WIELOMIENY ORTOGONALNE
WIELOMIANY CZEBYSZEWA
1. Utwórz wielomiany Czebyszewa do 8 stopnia włącznie a) wykorzystaj poniższy wzór
n
1 2
x
d n
1
n
T ( x) (
)
1
x
n
1 2
2
2 n
1 !
! d n
x
b) wykorzystaj poniższy związek rekurencyjny T
( x) 2 xT ( x) T
( x)
n 1
n
n 1
wskazówka: zadaj dwa pierwsze wielomiany T ( x) , 1 T ( x) x 0
1
c) wykorzystaj komendę T dostępną z pakietu orthopoly 2. Sprawdź warunek ortogonalności tworząc macierz o współczynnikach 1
a
T ( x) T ( x) (
w x) dx , i, j , 0 ...8
i j
,
1
1
i
j
1
1
gdzie funkcja wagowa (
w x)
2
1 x
3. Wykreśl 5 pierwszych wielomianów w jednym układzie współrzędnych.
WIELOMIANY HERMITE’A
1. Utwórz wielomiany Hermite’a do 8 stopnia włącznie a) wykorzystaj poniższy wzór
n
H ( x)
n
2
n
x
d
1 e
2
e x
d n
x
b) wykorzystaj poniższy związek rekurencyjny H
( x) 2 xH ( x) 2 nH
( x)
n 1
n
n 1
wskazówka: zadaj dwa pierwsze wielomiany H ( x) , 1 H ( x) 2 x 0
1
c) wykorzystaj komendę H dostępną z pakietu orthopoly
2. Sprawdź warunek ortogonalności tworząc macierz o współczynnikach
a
H ( x) H ( x) (
w x) dx , i, j , 0 ...8
i j
,
1
1
i
j
2
gdzie funkcja wagowa (
w ) e x
x
3. Wykreśl 5 pierwszych wielomianów w jednym układzie współrzędnych.
WIELOMIANY LAGUERRE’A
1. Utwórz wielomiany Laguerre’a do 8 stopnia włącznie a) wykorzystaj poniższy wzór
n
1 x d
L ( x)
e
e
x
n
x n
n
n!
x
d
b) wykorzystaj poniższy związek rekurencyjny 2 n 1 x
n
L
( x)
L ( x)
L
( x)
n 1
n
n 1
n 1
n 1
wskazówka: zadaj dwa pierwsze wielomiany L ( ) x ,
1 L ( )
x x 1
0
1
c) wykorzystaj komendę L dostępną z pakietu orthopoly
2. Sprawdź warunek ortogonalności tworząc macierz o współczynnikach
a
L ( x) L ( x) (
w x) dx , i, j , 0 ...8
i j
,
1
1
i
j
0
gdzie funkcja wagowa
- x
w( x) e
3. Wykreśl 5 pierwszych wielomianów w jednym układzie współrzędnych.