Politechnika Świętokrzyska

Metody obliczeniowe

W27.

Grupa: 312B

Piotr Chebdowski

1. Zmodyfikowana metoda Eulera.

W zmodyfikowanej metodzie Eulera wykorzystujemy dodatkowo styczną w punkcie
P, będącym środkiem przedziału (t, t+h):

Najpierw znajdujemy

styczną w punkcie t, a następnie na jej podstawie wyznaczamy

wartość punktu P odległego od t o h/2. Wartość szukanej funkcji w punkcie t+h
znajdujemy z kolei w oparciu o równanie stycznej w wyznaczonym punkcie P.

W metodzie tej błąd będzie mniejszy – gdyż w kolejnych krokach analizujemy punkty
odległe od siebie o h/2 a nie o h.

Wzór opisujący sposób znajdowania kolejnego punktu można zapisać:

Funkcja realizująca zmodyfikowaną metodę Eulera:

K1, K2

– wartości pomocnicze

wzór obliczający kolejne wartości –
z

wykorzystaniem wartości

pomocniczej K2

y

n 1

y

n

h f t

n

h

2

y

n

h

2

f t

n

y

n

t

Euler2 t0 y0 a b h

(

)

y

0

y0

t

0

t0

K1

h f t

i 1

y

i 1

K2

h f t

i 1

h

2

y

i 1

K1

2

y

i

y

i 1

K2

t

i

t

i 1

h

i

1

b

a

h

for

y

t

Rozwiązanie (założenia i warunki początkowe – jak w podstawowej metodzie
Eulera):

Źródło:

http://student.agh.edu.pl/~drelek/studia/3semestr/metody/sprawozdanie 4 rr.doc

2. Program.

public

class

RrrzRK {

private

Double[]

y

=

new

Double[11];

private

Double[]

x

=

new

Double[11];

private

Double[][]

k

=

new

Double[11][4];

private

Double[][]

mk

=

new

Double[11][4];

private

Double[]

suma

=

new

Double[11];

private

Double

h

;

public

RrrzRK() {

h

= 0.1;

x

[0] = 1.7;

y

[0] = 5.6;

}

private

double

function(Double x, Double y) {

return

h

* (x + Math.cos((y + x) / Math.

PI

));

}

private

void

rK() {

50

100

150

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Euler2 t0 y0 a b h

(

)

0

Euler2 t0 y0 a b h

(

)

1

for

(

int

i = 0; i < 11; i++) {

suma

[i] = 0.0;

k

[i][0] = function(

x

[i],

y

[i]);

mk

[i][0] =

k

[i][0];

k

[i][1] = function(

x

[i] + 0.5 *

h

,

y

[i] + 0.5 *

k

[i][0]);

mk

[i][1] = 2 *

k

[i][1];

k

[i][2] = function(

x

[i] + 0.5 *

h

,

y

[i] + 0.5 *

k

[i][1]);

mk

[i][2] = 2 *

k

[i][2];

k

[i][3] = function(

x

[i] +

h

,

y

[i] +

k

[i][2]);

mk

[i][3] =

k

[i][3];

suma

[i] = (

mk

[i][0] +

mk

[i][1] +

mk

[i][2] +

mk

[i][3]) / 6;

if

(i < 10) {

x

[i + 1] =

x

[i] +

h

;

y

[i + 1] =

y

[i] +

suma

[i];

}

System.

out

.printf(

"y = %f dla x = %.1f\n"

,

y

[i],

x

[i]);

}

}

public

static

void

main(String[] args) {

RrrzRK r =

new

RrrzRK();

r.rK();

}

}

3. Konsola.