www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
D
ZIELENIE WIELOMIANÓW
Dzielenie
to motyw przewodni wielu szkolnych zada ´n. Zacznijmy od przy-
pomnienia co to jest dzielenie liczb. Co to znaczy podzieli´c 15 przez 7? To znaczy sprawdzi´c
ile razy 7 mie´sci si˛e w 15 (to jest iloraz), oraz ile zostanie jak te wszystkie mo ˙zliwe siódemki
odejmiemy (to jest reszta). Mo ˙zemy to działanie zapisa´c w postaci
15
=
7
·
2
+
1
.
W powy ˙zszym rachunku
2
jest ilorazem, a
1
reszt ˛
a z dzielenia
. To co jest bardzo wa ˙zne, to
˙ze reszta jest zawsze mniejsza od liczby, przez któr ˛
a dzielimy (gdyby reszta była wi˛eksza od
7 to by znaczyło, ˙ze w danej liczbie mie´sci si˛e jeszcze jedna siódemka, czyli jest co´s nie tak z
naszym dzieleniem).
Dokładnie tak samo dzieli si˛e wielomiany i je ˙zeli b˛edziemy musieli sobie kiedy´s szybko
przypomnie´c o co chodzi w dzieleniu wielomianów, najpierw napiszmy sobie przykład z
liczbami podobny do tego wy ˙zej.
Podzielenie wielomianu W
(
x
)
przez wielomian P
(
x
)
polega na znalezieniu dwóch wie-
lomianów
Q
(
x
)
i
R
(
x
)
tak, aby była spełniona równo´s´c:
W
(
x
) =
P
(
x
)
Q
(
x
)
+
R
(
x
)
,
gdzie stopie ´n wielomianu
R
(
x
)
jest mniejszy od stopnia wielomianu P
(
x
)
. Wielomian
Q
(
x
)
nazywamy ilorazem, a
R
(
x
)
reszt ˛
a z dzielenia
. Warunek deg
R
(
x
)
<
deg P
(
x
)
nale ˙zy trak-
towa´c jako dokładny odpowiednik analogicznego warunku dla reszty przy dzieleniu liczb
(gdyby stopie ´n nie był mniejszy, to by znaczyło, ˙ze reszt˛e wci ˛
a ˙z mo ˙zna podzieli´c przez P
(
x
)
,
co byłoby sprzeczne z ide ˛
a reszty).
Powiedzmy, ˙ze chcemy podzieli´c wielomian W
(
x
) =
x
7
−
5x
3
+
x przez wielomian
x
2
−
1. Jakie b˛ed ˛
a stopnie ilorazu i reszty?
Stopie ´n ilorazu łatwo przewidzie´c. Poniewa ˙z stopnie si˛e dodaj ˛
a gdy mno ˙zymy wie-
lomiany, iloraz musi mie´c stopie ´n 5 (inaczej mówi ˛
ac, ˙zeby wyszło x
7
musimy x
2
przemno ˙zy´c przez x
5
). Co do reszty, to wiemy, ˙ze maksymalnie mo ˙ze mie´c stopie ´n
1 (bo dzielimy przez wielomian stopnia 2). Czy ma dokładnie stopie ´n 1? Tego ju ˙z
nie wiadomo, trzeba podzieli´c, ˙zeby si˛e przekona´c.
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Wyznaczmy reszt˛e z dzielenia wielomianu W
(
x
) =
x
5
−
4x
3
+
2x
+
1 przez wielo-
mian
(
x
−
2
)(
x
+
1
)
.
Poniewa ˙z dzielimy przez wielomian stopnia 2, reszta b˛edzie miała stopie ´n 1, czyli
szukamy wielomianu R
(
x
) =
ax
+
b takiego, ˙ze
x
5
−
4x
3
+
2x
+
1
= (
x
−
2
)(
x
+
1
)
Q
(
x
) +
ax
+
b,
gdzie Q
(
x
)
jest pewnym wielomianem, który nas specjalnie nie interesuje (bo ma-
my tylko wyznaczy´c reszt˛e). Podstawiaj ˛
ac w tej równo´sci x
=
2 i x
= −
1 ( ˙zeby
składnik z Q
(
x
)
si˛e wyzerował), otrzymujemy układ równa ´n
(
5
=
2a
+
b
2
= −
a
+
b.
Odejmuj ˛
ac od pierwszego równania drugie otrzymamy a
=
1, sk ˛
ad b
=
3 i R
(
x
) =
x
+
3.
W przypadku gdy R
(
x
) =
0 mówimy, ˙ze wielomian W
(
x
)
dzieli si˛e przez P
(
x
)
bez reszty
(albo krótko, ˙ze si˛e dzieli przez P
(
x
)
). Oczywi´scie znowu jest to w pełni analogiczne do
terminologii stosowanej przy dzieleniu liczb.
W jednym z poprzednich przykładów sprawdzili´smy, ˙ze
2x
3
−
5x
2
+
7x
+
5
= (
x
2
−
3x
+
5
)(
2x
+
1
)
.
Równo´s´c ta oznacza, ˙ze wielomian z lewej strony dzieli si˛e bez reszty zarówno
przez wielomian x
2
−
3x
+
5 (z ilorazem 2x
+
1) jak i przez 2x
+
1 (z ilorazem x
2
−
3x
+
5).
Dzielenie wielomianów – dzielenie pisemne
Skoro ju ˙z dobrze wiemy o co chodzi w dzieleniu wielomianów, nadszedł czas, ˙zeby´smy
nauczyli si˛e sprawnie takie dzielenie wykonywa´c.
Nauk˛e rozpoczniemy od dzielenia pisemnego, które jest dokładnym odpowiednikiem
dzielenia liczb. Powiedzmy, ˙ze chcemy podzieli´c wielomian x
5
+
1 przez wielomian x
2
+
1.
Wykonamy najpierw dzielenie, a potem wyja´snimy, co dokładnie si˛e działo.
x
3
−
x
x
5
+
0x
4
+
0x
3
+
0x
2
+
0x
+
1 : x
2
+
1
−
x
5
−
x
3
−
x
3
+
1
x
3
+
x
x
+
1
Zaczynamy jak przy dzieleniu liczb: piszemy wielomian, który dzielimy i nad nim rysuje-
my kresk˛e. W tym kroku jest wa ˙zne, ˙zeby napisa´c wszystkie współczynniki wielomianu,
równie ˙z te zerowe. Patrzymy teraz na najwy ˙zsz ˛
a pot˛eg˛e x w naszym wielomianie, czyli na
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
x
5
i dzielimy przez najwy ˙zsz ˛
a pot˛eg˛e x w wielomianie przez, który dzielimy. Otrzymuje-
my
x
5
x
2
=
x
3
i piszemy to nad kresk ˛
a, jest to pierwszy składnik wyniku. Mno ˙zymy teraz
otrzymane x
3
przez wielomian, przez który dzielimy i otrzymujemy
x
3
(
x
2
+
1
) =
x
5
+
x
3
.
Zapisujemy to wyra ˙zenie ze zmienionym znakiem pod wyj´sciowym wielomianem. Cało´s´c
podkre´slamy i dodajemy. Teraz startujemy od wyra ˙zenia pod kresk ˛
a, czyli od
−
x
3
+
1 i po-
wtarzamy te same operacje co poprzednio: dzielimy
−
x
3
przez x
2
i wynik
−
x
piszemy u
góry; przemna ˙zamy
−
x przez x
2
+
1 i podpisujemy ze zmienionym znakiem pod
−
x
3
+
1.
Znowu kreska i dodawanie. Teraz otrzymujemy ju ˙z wielomian, którego stopie ´n jest mniej-
szy od wielomianu, przez który dzielimy, wi˛ec jest to nasza reszta. Iloraz mamy napisany
na samej górze.
Sprawd´zmy jeszcze, ˙ze dzielenie dało nam dobry wynik
(
x
2
+
1
)(
x
3
−
x
) +
x
+
1
=
x
5
−
x
3
+
x
3
−
x
+
x
+
1
=
x
5
+
1,
czyli jest OK.
Dzielenie pisemne to bardzo szybki sposób na dzielenie wielomianów, ale zapis algoryt-
mu jest do´s´c nieprzyjemny i z tego powodu na ogół traktujemy je jak ostateczno´s´c.
Dzielenie wielomianów – grupowanie wyrazów
Grupowanie wyrazów to cz˛esto najprostszy sposób na dzielenie wielomianów. Wprawdzie
sposób ten nie jest najszybszy, ale ma do´s´c elegancki zapis i najtrudniej si˛e w nim pomyli´c.
A nawet gdy zrobimy bł ˛
ad, to do´s´c łatwo jest go znale´z´c.
Ale do rzeczy, zróbmy ten sam przykład co przy dzieleniu pisemnym.
x
5
+
1
=
x
3
(
x
2
+
1
) −
x
3
+
1
=
x
3
(
x
2
+
1
) −
x
(
x
2
+
1
) +
x
+
1
=
= (
x
3
−
x
)(
x
2
+
1
) +
x
+
1
.
W zasadzie jest to inny zapis dzielenia pisemnego: zaczynamy od najwy ˙zszej pot˛egi, czyli
od x
5
i dopisujemy do niej składniki tak, aby mie´c wielokrotno´s´c wielomianu, przez który
dzielimy, czyli x
3
. Potem odejmujemy to dopisane x
3
i reszt˛e przepisujemy bez zmian. W
kolejnym kroku robimy to samo, ale pocz ˛
atkowym składnikiem x
3
(
x
2
+
1
)
ju ˙z si˛e nie zaj-
mujemy i zaczynamy od
−
x
3
. Znowu dopisujemy brakuj ˛
acy składnik do tego, ˙zeby mie´c
wielokrotno´s´c x
2
+
1 i go odejmujemy, ˙zeby si˛e zgadzało. Zostaje wielomian stopnia 1, wi˛ec
jest to ju ˙z reszta z dzielenia. Na koniec grupujemy wyrazy wyci ˛
agaj ˛
ac
(
x
2
+
1
)
przed nawias,
˙zeby było wida´c jaki jest iloraz.
Przy odrobinie wprawy, zapis dzielenia przy pomocy grupowania wyrazów mo ˙zna znacz-
nie skróci´c, co zilustrujmy dziel ˛
ac wielomian x
3
+
2x
2
−
23x
+
1 przez wielomian x
−
4.
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1
= (
x
3
−
4x
2
) + (
6x
2
−
24x
) + (
x
−
4
) +
5
=
= (
x
−
4
)(
x
2
+
6x
+
1
) +
5
.
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
O co chodzi? Rozpiszmy szczegółowo w jaki sposób pisali´smy kolejne składniki tego wyra-
˙zania.
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1
= (
x
3
−
4x
2
)
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1
= (
x
3
−
4x
2
) +
6x
2
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1
= (
x
3
−
4x
2
) + (
6x
2
−
24x
) +
x
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1
= (
x
3
−
4x
2
) + (
6x
2
−
24x
) + (
x
−
4
)
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1
= (
x
3
−
4x
2
) + (
6x
2
−
24x
) + (
x
−
4
) +
5
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1
= (
x
−
4
)(
x
2
+
6x
+
1
) +
5
.
Zaczynamy od x
3
i dopisujemy drugi składnik tak, aby mie´c wielomian podzielny przez
x
−
4 (czyli
x
3
x
· (−
4
) = −
4x
2
). Potem patrzymy na x
2
: ma by´c 2x
2
, a na razie mamy napi-
sane
−
4x
2
, wi˛ec trzeba doda´c 6x
2
. Do tego 6x
2
znowu dopisujemy składnik tak, aby mie´c
wielomian podzielny przez x
−
4 (czyli
6x
2
x
· (−
4
) = −
24x). Teraz patrzymy na x: mamy
napisane
−
24x, a ma by´c
−
23x, wi˛ec dopisujemy x. Potem dopisujemy
−
4 ( ˙zeby mie´c x
−
4)
i na koniec dodajemy 5, ˙zeby si˛e zgadzało (bo ma by´c 1). Na koniec wył ˛
aczamy x
−
4 przed
nawias.
Dzielenie wielomianów – schemat Hornera
Schemat Hornera pozwala bardzo szybko (i bezmy´slnie) dzieli´c wielomiany przez dwumia-
ny postaci x
−
a. Jak zwykle wyja´snijmy o co chodzi na przykładzie.
Wykonamy to samo dzielnie, co poprzednio, czyli dzielimy x
3
+
2x
2
−
23x
+
1 przez
x
−
4. Robimy tabelk˛e i w pierwszym jej wierszu, pocz ˛
awszy od drugiego pola, wpisujemy
kolejne współczynniki wielomianu (ł ˛
acznie z zerowymi!), który dzielimy.
1
2
-23
1
4
1
4
·
1
+
2
=
6
4
·
6
−
23
=
1
4
·
1
+
1
=
5
Dolny wiersz wypełniamy nast˛epuj ˛
aco:
a) w pierwszym polu wpisujemy a, je ˙zeli dzielimy przez x
−
a (w naszym przypadku 4);
b) w drugim polu przepisujemy element z górnego wiersza (w naszym przypadku 1);
c) ka ˙zdy kolejny element drugiego wiersza powstaje przez pomno ˙zenie poprzedniego
elementu przez element pierwszy (czyli przez a, u nas przez 4) i dodanie liczby, która
jest napisana u góry.
Gdy ju ˙z wypełnimy dolny wiersz, wynik odczytujemy nast˛epuj ˛
aco
a) liczby od drugiej do przedostatniej s ˛
a współczynnikami ilorazu, w naszym przykła-
dzie daj ˛
a nam wielomian
x
2
+
6x
+
1
;
b) ostatnia liczba w drugim wierszu jest reszt ˛
a z dzielenia, w naszym przykładzie reszta
jest równa
5
.
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Wida´c zatem, ˙ze otrzymali´smy t˛e sam ˛
a odpowied´z, co poprzednio:
x
3
+
2x
2
−
23x
+
1
= (
x
−
4
)(
x
2
+
6x
+
1
) +
5
.
Sprawd´zmy, ˙ze liczba x
= −
1 jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu W
(
x
) =
x
3
−
x
2
−
5x
−
3.
Musimy wykaza´c, ˙ze wielomian W
(
x
)
dzieli si˛e przez
(
x
+
1
)
2
, czyli, ˙ze mo ˙zna go
dwa razy podzieli´c przez dwumian x
+
1. Wykonujemy pierwsze dzielenie.
1
-1
-5
-3
-1
1
-2
-3
0
Zatem po podzieleniu otrzymujemy wielomian
x
2
−
2x
−
3
. Teraz dzielimy raz
jeszcze.
1
-2
-3
-1
1
-3
0
Teraz otrzymali´smy iloraz
(
x
−
3
)
i reszt˛e
0
, co pokazuje, ˙ze istotnie wyj´sciowy wie-
lomian dzieli si˛e przez
(
x
+
1
)
2
. Wynik wykonanych rachunków mo ˙zemy zapisa´c
w postaci:
x
3
−
x
2
−
5x
−
3
= (
x
+
1
)(
x
2
−
2x
−
3
) = (
x
+
1
)
2
(
x
−
3
)
.
Zadania
.info
Podoba Ci się ten poradnik?
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
T
IPS
& T
RICKS
1
W wielu prostych zadaniach dzielenie wielomianów wykonujemy rozkładaj ˛
ac wielomian
na czynniki, korzystaj ˛
ac ze wzorów skróconego mno ˙zenia lub grupuj ˛
ac wyrazy.
Zapiszmy wielomian W
(
x
) =
x
3
−
x
2
−
5x
+
5 jako iloczyn czynników liniowych.
Jeden ze sposobów rozwi ˛
azania tego zadania, to szukanie pierwiastków tego wie-
lomianu, a potem dzielenie przez dwumian. Znacznie pro´sciej jest jednak rozło ˙zy´c
go bezpo´srednio:
x
3
−
x
2
−
5x
+
5
=
x
2
(
x
−
1
) −
5
(
x
−
1
) =
= (
x
2
−
5
)(
x
−
1
) = (
x
−
√
5
)(
x
+
√
5
)(
x
−
1
)
.
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
2
Na ogół staramy si˛e unika´c ułamków w rachunkach, wi˛ec np. zamiast dzieli´c przez dwu-
mian x
−
1
2
wygodniej jest dzieli´c przez 2x
−
1 (o ile nie dzielimy schematem Hornera!).
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c 3x
3
+
x
2
+
x
−
2
>
0.
Szukamy najpierw pierwiastków wymiernych lewej strony. Łatwo sprawdzi´c, ˙ze
pierwiastkiem jest x
=
2
3
. Je ˙zeli teraz b˛edziemy dzieli´c przez x
−
2
3
to nieuchronnie
wpu´scimy si˛e w ´swiat ułamków. Dlatego wygodniej jest dzieli´c przez 3
(
x
−
2
3
) =
3x
−
2. Dzielimy grupuj ˛
ac wyrazy.
3x
3
+
x
2
+
x
−
2
= (
3x
3
−
2x
2
) + (
3x
2
−
2x
) + (
3x
−
2
) =
= (
3x
−
2
)(
x
2
+
x
+
1
)
.
Poniewa ˙z trójmian w nawiasie nie ma pierwiastków (jest zawsze dodatni), rozwi ˛
a-
zaniem wyj´sciowej nierówno´sci jest zbiór
(
2
3
,
+
∞
)
.
3
Na szczególn ˛
a uwag˛e zasługuje reszta z dzielenia wielomianu W
(
x
)
przez dwumian
(
x
−
a
)
.
Z definicji jest to wielomian stopnia co najwy ˙zej 0, a wi˛ec liczba. Ile jest równa? Zapiszmy
definicj˛e dzielenia
W
(
x
) = (
x
−
a
)
W
(
x
) +
R.
Podstawiaj ˛
ac w tej równo´sci x
=
a mamy R
=
W
(
a
)
. T˛e własno´s´c warto zapami˛eta´c, bo jest
wykorzystywana w wielu zadaniach.
Reszta z dzielenia W
(
x
)
przez dwumian
(
x
−
a
)
jest równa W
(
a
)
.
Wiedz ˛
ac, ˙ze reszta z dzielenia wielomianu W
(
x
)
przez trójmian x
2
+
x
−
12 jest
równa
−
3x
+
5 obliczmy reszt˛e z dzielenia W
(
x
)
przez
(
x
−
4
)
.
Z definicji dzielenia mamy równo´s´c
W
(
x
) = (
x
2
+
x
−
12
)
Q
(
x
) −
3x
+
5.
Jak ju ˙z wiemy, reszta z dzielenia W
(
x
)
przez
(
x
−
4
)
to po prostu W
(
4
)
, wi˛ec wsta-
wiamy x
=
4 do powy ˙zszej równo´sci
W
(
4
) = (
16
−
4
−
12
)
Q
(
x
) −
7
= −
7.
4
Z poprzedniej uwagi wynika praktyczny sposób cz˛e´sciowej kontroli poprawno´sci dzielenia
przez dwumian schematem Hornera: je ˙zeli dzielimy wielomian W
(
x
)
przez x
−
a, to reszta
(a wi˛ec liczba w prawym dolnym rogu tabeli) musi by´c równa W
(
a
)
.
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Podzielmy x
5
+
1 przez x
+
2.
1
0
0
0
0
1
-2
1
-2
4
-8
16
-31
Mamy wi˛ec
x
5
+
1
= (
x
+
2
)(
x
4
−
2x
3
+
4x
2
−
8x
+
16
)
−
31
.
Poprawno´s´c tego dzielenia pobie ˙znie sprawdzamy licz ˛
ac W
(−
2
) = −
32
+
1
=
−
31
.
5
Schemat Hornera jest najszybszym sposobem dzielenia przez dwumian, ale jest bezlitosny
je ˙zeli popełnimy pomyłk˛e – mamy małe szanse, ˙zeby zauwa ˙zy´c bł ˛
ad. Dlatego musimy do-
kładnie pami˛eta´c przebieg algorytmu, co w zasadzie wszystkim sprawia problemy. Najwa ˙z-
niejsze rzeczy, o których nalezy pami˛eta´c to
a) wpisuj ˛
ac do tabelki współczynniki wielomianu, który dzielimy pami˛etajmy o wpisa-
niu równie ˙z współczynników zerowych (jak przy zwykłym dzieleniu wielomianów);
b) schemat Hornera mo ˙zemy stosowa´c tylko do dzielenia przez dwumian postaci
(
x
−
a
)
;
nie próbujmy go stosowa´c do wyra ˙ze ´n typu 2x
−
1 albo x
2
−
1;
c) je ˙zeli dzielimy przez x
+
2 to w lewym dolnym rogu tabelki wpisujemy
−
2, a nie 2 (bo
x
+
2
=
x
− (−
2
)
).
Dobra rada: je ˙zeli nie czujecie si˛e pewnie stosuj ˛
ac schemat Hornera, nie stosujcie go i zamiast
tego nauczcie si˛e dzieli´c wielomiany grupuj ˛
ac wyrazy.
6
Pisali´smy, ˙ze schemat Hornera mo ˙zemy stosowa´c tylko do dzielenia przez dwumian x
−
a,
ale stosuj ˛
ac go wielokrotnie mo ˙zemy go u ˙zywa´c do dzielenia przez dowolny wielomian,
który rozkłada si˛e na czynniki liniowe.
Jak podzieli´c wielomian schematem Hornera przez x
2
−
3? Rozkładamy
x
2
−
3
= (
x
−
√
3
)(
x
+
√
3
)
,
a nast˛epnie wykonujemy dwa dzielenia: najpierw przez x
−
√
3, a potem przez
x
+
√
3.
A jak podzieli´c przez 10x
2
−
3x
−
1? Te ˙z rozkładamy
∆
=
9
+
40
=
49
x
=
3
−
7
20
= −
1
5
∨
x
=
3
+
7
20
=
1
2
.
Tak wi˛ec najpierw dzielimy przez x
+
1
5
, a potem przez x
−
1
2
.
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
7
Je ˙zeli my´slimy o dzieleniu wielomianów jak o dzieleniu liczb, to odpowiednikiem liczb
pierwszych s ˛
a wielomiany nierozkładalne. Okazuje si˛e, ˙ze s ˛
a to dokładnie jednomiany
ax
+
b oraz wielomiany kwadratowe z ujemn ˛
a
∆- ˛a (tak jest bo ka˙zdy wielomian mo˙zna
rozło ˙zy´c na iloczyn wielomianów stopnia co najwy ˙zej 2). W takim j˛ezyku rozkład wielo-
mianu na czynniki liniowe i kwadratowe z ujemn ˛
a Delta- ˛
a odpowiada rozkładowi liczby
naturalnej na iloczyn liczb pierwszych. Okazuje si˛e, ˙ze podobnie jak dla liczb, taki rozkład
jest jednoznaczny (z dokładno´sci ˛
a do mno ˙zenia czynników przez liczb˛e).
Podobnie jak dla liczb pierwszych, je ˙zeli W
(
x
)
jest wielomianem nierozkładalnym, który
dzieli iloczyn
P
(
x
) ·
Q
(
x
)
to W
(
x
)
musi dzieli´c jeden ze składników.
Uzasadnijmy, ˙ze je ˙zeli wielomiany P
(
x
)
i Q
(
x
)
spełniaj ˛
a równo´s´c
P
(
x
)
Q
(
x
) =
x
8
−
1
to jeden z nich dzieli si˛e przez wielomian x
2
+
1.
Na mocy poczynionej uwagi wystarczy wykaza´c, ˙ze wielomian x
2
+
1 dzieli praw ˛
a
stron˛e. A to nie jest trudne
x
8
−
1
= (
x
4
−
1
)(
x
4
+
1
) = (
x
2
−
1
)(
x
2
+
1
)(
x
4
+
1
)
.
Materiał pobrany z serwisu
8
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Reszty z dzieleń wielomianów
Dzielenie wielomianow
Dzielenie wielomianów
dzialania na wielomianach
Nierownosci wielomianowe
WIELOMIANY, Zadania przygotowujące do matury z matematyki
dzielenie z resztą
Dzielenie plików
dzielenie do 25 6
dzielenie do 25 3(1)
dzielenie do 100 1
4 4 Wielomiany
Dzielenie'04
dzielenieU2 v16 nieodtwarzajace
Kiełbasa wielomiany
więcej podobnych podstron