dr inż. Marian Poniewiera
marzec 2007
Materiały powielane powstały na podstawie wykładów pracowników Zakładu Geodezji i Ochrony Terenów Górniczych Pol. Śl.
w Gliwicach oraz na podstawie literatury i nie stanowią publikacji w rozumieniu ustawy o prawach autorskich.
PODSTAWY OBLICZEC
GEODEZYJNYCH
W teorii pomiarów wyróżnia się następujące określenia wielkości mierzalnych:
" wielkość projektowana (nominalna),
" wielkość tolerowana,
" wielkość graniczna,
" wielkość rzeczywista,
" wielkość zmierzona (metrologiczna).
Różnice między tymi wielkościami nazywamy odchyłkami i odróżniamy: odchyłki dopuszczalne
(mieszczące się w granicach norm lub przepisów) i odchyłki niedopuszczalne ( nie mieszczące się
w w/w granicach).
Przedział ufności
P(x  tm < x< x + tm) = 1  ą
0 0
ą  współczynnik istotności
1  ą  współczynnik ufności
t  parametr odczytywany z tablic rozkładu normalnego dla zadanego poziomu ufności,
m  błąd średni.
Trzy podstawowe grupy błędów:
" błędy grube, czyli pomyłki lub pomiar wykonany niewłaściwie,
" błędy systematyczne,
" błędy przypadkowe (losowe).
y
ródłem błędów pomiaru są:
" niedokładność zmysłów obserwatora,
" niedokładność narzędzi pomiarowych,
" wpływ warunków zewnętrznych.
Rozkład błędów losowych (spostrzeżeń)
Wielkość najprawdopodobniejsza
X
[ ]
i
X =
śr
n
Błąd pozorny  różnica między wielkością najprawdopodobniejszą X , a poszczególnymi
śr
spostrzeżeniami X .
i
�ą=X - X
śr i
Metoda najmniejszych kwadratów Średni błąd pojedynczego pomiaru m
0
�ą�ą
[ ]-1
[��] = min
m0=
n
ćą
1
m0
Średni błąd średniej arytmetycznej z n pomiarów
M =
n
ćą
�ą
[ ]
Błąd przeciętny
d =
n
Błąd graniczny  jest równy trzem błędom średnim
M = 3m
max
Błąd średni sumy (lub różnicy) wielkości mierzonych
F = x ą x ą x ą ... ą x
1 2 3 n
Średni błąd funkcji F = f(X, Y,..., Z)
2
mF= �ąm2�ąm2�ą...�ąm2
ćąm
1 2 3 n
Obliczenie najprawdopodobniejszej wartości kąta i wartości błędu średniego
Rezultaty
n = x - a nn Obliczenia
i śr i
pomiarów a
i
+ 4" 16 �ąi
300512 14"
�ąśr= =30051' 18' '
n
Błąd średni pojedynczego
- 2" 4
20"
spostrzeżenia
0 0
18"
Błąd średni średniej arytmetycznej
- 4" 16
22"
+ 2" 4
16"
40
Łaą = 90" Łn = 0
Przykład. Z jakim błędem średnim można wyznaczyć pole trójkąta, jeżeli wysokość w = 40 m
(zadanie wykonać także dla w = 20+n, gdzie ne�<1,30>) pomierzono z błędem średnim m = 0,02 m,
w
zaś podstawę a = 60 m pomierzono z błędem średnim m = ą 0,03 m, a wiadomo że P = aw/2.
a
Rozwiązanie:
1 1
mP= w2 m2�ą a2 m2 =0,85 m2
a w
4 4
ćą
2
Tolerancja budowlana-
Jest to różnica między projektem a realizacją
(dl)2 = (dl )2 + (dl )2 gdzie: dl  tyczenia, dl  prac budowlanych
t b t b
dl = dl = 0,7 dl
t b
Aby uzyskać błąd graniczny należy uwzględnić poziom ufności
m Ł� dl /r, gdzie r  poziom ufności
t t
r = 2 p = 95% r = 2,5 p = 98% r = 3 p = 99%
dla r = 2,5 m = 0,28 dl ą4
t
Dodawanie, mnożenie i transpoza macierzy
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez liczbę
Iloczyn dwóch macierzy
Transpoza macierzy
Wzory rachunkowe Hausbrandta
3
Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia się dwóch prostych
12,10
35.33
27.37
25,40
52,70 59,45
Rzutowanie punktów na prostą
Przecięcie okręgu prostą
Literatura:
1. Przewłocki S.: Geodezja dla kierunków niegeodezyjnych. Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 2002r.
2. Hausbrandt S.: Rachunek wyrównawczy i obliczenia geodezyjne. Tom I. Państwowe
Przedsiębiorstwo Wydawnictw Kartograficznych, Warszawa 1970.
4