www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
N
IERÓWNO ´SCI WIELOMIANOWE
Najprostsze nierówno´sci wielomianowe to nierówno´sci liniowe i
. Poniewa ˙z
jednak omówili´smy je w osobnych poradnikach, skupimy si˛e teraz wył ˛
acznie na nierówno-
´sciach stopnia co najmniej 3.
Proste nierówno´sci
Do rozwi ˛
azania prostych nierówno´sci wielomianowych na ogół wystarcza odrobina zdro-
wego rozs ˛
adku.
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c x
3
+
4x
2
6
0.
Rozkładamy lew ˛
a stron˛e
x
3
+
4x
2
=
x
2
(
x
+
4
)
.
Wyra ˙zenie x
2
jest dodatnie o ile x
6=
0. Pami˛etamy zatem o doło ˙zeniu na ko ´ncu
x
=
0 do zbioru rozwi ˛
aza ´n i mo ˙zemy nie zwraca´c uwagi na x
2
(lub jak kto´s woli
dzielimy nierówno´s´c stronami przez x
2
). Pozostaje nam wi˛ec nierówno´s´c
x
+
4
6
0
⇐⇒
x
6 −
4.
Zatem rozwi ˛
azaniem jest zbiór
(−
∞,
−
4
i ∪ {
0
}
.
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c x
4
−
4
>
0.
Rozkładamy lew ˛
a stron˛e.
x
4
−
2
2
= (
x
2
−
2
)(
x
2
+
2
) = (
x
−
√
2
)(
x
+
√
2
)(
x
2
+
2
)
.
Ostatni składnik jest dodatni, wi˛ec zostaje nam nierówno´s´c kwadratowa
(
x
−
√
2
)(
x
+
√
2
) >
0.
Zatem x
∈ (−
∞,
−
√
2
) ∪ (
√
2,
+
∞
)
.
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c 2x
3
+
x
2
+
4x
+
2
>
0.
Zauwa ˙zmy, ˙ze dwa ostatnie współczynniki: 4 i 2 to wielokrotno´sci pierwszych
dwóch współczynników: 2 i 1. Taka sytuacja to typowy znak, ˙ze mo ˙zemy co´s wył ˛
a-
czy´c przed nawias.
0
<
2x
3
+
x
2
+
4x
+
2
=
x
2
(
2x
+
1
) +
2
(
2x
+
1
) = (
x
2
+
2
)(
2x
+
1
)
.
Mamy zatem 2x
+
1
>
0, czyli x
> −
1
2
.
Nierówno´sci stopnia 3
Zanim powiemy jak rozwi ˛
azywa´c dowoln ˛
a nierówno´s´c wielomianow ˛
a, prze´sled´zmy przy-
padek nierówno´sci stopnia 3. Jest to najcz˛e´sciej spotykana sytuacja w zadaniach szkolnych, a
ponadto jest to dobre wprowadzenie do ogólnej metody, o której powiemy w dalszej cz˛e´sci.
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Wielomian stopnia 3 ma zawsze co najmniej jeden pierwiastek, wi˛ec po lekturze
o dzieleniu wielomianów, powinni´smy ju ˙z umie´c go rozło ˙zy´c na iloczyn dwumianu
(
x
−
a
)
oraz trójmianu kwadratowego. ˙Zeby nie komplikowa´c sytuacji, powiedzmy, ˙ze mamy do
rozwi ˛
azania nierówno´s´c
(
x
−
a
)(
x
2
+
bx
+
c
) >
0.
Mamy teraz dwie mo ˙zliwo´sci.
a) Je ˙zeli trójmian x
2
+
bx
+
c jest zawsze dodatni (czyli
∆
<
0), to pozostaje nam nierów-
no´s´c x
−
a
>
0, czyli rozwi ˛
azaniem jest zbiór
(
a,
+
∞
)
.
b) W przeciwnym przypadku, trójmian w nawiasie mo ˙zemy rozło ˙zy´c na czynniki linio-
we i dostajemy nierówno´s´c
(
x
−
a
)(
x
−
b
)(
x
−
c
) >
0.
Je ˙zeli teraz dwie z tych liczb s ˛
a równe, np. b
=
c to mamy czynnik
(
x
−
b
)
2
, który
mo ˙zemy pomin ˛
a´c, o ile tylko x
6=
b (bo wtedy jest on dodatni). Zatem pozostaje nam
nierówno´s´c x
−
a
>
0, czyli x
∈ (
a,
+
∞
)
. Na koniec trzeba pami˛eta´c o wyrzuceniu
x
=
b ze zbioru rozwi ˛
aza ´n (je ˙zeli w nim jest).
Je ˙zeli natomiast ˙zadne dwie spo´sród liczb a, b, c nie s ˛
a równe, powiedzmy, ˙ze a
<
b
<
c
to szkicujemy
y
= (
x
−
a
)(
x
−
b
)(
x
−
c
)
i z wykresu odczytujemy
rozwi ˛
azanie: x
∈ (
a, b
) ∪ (
c,
+
∞
)
.
x
y
a
x
y
b
c
a
b=c
y=(x-a)(x-b)(x-c)
y=(x-a)(x-b)
2
+
+
+
+ +
+
_ _
_ _
_ _
Oczywi´scie opisana przez nas sytuacja nierówno´sci postaci
(
x
−
a
)(
x
2
+
bx
+
c
) >
0.
nie wyczerpuje wszystkich mo ˙zliwo´sci (np. słabych nierówno´sci), ale powinno by´c jasne, ˙ze
sam schemat si˛e nie zmienia.
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c
(
3x
+
5
)(
4x
−
x
2
−
4
) >
0.
W drugim nawiasie mamy wzór skróconego mno ˙zenia, czyli
(
3x
+
5
)(−(
x
−
2
)
2
) >
0
/
· (−
1
)
(
3x
+
5
)(
x
−
2
)
2
6
0.
Oczywi´scie dla x
=
2 jest OK, a dla x
6=
2 drugi nawias jest dodatni, wi˛ec pozostaje
nierówno´s´c
3x
+
5
6
0
⇐⇒
x
6 −
5
3
.
zatem rozwi ˛
azaniem jest zbiór
(−
∞,
−
5
3
i ∪ {
2
}
.
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c
(
x
−
3
)(
2
−
x
2
) >
0.
Przekształcamy
− (
x
−
3
)(
x
2
−
2
) >
0
/
· (−
1
)
(
x
−
3
)(
x
−
√
2
)(
x
+
√
2
) 6
0.
Maj ˛
ac teraz w pami˛eci wykres funkcji postaci y
= (
x
−
a
)(
x
−
b
)(
x
−
c
)
(obrazek
powy ˙zej) odczytujemy rozwi ˛
azanie
x
∈ (−
∞,
−
√
2
i ∪ h
√
2, 3
i
.
Metoda w˛e˙za
Widzieli´smy ju ˙z kilka przykładów nierówno´sci wielomianowych, wi˛ec mo ˙zemy w ko ´ncu
przej´s´c do sytuacji ogólnej. Schemat post˛epowania w tym przypadku rozbijemy na 3 kroki.
1.
Pierwszy krok przypomina rozwi ˛
azywanie
dany
wielomian na czynniki liniowe i kwadratowe, które nie maj ˛
a pierwiastków. Czynniki kwa-
dratowe bez pierwiastków w zasadzie nas nie interesuj ˛
a, bo s ˛
a albo zawsze dodatnie (wi˛ec
mo ˙zemy je pomin ˛
a´c), albo zawsze ujemne (mo ˙zemy je pomin ˛
a´c zmieniaj ˛
ac znak nierów-
no´sci na przeciwny). Mo ˙zemy te ˙z zało ˙zy´c, ˙ze czynniki liniowe s ˛
a postaci
(
x
−
a
)
, a nie np.
(
a
−
x
)
(je ˙zeli tak nie jest to zamieniamy ka ˙zde
(
a
−
x
)
na
(
x
−
a
)
zmieniaj ˛
ac znak nierówno-
´sci na przeciwny). Tak wi˛ec po wykonaniu tego kroku mo ˙zemy zało ˙zy´c, ˙ze nasz wielomian
jest iloczynem czynników liniowych postaci
(
x
−
a
)
.
W nierówno´sci
(
2
−
x
)(
2x
2
−
3x
+
5
)(
x
+
3
)(
x
−
2
−
x
2
) 6
0 drugi nawias jest za-
wsze dodatni, a czwarty zawsze ujemny, wi˛ec nierówno´s´c jest równowa ˙zna nie-
równo´sci postaci
(
2
−
x
)(
x
+
3
) >
0.
Je ˙zeli dodatkowo zamienimy kolejno´s´c składników w pierwszym nawiasie to ma-
my nierówno´s´c
(
x
−
2
)(
x
+
3
) 6
0.
2.
Mo ˙ze si˛e zdarzy´c, ˙ze w otrzymanym rozkładzie niektóre czynniki si˛e powtarzaj ˛
a. Jest na
to prosta rada: składniki postaci
(
x
−
a
)
2n
s ˛
a zawsze nieujemne, wi˛ec mo ˙zemy je pomin ˛
a´c,
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
pami˛etaj ˛
ac tylko o doł ˛
aczeniu (wyrzuceniu) x
=
a do (ze) zbioru rozwi ˛
aza ´n w przypadku
słabej (ostrej) nierówno´sci. Po wykonaniu tego kroku pozostanie nam wielomian postaci
y
= (
x
−
a
1
)(
x
−
a
2
) · · · (
x
−
a
n
)
, gdzie ka ˙zde dwie spo´sród liczb a
i
s ˛
a ró ˙zne.
W nierówno´sci
(
x
−
2
)
5
(
x
+
3
)
6
(
x
−
1
)(
x
+
7
)
3
>
0 mo ˙zemy pomin ˛
a´c (tzn. podzie-
li´c przez nie nierówno´s´c stronami) czynniki
(
x
−
2
)
4
,
(
x
+
3
)
6
,
(
x
+
7
)
2
. Pozostanie
nam zatem nierówno´s´c
(
x
−
2
)(
x
−
1
)(
x
+
7
) >
0.
Przekształcenie to ma sens, o ile tylko b˛edziemy pami˛eta´c o wyrzuceniu liczb 2,-3,-7
ze zbioru rozwi ˛
aza ´n.
W nierówno´sci
(
x
−
2
)
5
(
x
+
3
)
6
(
x
−
1
)(
x
+
7
)
3
6
0 mo ˙zemy pomin ˛
a´c (tzn. podzieli´c
przez nie nierówno´s´c stronami) czynniki
(
x
−
2
)
4
,
(
x
+
3
)
6
,
(
x
+
7
)
2
. Pozostanie nam
zatem nierówno´s´c
(
x
−
2
)(
x
−
1
)(
x
+
7
) 6
0.
Przekształcenie to ma sens, o ile tylko b˛edziemy pami˛eta´c o dodaniu liczb 2,-3,-7
do zbioru rozwi ˛
aza ´n.
3.
Po wykonaniu poprzednich dwóch kroków pozostała nam nierówno´s´c, w której wielo-
mian ma posta´c
W
(
x
) = (
x
−
a
1
)(
x
−
a
2
) · · · (
x
−
a
n
−
1
)(
x
−
a
n
)
.
Mo ˙zemy dodatkowo zało ˙zy´c (zmieniaj ˛
ac ewentualnie kolejno´s´c nawiasów), ˙ze
a
1
<
a
2
<
. . .
<
a
n
−
1
<
a
n
.
Teraz nadeszła pora na tytułowego w˛e˙za: rysujemy o´s liczbow ˛
a i zaznaczamy na niej liczby
a
1
, a
2
, . . . , a
n
w kolejno´sci od najmniejszej do najwi˛ekszej (rysunek ma by´c schematyczny,
odległo´sci mi˛edzy liczbami nie maj ˛
a ˙zadnego znaczenia, wa ˙zna jest tylko ich prawidłowa
kolejno´s´c na osi).
a
n
a
n-1
a
n-2
a
1
a
2
a
3
a
4
+
+
+
+
-
-
-
-
-
Nast˛epnie, startuj ˛
ac od prawej strony
, ci ˛
agniemy przez zaznaczone punkty w˛e ˙za, który jest
na przemian powy ˙zej i poni ˙zej osi. Pami˛etajmy, ˙ze startujemy zawsze z prawej strony i po-
wy ˙zej osi. Z tego obrazka odczytujemy rozwi ˛
azanie intersuj ˛
acej nas nierówno´sci: fragmenty
w˛e ˙za, które s ˛
a powy ˙zej osi odpowiadaj ˛
a przedziałom, na których W
(
x
) >
0, a fragmenty
poni ˙zej osi przedziałom, na których W
(
x
) <
0 (je ˙zeli interesuje nas słaba nierówno´s´c, to
po prostu doł ˛
aczamy ko ´nce przedziałów). Na zako ´nczenie nale ˙zy uwzgl˛edni´c ewentualne
korekty rozwi ˛
azania wynikaj ˛
ace z 2. punktu algorytmu (odpowiadaj ˛
ace pierwiastkom wie-
lokrotnym).
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c
(
x
−
2
)(
x
+
3
)(
x
−
9
)(
x
+
19
)(
x
−
15
)(
x
+
12
) 6
0.
Rysujemy w˛e ˙za przez pierwiastki lewej strony.
15
+
+
-
-
9
2
+
-
-3
-12
+
-19
Z w˛e ˙za odczytujemy rozwi ˛
azanie
x
∈ h−
19,
−
12
i ∪ h−
3, 2
i ∪ h
9, 15
i
.
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c
(
x
3
+
1
)(
x
8
−
8x
4
+
16
)(
x
2
−
5
) >
0.
Rozpoczynamy od rozło ˙zenia lewej strony na czynniki.
(
x
3
+
1
)(
x
8
−
8x
4
+
16
)(
x
2
−
5
) =
= (
x
+
1
)(
x
2
−
x
+
1
)(
x
4
−
4
)
2
(
x
−
√
5
)(
x
+
√
5
) =
= (
x
+
1
)(
x
2
−
x
+
1
)(
x
2
+
2
)
2
(
x
2
−
2
)
2
(
x
−
√
5
)(
x
+
√
5
)
.
Drugi i trzeci nawias s ˛
a zawsze dodatnie, a czwarty jest dodatni o ile tylko x
6=
±
√
2. Pami˛etamy zatem o wyrzuceniu x
= ±
√
2 ze zbioru rozwi ˛
aza ´n i otrzymuje-
my nierówno´s´c
(
x
+
1
)(
x
−
√
5
)(
x
+
√
5
) >
0.
Z w˛e ˙za łatwo odczyta´c, ˙ze x
∈ (−
√
5,
−
1
) ∪ (
√
5,
+
∞
)
.
5
+
+
-
-1
5
-
-
Musimy jeszcze wyrzuci´c z tego zbioru x
= ±
√
2 i otrzymujemy rozwi ˛
azanie
x
∈ (−
√
5,
−
√
2
) ∪ (−
√
2,
−
1
) ∪ (
√
5,
+
∞
)
.
Zadania
.info
Podoba Ci się ten poradnik?
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
T
IPS
& T
RICKS
1
Metoda w˛e ˙za jest bardzo prosta i praktycznie mechaniczna, ale wymaga bardzo konkretnej
postaci wielomianu:
W
(
x
) = (
x
−
a
1
)(
x
−
a
2
) · · · (
x
−
a
n
)
,
gdzie ˙zadne dwie spo´sród liczb a
i
nie s ˛
a sobie równe. W szczególno´sci metoda ta nie działa
(tzn. daje zł ˛
a odpowied´z) je ˙zeli
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
- wielomian zawiera składnik, który nie jest liniowy, np.
(
x
2
−
1
)
;
- wielomian zawiera składnik postaci
(
a
−
x
)
;
- dwie spo´sród liczb a
i
s ˛
a równe.
2
Pierwszym krokiem algorytmu rozwi ˛
azywania nierówno´sci wielomianowych było rozło ˙ze-
nie wielomianu na czynniki liniowe i kwadratowe bez pierwiastków. Oczywi´scie nie zawsze
jest to konieczne: je ˙zeli znamy znak pewnego czynnika wielomianu, to nie ma potrzeby dal-
szego rozkładu, nawet gdy ten czynnik ma wysoki stopie ´n.
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c x
6
−
8
6
0.
Ze wzoru skróconego mno ˙zenia na ró ˙znic˛e sze´scianów mamy
x
6
−
8
= (
x
2
−
2
)(
x
4
+
2x
2
+
4
)
.
Drugi nawias jest oczywi´scie zawsze dodatni, wi˛ec pozostaje nam nierówno´s´c
0
> (
x
2
−
2
) = (
x
−
√
2
)(
x
+
√
2
)
.
Rozwi ˛
azaniem jest zatem zbiór
h−
√
2,
√
2
i
.
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c
(
cos
5
x
+
3 cos x
+
5
)(
cos x
−
1
) >
0.
Podstawiaj ˛
ac t
=
cos x mamy nierówno´s´c wielomianow ˛
a
(
t
5
+
3t
+
5
)(
t
−
1
) >
0.
Rozwi ˛
azanie tej nierówno´sci byłoby niezwykle trudne, gdyby nie fakt, ˙ze wiemy
dodatkowo, i ˙z t
∈ h−
1, 1
i
. Dzi˛eki temu mamy
t
5
+
3t
+
5
> −
1
−
3
+
5
=
1,
czyli pierwszy nawias jest zawsze dodatni. Mamy wi˛ec nierówno´s´c t
−
1
>
0, czyli
cos x
>
1. To jest jednak tylko mo ˙zliwe gdy cos x
=
1, czyli dla x
=
2kπ, k
∈
C
3
Dlaczego metoda w˛e ˙za działa?
Jeden ze sposobów odpowiedzi na powy ˙zsze pytanie to u´swiadomienie sobie, ˙ze w ˛
a ˙z to nic
innego jak szkicowy
W
(
x
) = (
x
−
a
1
)(
x
−
a
2
) · · · (
x
−
a
n
−
1
)(
x
−
a
n
)
,
gdzie a
1
<
a
2
< · · · <
a
n
−
1
<
a
n
. To ˙ze rysujemy go zupełnie schematycznie (nawet nie
zaznaczamy drugiej osi) wynika z tego, ˙ze nie interesuj ˛
a nas konkretne warto´sci tej funkcji,
a jedynie to, czy jest ona powy ˙zej, czy te ˙z poni ˙zej osi Ox.
Bardziej konkretne uzasadnienie jest nast˛epuj ˛
ace. Je ˙zeli x
>
a
n
to ka ˙zdy z nawiasów w
powy ˙zszym wzorze jest dodatni (dlatego startujemy z w˛e ˙zem z prawej strony powy ˙zej osi
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Ox). Je ˙zeli a
n
−
1
<
x
<
a
n
to ostatni nawias zaczyna by´c ujemny, a pozostałe s ˛
a dodatnie,
wi˛ec całe wyra ˙zenie jest ujemne (dlatego w ˛
a ˙z zje ˙zd ˙za pod o´s). Je ˙zeli a
n
−
2
<
x
<
a
n
−
1
to
dwa ostatnie nawiasy s ˛
a ujemne, czyli cało´s´c jest dodatnia (w ˛
a ˙z wraca ponad o´s) itd.
Wyra ˙zenie W
(
x
) = (
x
−
1
)(
x
−
2
)(
x
−
3
)(
x
−
4
)
jest dodatnie gdy x
>
4 (wszystkie
nawiasy s ˛
a dodatnie), gdy 2
<
x
<
3 (dwa pierwsze nawiasy s ˛
a dodatnie, dwa
ostatnie ujemne), oraz dla x
<
1 (wszystkie nawiasy s ˛
a ujemne).
4
Szczerze mówi ˛
ac wielu nauczycieli nie lubi metody w˛e ˙za, a niektórzy dydaktycy wr˛ecz od-
radzaj ˛
a jej uczenia. Nie wdaj ˛
ac si˛e w polemik˛e z tymi pogl ˛
adami, warto pami˛eta´c, ˙ze jest
to najszybszy sposób rozwi ˛
azywania nierówno´sci wielomianowych, a w przypadku wielo-
mianów wysokich stopni jest to w zasadzie jedyna efektywna metoda.
5
Umiej˛etno´s´c rozwi ˛
azywania nierówno´sci wielomianowych jest bardzo wa ˙zna, gdy ˙z wiele
innych, pozornie bardziej skomplikowanych nierówno´sci, mo ˙zna sprowadzi´c do nierówno-
´sci wielomianowych.
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c log
(
5
−
x
) +
log
(
x
2
−
1
) <
log
(
3x
+
3
)
.
Rozpoczynamy od wyznaczenia dziedziny nierówno´sci:
5
−
x
>
0
⇐⇒
x
<
5
x
2
−
1
>
0
⇐⇒
x
∈ (−
∞,
−
1
) ∪ (
1,
+
∞
)
3x
+
3
>
0
⇐⇒
x
> −
1.
Łatwo wida´c, ˙ze układ ten daje dziedzin˛e: D
= (
1, 5
)
. Teraz przekształcamy
log
[(
5
−
x
)(
x
−
1
)(
x
+
1
)] <
log
(
3x
+
3
)
(
5
−
x
)(
x
−
1
)(
x
+
1
) <
3
(
x
+
1
)
Wiemy, ˙ze x
+
1
>
0 (ze wzgl˛edu na dziedzin˛e), wi˛ec mo ˙zemy obie strony podzieli´c
przez
(
x
+
1
)
.
(
5
−
x
)(
x
−
1
) <
3
0
<
x
2
−
6x
+
8
∆
=
36
−
32
=
4
x
1
=
2,
x
2
=
4
⇒
x
∈ (−
∞, 2
) ∪ (
4,
+
∞
)
.
W poł ˛
aczeniu z dziedzin ˛
a daje nam to: x
∈ (
1, 2
) ∪ (
4, 5
)
.
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
6
Inny powód du ˙zego znaczenia nierówno´sci wielomianowych to badanie przebiegu zmien-
no´sci funkcji. Badanie ró ˙znych własno´sci funkcji, np. monotoniczno´sci, ekstremów, wypu-
kło´sci sprowadza si˛e do rozwi ˛
azywania nierówno´sci, w których zaanga ˙zowane s ˛
a pochod-
ne funkcji. W wielu sytuacjach otrzymujemy w ten sposób nierówno´sci wielomianowe lub
wymierne (które łatwo sprowadzaj ˛
a si˛e do wielomianowych).
Wyznaczmy warto´s´c najmniejsz ˛
a funkcji f
(
x
) =
x
4
+
4x
3
−
2x
2
−
12x
+
1.
Liczymy pochodn ˛
a
f
0
(
x
) =
4x
3
+
12x
2
−
4x
−
12
=
4x
2
(
x
+
3
) −
4
(
x
+
3
) =
=
4
(
x
2
−
1
)(
x
+
3
) =
4
(
x
−
1
)(
x
+
1
)(
x
+
3
)
.
O znaku takiego wyra ˙zenia wiemy ju ˙z wszystko: jest dodatnie dla x
∈ (−
3,
−
1
) ∪
(
1,
+
∞
)
(zatem na tych przedziałach funkcja ro´snie) i ujemne dla x
∈ (−
∞,
−
3
) ∪
(−
1, 1
)
(na tych przedziałach funkcja maleje).
-5
-3
+1
x
-10
-2
+2
+10
y
y=f(x)
To oznacza, ˙ze s ˛
a dwa minima lokalne w x
= −
3 i x
=
1 (w tych punktach funkcja
przestaje male´c, a zaczyna rosn ˛
a´c). Tak si˛e składa, ˙ze warto´sci w obu tych punktach
s ˛
a sobie równe , wi˛ec warto´s´c najmniejsza to f
(−
3
) =
f
(
1
) = −
8.
7
Opisany algorytm rozwi ˛
azywania nierówno´sci wielomianowych ma ten sam słaby punkt,
co algorytm rozwi ˛
azywania
: na ogół nie jeste´smy w stanie wy-
znaczy´c rozkładu wielomianu. W takich sytuacjach pozostaj ˛
a jedynie metody analityczne
lub przybli ˙zone.
W jednym z poprzednich przykładów uzasadnili´smy, ˙ze wszystkie warto´sci funk-
cji f
(
x
) =
x
4
+
4x
3
−
2x
2
−
12x
+
1 s ˛
a nie mniejsze ni ˙z -8. Prawdziwa jest wi˛ec
nierówno´s´c
x
4
+
4x
3
−
2x
2
−
12x
+
1
> −
9
x
4
+
4x
3
−
2x
2
−
12x
+
10
>
0.
Gdyby´smy jednak próbowali uzasadni´c t˛e nierówno´s´c naszym algorytmem w˛e ˙za
to mieliby´smy du ˙zy kłopot, bo w ogóle nie wida´c jak rozło ˙zy´c lew ˛
a stron˛e na czyn-
niki (wielomian z lewej strony nie ma pierwiastków).
Materiał pobrany z serwisu
8
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Nierownosci wielomianowe
Zestaw- nierownosci wielomianowe[1]
nierownosci wielomianowe, Matematyka. Zadania i rozwiązania
Zestaw nierownosci wielomianowe[1]
4 nierownosci wielomianowe+odp, matematyka srednia
Nierownosci wielomianowe
Nierówności kwadratowe
dzialania na wielomianach
Nierownosci
Dachy nierównoległe okapy
L kątowniki równoramienne i nierównoramienne
dzielenie wielomianów
WIELOMIANY, Zadania przygotowujące do matury z matematyki
więcej podobnych podstron