W y k ł a d   2 7  

C a ł k a   p o t r ó j n a  

Mamy dany prostopadłościan: 

 

 

 
Tworzymy ciąg podziałów ∆

n

 prostopadłościanu P na n prostopadłościanów P

i

 o krawędziach ∆x

i

, 

∆y

i

, ∆z

i

. 

 
Definicja 27.1 normalny ciąg podziałów prostopadłościanu P 

Niech 

 będzie średnicą podziału ∆

n

. 

Ciąg podziałów 

 nazywamy normalnym :⇔ 

 . 

W każdym z prostopadłościanów wybieramy punkt pośredni 

 . 

Niech 

 

 
Definicja 27.2 całka potrójna 
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów 

 prostopadłościanu P i dowolnego wyboru 

punktów pośrednich 

 istnieje granica 

 , która nie zależy od normalnego 

ciągu podziałów prostopadłościanu P i wyboru punktów pośrednich, to tę granicę nazywamy całką 
potrójną funkcji f, i zapisujemy: 

 

 
Definicja 27.3 zbiór miary przestrzennej Riemana zero 

 jest miary przestrzennej Riemana zero :⇔ jeżeli można zbiór ten pokryć skończona ilością 

prostopadłościanów o łącznej objętości nie przekraczającej z góry zadanej liczby ε. 
 
Twierdzenie 27.1 
Z: funkcja f jest ciągła w prostopadłościanie P poza co najwyżej zbiorem miary przestrzennej 
Riemana zero. 
T: Funkcja f jest całkowalna w prostopadłościanie P. 
 
Uwaga 
Obszar płaski jest miary przestrzennej Riemana zero. 
Dowolna powierzchnia ma również miarę przestrzenna Riemana zero. 

Każda powierzchnia w R

3

 ma miarę przestrzenna Riemana zero. 

 
Twierdzenie 27.2 o iteracji całki w prostopadłościanie P  
Z:   

,  

funkcja f jest ciągła w prostopadłościanie P poza co najwyżej zbiorem miary Riemana zero. 

T:   

 

 
Definicja 27.4 obszar normalny 

 - normalny względem płaszczyzny OXY :⇔ 

 

 

Analogicznie definiuje się obszar normalny względem pozostałych płaszczyzn układu. 
 
Twierdzenie 27. 3 o iteracji całki w obszarze normalnym 
Z: V - obszar normalny względem płaszczyzny OXY, 
f - funkcja ciągła w V prawie wszędzie (tzn. poza co najwyżej zbiorem miary przestrzennej Riemana 
zero). 

T:   

 

 
Jeżeli dodatkowo obszar D jest normalny względem OX, tzn. 

 , 

 

to: 

 , 

inaczej:     

 

 
Przykład 27.1 

Obliczyć 

 , gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami: 

 oraz z = h. 

 

 

wówczas:   

 . 

 
Twierdzenie 27. 4 o zamianie zmiennych w całce potrójnej 
Z:   

 

Φ - bijekcja i 

 , f - funkcja ciągła w obszarze V 

prawie wszędzie. 
 
T:   

 

 
Współrzędne walcowe : 

 

 
interpretacja geometryczna: 

 - współrzędne walcowe punktu P. 

 

 
Przykład 27.1 (ciąg dalszy) 

Obliczyć 

 , gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami: 

 oraz z = h. 

Wprowadzamy współrzędne walcowe: 

 , wówczas r, ϕ zmieniają się w D:   

 . 

 

 
Przykład 27.2 

Obliczyć: 

 . 

W granicach całkowania zawarty jest obszar całkowania, który należy odtworzyć. 

z:   

 (górna połowa sfery), 

y:   

 (walec), 

x: x = 0 do x = 2a. 

 

Wprowadzamy współrzędne walcowe. 

 

 
Współrzędne walcowe uogólnione 

 

 
Współrzędne sferyczne 

 - współrzędne sferyczne punktu P. 

 

  

 
Uwaga:   

 . 

 
Współrzędne sferyczne uogólnione 

 

 
Przykład 27.3 

Obliczyć: 

 , gdzie V = { (x,y,z) : x

2

+y

2

+z

2

 ≤ x } .

 

Powierzchnia o równaniu x

2

+y

2

+z

2

 = x , jest to sfera: 

. 

 

 
Jeżeli całkujemy po pełnej kuli lub po wycinku kuli stożkiem, to opłaca się wprowadzić współrzędne 
sferyczne. 

     oraz     

 

 
Przykład 27.4 

Obliczyć objętość bryły ograniczonej sferą x

2

+y

2

+z

2

=a

2

 i stożkiem obrotowym: z

2

=x

2

+y

2

 . 

 

 

Wprowadzamy współrzędne sferyczne: 

    oraz     

 

  

 
 
 

Wykład opracował: Jakub Warzecha