OBLICZENIA GEODEZYJNE
+x
d P Zależność: ąPA
=ąAP
+180�
układ geodezyjny lub:
ą ąPA
=ąAP
+200g
-y 0 +y Kąty kierunkowe można również obliczać za
pomocą tzw. czwartaków. Czwartak jakiegoś
kierunku jest to kąt ostry jaki tworzy dany
kierunek z osią x.
-x
+x IV +x I
P ąPA
P
P
ąAP
A A Ć Ć A
+y Ć A +y
A Ć
P P
III II
Kąt kierunkowy ą, liczony jest od dodatniego kierunku osi x (w prawo) do kierunku danego.
Wartość ą= 0� : 360�
0g : 400g
Zależności pomiędzy czwartakami Ć, a kątami
kierunkowymi ą
Znaki
Ćwiartka ąAP
Oznaczenie
"y "x
I + + Ć NO
II + - 180� - Ć SO
III - - 180� + Ć SW
IV - + 360� - Ć NW
OBLICZENIA GEODEZYJNE mają często miejsce w czasie wykonywania pomiarów
geodezyjnych (np.: pomiary sytuacyjne, pomiary ciągów poligonowych, ciągów sytuacyjnych i
ciągów poligonowych).
1. OBLICZANIE DA
UGOŚCI ODCINKA d :
PK
+x
Dane:
K(x ,y ) Punkt początkowy P(x ,y )
K K P P
"x Punkt końcowy K(x ,y )
PK -d-
K K
P(x ,y ) Obliczenia:
P P
Obliczamy przyrosty współrzędnych
"y +y "x = x  x
PK PK K P
"y = y  x
PK K P
2 2
dPK = " xPK + " yPK = d
RYSOWAĆ W SKALI I WE WA
AŚCIWEJ ĆWIARTCE!!!
2. OBLICZANIE AZYMUTU KIERUNKU PRZECHODZ
CEGO PRZEZ DWA
PUNKTY O ZNANYCH WSPÓA
RZ
DNYCH:
Azymut  kąt zawarty między kierunkiem północy a danym kierunkiem.
W zadaniu tym należy wyraz
nie określić czy będzie to azymut kierunku biegnącego z punktu P do
K czy też odwrotnie (ąPK
lub ąKP
)
+x
ąKP
np. obliczamy ąPK
:
K Kolejność obliczeń:
ąPK
1) obliczenie przyrostów "y i "x
|" y|
tg� =
2) obliczenie
|" x|
P 3) wyznaczenie kąta Ć z tablic (czwartak)
4) uwzględnienie znaków przyrostów
+y 5) obliczenie azymutu ą
"
6) obliczenie kontrolne: tg� = " x+ " y
" x- y
Przykład: Obliczyć azymut kierunku wychodzącego z punktu nr 37 w współrzędnych: x =368,52m
37
i y =516,26m i przechodzącego przez punkt nr 36 o współrzędnych: x =246,56m i y =179,80m.
37 36 36
+x
y36 - y37 - 336,46
516,26 37 tg� = = = 2,758773369
x36 - x37 - 121,96
czwartak: Ć=70,07543531  tyle stopni
0, 07543531x60=4,52611845  tyle minut
0,52611845x60=31,567107  tyle sekund
179,80 36 Ć=70�04 31
246,56 368,52 +y azymut: ą37-36
=180�+70�04 31 = 250�04 31
3. OBLICZANIE WSPÓA
RZ
DNYCH PUNKTU LEŻ
CEGO NA PROSTEJ:
+x
Dane:
B(x ,y ) A(x ,y ), B(x ,y ), l , l
B B A A B B A-B A-P
l (z bezpośrednich pomiarów w terenie)
A-B
l P(x ,y ) "x Obliczenia: P(x ,y )
A-P P P A-B P P
"x
A-P
"y Na podstawie twierdzenia Talesa:
A-P
" yA- B " yA- P
A(x ,y ) =
A A
lA- B lA- P
lA- P
�"
+y y =y +"y =y + "y
P A A-P A
lA- B A-B
" xA- B " xA- P
=
lA- B lA- P
lA- P
�"
x =x +"x =x + "x
P A A-P A
lA- B A-B
Obliczenie kontrolne: obliczamy l ze współrzędnych punktów A i B oraz l po obliczeniu
A-B A-B
współrzędnych punktu P:x ,y .
p p
Przykład: Obliczyć współrzędne punktu pomierzonego na prostej:
+x
2 ą2-1
Dane: X Y
Ć -a- Pkt. 1 (575,88m ; 381,48m)
dx Pkt. 2 (659,47m ; 312,51m)
dy P a=75,66m
 1
+y Obliczenia: P(x ,y )
P P
1) Obliczam czwartak i azymut:
" y2- 1
+ 68,97
tg� = = = 0,824803 � = 43g90c66cc
" x2- 1 - 83,62
ćwiartka II ą2-1
=200g  Ć=156g09c34cc
2) Obliczam przyrost współrzędnych:
dx=a"cosą2-1
=-a"cosĆ=-75,66"0,771448=-58,37m
dy=a"siną2-1
=a"sinĆ=75,66"0,636293=48,14m
3) Obliczam współrzędne punktu P:
x =x +dx=659,47-58,37=601,10m
P 2
y =y +dy=312,51+48,14=360,65m
P 2
4) Obliczenia kontrolne:
L = (xP - x2 )2 + ( yP - y2 )2 = (- 58,37)2 + (48,14)2 = 5724,5765 = 75,66
2-P
4. OBLICZANIE K
TA POMI
DZY DOWOLNYMI BOKAMI NA PODSTAWIE
WSPÓA
RZ
DNYCH:
N
ąCL
L Dane:
Współrzędne punktów L, C i P
ąCP
P
Obliczenia: kąt �
�
C Zadanie polega na obliczeniu kąta � jako różnicy argumentów boków
CL i CP (wzorem Hausbrandta)
" xCL �" " yCP - " yCL �" " xCP
tg� =
" xCL �" " xCP + " yCL �" " yCP
Przykład:
Dane: L(x=345,15 ; y=620,30) ; P(x=300,75 ; y=640,60) ; C(x=260,15 ; y=560,10).
"x =+85,00
CL
"y =+60,20
CL
"x =+40,60
CP
"y =+80,50
CP
6842,5- 2444,12 4398,38
tg� = = = + 0,53011052
3451+ 4846,1 8297,1
27,92853315  tyle stopni
0,92853315x60=55,71198876  tyle minut
0,71198876x60=42,7193256  tyle sekund
�=27�55 43
5. WYZNACZENIE POA
OŻENIA PUNKTU METOD
WCI
CIA W PRZÓD:
N N
C
Dane:
-a- Współrzędne punktów A i b oraz kąty ą i � z
� -b- bezpośrednich pomiarów w terenie
BC
Obliczenia: Współrzędne punktu C
� � ą
BA
B A
ąAB ąAC
1) obliczenie długości boku a
2) obliczenie azymutu boku BC
3) obliczenie współrzędnych punktu C
x =x +"x
C B BC
y =y +"y
C B BC
4) obliczenie współrzędnych punktu C wychodząc z punktu A (obliczenie kontrolne)
5) wyznaczenie ostatecznej wartości współrzędnej punktu C, jako średniej arytmetycznej z obu
obliczeń:
xi + xII
xc =
2
yI + yII
yc =
2
Obliczenia szczegółowe:
Z trójkąta ABC otrzymujemy:
AB �" siną AB �" sin �
a = b =
sin[180� - (ą + � )] sin[180� - (ą + � )]
gdzie:
AB = (xB - xA )2 + ( yB - y )2
A
yA - yB
tgą =
AB
xA - xB
ą = ą + 180�
AB BA
" xBC = a �" cos(ą - � )
�ł
BA
bo ą - � = ą
żł
BA BC
" yBC = a �" sin(ą - � )
BA �ł
" xAC = b �" cos(ą - ą )
�ł
AB
bo ą - � = ą
żł
BA BC
" y = b �" sin(ą - ą )
AC AB �ł
Następnie obliczamy dwukrotnie współrzędne punktu C (z punktu A i B) i obliczamy wartości
średnie.
OSTATECZNIE:
z punktu B: z punktu A:
x  =x +"x x  =x +"x
C B BC C A AC
y  =y +"y y  =y +"y
C B BC C A AC
xC '+ xC " yC '+ yC "
xC = yC =
2 2
6. OBLICZENIE WSPÓA
RZ
DNYCH PUNKTU POMIERZONEGO NA
PROSTOPADA
EJ:
+x
B Dane:
Q ąQ-P A A
A(x ,y )
.
-a- B(x ,y )
B B
h ąA-B
a, h (z bezpośrednich pomiarów w terenie)
A " AQP=90�
P
Obliczenia: P(x ,y )
P P
+y
Przykład:
Dane: A(712,00m 416,38m)
B(936,20m 368,00m)
a=120,50m h=21,50m
1) Obliczam czwartak i azymut:
" yB- A - 48,38
tg� = = = 0,215789 � = 12,177108�
" xB- A 224,20
IV ćwiartka: ąA-B
=360�-Ć=347,822892�
2) Obliczam przyrost współrzędnych z A do Q:
sinąA-B
=-0,210934 cosąA-B
=0,977500
dy =120,50 sinąA-B
=-25,42m
A-Q
dx =120,50 cosąA-B
=117,76m
A-Q
3) Obliczam współrzędne punktu Q:
x =x +dx =829,79m y =y +dy =390,96m
Q A A-Q Q A A-Q
4) Obliczam azymut ąQ-P
:
ąQ-P
=ąA-B
- 90�=257,822892 III ćwiartka
5) Obliczam przyrost współrzędnych z Q do P:
sinąQ-P
=sin(ąA-B - 90�)=-cosąA-B
cosąQ-P
=cos(ąA-B - 90�)=sinąA-B
dy =21,50(-cosąA-B
)=-21,02m
Q-P
dx =21,50(-sinąA-B
)=-4,54m
Q-P
6) Obliczam współrzędne punktu P:
X =x +dx =825,25m y =y +dy =369,94m
P Q Q-P P Q Q-P
7) Obliczenia kontrolne:
2 2
BP = " xPB + " yPB = 110,97m
2 2
AB = " xAB + " yAB = 229,36m
BP = h2 + QB2 = 110,96m
7. OBLICZANIE POWIERZCHNI:
Obliczanie powierzchni pomierzonej figury w terenie lub na mapie można wykonać:
1) metodą analityczną  na podstawie elementów pomierzonych w terenie (długość, kąty). Jest
to metoda najdokładniejsza
2) metodą graficzną  na podstawie elementów pomierzonych na mapie
3) metodą mechaniczną  na podstawie mapy, za pomocą przyrządów zwanych planimetrami
4) metodą kombinowaną  na podstawie elementów pomierzonych częściowo w terenie,
częściowo graficznie na mapie.
Ad. 1)
Obowiązują tu rozmaite wzory (np. dla trójkąta dowolnego)
A
ą
-b- -c-
h h
c b
C ł h � B
a
-a-
1 1 1
P = a �" ha = b �" hb = c �" hc
2 2 2
1 1 1
P = absinł = bcsiną = acsin �
2 2 2
a2 b2 c2
P = = =
2(ctg� + ctgł ) 2(ctgą + ctgł ) 2(ctgą + ctg� )
a+ b+ c
P = s(s - a)(s - b)(s - c) gdzie : s =
2
PAMI
TAĆ O TYM, JAK
WARTOŚĆ WYLICZAMY: P CZY 2P!!!
+x 3
1 Metoda współrzędnych biegunowych
r n=1,2,3... wierzchołków wieloboków
1
r
2
Ć Ć Ć r 2P=r r sin(Ć  Ć )+r r sin(Ć  Ć )  r r sin(Ć  Ć )
1 2 3 3 1 2 2 1 2 3 3 2 1 3 3 1
3
2P = r1ri+ 1 sin(� - � )
" i+ 1 i
+y
1
n
(� - � ) = 0
kontrola obliczenia różnic
" i+ 1 i
1
Można wymienić też wiele innych wzorów!!!
�� Obliczanie powierzchni dowolnego wieloboku ze współrzędnych:
+x
1(x ,y ) kierunek obliczania
1 1
5(x ,y )
5 5
2(x ,y )
2 2
4(x ,y ) 3(x ,y )
4 4 3 3
i= n
2P = xi ( yi+ 1 - yi-1)
"
i= 1
Są to wzory Gaussa na obliczanie powierzchni dowolnego wieloboku.
i= n
- 2P = yi (xi+ 1 - xi-1)
"
i= 1
Wzory kontrolne:
i= n
( yi+ - yi- ) = 0
" 1 1
i=1
i= n
(xi+ - xi- ) = 0
" 1 1
i=1
Wskazówka: Wielobok należy opisać liczbami zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Przykład:
współrzędne w metrach
Punkt a=y x "a y "b
i+1-y b=x
i-1 i+1-x
i-1 i i i i
y x
i i
(4) (+36,21) (-25,16)
1 +15,42 +2,31 +5,11 +48,81 +11,80 +752,65
2 +41,32 +23,65 +57,21 +1,97 +1353,02 +84,40
3 +72,63 +4,28 -5,11 -48,81 -21,87 -3545,07
4 +36,21 -25,16 +57,21 -1,97 +1439,40 -71,33
(1) (+15,42) (+2,31) Ł=0 Ł=0
+x 2
20
10
1 3
10 20 30 40 50 60 70 +y
-10
-20 4
AD. 2)
Przy obliczaniu powierzchni na mapie metodą graficzną (jak i mechaniczną) należy uwzględnić
skurcz papieru (mapy).
Wielkość skurczu określa się na podstawie bezpośredniego pomiaru tzw. ramy sekcyjnej (jej
wymiarów) i porównanie wyników pomiaru z wymiarami, jakie rama sekcyjna powinna mieć.
-a-
rama OZNACZENIA:
sekcyjna a,b  wymiary jakie powinna mieć rama sekcyjna
-b- a ,b  wymiary ramy pomierzone na mapie
Skurcz w kierunku boku a wynosi:
a - a'
p% = �"100%
a
Skurcz w kierunku boku b wynosi:
b - b'
q% = �" 100%
b
Skurcz powierzchniowy:
"P%=p%+q%
Skurcz liniowy w dowolnym kierunku:
K%=P%sin2ą +q%cos2ą
Pomierzoną na mapie długość odcinka l należy zmienić o pewną wartość, aby otrzymać odcinek l
poprawiony o skurcz papieru:
k%
�ł
l = l'�ł 1+
�ł �ł
100%
�ł łł
Oznaczając przez P powierzchnię obliczoną na mapie, a przez P powierzchnię poprawioną ze
względu na skurcz mapy otrzymamy:
" P%
�ł
P = P'�ł 1 +
�ł �ł
100%
�ł łł
Metody graficzne należą do mniej dokładnych sposobów obliczania powierzchni. Obarczone są:
ż� błędami pomiaru
ż� błędami grafiki wykreślonej mapy
ż� błędami odczytów na podziałce
ż� błędami określenia skurczu papieru
Ad. 3)
Obliczanie powierzchni metodą
mechaniczną wykonuje się za pomocą
planimetru. Najczęściej stosowany jest
planimetr biegunowy. Części składowe
planimetru:
- ramie biegunowe i wodzące
- biegun
- wodzik
- kółko kompensacyjne
- licznik (odczyty z licznika są zawsze w postaci liczby czterocyfrowej: I z tarczy poziomej, II i III
z bębna, IV z noniusza)
- kółko całkujące (połączone jest z mechanizmem łączącym jego obroty; skład: noniusz, bęben,
tarcza pozioma).
Sposób pomiaru: Biegun planimetru ustawia się na zewnątrz lub wewnątrz figury (lepiej wewnątrz),
której powierzchnia ma być zmierzona, po czym wodzikiem oprowadza się daną figurę dookoła po
jej konturze. Z licznika planimetru odczytuje się ilość obrotów kółka całkującego.
P = C " n
1
P  powierzchnia
C  stała planimetru
1
n  ilość obrotów kółka (różnica odczytów przed i po oprowadzeniu danej figury n=O  O )
2 1
Wyznaczanie stałej planimetru C :
1
o zależy od długości ramienia wodzącego (przede wszystkim)
o zależy od gatunku papieru (minimalnie)
Wyznaczanie stałej planimetru C polega na zmierzeniu za pomocą planimetru powierzchni takiej
1
figury, której wielkość pola jest znana (np. kwadrat o boku 10cm).
Pzn Pzn
C1 = =
P  powierzchnia znana
zn
n O2 - O1
W celu wyznaczenia stałej planimetru C z większą dokładnością, powierzchnię znaną obwodzi się
1
wielokrotnie w dwóch położeniach planimetru.
W B W
I położenie II położenie
B
Zmieniając odpowiednio długości ramienia wodzącego można uzyskać żądaną wartość stałej C .
1
Wyznaczanie stałej planimetru C w żądanych jednostkach z uwzględnieniem skali mapy:
1
np.: chcemy wyznaczyć C w m2 dla mapy w skali 1:M
1
DANE: P w m2, n=O  O
zn 2 1
Pzn �" M2
C1[m2] =
n �" 106
np.: P =10 000mm2, skala 1:500, n=1000
zn
10000 �" 5002
C1[m2 ] = = 2,5m2  stała z dokładnością do czterech miejsc po przecinku
1000 �"106
Uwagi dotyczące pomiaru powierzchni planimetrem kompensacyjnym:
" powierzchnia rysunkowa mapy ma być płaszczyzną gładką i poziomą
" stałą C należy wyznaczać na papierze, na którym wykreślona jest mapa
1
" biegun należy umieścić w takim miejscu, aby kółko całkujące i kompensacyjne toczyły się
przy obwodzeniu zawsze po arkuszu mapy
" kąt pomiędzy promieniem wodzącym i biegunowym musi mieścić się w granicach
30�<ą<150�
" należy obrać taki punkt wyjściowy wodzika, aby kółko całkujące toczyło się powoli, a
nawet ślizgało się bez zmiany odczytów przy rozpoczęciu i kończeniu obwodzenia
" wodzik należy prowadzić ruchem jednostajnym starając się nie zbaczać z konturu
mierzonej figury (nie przy linijce!!!)
" figurę należy obwodzić wielokrotnie w dwóch położeniach bieguna (około 5 razy)
" duże figury, których nie można objąć ramieniem wodzącym planimetru przy jednym
położeniu bieguna, należy dzielić na części i planimetrować kolejno.