NIERÓWNOŚCI

WIELOMIANOWE

Ćw.1.Na rysunku przedstawione są wykresy funkcji:
- funkcji liniowej,
- funkcji kwadratowej,
- wielomianu.
Wykresy odpowiednich funkcji będą nam potrzebne do

rozwiązania

różnych nierówności wielomianowych – do odczytania

zbioru

rozwiązań.

x

y

0

Ćw.2.Rozwiąż nierówności:

1) x

2

+10x+9 ≥ 0

a=1 b=10 c=9
=100-36=64

-1

-9

•

•

x

WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST
PARABOLA SKIEROWANA RAMIONAMI DO GÓRY
PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA MIEJSCA ZEROWE.

2) -x

2

+7x ≤ 0

x(-x+7) ≤ 0
x

1

=0 x

2

=7

3) -x

2

+7x ≥ 0

7

0

•

•

x

WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST
PARABOLA SKIEROWANA RAMIONAMI W DÓŁ
PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA MIEJSCA ZEROWE.

4) (x-3)(x+2)(x-5) < 0
x-3=0

∨

x+2=0

∨

x-5=0

x=3

∨

x=-2

∨

x=5

Po wyznaczeniu miejsc zerowych

szkicujemy wykres funkcji –

zaczynamy rysować od prawej strony,

od góry bo przy najwyższej potędze

jest liczba dodatnia.

Wykres przechodzi przez miejsca

zerowe, z niego odczytujemy wartości

ujemne, co daje rozwiązanie:

o

o

o

5

3

-2

+

+

-

-

x

WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST
KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ TRZY
JEDNOKROTNE MIEJSCA ZEROWE.

5) -x(x+5)(x+7) > 0
-x=0

∨

x+5=0

∨

x+7=0

x=0

∨

x=-5

∨

x=-7

Po wyznaczeniu miejsc zerowych

szkicujemy wykres funkcji –

zaczynamy rysować od prawej strony,

od dołu bo przy najwyższej potędze

jest liczba ujemna.

Wykres przechodzi przez miejsca

zerowe, z niego odczytujemy wartości

dodatnie, co daje rozwiązanie:

o

o

o

0

-5

-7

+

+

-

-

x

WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST
KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ TRZY
JEDNOKROTNE MIEJSCA ZEROWE.

6) -(x

2

+x)(2x+2)(x-3) ≤ 0

x

2

+x=0

∨

2x+2=0

∨

x-3=0

x(x+1)=0

∨

2x=-2

∨

x=3

x=0

∨

x+1=0

∨

x=-1

∨

x=3

x=0

∨

x=-1

∨

x=-1

∨

x=3

Szkicujemy wykres funkcji –

zaczynamy rysować od prawej strony,

od dołu bo przy najwyższej potędze

jest liczba ujemna.

Liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem

- wykres odbijamy.

3

0

-1

+

-

-

-

•

•

•

x

WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST
KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA
JEDNOKROTNE I JEDNO DWUKROTNE MIEJSCE
ZEROWE.

7) -4(x

2

-1)(x

2

+5x+4) > 0

x

2

-1=0

∨

x

2

+5x+4=0

x

2

=1 a=1 b=5 c=4

x=-1

∨

x=1 =25-16=9

x=-1

∨

x=1

∨

x=-4

∨

x=-1

1

-1

-4

+

+

-

-

o

o

o

x

WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST
KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA
JEDNOKROTNE I JEDNO DWUKROTNE MIEJSCE
ZEROWE.

8) x

3

+10x

2

+9x < 0

x(x

2

+10x+9) < 0

x=0

∨

x

2

+10x+9=0

a=1 b=10 c=9
=100-36=64

x=0

∨

x=-9

∨

x=-1

o

o

o

0

-1

-9

+

+

-

-

x

WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST
KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ TRZY
JEDNOKROTNE MIEJSCA ZEROWE.

9) -x

3

+3x

2

+x-3 < 0

(-x

3

+3x

2

)+(x-3) < 0

-x

2

(x-3)+1(x-3) < 0

(x-3)(-x

2

+1) < 0

(x-3)(1-x

2

) < 0

(x-3)(1-x)(1+x) < 0

x-3=0

∨

1-x=0

∨

1+x=0

x=3

∨

x=1

∨

x=-1

o

o

o

3

1

-1

+

+

-

-

x

WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI JEST
KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ TRZY
JEDNOKROTNE MIEJSCA ZEROWE.

10) x(x

3

-4x

2

-4x+16) ≥ 0

x[(x

3

-4x

2

)+(-4x+16)] ≥ 0

x[(x

2

(x-4)+(-4)(x-4)] ≥ 0

x[(x

2

-4)(x-4)] ≥ 0

x(x-2)(x+2)(x-4) ≥ 0

x=0

∨

x-2=0

∨

x+2=0

∨

x-4=0

x=0

∨

x=2

∨

x=-2

∨

x=4

4

0

-2

+

+

-

+

2

x

WYKRESEM LEWEJ STRONY NIERÓWNOŚCI
JEST KRZYWA PRZECHODZĄCA PRZEZ
CZTERY JEDNOKROTNE MIEJSCA ZEROWE.

• • • •

-

11) (x

2

-4x)(x+2)(x-7)(x

2

-16) < 0

x(x-4)=0

∨

x+2=0

∨

x-7=0

∨

x

2

=16

x=0

∨

x-4=0

∨

x=-2

∨

x=7

∨

x=-4

∨

x=4

x=0

∨

x=4

∨

x=-2

∨

x=7

∨

x=-4

∨

x=4

-4

0

-2

+

+

-

-

7

4

-

+

x

WYKRESEM LEWEJ STRONY
NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA
PRZECHODZĄCA PRZEZ
CZTERY JEDNOKROTNE I
JEDNO DWUKROTNE MIEJSCE
ZEROWE.

o

o

o

o

o

12) x(x

2

+6x)(x-6)(x+6)(x-3) ≤ 0

x=0

∨

x

2

+6x=0

∨

x-6=0

∨

x+6=0

∨

x-3=0

x=0

∨

x(x+6)=0

∨

x=6

∨

x=-6

∨

x=3

x=0

∨

x=0

∨

x=-6

∨

x=6

∨

x=-6

∨

x=3

-6

0

+

+

-

6

3

+

•

•

•

•

+

x

WYKRESEM LEWEJ STRONY
NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA
PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA
JEDNOKROTNE I DWA
DWUKROTNE MIEJSCA
ZEROWE.

13) (2-x)

2

(-1-x)(x-4)

3

≤ 0

(2-x)(2-x)(-1-x)(x-4)(x-4)(x-4) ≤ 0

2-x=0

∨

-1-x=0

∨

x-4=0

x=2

∨

x=-1

∨

x=4

-1

-

-

4

2

+

• •

•

+

x

WYKRESEM LEWEJ STRONY
NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA
PRZECHODZĄCA PRZEZ
JEDNO JEDNOKROTNE,
JEDNO DWUKROTNE I JEDN0
TRZYKROTNE MIEJSCE
ZEROWE. LICZBA 4 JEST
TRZYKROTNYM
PIERWIASTKIEM – WYKRES
PRZECHODZI Z JEDNEJ
STRONY OSI X NA DRUGĄ.

14) x(x

2

-4)

2

(x-5) ≥ 0

x(x

2

-4)(x

2

-4)(x-5) ≥ 0

x=0

∨

x

2

-4=0

∨

x-5=0

x=0

∨

x

2

=4

∨

x=5

x=0

∨

x=2

∨

x=-2

∨

x=5

0

-2

+

+

-

-

5

2

+

• • • •

x

WYKRESEM LEWEJ STRONY
NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA
PRZECHODZĄCA PRZEZ DWA
JEDNOKROTNE I DWA
DWUKROTNE MIEJSCA
ZEROWE.

15) x(x

2

+4)(x

2

+1) > 0

x=0

∨

x

2

+4=0

∨

x

2

+1=0

x=0

∨

x

2

=-4

∨

x

2

=-1

x=0

∨

xØ

∨

xØ

0

+

-

x

WYKRESEM LEWEJ STRONY
NIERÓWNOŚCI JEST KRZYWA
PRZECHODZĄCA PRZEZ
JEDNO JEDNOKROTNE
MIEJSCE ZEROWE.

o

Ćw.3.Na podstawie wykresu rozwiąż nierówności:

1)

-1

2

0

1

y=f(x
)

x

2)

1

-1

0

y=f(x
)

x

3)

3

1

2

y=f(x
)

x

4)

3

y=f(x
)

x