Dzielenie wielomianów

Przykład

Podzielić wielomian W  x =x

4

−

7x

3



15x

2

−

13x4 przez wielomian K  x =x−4

( x

4

−

7x

3

15x

2

−

13x 4 ):( x −4 )

1. Dzielimy pierwszy wyraz wielomianu W(x) przez pierwszy wyraz wielomianu K(x), wynik

zapisujemy po znaku =



x

4

−

7x

3



15x

2

−

13x4: x−4=x

3

2. Mnożymy pierwszy wyraz wielomianu wynikowego przez pierwszy wyraz wielomianu K(x)

i wpisujemy pod wyrazem dzielonym ze zmienionym znakiem, następnie mnożymy
pierwszy wyraz wielomianu wynikowego z drugim wyrazem wielomianu K(x) i wpisujemy
pod wyrazem dzielonym ze zmienionym znakiem

( x

4

−

7x

3



15x

2

−

13x 4 ):( x −4 ) = x

3

−

x

4



4x

3

3. Sumujemy wyrazy leżące bezpośrednio pod sobą, a te które nie są sumowane przepisujemy

bez zmian

( x

4

−

7x

3



15x

2

−

13x 4 ):( x −4 ) = x

3

−

x

4



4x

3

0

−

3x

3



15x

2

−

13x 4

4. Dla powstałego wielomianu powtarzamy wszystkie czynności jakie wykonywaliśmy dla

wielomianu W(x) i K(x), czyli:
a) dzielimy pierwszy wyraz powstałego wielomianu przez pierwszy wyraz wielomianu

K(x)

b) wynik dopisujemy w wyniku dzielenia

( x

4

−

7x

3



15x

2

−

13x 4 ):( x −4 ) = x

3

−

3x

2

−

x

4



4x

3

0

−

3x

3



15x

2

−

13x 4

c) Mnożymy drugi wyraz wielomianu wynikowego przez pierwszy wyraz wielomianu K(x)

i wpisujemy pod wyrazem dzielonym ze zmienionym znakiem, następnie mnożymy
drugi wyraz wielomianu wynikowego z drugim wyrazem wielomianu K(x) i wpisujemy
pod pod wyrazem dzielonym ze zmienionym znakiem

( x

4

−

7x

3



15x

2

−

13x 4 ):( x −4 ) = x

3

−

3x

2

−

x

4



4x

3

0

−

3x

3



15x

2

−

13x 4

3x

3

−

12x

2

d) Sumujemy wyrazy leżące bezpośrednio pod sobą, a te które nie są sumowane

przepisujemy bez zmian

( x

4

−

7x

3



15x

2

−

13x 4 ):( x −4 ) = x

3

−

3x

2

−

x

4



4x

3

0

−

3x

3



15x

2

−

13x 4

3x

3

−

12x

2

0

3x

2

−

13x 4

e) Powtarzamy procedurę dzielenia dla wielomianu wynikowego

f) itd... do czasu aż nie będzie już wyrazów do przepisywania

5. Całość procesu dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian K(x).

( x

4

−

7x

3



15x

2

−

13x 4 ):( x −4 ) = x

3

−

3x

2



3x−1

−

x

4



4x

3

0

−

3x

3



15x

2

−

13x 4

3x

3

−

12x

2

0

3x

2

−

13x 4

−

3x

2



12x

0

−

x



4

0

x

−

4

0

0

W wyniku ostatniego sumowania otrzymaliśmy 0 co oznacza, że wielomian W(x) jest
podzielny przez wielomian K(x).

W związku z tym prawdziwe jest równanie: W  x = x−4  x

3

−

3x

2



3x−1