W y k ł a d 2 7

C a ł k a p o t r ó j n a

Mamy dany prostopadłościan:

Tworzymy ciąg podziałów ∆

n

prostopadłościanu P na n prostopadłościanów P

i

o krawędziach ∆x

i

,

∆y

i

, ∆z

i

.

Definicja 27.1 normalny ciąg podziałów prostopadłościanu P

Niech

będzie średnicą podziału ∆

n

.

Ciąg podziałów

nazywamy normalnym :⇔

.

W każdym z prostopadłościanów wybieramy punkt pośredni

.

Niech

Definicja 27.2 całka potrójna
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów

prostopadłościanu P i dowolnego wyboru

punktów pośrednich

istnieje granica

, która nie zależy od normalnego

ciągu podziałów prostopadłościanu P i wyboru punktów pośrednich, to tę granicę nazywamy całką
potrójną funkcji f, i zapisujemy:

Definicja 27.3 zbiór miary przestrzennej Riemana zero

jest miary przestrzennej Riemana zero :⇔ jeżeli można zbiór ten pokryć skończona ilością

prostopadłościanów o łącznej objętości nie przekraczającej z góry zadanej liczby ε.

Twierdzenie 27.1
Z: funkcja f jest ciągła w prostopadłościanie P poza co najwyżej zbiorem miary przestrzennej
Riemana zero.
T: Funkcja f jest całkowalna w prostopadłościanie P.

Uwaga
Obszar płaski jest miary przestrzennej Riemana zero.
Dowolna powierzchnia ma również miarę przestrzenna Riemana zero.

Każda powierzchnia w R

3

ma miarę przestrzenna Riemana zero.

Twierdzenie 27.2 o iteracji całki w prostopadłościanie P
Z:

,

funkcja f jest ciągła w prostopadłościanie P poza co najwyżej zbiorem miary Riemana zero.

T:

Definicja 27.4 obszar normalny

- normalny względem płaszczyzny OXY :⇔

Analogicznie definiuje się obszar normalny względem pozostałych płaszczyzn układu.

Twierdzenie 27. 3 o iteracji całki w obszarze normalnym
Z: V - obszar normalny względem płaszczyzny OXY,
f - funkcja ciągła w V prawie wszędzie (tzn. poza co najwyżej zbiorem miary przestrzennej Riemana
zero).

T:

Jeżeli dodatkowo obszar D jest normalny względem OX, tzn.

,

to:

,

inaczej:

Przykład 27.1

Obliczyć

, gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami:

oraz z = h.

wówczas:

.

Twierdzenie 27. 4 o zamianie zmiennych w całce potrójnej
Z:

Φ - bijekcja i

, f - funkcja ciągła w obszarze V

prawie wszędzie.

T:

Współrzędne walcowe :

interpretacja geometryczna:

- współrzędne walcowe punktu P.

Przykład 27.1 (ciąg dalszy)

Obliczyć

, gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami:

oraz z = h.

Wprowadzamy współrzędne walcowe:

, wówczas r, ϕ zmieniają się w D:

.

Przykład 27.2

Obliczyć:

.

W granicach całkowania zawarty jest obszar całkowania, który należy odtworzyć.

z:

(górna połowa sfery),

y:

(walec),

x: x = 0 do x = 2a.

Wprowadzamy współrzędne walcowe.

Współrzędne walcowe uogólnione

Współrzędne sferyczne

- współrzędne sferyczne punktu P.

Uwaga:

.

Współrzędne sferyczne uogólnione

Przykład 27.3

Obliczyć:

, gdzie V = { (x,y,z) : x

2

+y

2

+z

2

≤ x } .

Powierzchnia o równaniu x

2

+y

2

+z

2

= x , jest to sfera:

.

Jeżeli całkujemy po pełnej kuli lub po wycinku kuli stożkiem, to opłaca się wprowadzić współrzędne
sferyczne.

oraz

Przykład 27.4

Obliczyć objętość bryły ograniczonej sferą x

2

+y

2

+z

2

=a

2

i stożkiem obrotowym: z

2

=x

2

+y

2

.

Wprowadzamy współrzędne sferyczne:

oraz

Wykład opracował: Jakub Warzecha