prof. dr hab.
Zbigniew Hanzelka,
dr inż. Ryszard Klempka
Akademia Górniczo-Hutnicza
pasywne
filtry
wyższych harmonicznych
asywne filtry wyższych harmonicznych (wh) są nadal bardzo żanego punktu przyłączenia filtru, pierwotne widmo odkształcenia
powszechnie stosowane do poprawy jakoS
ci zasilania (reduk- napięcia w rozważanym punkcie, dopuszczony warunkami zasilania
Pcja odkształceń oraz kompensacja mocy biernej). Istnieje wie- współczynnik odkształcenie napięcia THD oraz współczynniki
le układów filtrów pasywnych LC o różnych strukturach i różnych udziału poszczególnych harmonicznych itp.;
charakterystykach eksploatacyjnych. Podstawowym jest jednak prosty dane dotyczące filtru, tj. miejsce jego instalacji, wybrana struktura,
filtr jednogałęziowy, który dominuje w zastosowaniach przemysło- parametry techniczne planowanych do wykorzystania elementów bier-
wych, a z całą pewnoS
cią stanowi podstawę dla zrozumienia dzia- nych itp.
łania bardziej rozbudowanych struktur filtracyjnych. Wszelkie rozważania przeprowadzane są przy uwzględnieniu nastę-
pujących założeń upraszczających:
x
ródło wh jest idealnym x
ródłem prądowym,
projektowanie filtra jednogałęziowego rezystancja RF, indukcyjnoS
ć LF i pojemnoS
ć CF filtru są skupione
i mają stałą wartoS
ć w rozważanym przedziale częstotliwoS
ci,
Podstawowymi danymi, niezbędnymi dla projektowania filtru są: filtr obciążony jest tylko podstawową harmoniczną oraz harmonicz-
dane dotyczące x
ródła wh  widmo amplitudowo-częstotliwoS
cio- na, do której jest dostrojony.
we nieliniowego odbiornika, uzyskane na drodze pomiarowej lub Schemat zastępczy układu filtr-sieć-odbiornik przedstawia rysunek
z opisu technicznego filtrowanego urządzenia, wartoS
ć wymaganej 1. Sieć zasilająca reprezentowana jest przez idealne x
ródło napięcia
ze względów kompensacyjnych mocy biernej harmonicznej podsta- przemiennego oraz rezystancję i indukcyjnoS
ć zastępczą sieci.
wowej itp.;
dane dotyczące sieci zasilającej  charakterystyka częstotliwoS
ciowa (1)
impedancji układu elektroenergetycznego w punkcie przyłączenia
filtru (PWP)  w przypadku jej braku ewentualnie moc zwarcia wraz
Rs=0.1Xs (2)
ze schematem i danymi technicznymi najbliższego otoczenia rozwa-
gdzie: SZW  moc zwarcia sieci,
Rys. 1 Schemat zastępczy układu filtr-sieć-odbiornik
U  napięcie sieci.
Odbiornik reprezentowany jest przez x
ródło prądów wyższych har-
monicznych oraz impedancję odbiornika Zo.
Celem użycia filtru jest:
kompensacja mocy biernej generowanej przez odbiornik,
eliminacja wyższych harmonicznych z sieci zasilającej, których x
ród-
łem jest odbiornik
Filtr energetyczny może mieć różne konfiguracje, może być też zło-
żeniem kilku filtrów, aby eliminować kilka harmonicznych. Funkcja im-
5
6/2003 www.elektro.info.pl
pedancji filtru ZF (�) jest zależna od częstotliwoS
ci. Dla częstotliwoS
ci
eliminowanych funkcja impedancji ZF jest minimalna, co znaczy, że prą-
dy o takich właS
nie częstotliwoS
ciach będą płynęły przez filtr, a nie
do sieci.
ZF=RF+jXF (3)
Jeżeli założymy, że RF = 0 (tak będzie w dalszych rozważaniach),
wtedy impedancja dla częstotliwoS
ci eliminowanych wynosi 0:
|ZF (�r) |=0 (4)
Rys. 2 Schemat filtru prostego wraz z jego wykresami impedancyjnymi dla RF `" 0
PojemnoS
ć kondensatora filtru jest zależna od mocy, jaką należy
skompensować:
(5)
Jeżeli projektujemy filtr tylko jednej harmonicznej, wtedy wiadomo,
że cała moc musi być w nim zainstalowana. Jednak jeżeli tych filtrów
ma być więcej, należy moc całkowitą filtrów rozłożyć między poszcze-
gólne filtry. Można to zrobić na podstawie znanego widma prądu sieci,
rozkładając moc filtra na poszczególne filtry proporcjonalnie do wartoS
ci
poszczególnych harmonicznych. Drugą metodą jest rozkład mocy filtra
proporcjonalnie do numeru eliminowanej harmonicznej.
QFŁ= QFk (6)
Ł
k
nQFn=mQFm (7)
przykład 1
Rys. 3 Wykresy charakterystyk zaprojektowanego filtru
Zaprojektować filtr prosty jednogałęziowy o mocy 1 MVAr, pracu-
jący na napęciu 6 kV przy założeniu RF = 0. Filtr ma za zadanie eli-
minację 5. harmonicznej.
uwzględniając moc filtru (zależnoS
ć 5):
U = 6 kV
QF = 1 MVAr
nr = 5
�r=nr�1=500Ą
Analizę układu zaczęto od wyznaczenia zależnoS
ci ZF (�r):
Lf=4,77 mH
dla częstotliwoS
ci dostrojenia filtru zgodnie z zależnoS
cią (4) otrzy-
mamy: przykład 2
Zaprojektować filtry proste jednogałęziowe o sumarycznej mocy
1 MVAr, pracujące na napęciu 6 kV, przy założeniu RFn = 0. Filtry ma-
stąd można wyznaczyć wartoS
ć LF: ją za zadanie eliminację harmonicznych o numerach 5, 7, 11 i 13.
U = 6 kV
QF = 1 MVAr
wstawiając do wzoru na impedancję: nr 5 7 11 13
�(n) 500Ą 700Ą 1100Ą 1300Ą
6
www.elektro.info.pl 6/2003
Rys. 4 Wykres mocy całkowitej filtra oraz mocy poszczególnych filtrów
Rys. 5 Wykresy impedancji poszczególnych filtrów oraz charakterystyka wypadko-
wa wszystkich filtrów
Rys. 6 Schemat filtru podwójnie nastrojonego
7
6/2003 www.elektro.info.pl
Rozład mocy na poszczególne filtry (6) i (7):
(11)
QF=QF5+QF7+QF11+QF13
5QF5=7QF7
7QF7=11QF11
11QF11=13QF13 Impedancja częS
ci szeregowej filtru opisuje zależnoS
ć:
Z powyższych zależnoS
ci wyznaczyć można poszczególne moce fil-
trów: (
12)
QF5=392 kVAr
QF7=280 kVAr
QF11=178 kVAr gdzie pulsacja rezonansowa �S wyrażona jest wzorem (13), a po prze-
QF13=150 kVAr kształceniu otrzymuje się zależnoS
ć na indukcyjnoS
ć częS
ci szerego-
wej:
Korzystając ze wzoru (4), można wyznaczyć parametry L i C po-
szczególnych filtrów.
(13)
nr 5 7 11 13
CF [�F] 33,27 24,25 15,61 13,18
Podstawiając (13) do (12):
LF [mH] 12,18 8,53 5,36 4,55
(14)
Należy zwrócić uwagę, że maksima charakterystyki wypadkowej nie pokry-
wają się z częstotliwoS
ciami 300 Hz i 600 Hz, co może być powodem
nieprawidłowej pracy systemu. Pożądane jest, aby maksima charakterystyki Z zależnoS
ci (8), (11) i (14) impedancja zastępcza filtru:
wypadkowej pokrywały się z częstotliwoS
ciami 300 Hz i 600 Hz. Dla tych
częstotliwoS
ci impedancja całkowita filtru jest mała, co może być powo-
dem wystąpienia rezonansów z siecią.
(15)
Drugą ważną rzeczą jest kolejnoS
ć załączania i odłączania fil-
trów. Podczas załączania należy załączać filtry od najniższej har-
monicznej do najwyższej, nie pomijając żadnej z występujących har-
monicznych, ponieważ może to być powodem powstania rezonan- Charakterystyki impedancji ZS i ZR w funkcji częstotliwoS
ci przed-
sów. stawiono na rysunku 7a i 7b. Na rysunku 7c przedstawiono charakte-
rystykę wypadkową dla szeregowego połączenia ZS i ZR. Zaznaczono
na niej dwie nowe częstotliwoS
ci rezonansowe - �1 i �2- będące czę-
projektowanie filtru podwójnie stotliwoS
ciami dostrojenia filtru podwójnie nastrojonego. Dla tych czę-
nastrojonego stotliwoS
ci impedancja całkowita filtru jest równa zero (4).
Dla �<�S impedancja Zs(�) ma charakter pojemnoS
ciowy, a dla
W systemach dużych mocy staje się opłacalnym stosowanie filtru �>�S ma charakter indukcyjny (rys. 7a). Dla �<�R impedancja ZR(�)
podwójnie nastrojonego (rys. 6). ma charakter indukcyjny, a dla �>�R ma charakter pojemnoS
ciowy
Analiza układu, jak na rysunku 6, nie jest prosta i dlatego dla up- (rys. 7b).
roszczenia, w pierwszej fazie projektowania zakłada się, że: Składowe prądu o pulsacjach �1 i �2 są zwierane przez filtr, czyli
R1=R2=R3=0. Impedancję zastępczą filtru można opisać związkiem: eliminowane z systemu zasilającego.
Z równania (15) widać, że impedancja filtru jest równa zero, gdy li-
ZF(�)=ZS(�)+ZR(�) (8)
cznik impedancji jest równy zero. Stąd równanie do rozwiązania:
gdzie: Zs(�)  impedancja częS
ci szeregowej filtru, (16)
ZR(�)  impedancja częS
ci równoległej filtru.
Impedancja częS
ci równoległej ZR okreS
la zależnoS
ć:
gdzie pierwiastkami są:
(9)
gdzie pulsację rezonansową �R wyraża wzór (10). Po przekształceniu (17)
otrzymuje się zależnoS
ć na indukcyjnoS
ć dławika częS
ci równoległej:
(10) Zgodnie ze wzorami Vietta relacja pomiędzy pierwiastkami i współ-
czynnikami równania (16) przyjmuje postać:
Wstawiając (10) do (9): (18)
1.
8
www.elektro.info.pl 6/2003
Na podstawie znanych wartoS
ci �1, �2, �R, U i QF (impedancje fil-
tru dla pulsacji �1, �2 będą minimalizowane, a dla �R będzie maksy-
malizowana w celu wyeliminowania możliwoS
ci rezonansu z siecią)
oraz zależnoS
ci podanych powyżej, można wyznaczyć parametry filtru
podwójnie nastrojonego z rysunku 6, przy założeniu, że
R1=R2=R3=0.
Rys. 7 CzęstotliwoS
ciowe charakterystyki impedancyjne: (a) obwodu szeregowe-
go; (b) obwodu równoległego; (c) filtru podwójnie nastrojonego
przykład 3
Zaprojektować filtry podwójnie nastrojone eliminujące harmoniczne:
2. (19)
f1 = 250 Hz, f2 = 350 Hz, f3 = 550 Hz, f4 = 650 Hz, o sumarycznej
mocy QF = 1 MVAr pracujące na napięciu: U = 6 kV. Ze wzorów (6) i
Przekształcając (19) otrzymano zależnoS
ć łączącą wartoS
ci po- (7), wynika, że filtry powinny charakteryzować się mocą QF5,7 = 672
jemnoS
ci C1 i C2: kVAr oraz QF11,13 = 328 kVAr. Na podstawie wzorów (21), (20), (10)
i (13) obliczono parametry obu filtrów.
(20)
Filtr 5 i 7 harmonicznej Filtr 11 i 13 harmonicznej
Drugą cechą filtru, którą należy uwzględnić podczas projektowania,
jest dobór mocy biernej filtru dla harmonicznej podstawowej wynikają- C1 L1 C2 L2 C1 L1 C2 L2
[mF] [mH] [mF] [mH] [mF] [mH] [mF] [mH]
cej z potrzeb kompensacji (5). Korzystając z równań (15), (20), (5)
otrzymano zależnoS
ć na C1 w funkcji napięcia i mocy biernej filtru: 57,47 5,18 492,3 0,57 28,79 2,48 1024 0,069
Jak widać na rysunku 8, oba filtry zostały zaprojektowane prawidło-
(21) wo, ich charakterystyki posiadają minima dla częstotliwoS
ci eliminowa-
nych, a dla częstotliwoS
ci poS
rednich posiadają maksima. Filtr wypad-
kowy eliminuje odpowiednie harmoniczne, jednak maksima zostały prze-
sunięte i nie odpowiadają 6. i 12. harmonicznej.
9
6/2003 www.elektro.info.pl
trudna, dlatego do projektowania takich urządzeń można i warto zastosować
inteligentne systemy optymalizacyjne, takie jak Algorytmy Genetyczne, Fuzzy
Logic, sieci neuronowe itp.
literatura
1. Chi-Jui Wu, Jung-Chen Chiang etc., Investigation and mitigation of harmonic amplifica-
tion caused by single-tuned filters, IEEE Trans. on Power Delivery, 13, 3, 1998.
2. Hanzelka Z., Klempka R., Filtry wyższych harmonicznych  wybrane zagadnie-
nia. Napęd i Sterowanie, 3, 9, 2000.
3. Klempka R., Hanzelka Z., Application of Genetic Algorithm in Double Tuned Filters
Design, EPE 2001, Graz.
4. Klempka R., Hanzelka Z., Filtr pasywny podwójnie nastrojony, zaprojektowany Al-
gorytmem Genetycznym. SENE 01, Łódx
, 2001.
5. Klempka R., Hanzelka Z., Filtering Properties of the Selected Double Tuned Passive Filter
Structures Designed Using Genetic Algorithm, EPE PEMC 2002, Dubrovnik.
6. Harder J. E., AC filter arrester application. IEEE Trans. on Power Delivery, 11, 3, 1996.
7. Xiao Yao, Algorithm for the parameters of double tuned filter, 8th Int. Conf. on Har-
Rys. 8 Charakterystyki impedancyjne poszczególnych filtrów oraz filtru całkowitego
monics and Quality of Power, Oct. 14-16, 1998, Athens.
wnioski
Jak do tej pory, projektowaliS
my pojedyncze filtry, dokonując anali-
zy układów przy założeniu, że rezystancje wewnątrz filtrów są zero-
we. Tak jednak nie jest. Rezystancje (głównie od dławików) wpływa-
ją na wartoS
ć impedancji dla charakterystycznych dla filtra częstotli-
woS
ci, jak również w pewnych przypadkach, może przesuwać minima
lub maksima lokalne impedancji (rozstrojenie).
Dodatkowo w systemie energetycznym zainstalowane są dodatkowe urzą-
dzenia oraz sama sieć wpływa na pracę filtru. Dodatkowe indukcyjnoS
ci i po-
jemnoS
ci w systemie mają znaczący wpływ na prawidłową pracę układu
filtrującego i stąd wniosek, że te wszystkie parametry należy uwzględnić przy
projektowaniu filtrów. Jednak analiza systemu z taką iloS
cią parametrów jest
10
www.elektro.info.pl 6/2003