1
Mocą chwilową nazywamy iloczyn wartości chwilowych napięcia i prądu, czyli
p=ui
W odróżnieniu od obwodów prądu stałego, w których energia pobierana ze z
ródła jest
stała, w obwodach prądu zmiennego energia dostarczana do odbiornika jest w
kolejnych przedziałach czasu różna. W związku z tym, że napięcie i prąd sinusoidalny
zmieniają w zależności od czasu swoją wartość bezwzględną i znak, zatem moc
chwilowa również zmienia się w funkcji czasu.
Moc chwilowa , jako jedyna z mocy jest funkcjÄ… czasu i definiuje siÄ™ jÄ… w
postaci iloczynu wartości chwilowych prądu oraz napięcia w obwodzie
Przy wymuszeniu sinusoidalnym moc chwilowa opisana jest wzorem, w którym
występuje składowa stała i składowa sinusoidalnie zmienna, której częstotliwość jest
dwukrotnie większa od częstotliwości napięcia i prądu.
2
Na rysunku obok faza początkowa napięcia jest równa zero, a prąd opóz
nia siÄ™
względem napięcia o kąt fazowy Ć (obwód o charakterze indukcyjnym).
Moc chwilowa jest dodatnia w przedziałach czasu, w których wartość chwilowa
napięcia i prądu mają te same znaki.
Jeśli p>0, tzn. moc chwilowa jest dodatnia, to energia elektryczna jest dostarczana ze
z
ródła do odbiornika; jesli p<0 to moc chwilowa jest ujemna, zatem energia elektryczna
jest zwracana przez odbiornik do z
ródła.
Należy pamiętać, że jedynie elementy rezystancyjne oraz odbiorniki, które są zdolne do
przekształcenia energii elektrycznej w inny rodzaj energii, pobierają energię i jej nie
zwracajÄ….
Natomiast cewki i kondensatory mają zdolność do gromadzenia energii odpowiednio w
polu magnetycznym i elektrycznym oraz jej oddawania w zależności od wartości
napięcia i prądu związanego z tymi elementami.
Energia całkowita dostarczona do odbiornika w ciągu okresu T odpowiada polu
ograniczonemu przebiegiem mocy chwilowej w okresie T z uwzględnieniem znaku;
pola nad osiÄ… - energia dodatnia, pola pod osiÄ… - energia ujemna.
3
Moc czynna
W przebiegach sinusoidalnych interesuje nas zazwyczaj energia pobrana przez
odbiornik w czasie jednego okresu lub jego wielokrotności.
Jeżeli energię obliczoną dla czasu t=T, tzn. jednego okresu, podzielimy przez czas T, to
otrzymamy wartość średnią mocy chwilowej za okres.
Podstawiając do powyższego wzoru funkcję określającą moc chwilową w obwodzie, po
wykonaniu operacji całkowania otrzymuje się
Mocą czynną nazywamy wartość średnią mocy chwilowej.
Moc czynna w obwodzie o wymuszeniu sinusoidalnym jest więc wielkością stałą
równą iloczynowi modułów wartości skutecznych napięcia i prądu oraz cosinusa
kąta przesunięcia fazowego między wektorem napięcia i prądu. Współczynnik
odgrywa ogromną rolę w praktyce i nosi specjalną nazwę współczynnika mocy.
4
Moc czynna stanowi składową stałą mocy chwilowej. Jest ona nieujemna dla obwodu
RLC a w granicznym przypadku przy jest równa zeru. Moc
czynna osiąga wartość największą wtedy, gdy to znaczy gdy odbiornik
ma charakter rezystancyjny, Wartość najmniejszą moc osiąga w
przypadku granicznym, gdy to znaczy gdy odbiornikiem jest cewka idealna
lub kondensator idealny, Oznacza to, że na elementach reaktancyjnych nie
wydziela siÄ™ moc czynna.
Z przytoczonych rozważań wynika, moc czynną wydzielaną w rezystorze można opisać
następującymi wzorami
w których prąd oraz napięcie odpowiadają rezystorowi . Jednostką mocy czynnej
jest wat ( , przy czym . W praktyce stosuje się również wielokrotności
wata w postaci kilowata lub megawata oraz wartości
ułamkowe, np. miliwat lub mikrowat
Do pomiaru mocy czynnej służy watomierz. Klasyczny watomierz jest przyrządem
pomiarowym posiadającym cewkę prądową (o impedancji wewnętrznej bliskiej zeru)
do pomiaru prądu gałęziowego obwodu i cewkę napięciową (o impedancji
wewnętrznej bliskiej nieskończoności) do pomiaru napięcia między punktami
obwodu, dla którego mierzymy moc czynną.
5
W obwodach elektrycznych prądu sinusoidalnego definiuje się trzecią wielkość
energetyczną będącą iloczynem napięcia i prądu oraz sinusa kąta przesunięcia
fazowego między nimi. Wielkość ta oznaczana jest literą i nazywana mocą bierną
Jednostką mocy biernej jest war (var) będący skrótem nazwy
woltamper reaktywny. W przypadku rezystora, dla którego przesunięcie fazowe jest
równe zeru moc bierna jest zerowa Moc bierna może się więc
wydzielać jedynie na elementach reaktancyjnych, gdyż tylko dla nich przesunięcie
fazowe prądu i napięcia jest różne od zera. Przesunięcie fazowe prądu i napięcia na
elementach reaktancyjnych (cewce i kondensatorze) przyjmuje wartość dla cewki
oraz dla kondensatora, co oznacza, że sinus kąta jest odpowiednio równy dla
cewki (moc bierna cewki jest uważana za dodatnią) oraz dla kondensatora (moc bierna
kondensatora jest uważana za ujemną). Stąd przy pominięciu znaku wzór na moc bierną
elementów reaktancyjnych o reaktancji może być przedstawiony w trzech
równorzędnych postaciach
W ogólności kąt przesunięcia fazowego uważa
się za dodatni dla obwodów o charakterze indukcyjnym (napięcie wyprzedza prąd) a za
ujemny dla obwodów o charakterze pojemnościowym (napięcie opóz
nia się względem
prądu). Moc bierna obwodów o charakterze indukcyjnym jest w sumie mocą
indukcyjną, kojarzona z liczbą dodatnią a moc bierna obwodów o charakterze
pojemnościowym jest więc w sumie mocą pojemnościową i kojarzoną z liczbą ujemną.
6
Moc pozorna zespolona
Czwartym rodzajem mocy wprowadzanym w obwodach elektrycznych jest tak zwana
moc pozorna zespolona. Jest ona proporcjonalna do wartości skutecznych prądu i
napięcia, i oznaczana literą . Moc pozorna zespolona definiowana jest formalnie jako
liczba zespolona w postaci iloczynu wartości skutecznej zespolonej napięcia i
wartości skutecznej sprzężonej prądu .
Zależność na moc pozorną zespoloną można przedstawić również w postaci
wykładniczej W zależności tej wyraża moduł mocy pozornej
zespolonej, który może być wyrażony w postaci iloczynu modułów wartości
skutecznych prądu i napięcia
Z wykresu wektorowego obwodu przedstawionego na rysunku możliwe jest
wyznaczenie współczynnika mocy. Mianowicie
Wartość współczynnika mocy wyznaczona z powyższej zależności jest identyczna z
wartością wynikającą z relacji prądowo-napięciowych zachodzących dla wielkości
bramowych obwodu.
7
 8
 9
 10
 11
Energia magazynowana w idealnej cewce
Rozpatrzmy cewkę o indukcyjności zasiloną z generatora napięciowego .
Obliczymy energiÄ™ dostarczonÄ… do tej cewki w czasie od do . Energia ta, podobnie
jak w przypadku kondensatora, może być obliczona jako całka z mocy chwilowej
Uwzględniając wzór na moc chwilową i dokonując odpowiednich operacji całkowania
otrzymujemy
Załóżmy, że czas t0 jest taką chwilą, w której prąd cewki jest zerowy. W takim razie
wzór na energię upraszcza się do postaci
Zasadniczą cechą cewki idealnej jest jej bezstratność, co oznacza, że energia
dostarczona do niej pozostaje w niej zmagazynowana. Zatem cewka, przez która
przepływa prąd stały I posiada energię równą
W odróżnieniu od kondensatora, w którym energia związana była z napięciem między
okładkami (ładunkiem) energia cewki jest uzależniona od prądu (strumienia
magnetycznego). Stąd przyjmuje się, że kondensator magazynuje energię w polu
elektrycznym a cewka w polu magnetycznym.
12
Moc magazynowana w cewce rzeczywistej
Obliczenia mocy dla dwójnika szeregowego RL. Przyjmijmy, że prąd płynący w
dwójniku ma fazę początkową równą zero, czyli
i=ImsinÉt a wobec tego napiÄ™cie na zaciskach dwójnika:
u=Umsin(Ét+Ć) napiÄ™cie wyprzedza prÄ…d o kÄ…t fazowy:
Ć=arctg(ÉL/R)
W wyniku podstawienia wartości chwilowych napięcia i prądu otrzymamy moc
chwilowÄ…:
p=UI[cosĆ-cos(2Ét+Ć)]
W ciÄ…gu jednego okresu prÄ…du moc chwilowa czterokrotnie zmienia znak. Energia
dodatnia jest większa od energii ujemnej. Oś oscylacji mocy chwilowej jest przesunięta
względem osi czasu o wartość stałą równą UIcosĆ, a amplituda mocy chwilowej
wynosi UI.
Moc czynna będąca wartością średnią mocy chwilowej wynosi P=UIcosĆ. Z trójkąta
napięć wynika, że UcosĆ=UR=RI a zatem P=RI2. Moc czynna jest pobierana jedynie
przez elementy rezystancyjne.
Moc bierna wynosi Q=UIsinĆ, z trójkąta napięć wynika, że UsinĆ=UL=XLI czyli
Q=UL=XLI2 moc bierna jest zwiÄ…zana jedynie z elementem indukcyjnym. Moc pozorna
wynosi S=UI czyli S=UI2
13
Znaczenie techniczne i ekonomiczne współczynnika mocy
Współczynnik mocy (cosĆ) odgrywa dużą rolę w zakresie efektywności wykorzystania urządzeń
elektrycznych. Odbiorniki energii elektrycznej np. silniki elektryczne, urzÄ…dzenia grzejne,
oświetleniowe są dobierane pod kątem wartości mocy czynnej, której odpowiada energia użyteczna
pobrana przez urządzenia i przekształcona w energię mechaniczną, cieplną.
Wartość prądu w odbiorniku, a zatem też w przewodach i urządzeniach rozdzielczych łączących
odbiornik ze z
ródłem energii elektrycznej zależy w tym przypadku od wartości współczynnika mocy
(cosĆ). Jeżeli współczynnik mocy odbiornika jest mały, to dostarczenie określonej mocy P przy
danym napięciu wymaga przepływu prądu o większej wartości niż w przypadku dużej wartości
współczynnika cosĆ.
Strata mocy w linii jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu współczynnika mocy.
Powszechnie dąży się do tego, aby współczynnik mocy odbiorników energii elektrycznej był
bliski jedności. Jedną z metod jest kompensacja mocy biernej za pomocą kondensatorów. Załóżmy,
że silnik elektryczny o mocy P i współczynniku mocy cosĆ jest zasilany ze z
ródła o napięciu U.
Schemat zastępczy silnika to dwójnik równoległy RL.
Poszczególne składowe prądu to:
IR=IScosĆ1 IL=ISsinĆ1 Prąd płynący przez baterię kondensatorów wynosi Ic.
Można więc dobrać tak wartość pojemności C, aby prąd IC=IL uzyskamy wtedy kompensację idealną,
czyli moce bierne się znoszą i mamy współczynnik cosĆ równy jedności.
Można również tak dobrać wartość pojemności C, aby współczynnik mocy cosĆ2 układu miał nową
wartość - większą od wartości współczynnika mocy cosĆ1 silnika.
14
Zadania sprawdzajÄ…ce
Zadanie 3.1
Sporządzić bilans mocy w obwodzie przedstawionym na rysunku. Przyjąć następujące wartości
elementów:
.
RozwiÄ…zanie
Wartości symboliczne elementów obwodu:
Moc wydawana prze z
ródło
Moce elementów
Impedancje obwodu:
Moc całkowita odbiornika
Prądy i napięcia w obwodzie:
Moc odbiornika jest dokładnie równa mocy
z
ródła.
15