PODSTAWY OBLICZEC

GEODEZYJNYCH
dr inż. Marian Poniewiera
marzec 2007 r.
Wielkości mierzalne

wielkość projektowana (nominalna),

wielkość tolerowana,

wielkość graniczna,

wielkość rzeczywista,

wielkość zmierzona (metrologiczna).
Odchyłki

odchyłki dopuszczalne - mieszczące się
w granicach norm lub przepisów

odchyłki niedopuszczalne - nie mieszczące się
w w/w granicach
Przedział ufności
P(x  tm < x< x + tm) = 1  ą
0 0
ą  współczynnik istotności,
1  ą  współczynnik ufności,
t  parametr odczytywany z tablic rozkładu normalnego dla
zadanego poziomu ufności,
m  błąd średni.
Podstawowe grupy błędów

błędy grube, czyli pomyłki lub pomiar wykonany
niewłaściwie,

błędy systematyczne,

błędy przypadkowe (losowe).
y
ródła błędów

niedokładność zmysłów obserwatora,

niedokładność narzędzi pomiarowych,

wpływ warunków zewnętrznych.
Rozkład błędów losowych
Wielkość najprawdopodobniejsza
X
[ ]
i
X =
śr
n
Błąd pozorny
�ą=X -X
śr i
Metoda najmniejszych kwadratów
[��] = min
Średni błąd pojedynczego pomiaru m
0
�ą�ą
[ ]
m0=
śąn-1źą
ćą
Średni błąd średniej arytmetycznej
z n pomiarów
m0
M =
n
ćą
Błąd graniczny
Błąd przeciętny
�ą
[ ]
M = 3m
max
d =
n
Błąd średni sumy (lub różnicy) wielkości
mierzonych
F = x ą x ą x ą ... ą x
1 2 3 n
Średni błąd funkcji F = f(X, Y,..., Z)
2
mF= m1�ąm2�ąm2�ą...�ąm2
ćą
2 3 n
Obliczenie najprawdopodobniejszej wartości
kąta i wartości błędu średniego
Rezultaty
n = x - a nn Obliczenia
i śr i
pomiarów a
i
300512 14"
20"
18"
22"
16"
Obliczenie najprawdopodobniejszej wartości
kąta i wartości błędu średniego
Rezultaty
n = x - a nn Obliczenia
i śr i
pomiarów a
i
+ 4" 16
300512 14"
Błąd średni pojedynczego spostrzeżenia
- 2" 4
20"
0 0
18"
Błąd średni średniej arytmetycznej
- 4" 16
22"
+ 2" 4
16"
Łaą = 90" Łn = 0
Przykład. Z jakim błędem średnim można wyznaczyć
pole trójkąta, jeżeli wysokość w=40 m (zadanie wykonać
także dla w=20+n, gdzie ne�<1,30>) pomierzono
z błędem średnim m = 0,02m, zaś podstawę a=60m
w
pomierzono z błędem średnim m =ą0,03m,
a
a wiadomo że P = aw/2.
1 1
mP= w2m2�ą a2m2 =0,85 m2
a w
ćą4 4
dla w=20+n, gdzie ne�<1,30> m wynosi
P
n m n m n m
P P P
1 0,68 11 0,76 21 0,86
2 0,68 12 0,77 22 0,87
3 0,69 13 0,78 23 0,88
4 0,70 14 0,79 24 0,89
5 0,71 15 0,80 25 0,90
6 0,72 16 0,81 26 0,91
7 0,72 17 0,82 27 0,93
8 0,73 18 0,83 28 0,94
9 0,74 19 0,84 29 0,95
10 0,75 20 0,85 30 0,96
Tolerancja budowlana
Różnica między projektem a realizacją
(dl)2 = (dl )2 + (dl )2
t b
gdzie: dl  tyczenia, dl  prac budowlanych
t b
dl = dl = 0,7 dl
t b
Aby uzyskać błąd graniczny należy uwzględnić poziom ufności
m Ł� dl /r, gdzie r  poziom ufności
t t
r = 2 p = 95% r = 2,5 p = 98% r = 3 p = 99%
dla r = 2,5 m = 0,28 dl ą4
t
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez liczbę
Iloczyn dwóch macierzy
Iloczyn dwóch macierzy
Transpoza macierzy
Wzory rachunkowe Hausbrandta
Wzory rachunkowe Hausbrandta
Wzory rachunkowe Hausbrandta
Wzory rachunkowe Hausbrandta
Przecięcie dwóch prostych,
znane punkty ABCD
Wyznaczenie współrzędnych punktu
przecięcia się dwóch prostych
12,10
25,40
52,70 59,45
Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia
się dwóch prostych
12,10
35.33
27.37
25,40
52,70 59,45
Rzutowanie punktów na prostą
Przecięcie okręgu prostą
Wyznaczenie prostej równoległej do danej
Dane są współrzędne punktów A, B, C, z których punkty A i B
wyznaczają prostą l. Obliczyć współrzędne wybranego punktu D
leżącego na prostej l' (C, D) równoległej do l.
Wzory rozwiązujące :
xD = - xA + xB + xC yD = - yA + yB + yC
Wzory kontrolujące:
"xCD = "xAB "yCD = "yAB
Wyznaczenie prostej równoległej do danej
Współrzędne Przyrosty
Nr punktu
x y
"x "y
A
102,31 200,15
B
508,64 802,67
C
-106,53 901,18
D
Wyznaczenie prostej równoległej do danej
Współrzędne Przyrosty
Nr punktu
x y
"x "y
A 102,31 200,15
406,33 602,52
B 508,64 802,67
C -106,53 901,18
406,33 602,52
D 299,80 1503,70
Wyznaczanie prostej prostopadłej do danej
Dane są współrzędne punktów A, B, C, z których punkty A i B wyznaczają prostą l.
Obliczyć współrzędne wybranego punktu D prostej p (C, D) prostopadłej do l (A, B).
Wzory rozwiązujące :
punkt D z lewej strony prostej l :
xD = - yA + yB + xC yD = xA - xB + yC '
punkt D z prawej strony prostej l :
xD = yA - yB + xC yD = - xA + xB + yC
Wzory kontrolujące:
punkt D z lewej strony prostej l : - "xAB = "yCD "yAB = "xCD
punkt D z prawej strony prostej l : "xAB = "yCD - "yAB = "xCD
Wyznaczanie prostej prostopadłej do danej
Punkt D położony z lewej strony prostej l'
Współrzędne Przyrosty
Nr punktu
x y
"x "y
A
102,31 200,15
B
508,64 802,67
C
-106,53 901,18
D
Wyznaczanie prostej prostopadłej do danej
Punkt D położony z lewej strony prostej l'
Współrzędne Przyrosty
Nr punktu
x y
"x "y
A 102,31 200,15
-406,33
602,52
B 508,64 802,67
C -106,53 901,18
602,52
-406,33
D 495,99 494,85