NIERÓWNOŚCI
WIELOMIANOWE
NIERÓWNOŚCI
WIELOMIANOWE
Ćw.1.Na rysunku przedstawione są wykresy funkcji:
- funkcji liniowej,
- funkcji kwadratowej,
- wielomianu.
Wykresy odpowiednich funkcji będą nam potrzebne do
rozwiązania
różnych nierówności wielomianowych – do odczytania
zbioru
rozwiązań.
x
y
0
Ćw.2.Rozwiąż nierówności:
1) x
2
+10x+9 ≥ 0
a=1 b=10 c=9
=100-36=64
-1
-9
•
•
x
WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST
PARABOLA SKIEROWANA RAMIONAMI DO GÓRY
PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA MIEJSCA ZEROWE.
2) -x
2
+7x ≤ 0
x(-x+7) ≤ 0
x
1
=0 x
2
=7
3) -x
2
+7x ≥ 0
7
0
•
•
x
WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST
PARABOLA SKIEROWANA RAMIONAMI W DÓŁ
PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA MIEJSCA ZEROWE.
4) (x-3)(x+2)(x-5) < 0
x-3=0
∨
x+2=0
∨
x-5=0
x=3
∨
x=-2
∨
x=5
Po wyznaczeniu miejsc zerowych
szkicujemy wykres funkcji –
zaczynamy rysować od prawej strony,
od góry bo przy najwyższej potędze
jest liczba dodatnia.
Wykres przechodzi przez miejsca
zerowe, z niego odczytujemy wartości
ujemne, co daje rozwiązanie:
o
o
o
5
3
-2
+
+
-
-
x
WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST
KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ TRZY
JEDNOKROTNE MIEJSCA ZEROWE.
5) -x(x+5)(x+7) > 0
-x=0
∨
x+5=0
∨
x+7=0
x=0
∨
x=-5
∨
x=-7
Po wyznaczeniu miejsc zerowych
szkicujemy wykres funkcji –
zaczynamy rysować od prawej strony,
od dołu bo przy najwyższej potędze
jest liczba ujemna.
Wykres przechodzi przez miejsca
zerowe, z niego odczytujemy wartości
dodatnie, co daje rozwiązanie:
o
o
o
0
-5
-7
+
+
-
-
x
WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST
KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ TRZY
JEDNOKROTNE MIEJSCA ZEROWE.
6) -(x
2
+x)(2x+2)(x-3) ≤ 0
x
2
+x=0
∨
2x+2=0
∨
x-3=0
x(x+1)=0
∨
2x=-2
∨
x=3
x=0
∨
x+1=0
∨
x=-1
∨
x=3
x=0
∨
x=-1
∨
x=-1
∨
x=3
Szkicujemy wykres funkcji –
zaczynamy rysować od prawej strony,
od dołu bo przy najwyższej potędze
jest liczba ujemna.
Liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem
- wykres odbijamy.
3
0
-1
+
-
-
-
•
•
•
x
WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST
KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA
JEDNOKROTNE I JEDNO DWUKROTNE MIEJSCE
ZEROWE.
7) -4(x
2
-1)(x
2
+5x+4) > 0
x
2
-1=0
∨
x
2
+5x+4=0
x
2
=1 a=1 b=5 c=4
x=-1
∨
x=1 =25-16=9
x=-1
∨
x=1
∨
x=-4
∨
x=-1
1
-1
-4
+
+
-
-
o
o
o
x
WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST
KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA
JEDNOKROTNE I JEDNO DWUKROTNE MIEJSCE
ZEROWE.
8) x
3
+10x
2
+9x < 0
x(x
2
+10x+9) < 0
x=0
∨
x
2
+10x+9=0
a=1 b=10 c=9
=100-36=64
x=0
∨
x=-9
∨
x=-1
o
o
o
0
-1
-9
+
+
-
-
x
WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST
KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ TRZY
JEDNOKROTNE MIEJSCA ZEROWE.
9) -x
3
+3x
2
+x-3 < 0
(-x
3
+3x
2
)+(x-3) < 0
-x
2
(x-3)+1(x-3) < 0
(x-3)(-x
2
+1) < 0
(x-3)(1-x
2
) < 0
(x-3)(1-x)(1+x) < 0
x-3=0
∨
1-x=0
∨
1+x=0
x=3
∨
x=1
∨
x=-1
o
o
o
3
1
-1
+
+
-
-
x
WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST
KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ TRZY
JEDNOKROTNE MIEJSCA ZEROWE.
10) x(x
3
-4x
2
-4x+16) ≥ 0
x[(x
3
-4x
2
)+(-4x+16)] ≥ 0
x[(x
2
(x-4)+(-4)(x-4)] ≥ 0
x[(x
2
-4)(x-4)] ≥ 0
x(x-2)(x+2)(x-4) ≥ 0
x=0
∨
x-2=0
∨
x+2=0
∨
x-4=0
x=0
∨
x=2
∨
x=-2
∨
x=4
4
0
-2
+
+
-
+
2
x
WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI
JEST KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ
CZTERY JEDNOKROTNE MIEJSCA ZEROWE.
• • • •
-
11) (x
2
-4x)(x+2)(x-7)(x
2
-16) < 0
x(x-4)=0
∨
x+2=0
∨
x-7=0
∨
x
2
=16
x=0
∨
x-4=0
∨
x=-2
∨
x=7
∨
x=-4
∨
x=4
x=0
∨
x=4
∨
x=-2
∨
x=7
∨
x=-4
∨
x=4
-4
0
-2
+
+
-
-
7
4
-
+
x
WYKRESEM LEWEJ STRONY
NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA
PRZECHODZĄCA PRZEZ
CZTERY JEDNOKROTNE I
JEDNO DWUKROTNE MIEJSCE
ZEROWE.
o
o
o
o
o
12) x(x
2
+6x)(x-6)(x+6)(x-3) ≤ 0
x=0
∨
x
2
+6x=0
∨
x-6=0
∨
x+6=0
∨
x-3=0
x=0
∨
x(x+6)=0
∨
x=6
∨
x=-6
∨
x=3
x=0
∨
x=0
∨
x=-6
∨
x=6
∨
x=-6
∨
x=3
-6
0
+
+
-
6
3
+
•
•
•
•
+
x
WYKRESEM LEWEJ STRONY
NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA
PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA
JEDNOKROTNE I DWA
DWUKROTNE MIEJSCA
ZEROWE.
13) (2-x)
2
(-1-x)(x-4)
3
≤ 0
(2-x)(2-x)(-1-x)(x-4)(x-4)(x-4) ≤ 0
2-x=0
∨
-1-x=0
∨
x-4=0
x=2
∨
x=-1
∨
x=4
-1
-
-
4
2
+
• •
•
+
x
WYKRESEM LEWEJ STRONY
NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA
PRZECHODZĄCA PRZEZ
JEDNO JEDNOKROTNE,
JEDNO DWUKROTNE I JEDN0
TRZYKROTNE MIEJSCE
ZEROWE. LICZBA 4 JEST
TRZYKROTNYM
PIERWIASTKIEM – WYKRES
PRZECHODZI Z JEDNEJ
STRONY OSI X NA DRUGĄ.
14) x(x
2
-4)
2
(x-5) ≥ 0
x(x
2
-4)(x
2
-4)(x-5) ≥ 0
x=0
∨
x
2
-4=0
∨
x-5=0
x=0
∨
x
2
=4
∨
x=5
x=0
∨
x=2
∨
x=-2
∨
x=5
0
-2
+
+
-
-
5
2
+
• • • •
x
WYKRESEM LEWEJ STRONY
NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA
PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA
JEDNOKROTNE I DWA
DWUKROTNE MIEJSCA
ZEROWE.
15) x(x
2
+4)(x
2
+1) > 0
x=0
∨
x
2
+4=0
∨
x
2
+1=0
x=0
∨
x
2
=-4
∨
x
2
=-1
x=0
∨
xØ
∨
xØ
0
+
-
x
WYKRESEM LEWEJ STRONY
NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA
PRZECHODZĄCA PRZEZ
JEDNO JEDNOKROTNE
MIEJSCE ZEROWE.
o
Ćw.3.Na podstawie wykresu rozwiąż nierówności:
1)
-1
2
0
1
y=f(x
)
x
2)
1
-1
0
y=f(x
)
x
3)
3
1
2
y=f(x
)
x
4)
3
y=f(x
)
x