Zagadnienia mocy w obwodzie RLC przy przebiegach sinu-
soidalnych
1. Moc chwilowa
Wartość chwilowÄ… napiÄ™cia i prÄ…du gaÅ‚Ä™zi oznaczymy odpowiednio przez u(t)=Umsin(É
Ét),
É
É
i(t)=Imsin(É oraz przyjmujÄ…c dla uproszczenie fazÄ™ poczÄ…tkowÄ… napiÄ™cia równÄ… zeru.
Ét-Ć),
É
É
Moc chwilowa p(t), jako jedyna z mocy jest funkcjÄ… czasu i definiuje siÄ™ jÄ… w postaci ilo-
czynu wartości chwilowych prądu i(t) oraz napięcia u(t) w obwodzie:
p(t) = u(t)Å"i(t)
Przy wymuszeniu sinusoidalnym moc chwilowa opisana jest wzorem:
p(t) = u(t)Å"i(t)
= Um Å" Im Å"sin(Ét)Å"sin(Ét -Õ)
Um Å" Im
= [cos(Õ) - cos(2Ét -Õ)]
2
= U Å" I Å"[cos(Õ) - cos(2Ét -Õ)]
2. Moc czynna
Moc czynną definiuje się jako wartość średnią za okres z mocy chwilowej, to jest:
to +T
1
P = p(t)dt
+"
T
to
PodstawiajÄ…c do powy\
szego wzoru funkcję określającą moc chwilową w obwodzie, po
wykonaniu operacji całkowania otrzymuje się:
P = U Å" I Å"cosÕ [W ]
Moc czynna w obwodzie o wymuszeniu sinusoidalnym jest więc wielkością stałą równą
iloczynowi modułów wartości skutecznych napięcia i prądu oraz cosinusa kąta przesunięcia
fazowego między wektorem napięcia i prądu. Współczynnik cosĆ odgrywa ogromną rolę w
praktyce i nosi specjalną nazwę współczynnika mocy.
Moc czynna stanowi składową stałą mocy chwilowej. Jest ona nieujemna dla obwodu RLC a
w granicznym przypadku przy Õ = Ä…Ä„ / 2 PL = PC = 0 jest równa zeru. Moc czynna
P = U Å" I osiÄ…ga wartość najwiÄ™kszÄ… wtedy, gdy Ć=0 to znaczy gdy odbiornik ma charakter
rezystancyjny, cosĆ=1. Wartość najmniejszą (P=0) moc osiąga w przypadku granicznym,
(P=0)
(P=0)
(P=0)
gdy Õ = Ä…Ä„ / 2 to znaczy gdy odbiornikiem jest cewka idealna lub kondensator idealny, Ozna-
cza to, \
e na elementach reaktancyjnych nie wydziela siÄ™ moc czynna.
Z przytoczonych rozwa\
ań wynika, moc czynną wydzielaną w rezystorze mo\
na
opisać następującymi wzorami:
2 1 2
P = U Å" I Å" cosÕ = R Å" I = Å" U
R
w których prąd I oraz napięcie U odpowiadają rezystorowi R. Jednostką mocy czynnej jest
wat (W) , przy czym (1W=1VÅ" W praktyce stosuje siÄ™ równie\
wielokrotności wata w
Å"A).
Å"
Å"
postaci kilowata (1kW=1000W) lub megawata (1MW=106W) oraz wartości ułamkowe, np.
miliwat (MW) lub mikrowat (µW).
Do pomiaru mocy czynnej słu\
y watomierz. Klasyczny watomierz jest przyrzÄ…dem
pomiarowym posiadającym cewkę prądową (o impedancji wewnętrznej bliskiej zeru) do
1
pomiaru prądu gałęziowego obwodu i cewkę napięciową (o impedancji wewnętrznej bliskiej
nieskończoności) do pomiaru napięcia między punktami obwodu, dla którego mierzymy moc
czynną. Początki uzwojeń obu cewek oznaczać będziemy na schematach przy pomocy
gwiazdek. Znak gwiazdki przy cewce prÄ…dowej wskazuje kierunek prÄ…du Iw watomierza przy-
jęty za dodatni (prąd płynie od gwiazdki do watomierza). W przypadku cewki napięciowej
gwiazdka wskazuje przyjęty kierunek wy\
szego potencjału (napięcia Uw) obwodu. Wskazanie
watomierza jest wówczas określone wzorem, które przy naszych oznaczeniach prądu i napię-
cia watomierza przyjmÄ… postać P = Uw Å" Iw Å"cosÕ PrzyjmujÄ…c zaÅ‚o\
enie idealizujÄ…ce, \
e
impedancja cewki prądowej watomierza jest równa zeru a cewki napięciowej równa nieskoń-
czoności watomierz nie ma \
adnego wpływu na rozpływy prądów i rozkłady napięć w bada-
nym obwodzie elektrycznym.
Rezystor:
2 1 2
P = U Å" I Å" cosÕ = R Å" I = Å" U
R
Cewka i kondensator
Õ = Ä…Ä„ / 2 PL = PC = 0
Na elementach reaktancyjnych nie wydziela siÄ™ moc czynna.
3. Moc bierna
W obwodach elektrycznych prądu sinusoidalnego definiuje się trzecią wielkość energe-
tyczną będącą iloczynem napięcia i prądu oraz sinusa kąta przesunięcia fazowego między
nimi. Wielkość ta oznaczana jest literą Q i nazywana mocą bierną.
Q
Q
Q
Jednostką mocy biernej jest war (var) będący skrótem nazwy woltamper reaktywny. Wprzy-
padku rezystora, dla którego przesuniÄ™cie fazowe jest równe zeru (Õ = 0 QR = 0) moc bier-
na jest zerowa Moc bierna mo\
e się więc wydzielać jedynie na elementach reaktancyj-
nych, gdy\
tylko dla nich przesunięcie fazowe prądu i napięcia jest ró\
ne od zera. PrzesuniÄ™-
cie fazowe prądu i napięcia na elementach reaktancyjnych (cewce i kondensatorze) przyjmuje
wartość dla cewki (+90o) oraz dla kondensatora (-90o) , co oznacza, ze sinus kąta jest odpo-
wiednio równy +1 dla cewki (moc bierna cewki jest uwa\
ana za dodatniÄ…) oraz dla kondensa-
tora -1 (moc bierna kondensatora jest uwa\
ana za ujemną). Stąd przy pominięciu znaku wzór
na moc bierną elementów reaktancyjnych o reaktancji mo\
e być przedstawiony w trzech
równorzędnych postaciach:
Q = U Å" I Å"sinÕ
2
= X Å" I
1 2
= Å" U
X
W ogólności kąt przesunięcia fazowego Ć uwa\
a się za dodatni dla obwodów o charakterze
indukcyjnym (napięcie wyprzedza prąd) a za ujemny dla obwodów o charakterze pojemno-
ściowym (napięcie opóz
nia się względem prądu). Moc bierna obwodów o charakterze induk-
cyjnym jest w sumie mocą indukcyjną, kojarzona z liczbą dodatnią a moc bierna obwodów
o charakterze pojemnościowym jest więc w sumie mocą pojemnościową i kojarzoną z licz-
bÄ… ujemnÄ….
Rezystor:
Õ = 0 QR = 0
2
Indukcyjność
2 1 2
QL = U Å" I Å"sinÕ = X Å" I = Å" U
L
X
L
Kondensator
2 1 2
QC = U Å" I Å"sinÕ = -XC Å" I = - Å" U
XC
4. Moc pozorna zespolona
Czwartym rodzajem mocy wprowadzanym w obwodach elektrycznych jest tak zwana
moc pozorna zespolona. Jest ona proporcjonalna do wartości skutecznych prądu i napięcia, i
oznaczana literÄ… S. Moc pozorna zespolona definiowana jest formalnie jako liczba zespolona
S
S
S
w postaci iloczynu wartości skutecznej zespolonej napięcia U i wartości skutecznej sprzę\
o-
nej prÄ…du I.
*
S = U Å" I = P + jQ [VA]
Zale\
ność na moc pozorną zespoloną mo\
na przedstawić równie\
w postaci wykładniczej
jÕ
S = S e . W zale\
ności tej S wyra\
a moduł mocy pozornej zespolonej, który mo\
e być
wyra\
ony w postaci iloczynu modułów wartości skutecznych prądu i napięcia:
S = U Å" I = P2 + Q2
Z wykresu wektorowego obwodu przedstawionego na rysunku mo\
liwe jest wyznaczenie
współczynnika mocy. Mianowicie:
P
cosÕ =
S
Wartość współczynnika mocy wyznaczona z powy\
szej zale\
ności jest identyczna z warto-
ścią wynikającą z relacji prądowo-napięciowych zachodzących dla wielkości bramowych
obwodu.
Rys. 1. Wykres wektorowy mocy dla obwodu: a) o charakterze indukcyjnym, b) charakterze po-
jemnościowym
5. Zestawienie wzorów na moce
Dla ułatwienia korzystania z pojęć mocy zestawiono poni\
ej najwa\
niejsze postacie wzo-
rów na moc czynną, bierną i pozorną
" Moc pozorna zespolona
3
S = U Å" I* = P + jQ
" Moc czynna
2
U
2
P = Re(S) = U Å" I Å"cosÕ = IR Å" R =
R
" Moc bierna
2
U
2
Q = Im(S) = U Å" I Å"sinÕ = Ä… IX Å" X =
X
Znak plus dotyczy mocy biernej cewki a minus kondensatora.
6. Bilans mocy
W obwodzie elektrycznym, jak w ka\
dym układzie fizycznym obowiązuje prawo zacho-
wania energii. W przypadku obwodów prawo to przekształca się w tak zwane prawo bilansu
mocy. Jeśli całkowitą moc pozorną zespoloną wytworzoną przez z
ródło (lub wiele z
ródeł wy-
stępujących w obwodzie) oznaczymy przez Sg a sumaryczną moc pozorną zespoloną wydzie-
lonÄ… w elementach odbiornika przez So, to biorÄ…c pod uwagÄ™ prawo zachowania energii obie
moce muszą być sobie równe, to znaczy So=Sg. Jest to tak zwana zasada bilansu mocy w
obwodach elektrycznych.
W tak sformułowanej zasadzie bilansu mocy przyjmuje się standardowo, \
e zwroty prądów i
napięć w elementach odbiornikowych są przeciwne sobie a w elementach z
ródłowych taki
same. Jeśli przyjmiemy ujednoliconą zasadę znakowania prądów i napięć na gałęziach ob-
wodu, zakładającą, \
e niezale\
nie od rodzaju elementu zwroty prądu i napięcia na gałęzi są
przeciwne sobie, to zasadÄ™ bilansu mocy mo\
na sformułować w ten sposób, \
e suma mocy
pozornej zespolonej liczonej po wszystkich elementach w obwodzie elektrycznym jest równa
zeru: Sg+So=0 .
Dla zilustrowania wprowadzonych tu pojęć mocy oraz zasady bilansowania się mocy
rozpatrzymy przykład obwodu przedstawionego na rysunku 2. Niech dany będzie obwód
RLC o strukturze przedstawionej na rysunku zasilany z sinusoidalnego z
ródła napięcia
e(t) = 100 2 sin(Ét + 45o ) [V ] o wartoÅ›ci É=1 rad/s. WartoÅ›ci elementów obwodu sÄ… na-
É
É
É
stępujące: R=1&!, C=0.5F, L=1H. Nale\
y wyznaczyć wartości skuteczne zespolone prądów i
napięć elementów oraz moce i bilans mocy w obwodzie.
4
Rys. 2. Ilustracja do przykładu nr 1
RozwiÄ…zanie
Wartości zespolone impedancji i napięcia wymuszającego w obwodzie przy danych warto-
ściach elementów są równe:
ZL = jÉL = j Å"1Å"1
1 1
ZC = -j = -j = -j Å" 2
ÉC 1Å" 0.5
o
E = 100ej45 = 100 +100 Å" j
Impedancja zastępcza połączenia równoległego L i R równa się:
o
RÅ"ZL
ZRL = = 0.707ej45 = 0.5 + 0.5j
R + ZL
Impedancja zastępcza połączenia szeregowego ZC i ZRL jest równa:
Z = ZC + ZRL = -jÅ"2 + 0.5 + jÅ"0.5 = 1.58e- jÅ"71.6o = 0.1-1.5j
Napięcia na poszczególnych elementach obwodu dane są w postaci:
o
o
E 100ej45
IC = = = 63.3ej116.6 = -40 + 80j
o
Z
1.58e-j71.6
o
UC = ZC Å"IC = 126.6ej26.6 = 160 + 80j
o
URL = ZRL Å"IC = 44.72ej161.6 = -60 + 20j
PrÄ…dy cewki i rezystora obliczone z prawa Ohma wynoszÄ…:
o
URL
IL = = 44.72ej71.6 = 20 + 60j
ZL
o
URL
IR = = 44.72ej161.6 = -60 + 20j
R
Na rys. 3 przedstawiono wykresy wektorowe prądów i napięć w obwodzie:
5
Rys. 3. Wykres wektorowy napięć i prądów
Poszczególne moce wydzielone w obwodzie wynoszą:
" Moc pozorna zespolona wydawana przez z
ródło:
S = EÅ"I* = (2000 - j6000) [VA]
C
" Moc wydzielona na rezystorze:
2
PR = R Å" IR = 2000 [W]
" Moc bierna cewki i kondensatora
QL = Im(URL Å"I*) = -8000 [VAr]
QC = Im(UC Å"IC*) = 2000 [VAr]
" Całkowita moc bierna wydzielona na cewce i kondensatorze równa się:
Q = QL + QC = -6000 [VAr]
Moc wydzielona na rezystorze raz cewce i kondensatorze równa się dokładnie mocy dostar-
czonej przez z
ródło. Bilans mocy generowanej przez z
ródło i mocy wydzielonej w odbiorniku
jest zatem równy zero.
7. Energia magazynowana w idealnym kondensatorze
Cewka i kondensator traktowane jako idealne elementy obwodowe nale\
ą do elementów
magazynujących energię elektryczną. Rozpatrzmy kondensator o pojemności C zasilony z
generatora napięciowego u(t). Obliczymy energię dostarczoną do tego kondensatora w cza-
sie od to do t. Energia ta mo\
e być obliczona jako całka z mocy chwilowej:
t
W (t0,t) = p(Ä )dÄ
+"
t0
Uwzględniając wzór na moc chwilową i dokonując odpowiednich operacji całkowania
otrzymujemy:
t t u(t )
du(Ä )
W (t0,t) = ) Å"i(Ä )dÄ = ) Å"C Å" dÄ = C
+"u(Ä +"u(Ä dÄ +"udu
t0 t0 u(t0 )
Uwzględniając wzór na moc chwilową i dokonując odpowiednich operacji całkowania
otrzymujemy:
6
u(t )
1
W (t0,t) = C = C Å"u2(t)
+"udu 2
u(t0 )
Zasadniczą cecha kondensatora idealnego jest jego bezstratność, co oznacza, \
e energia
zgromadzona na nim pozostaje w nim magazynowana. Zatem kondensator naładowany do
napięcia stałego U posiada energię równą:
u(t )
1 1
2
W (t0,t) = C = C Å"u2(t) çÅ‚u(t =U C Å"U
çÅ‚)çÅ‚
+"udu 2
2
u(t0 )
Oczywiście przy zało\
eniu zerowej energii poczÄ…tkowej kondensatora.
8. Energia magazynowana w indukcyjności
Rozpatrzmy cewkę o indukcyjności L zasiloną z generatora napięciowego u(t). Obli-
czymy energiÄ™ dostarczonÄ… do tej cewki w czasie od t0 do t. Energia ta, podobnie jak w przy-
padku kondensatora, mo\
e być obliczona jako całka z mocy chwilowej:
t
W (t0,t) = p(Ä )dÄ
+"
t0
Uwzględniając wzór na moc chwilową i dokonując odpowiednich operacji całkowania otrzy-
mujemy:
t t i(t)
di(Ä )
W (t0,t) = ) Å"i(Ä )dÄ = ) Å" L Å" dÄ = L
+"u(Ä +"i(Ä dÄ +"idi
t0 t0 i(t0 )
Załó\
my, \
e czas t0 jest taką chwilą, w której prąd cewki i(t) jest zerowy. W takim razie
wzór na energię upraszcza się do postaci:
i(t)
1
W (t0,t) = L = L Å"i2(t)
+"idi 2
0
Zasadniczą cechą cewki idealnej jest jej bezstratność, co oznacza, \
e energia dostarczona do
niej pozostaje w niej zmagazynowana. Zatem cewka, przez która przepływa prąd stały I po-
siada energię równą:
i(t)
1 1
) 2
W (t0,t) = L = L Å"i2(t) çÅ‚i(tçÅ‚ L Å" I
çÅ‚=I
+"idi 2
2
0
W odró\
nieniu od kondensatora, w którym energia związana była z napięciem między okład-
kami (Å‚adunkiem) energia cewki jest uzale\
niona od prÄ…du (strumienia magnetycznego). StÄ…d
przyjmuje siÄ™, ze kondensator magazynuje energiÄ™ w polu elektrycznym a cewka w polu ma-
gnetycznym.
7