkiem (a nie kropką).
3. Liczby wielocyfrowe należy podzielić odstępami na grupy trzycyfrowe na lewo i prawo od
przecinka dziesiętnego np. 25 347,523 375.
4. Dokonując zapisu liczby uwzględnia się wyłącznie cyfry pewne, czyli tylko te cyfry znaczące,
spośród których ostatnia cyfra dziesiętna jest obarczona błędem przybliżenia nie większym niż
pół jednostki ostatniego rzędu dziesiętnego np. dla liczby 228,326 błąd nie może przekraczać
wartości ą0,005.
5. W zapisie ułamków okresowych powtarzającą się część okresową liczby ujmuje się w nawias,
3
np. =3,3(3)
10
Dokładność funkcji liczb przybliżonych można ocenić, stosując ogólne zasady określania
błędów funkcji wielu zmiennych. W odniesieniu do postawionego zagadnienia wypracowano trzy
metody: podwójnego obliczania, różniczkowania i wielocyfrowości (zwana też regułami
rachunkowymi Bradisa-Kryłowa). Pierwsze dwie metody są ścisłe (w założeniu zaniedbywalności
potęg błędów krańcowych wyższych ponad pierwszą), lecz rachunkowo bardzo uciążliwe. Stosuje
się je przy opracowywaniu tablic matematycznych. Metoda wielocyfrowości jest przybliżona, ale
prosta rachunkowo i dlatego, mimo pewnych mankamentów, stosowana w praktyce inżynierskiej.
Z tego też względu zostanie tu omówiona. Metoda wielocyfrowości nie określa ściśle mogących
wystąpić w obliczeniach błędów, pozwala jednak na szybkie zorientowanie się, co do rzędu ich
wielkości. Przed podaniem reguł, którymi należy posługiwać się przy wykonywaniu rachunków,
należy zapoznać się z definicją cyfr znaczących.
Cyframi znaczącymi nazywamy wszystkie cyfry liczby przybliżonej, oprócz zer położonych
na lewo od pierwszej różnej od zera cyfry, np. liczby 3536; 0.0003536; 0.3536; 353.6 mają cztery
cyfry znaczÄ…ce, natomiast liczby 24.25000; 2425000; 2425.000 - siedem cyfr znaczÄ…cych.
Zera występujące na końcu liczby mogą mieć dwojakie znaczenie: mogą wskazywać rząd
wielkości liczby, jak również charakteryzować jej dokładność wyrażoną liczbą cyfr znaczących.
Wez
my dla przykładu obliczoną wielkość powierzchni jakiejś figury: 15 ha = 150000 m2.
Rozpatrując lewą stronę równości, możemy powiedzieć, że obliczona powierzchnia figury
jest równa 15 ha, z błędem nieprzekraczającym 0.5 ha. Rozpatrując natomiast prawą stronę,
powinniśmy powiedzieć, że obliczona powierzchnia jest równa 150000 m2 z błędem
nieprzekraczajÄ…cym 0.5 m2.
Wykonując obliczenia należy stosować się do poniższych 7 reguł. Reguły te oparte są na
zasadzie, że liczbę przybliżoną należy podawać tak, aby wszystkie jej cyfry znaczące, z wyjątkiem
ostatniej, były ścisłe. Błąd ostatniej cyfry nie powinien przekraczać średnio jedności.
Reguły Kryłowa  Bradisa.
1. Przy dodawaniu lub odejmowaniu liczb przybliżonych należy w wyniku zachować tyle znaków
dziesiętnych, ile ich zawiera liczba o najmniejszej liczbie znaków dziesiętnych np.
12,4 + 65,23 H" 77,6.
2. Przy mnożeniu lub dzieleniu liczb przybliżonych należy w wyniku zachować tyle cyfr
znaczących, ile ich zawiera liczba przybliżona o najmniejszej liczbie cyfr znaczących np.
0,075 : 112 H" 0,00067
35,3 · 1,345 H" 47,5.
3. Przy podnoszeniu liczby do potęgi drugiej lub trzeciej (podnoszeniu do kwadratu lub
sześcianu) należy w wyniku zachować tyle cyfr znaczących, ile ich zawiera liczba potęgowana
np. 10,22 H" l04.
4. Przy wyciąganiu pierwiastka drugiego lub trzeciego stopnia należy zachować w wyniku tyle
cyfr znaczÄ…cych, ile ich zawiera liczba pierwiastkowana np. 10,36H"3,219
5. Liczby stanowiące pośrednie stadia obliczeń zapisujemy, uwzględniając o jedną cyfrę więcej
niż wynika to z powyższych reguł. W rezultacie końcowym tę dodatkowa cyfrę odrzucamy lub
zapisujemy mniejszym znakiem lub czcionkÄ… np. 158,743
6. Jeżeli niektóre dane zawierają więcej znaków dziesiętnych niż pozostałe dane w działaniach
pierwszego stopnia (dodawanie, odejmowanie) lub więcej cyfr znaczących, w działaniach
drugiego i trzeciego stopnia (mnożenie, dzielenie, potęgowanie), wówczas należy je zaokrąglić
zachowując o jedną cyfrę więcej niż wynika to z reguł 1 - 4.
7. Jeśli chcemy otrzymać wynik rachunku o k cyfrach, to do obliczeń należy brać dane z taką
ilością cyfr, która zgodnie z regułami l - 4 daje w wyniku k+ l cyfr.
Zadania i przykłady.
Przykład 1.
3277,681 H" 3277,7
233,3187 H" 223,3
526,75 H" 526,8
526,85 H" 526,8
Przykład 2.
Zsumować cztery liczby przybliżone:
3,353
6,937215
4,2159318
0,9512
15,4573468
Stosując się do reguły 6 powinniśmy przed wykonaniem sumowania zaokrąglić liczby do czterech
znaków dziesiętnych, czyli:
3,353
6,9372
4,2159
0,9512
15,4573
Wynik należy podać zgodnie z regułą 1, zatem suma równa się 15,457.
Przykład 3.
Obliczyć iloraz dwóch liczb przybliżonych:
35,62478 35,62
H" H"4,680683311H"4,68
7,61 7,61
Zgodnie z regułą 2, iloraz należy zaokrąglić do 4,68, a jeżeli ma on służyć do dalszych obliczeń, to
zgodnie z regułą 5 zapisujemy jeszcze czwartą cyfrę znaczącą, pisząc ją w następujący sposób
4,861.
Przykład 4.
Obliczyć iloczyn dwóch liczb przybliżonych:
7,32733Å" 0,71 = 5,2024043 = 5,2 = 5,20
7,33 Å" 0,71 = 5,2 = 5,20
Zadanie 1.
Obliczyć sumę s.
1 1 1
s = 754,85 - 7 + 17 - + - = 756,28
14 21 37
Zadanie 2.
Wykonać mnożenie 8566,34 · 2,4.
8566 Å" 0,0421 = 360,6286 H" 361
Zadanie 3.
Wykonać dzielenie 7328,54 · 1,7 oraz 85,427 · 0,8.
7330
=4310H"4300
1,7
85
= 106,25 H" 110
0,8
Zadanie 4.
Wykonać działanie 254,782.
254,782=64912,8484H"64913
Zadanie 5.
Wyciągnąć pierwiastek.
64913=254,7802H"254,78