Dereziński Wielomiany ortogonalne

Wielomiany ortogonalne

Jan Dereziński

Katedra Metod Matematycznych Fizyki

Uniwersytet Warszawski

Hoża 74, 00-682, Warszawa

e-mail jan.derezinski@fuw.edu.pl

7 czerwca 2012

Metody Matematyczne Fizyki

rok 2012, skrypt III

Spis treści

Przestrzenie Hilberta

1.1

Przestrzenie Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Bazy ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

Szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

Falki Haara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5

Rzuty ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6

Ortogonalizacja Grama-Schmidta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Operatory

2.1

Operatory ograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Jądro całkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

Operatory sprzężone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

Widmo punktowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

Widmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6

Widmo w skończonym wymiarze

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7

Twierdzenie spektralne w skończonym wymiarze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8

Widmo ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9

Operatory nieograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.1

Hermitowskość nie wystarczy do samosprzężoności . . . . . . . . . . . . .

Operatory różniczkowe

3.1

Operator pędu na odcinku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Laplasjan na odcinku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

Laplasjan na odcinku z warunkami brzegowymi Dirichleta . . . . . . . . . . . . .

3.4

Laplasjan na odcinku z warunkami brzegowymi Neumanna . . . . . . . . . . . . .

3.5

Laplasjan na odcinku z periodycznymi warunkami brzegowymi

. . . . . . . . . .

3.6

Laplasjan na odcinku z antyperiodycznymi warunkami brzegowymi . . . . . . . .

3.7

Operatory różniczkowe drugiego rzędu w jednym wymiarze . . . . . . . . . . . . .

3.8

Warunki brzegowe dla problemu Sturma-Liouville’a . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wielomiany ortogonalne

4.1

Wielomiany ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2

Wzór Christoffela-Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3

Wielomiany Czebyszewa 1-go rodzaju

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4

Wielomiany Czebyszewa 2-go rodzaju

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Klasyczne wielomiany ortogonalne

5.1

Wielomiany typu hipergeometrycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2

Uogólniony wzór Rodrigues’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3

Klasyczne wielomiany ortogonalne jako wektory własne operatora Sturma-Liouville’a 24

5.4

Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5

Wielomiany Hermite’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6

Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7

Wielomiany Laguerre’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.8

Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 2,
σ ma pierwiastek podwójny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.9

Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 2,
σ ma dwa pierwiastki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.10 Wielomiany Jacobiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.11 Wielomiany ultrasferyczne (Jacobiego z α = β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.12 Wielomiany Gegenbauera

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.13 Wielomiany Legendre’a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Harmoniki sferyczne

6.1

Operator translacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2

Operator obrotu w L

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3

Współrzędne biegunowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4

Przestrzeń L

)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5

Laplasjan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6

Kwadrat momentu pędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.7

Laplasjan i operator Laplace’a-Beltramiego we współrzędnych sferycznych . . . .

6.8

Przestrzeń L

d−1

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.9

Wielomiany wielu zmiennych

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.10 Wielomiany jednorodne wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.11 Wielomiany harmoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.12 Harmoniki sferyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.13 Standardowa baza harmonik sferycznych w L

) . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.14 Potencjał elektrostatyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.15 Funkcje Legendre’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Przestrzenie Hilberta

1.1

Przestrzenie Hilberta

Pamiętamy, że w przestrzeni wektorowej V wyposażonej w iloczyn skalarny v, w 7→ (v|w) definiuje

się normę kvk := (v|v)

1
2

. Mówimy, że V jest przestrzenią Hilberta, jeśli V z metryką d(v, w) :=

kv − wk jest zupełna.

Przykład. Rozważmy funkcję dodatnią mierzalną [a, b] 3 x 7→ ρ(x). (a może być równe −∞ a
b może być równe +∞). Definiujemy przestrzeń L

([a, b], ρ) jako przestrzeń funkcji mierzalnych

f : [a, b] → C

takich, że

|f (x)|

ρ(x)dx < ∞.

Jest to przestrzeń Hilberta, jeśli wyposażymy ją w iloczyn skalarny

(f |g) :=

f (x)g(x)ρ(x)dx, f, g ∈ L

([a, b], ρ).

Przykład. Niech f

(x) = n

−nx

i 1 < α <

3
2

. Wtedy sup f

→ ∞ i kf k

→ 0.

1.2

Bazy ortogonalne

Niech V będzie przestrzenią Hilberta. Jeśli W ⊂ V, definiujemy dopełnienie ortogonalne zbioru
W :

⊥

:= {v ∈ V : (w|v) = 0, w ∈ W }.

Zauważmy, że W

⊥

jest zawsze domkniętą podprzestrzenią w V.

Niech {f

, f

, · · ·} ⊂ L

([a, b], ρ). Mówimy, że jest to układ ortogonalny, gdy

) = 0, n 6= m.

Jeśli w dodatku (f

) = 1, to mówimy, że jest to układ ortonormalny.

Mówimy, że {f

, f

, . . .} jest bazą ortogonalną w V, gdy jest to układ ortogonalny składający

się z niezerowych wektorów i taki, że {f

, f

, . . .}

⊥

= {0}.

Mówimy, że {f

, f

, . . .} jest bazą ortonormalną w L

([a, b], ρ), gdy jest to układ ortonormalny

i {f

, f

, . . .}

⊥

= {0}.

Oczywiście, jeśli {f

, f

, · · ·} jest bazą ortogonalną, to można zrobić z niej bazę ortonormalną

zastępując f

przez

Twierdzenie 1.1 Niech (f

, f

, . . .) będzie bazą ortonormalną w przestrzeni Hilberta V.

(1) Niech (c

, c

, . . .) będzie ciągiem zespolonym takim, że

∞

j=1

< ∞.

(1.1)

Połóżmy

j=1

(1.2)

Wtedy istnieje h ∈ V taki, że kh − h

k → 0.

(2) Niech h ∈ V. Niech c

:= (f

|h). Wtedy (1.1) jest prawdziwe i jeśli zdefiniujemy h

jak w

(1.2), to kh − h

k → 0.

Dowód. (1) Dla n ≥ m mamy

− h

j=m+1

(1.3)

Z (1.1) widzimy, że (1.3) dąży do zera, gdy n, m → ∞. Czyli ciąg h

jest ciągiem Cauchy’ego.

Wiemy, że przestrzeń V jest zupełna. Więc h

posiada granicę.

(2) Najpierw sprawdzamy, że

j=1

≤ khk

Stąd

∞

j=1

≤ khk

Zatem(1.1) jest spełnione. Na mocy (1) istnieje granica ˜

h := lim

n→∞

. Sprawdzamy, że

(h − ˜

h|f

) = 0, j = 1, 2, . . .. Zatem h − ˜

h = 0.

Będziemy pisać

∞

j=1

:= h,

gdzie h jest zdefiniowany tak, jak w powyższym twierdzeniu.
Przykład 1. W L

([−π, π]), e

= e

inφ

, n ∈ Z, jest bazą ortogonalną i (e

) = 2π. Jeśli

f ∈ L

([−π, π]), dostajemy

f − lim

n→∞

2π

|j|≤n

inφ

→ 0,

gdzie

−π

f (φ)e

−inφ

dφ

są współczynnikami Fouriera funkcji f .
Przykład 2. Inną pokrewną bazę ortogonalną w L

([−π, π]) stanowią f

:= cos nφ, f

−

sin nφ, n = 1, 2, . . ., (f

) = π, f

:= 1, (f

) = 2π.

Przykład 3. W L

([0, π]) mamy bazę ortogonalną c

:= cos nφ, n = 1, 2, . . ., (c

) =

= 1, (c

) = π.

Przykład 4. W L

([0, π]) mamy bazę ortogonalną s

:= sin nφ, n = 1, 2, . . ., (s

) =

Przykład 4. Jedne funkcje lepiej jest rozwijać w szereg kosinusów a inne w szereg sinusów:

∞

m=0

2m + 1

2m+1

sin φ

∞

m=1

(

2m − 1

−

2m + 1

1.3

Szeregi Fouriera

Przykład 1. h(φ) := (a − e

iφ

)

−1

, a > 1. Wtedy

2πa

−n−1

n = 0, 1, . . . ;

n = −1, −2, . . . .

Przykład 2. h(φ) := (e

iφ

− a)

−1

, a < 1. Wtedy

n = 0, 1, 2, . . . ;

2πa

−n−1

n = −1, −2, . . . .

Przykład 3. h(φ) := φ. Wtedy

i2π(−1)

n 6= 0

n = 0.

Aby to otrzymać można zauważyć, że h(φ) = −i log(1 + e

iφ

) + i log(1 + e

−iφ

Jeśli zsumujemy

(n)

(φ) :=

|j|≤n

inφ

2π

To zaobserwujemy w otoczeniu φ = ±π tzw. zjawisko Gibbsa: funkcja h

(n)

“przestrzeliwuje”

wartość funkcji h. Mamy bowiem

(n)

(−π + ) = −2

j=1

sin j

W otoczeniu nieciągłości funkcji h obserwujemy “zafalowanie” funkcji h

(n)

, które w miarę wzrostu

n zwęża się, ale nie zmniejsza swej wysokości zachowując swoją wysokość. To zafalowanie ma w
granicy ściśle określony kształt (z dokładnością do zwężania), mamy bowiem

lim

n→∞

(n)

−π +

= −2

sin x

dx.

Jest to zjawisko występujące zawsze, kiedy mamy do czynienia z szeregiem Fouriera dla

nieciągłej funkcji. Prowadzi ono do tego, że dla funkcji nieciągłej o skoku aπ w sumie częściowej
szeregu Fouriera będzie skok 2ac, gdzie c =

sin x

dx >

jest tzw. stałą Wilbrahama-Gibbsa.

1.4

Falki Haara

Rozważmy przestrzeń L

(R). Zdefiniujmy

k,n

(x)







k/2

−k

n ≤ x < 2

−k

n + 2

−k−1

−2

k/2

−k

n + 2

−k−1

≤ x < 2

−k

(n + 1),

x 6∈ [2

−k

n, 2

−k

(n + 1)[;

k,n

(x)

k/2

−k

n ≤ x < 2

−k

(n + 1),

x 6∈ [2

−k

n, 2

−k

(n + 1)[.

Wprowadźmy operatory unitarne translacji i skalowania

f )(x)

f (x − t),

f )(x)

−

1
2

f (s

−1

x).

Zauważmy, że możemy napisać

k,n

−k

k,n

(x) = 2

k/2

x − n),

k,n

−k

k,n

(x) = 2

k/2

x − n).

Czasami nazywa się ψ

“falką matką” a φ

“falką ojcem”.

Twierdzenie 1.2 (1) Niech m ∈ Z. Wtedy

(Span{ψ

k,n

: k ≥ m, n ∈ Z})

= (Span{φ

k,n

: k ≥ m, n ∈ Z})

(1.4)

(2) Nich (1.4) nazywa się V

. Wtedy V

stanowią zstępujący ciąg podprzestrzeni

· · · ⊂ V

⊂ V

−1

⊂ · · · .

(3) ψ

m,n

, n ∈ Z stanowią bazę ortonormalną w V

m+1

(w dopełnieniu ortogonalnym do

m+1

wewnątrz V

(4) ψ

k,n

stanowią bazę ortonormalną L

(R).

1.5

Rzuty ortogonalne

Mówimy, że operator P jest rzutem ortogonalnym, gdy P

= P i KerP = RanP

⊥

. Mówimy

wtedy, że jest to rzut ortogonalny na RanP .

Jeśli v jest niezerowym wektorem, to rzut ortogonalny na Cv jest równy

w =

v(v|w)

(v|v)

W literaturze fizycznej operator ten często jest zapisywany jako

|v)(v|

(v|v)

Jeśli v

, . . . , v

jest bazą ortogonalną podprzestrzeni V

, to rzut ortogonalny na V

jest równy

j=1

)(v

)

Przykład. W przestrzeni L

([−π, π]) rzut ortogonalny P

na podprzestrzeń rozpiętą przez e

ijφ

z |j| < n jest równy

(φ, ψ) =

sin

(2n+1)(φ−ψ)

2π sin

(φ−ψ)

Przykład. W przestrzeni L

([0, π]) rzut na przestrzeń rozpiętą przez sin jφ, j = 1, . . . , n ma

jądro całkowe

(φ, ψ) =

sin

(2n+1)(φ+ψ)

2π sin

φ+ψ

−

sin

(2n+1)(φ−ψ)

2π sin

φ−ψ

1.6

Ortogonalizacja Grama-Schmidta

Niech (g

, g

, . . .) będzie ciągiem wektorów liniowo niezależnym. Niech V

będzie podprzestrzenią

rozpiętą przez g

, . . . , g

. Wtedy V

jest przestrznią wymiaru n i V

⊂ V

⊂ · · ·.

Definiujemy indukcyjnie

:= g

−

n−1

j=1

)

= (1 − P

n−1

gdzie P

jest rzutem ortogonalnym na V

. (f

, f

, . . .) jest układem ortogonalnym. (f

, . . . , f

)

jest bazą ortogonalną V

Operatory

2.1

Operatory ograniczone

Niech A będzie operatorem liniowym z przestrzeni Hilberta V w W. Mówimy, że A jest opera-
torem ograniczonym, gdy

sup{kAvk : v ∈ V, kvk ≤ 1} =: kAk

jest skończone. Zbiór operatorów ograniczonych z V w W oznaczamy przez B(V, W). Jeśli
V = W, to piszemy B(V).

2.2

Jądro całkowe

Rozważmy przestrzeń L

([a, b], ρ). Często można opisać operator A poprzez funkcję [a, b]×[a, b] 3

(x, y) 7→ A(x, y):

Af (x) :=

A(x, y)f (y)ρ(y)dy.

Na przykład, jeśli v

, . . . , v

jest bazą ortonormalną podprzestreni V

, to P

, czyli rzut ortogo-

nalny na V, ma jądro całkowe

(x, y) =

j=1

(x)v

(y).

Można pokazać, że jeśli

|A(x, y)|

ρ(x)dxρ(y)dy < ∞, to A jest operatorem ograniczonym.

2.3

Operatory sprzężone

Niech A ∈ B(V, W). Wtedy wzór

(w|Av) = (A

∗

w|v),

v ∈ V, w ∈ W

definiuje operator A

∗

(hermitowsko) sprzężony do A. Mamy A

∗

∈ B(W, V). Jeśli A ma jądro

całkowe A(x, y), to A

∗

ma jądro całkowe

A(y, x).

Mówimy, że A jest samosprzężony, gdy

A = A

∗

Mówimy, że A jest unitarny, gdy

∗

= A

∗

A = 1.

A jest normalny, gdy

∗

= A

∗

2.4

Widmo punktowe

Niech A będzie operatorem liniowym na przestrzeni liniowej V. Przypomnijmy, że mówimy, iż
λ ∈ C jest wartością własną operatora A jeśli istnieje niezerowy wektor v ∈ V taki, że Av = λv.
Zbiór wartości własnych nazywamy spektrum (widmem) punktowym operatora A. Oznaczamy
je przez sp

(A).

2.5

Widmo

Załóżmy dodatkowo, że V jest przestrzenią Hilberta. Mówimy, że ograniczony operator B jest
odwracalny, gdy B jest bijekcją i B

−1

jest ograniczone.

Mówimy, że λ ∈ C należy do spektrum (widma) operatora A, gdy λ − A nie jest odwracalne.

Spektrum operatora A oznaczamy przez sp(A).

Jeśli z ∈ C nie należy do spA, to istnieje rezolwenta operatora A

(z − A)

−1

Zachodzi następujące łatwe twierdzenie:

Twierdzenie 2.1 Spektrum punktowe operatora A jest podzbiorem jego spektrum, czyli sp

(A) ⊂

sp(A).

2.6

Widmo w skończonym wymiarze

Niech V będzie skończenie wymiarowe. Wtedy istnieją wygodne kryteria na odwracalność ope-
ratorów liniowych:

Twierdzenie 2.2 Niech B będzie operatorem na V. Następujące warunki są równoważne:

(1) B jest odwracalny.

(2) KerB jest równe {0}.

(3) det B 6= 0

Dlatego też w skończonym wymiarze widmo można zdefiniować na kilka sposobów:

Twierdzenie 2.3 Niech A będzie operatorem na V i λ ∈ C. Następujące warunki są równo-
ważne:

(1) λ jest wartością własną operatora A.

(2) λ − A jest nieodwracalny.

(3) det(λ − A) = 0.

W nieskończonym wymiarze, warunek pierwszy implikuje warunek drugi, ale trzeci na ogół

nie ma sensu.

2.7

Twierdzenie spektralne w skończonym wymiarze

Na algebrze poznaliśmy tzw. Twierdzenie Spektralne:

Twierdzenie 2.4 Niech A będzie operatorem normalnym na skończenie wymiarowej przestrzeni
Hilberta. Wtedy istnieje baza ortonormalna złożona z wektorów własnych operatora A.

A jest samosprzężony wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne są rzeczywiste.
A jest unitarny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne mają moduł 1

Przykład. Niech e

, j = 1, . . . , n, będzie bazą kanoniczną w C

. Zdefiniujmy operator U

wzorem

U e

:= e

j+1

, j = 1, . . . , n − 1,

U e

= e

Wtedy U jest operatorem unitarnym, wartościami własnymi są e

ik2π

, odpowiadają im unormo-

wane wektory własne

√

j=1

ijk2π

Przykład. Niech vσ =

3
i=1

, gdzie v

, v

∈ R i σ

są macierzami Pauliego na C

Wtedy vσ jest samosprzężony. Jest unitarny gdy v

+ v

= 1. Wartości własne wynoszą

+ v

a wektory własne

√

1 + v

+ v

√

1 + v

−

√

1 − v

−v

+ v

√

1 − v

2.8

Widmo ciągłe

W nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta istnieje uogólnienie Twierdzenia Spektralnego,
ale dużo trudniejsze. Poniżej omówimy pierwszą dodatkową trudność, która pojawia się w nie-
skończonym wymiarze.

Wektory własne odnoszące się do różnych wartości własnych są ortogonalne. Może jednak

nie istnieć baza ortonormalna złożona z wektorów własnych. Wynika to z pojawienia się tzw.
widma ciągłego.
Przykład. Na L

([0, 1]) definiujemy (Af )(x) = xf (x). Operator ten jest samosprzężony ale nie

ma wektorów własnych.
Przykład.

Na L

(Z), niech e

oznacza bazę kanoniczną.

Definiujemy operator U wzorem

U e

:= e

n+1

. Jest on unitarny, ale nie ma wektorów własnych.

2.9

Operatory nieograniczone

Jednym z kłopotliwych aspektów teorii operatorów w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach
Hilberta jest to, że wiele ważnych dla fizyki operatorów jest nieograniczonych. Wiąże się to z
dodatkowym kłopotem: takich operatorów w praktyce nie można zdefiniować na całej prze-
strzeni Hilberta, tylko na pewnej podprzestrzeni liniowej gęstej. Podprzestrzeń ta jest nazywana
dziedziną danego operatora. Dziedzina operatora A będzie oznaczana przez DomA.

Problemu tego nie ma dla skończenie wymiarowych przestrzeni, gdzie wszystkie operatory są

ograniczone.
Przykład. Na L

(R) próbujemy zdefiniować operator (Af )(x) = xf (x). Wektor (x+i)

−1

należy

do L

(R) ale x(x + i)

−1

nie należy do L

(R). Dlatego, (x + i)

−1

nie należy do dziedziny operatora

A.
Przykład. Na L

(R) próbujemy zdefiniować operator pf (x) =

∂

f (x). Wektor θ(x)e

−x

należy

do L

(R) ale

∂

θ(x)e

−x

nie należy do L

(R). (θ(x) oznacza funkcję Heaviside’a). Dlatego

θ(x)e

−1

nie należy do dziedziny operatora p.

Dla operatorów nieograniczonych spektrum i spektrum punktowe definiuje się podobnie jak

dla operatorów ograniczonych.

2.9.1

Hermitowskość nie wystarczy do samosprzężoności

Dla operatorów nieograniczonych istnieje kilka różnych uogólnień pojęcia samosprzężoności (her-
mitowskości).

Rozważmy przestrzeń Hilberta V. Niech A będzie operatorem z dziedziną DomA. (DomA

jest gęstą podprzestrzenią w V, obraz A leży też w V). Mówimy, że A jest hermitowski (albo
symetryczny), gdy

(w|Av) = (Aw|v), v, w ∈ DomA.

Jest to warunek, który w praktyce dość łatwo jest sprawdzić. Niestety, z teoretycznego punktu
widzenia, dużo ciekawsze jest pojęcie operatora samosprzężonego i istotnie samosprzężonego.
Każdy operator samosprzężony jest istotnie samosprzężony, każdy operator istotnie samosprzę-
żony jest hermitowski, ale nie na odwrót. Nie będziemy w tym kursie omawiać pojęcia (istotnej)
samosprzężoności dla operatorów nieograniczonych.

Sama hermitowskość wystarcza jednak do udowodnienia następujących własności:

Twierdzenie 2.5 Niech A będzie operatorem hermitowskim z dziedziną DomA.

(1) Jeśli v ∈ DomA jest jego wektorem własnym z wartością własną λ, czyli Av = λv, to λ ∈ R.

(2) Jeśli λ

6= λ

są wartościami własnymi z vectorami własnymi v

i v

, to v

jest ortogonalne

do v

Dowód.

Dowód jest identyczny jak w przypadku skończenie wymiarowym. By dowieść (1)

liczymy

λ(v|v) = (v|Av) = (Av|v) = λ(v|v).

Następnie dzielimy przez (v|v) 6= 0.

Dowód (2):

(λ

− λ

)(v

) = (Av

) − (v

|Av

) = (v

|Av

) − (v

|Av

) = 0.

Operatory różniczkowe

Szczególnie ważną klasą operatorów są operatory różniczkowe. Nestety, są one nieograniczone, a
w dodatku trudność definiowania ich jako operatorów samosprzężonych występuje w nich wyjąt-
kowo wyraźnie. Wiąże się to z tzw. problemem warunków brzegowych. Omówmy najpierw ten
problem na prostych przykładach.

3.1

Operator pędu na odcinku

Rozważmy operator pf (x) =

∂

f (x) określony na dziedzinie f ∈ C

∞

([−π, π]) traktowanej

jako podprzestrzeń przestrzeni Hilberta L

([−π, π]. Chcemy znaleźć jego wektory własne, czyli

rozwiązujemy równanie

∂

f = λf,

f ∈ C

∞

([−π, π]).

(3.5)

Oczywiście, rozwiązaniem tego równania jest f (x) = ce

iλx

dla dowolnego λ ∈ C. Oznacza to,

że mamy bardzo dużo rozwiązań, co świadczy o tym, że to równanie (i operator p) nie jest zbyt
pożyteczny w zastosowaniach.

Zmodyfikujmy ten problem przez zmniejszenie dziedziny. Ograniczmy się do f ∈ C

∞

([−π, π])

dla których spełnione są warunki brzegowe

f (π) = e

i2πκ

f (−π).

Operator

∂

z taką dziedziną będziemy oznaczać przez p

(3.5) ma wtedy rozwiązania λ = n+κ,

gdzie n ∈ Z i funkcje własne e

(x) = e

i(κ+n)x

Funkcje własne tworzą bazę ortgonalną w

([−π, π]). Ma spektrum spp

= sp

p = {n + κ : n ∈ Z}.

Operator p

jest hermitowski (a nawet istotnie samosprzężony). Jest to użyteczny i ważny

operator w zastosowaniach. Warunek hermitowskości łatwo sprawdzić całkując przez części:

(f |p

−π

f (x)

∂

g(x)dx

−π

f (x)

g(x)dx +

f (π)g(π) − f (−π)g(−π)

= (p

f |g),

gdzie wyrazy brzegowe znikają na mocy warunków brzegowych.

Policzmy rezolwentę operatora p

, czyli R

(z) = (z − p

). Niech (z − p

)g = f czyli

(z −

∂

)g(x) = f (x).

(3.6)

Równanie jednorodne

(z −

∂

)g(x) = 0.

(3.7)

rozwiązanie g(x) = e

izx

. Uzmienniamy stałą kładąc g(x) = c(x)e

izx

. Dostajemy

(x)e

izx

= f (x)

Stąd

c(x)

c(−π) − i

−π

izy

f (y)dy

c(π) + i

izy

f (y)|dy.

g należy do dziedziny p

, zatem warunek brzegowy g(π) = e

i2πκ

g(−π), o daje

c(π) = e

i2π(κ−z)

c(−π).

Stąd

−π

−izy

f (y)dy

c(−π) − c(π)

c(−π)(1 − e

i2π(κ−z)

Czyli

c(−π) =

1 − e

i2π(κ−z)

−π

−izy

f (y).

Zatem

g(x)

1 − e

−i2π(κ−z)

−π

iz(x−y)

f (y)dy

1 − e

i2π(κ−z)

iz(x−y)

f (y)dy.

Jądro całkowe operatora R

(z) = (z − p

) (zwane czasem funkcją Greena) jest zatem równe

(z)(x, y)

1 − e

−i2π(κ−z)

iz(x−y)

θ(x − y)

1 − e

i2π(κ−z)

iz(x−y)

θ(y − x).

Dla z ∈ Z + κ, rezolwenta R

(z) nie jest zdefiniowana, dla pozostałych z jest ograniczonym

operatorem.

3.2

Laplasjan na odcinku

Rozważmy prestrzeń L

([0, π]). Niech D

min

będzie zbiorem funkcji f ∈ C

∞

([0, π]), które są

równe zero w otoczeniu 0 i π. Jest to gęsta podprzestrzeń w L

([0, π]).

Definiujemy operator na D

min

wzorem

min

f := −∂

f (x),

f ∈ D

min

Zauważmy, że nie ma on wcale wektorów własnych. Spełnia on natomiast warunek hermitow-
skości, który dowodzimy całkując przez części:

(g|H

min

f )

−

g(x)∂

f (x)dx

−

(∂

g(x))f (x)dx = (H

min

g|f ).

(3.8)

Dziedzina operatora H

min

jest za mała, by był on ciekawy.

Zastąpmy teraz D

min

przez D

max

– wszystkie funkcje gładkie na [0, π]. Operator H

max

jest

zdefinowany tym samym wzorem co H

min

, tylko na większej dziedzinie.

max

f := −∂

f (x),

f ∈ D

max

Wtedy wszystkie liczby zespolone są wartościami własnymi, bo f

(x) = e

iωx

spełnia

max

= ω

(3.9)

Wektory własne odnosczące się do różnych wartości własnych nie są wzajemnie ortogonalne.
Operator H

max

nie spełnia warunku hermitowskości, bo przy całkowaniu przez części pojawiają

się wyrazy brzegowe:

(g|H

max

f )

−

g(x)∂

f (x)dx

(3.10)

g(0)∂

f (0) − g(π)∂

f (π) +

(∂

g(x))∂

f (x)dx

g(0)∂

f (0) − g(π)∂

f (π) − (∂

g(0))f (0) + (∂

g(π))f (π) −

(∂

g(x))f (x)dx

g(0)∂

f (0) − g(π)∂

f (π) − (∂

g(0))f (0) + (∂

g(π))f (π) + (H

max

g|f ).

Czyli dziedzina H

max

jest za duża, by był ciekawy.

3.3

Laplasjan na odcinku z warunkami brzegowymi Dirichleta

Niech H

będzie równy −∂

na funkcjach gładkich spełniających f (0) = f (π) = 0. Wtedy

operator H

definiuje operator samosprzężony zwany Laplasjanem z warunkami brzegowymi

Dirichleta i z jego wektorów własnych można utworzyć bazę ortonormalną:

(x) =

sin xn, H

= n

, n = 1, 2, . . . .

(3.11)

Zatem

spH

= sp

= {n

: n = 1, 2, . . .}.

Można policzyć jego rezolwentę R

(ω

) = (ω

− H

)

−1

. Niech

(∂

+ ω

)g(x) = f (x), g(0) = g(π) = 0.

Stosujemy metodę uzmienniania stałej: c

(π) = c

−

(0) = 0,

g(x)

(x) sin ωx + c

−

(x) sin ω(x − π),

(x)

(x)ω cos ωx + c

−

(x)ω cos ω(x − π).

Stąd

0
+

(x) sin ωx + c

−

(x) sin ω(x − π)

0
+

(x)ω cos ωx + c

−

(x)ω cos ω(x − π)

f (x);

−c

0
+

(x)

f (x)

sin ω(x − π)

ω sin ωπ

−

(x)

f (x)

sin ωx

ω sin ωπ

;

(x)

sin ω(y − π)

ω sin ωπ

f (y)dy,

−

(x)

sin ωy

ω sin ωπ

f (y)dy;

g(x)

sin ωx

sin ω(y − π)

ω sin ωπ

f (y)dy

+ sin ω(x − π)

sin ωy

ω sin ωπ

f (y)dy.

Zatem jądro całkowe rezolwenty R

(ω) (funkcja Greena dla problemu Dirichleta) jest równe

(ω

)(x, y)

sin ωx sin ω(y − π)θ(x − y)

ω sin ωπ

sin ω(x − π) sin ωyθ(y − x)

ω sin ωπ

3.4

Laplasjan na odcinku z warunkami brzegowymi Neumanna

Niech H

będzie równy −∂

na funkcjach gładkich spełniających f

(0) = f

(π) = 0. Wtedy

operator H

definiuje operator samosprzężony zwany Laplasjanem z warunkami brzegowymi

Neumanna i z jego wektorów własnych można utworzyć bazę ortonormalną:

√

, c

(x) =

cos xn, H

= c

, n = 1, 2, . . . .

(3.12)

Zatem

spH

= sp

= {n

: n = 0, 1, 2, . . .}.

Można policzyć jego rezolwentę R

(ω

) = (ω

− H

)

−1

. Niech

(∂

+ ω

)g(x) = f (x), g

(0) = g

(π) = 0.

Stosujemy metodę uzmienniania stałej: c

(π) = c

−

(0) = 0,

g(x)

(x) cos ωx + c

−

(x) cos ω(x − π),

(x)

−c

(x)ω sin ωx − c

−

(x)ω sin ω(x − π).

Stąd

0
+

(x) cos ωx + c

−

(x) cos ω(x − π)

−c

0
+

(x)ω sin ωx − c

−

(x)ω sin ω(x − π)

f (x);

−c

0
+

(x)

f (x)

cos ω(x − π)

ω sin ωπ

−

(x)

f (x)

cos ωx

ω sin ωπ

;

(x)

cos ω(y − π)

ω sin ωπ

f (y)dy,

−

(x)

cos ωy

ω sin ωπ

f (y)dy;

g(x)

cos ωx

cos ω(y − π)

ω sin ωπ

f (y)dy

+ sin ω(x − π)

cos ωy

ω sin ωπ

f (y)dy.

Zatem jądro całkowe rezolwenty R

(ω) (funkcja Greena dla problemu Neumanna) jest równe

(ω

)(x, y)

cos ωx cos ω(y − π)θ(x − y)

ω sin ωπ

cos ω(x − π) cos ωyθ(y − x)

ω sin ωπ

3.5

Laplasjan na odcinku z periodycznymi warunkami brzegowymi

Niech H

per

będzie równy −∂

na funkcjach gładkich spełniających f (0) = f (π), f

(0) = f

(π).

Wtedy operator H

per

definiuje operator samosprzężony zwany Laplasjanem z periodycznymi

warunkami brzegowymi i z jego wektorów własnych można utworzyć bazę ortonormalną:

(x) =

√

i2nx

, H

per

= 4n

, n = 0, ±1, ±2, . . . .

(3.13)

Zatem

spH

per

= sp

per

= {4n

: n = 0, 1, 2, . . .},

przy czym wartości własne odpowiadające n = 1, 2, . . . są dwukrotnie zdegenerowane.

3.6

Laplasjan na odcinku z antyperiodycznymi warunkami brzegowymi

Niech H

ant

będzie równy −∂

na funkcjach gładkich spełniających f (0) = −f (π), f

(0) = −f

(π).

Wtedy operator H

ant

definiuje operator samosprzężony zwany Laplasjanem z antyperiodycznymi

warunkami brzegowymi i z jego wektorów własnych można utworzyć bazę ortonormalną:

(x) =

√

i(2n+1)x

, H

ant

= (2n + 1)

, n = 0, ±1, ±2, . . . .

(3.14)

Zatem

spH

ant

= sp

ant

= {(2n + 1)

: n = 0, 1, 2, . . .},

i wszystkie wartości własne są dwukrotnie zdegenerowane.

3.7

Operatory różniczkowe drugiego rzędu w jednym wymiarze

W fizyce szczególną rolę odgrywają operatory drugiego rzędu

C := σ(x)∂

+ τ (x)∂

(3.15)

Często wygodnie jest zapisać taki operator w innej formie. Niech ρ(x) spełnia

σ(x)ρ

(x) = (τ (x) − σ

(x))ρ(x).

(3.16)

Wtedy mamy

C = ρ(x)

−1

∂

ρ(x)σ(x)∂

(3.17)

Twierdzenie 3.1 Niech

D = {f ∈ C

∞

([a, b]) : f = 0 w otoczeniu a, b}.

Zakładamy, że C jest operatorem zdefiniowanym na D wzorem (3.15), ρ > 0, σ jest rzeczywiste.
Rozważmy przestrzeń Hilberta L

([a, b], ρ). Wtedy C jest hermitowski.

Niestety, powyższa dziedzina jest z reguły za mała aby dostać operator posiadający wektory

własne.

3.8

Warunki brzegowe dla problemu Sturma-Liouville’a

Rozważmy teraz operator zadany tym samym wzorem różniczkowym ale na większej dziedzinie.
Przy odpowiednich założeniach nadal dostaniemy operator hermitowski:

Twierdzenie 3.2 Niech σ, ρ będą rzeczywistymi różniczkowalnymi funkcjami na [a, b]. Niech
ρ > 0 i

σ(a)ρ(a) = σ(b)ρ(b) = 0.

Wtedy C jest hermitowski na dziedzinie C

([a, b]) w sensie przestrzeni L

([a, b], ρ)

Dowód.

(g|Cf )

ρ(x)g(x)ρ(x)

−1

∂

σ(x)ρ(x)∂

f (x)dx

g(x)∂

σ(x)ρ(x)∂

f (x)dx

g(x)ρ(x)σ(x)f

(x)

−

(∂

g(x))σ(x)ρ(x)∂

f (x)dx

−g

(x)ρ(x)σ(x)f (x)

(∂

ρ(x)σ(x)∂

g(x))f (x)dx

ρ(x)(ρ(x)

−1

∂

σ(x)ρ(x)∂

g(x))f (x)dx = (Cg|f ).

Analogicznie dowodzimy następującego twierdzenia:

Twierdzenie 3.3 Niech σ, ρ będą rzeczywistymi różniczkowalnymi funkcjami na [−∞, ∞]. Niech
ρ > 0 i

lim

x→−∞

σ(x)ρ(x)|x|

= lim

x→+∞

σ(x)ρ(x)|x|

= 0,

n ∈ N.

Wtedy C jest hermitowski na dziedzinie będącej przestrzenią wielomianów w sensie przestrzeni
Hilberta L

([−∞, ∞], ρ).

Oczywiście, podobne twierdzenia zachodzą dla odcinków ] − ∞, b] i [a, ∞[.
Szukanie wartości własnych operatora C bywa nazywane problemem Sturma-Liouville’a.

Wielomiany ortogonalne

4.1

Wielomiany ortogonalne

Niech ρ > 0 jest ustaloną wagą na odcinku [a, b]. Załóżmy, że

|x|

ρ(x)dx < ∞, n = 0, 1, . . . .

Wtedy jednomiany 1, x, x

, . . . tworzą układ liniowo niezależny w L

([a, b], ρ). Stosując do nich

procedurę Grama-Schmidta dostajemy wielomiany ortogonalne P

, P

, . . .. gdzie degP

= n.

Istnieje proste kryterium pozwalające sprawdzić, kiedy jest to baza ortogonalna.

Twierdzenie 4.1 Załóżmy, że dla pewnego > 0

|x|

ρ(x)dx < ∞.

Wtedy wielomiany są gęste w L

([a, b], ρ).

Dlatego też, wielomiany P

, P

, . . . stanowią bazę

ortogonalną w L

([a, b], ρ).

Dowód. Niech h ∈ L

([a, b], ρ). Wtedy dla |Imz| ≤

|ρ(x)h(x)e

ixz

|dx ≤

ρ(x)e

|x|

1
2

ρ(x)|h(x)|

1
2

< ∞.

Zatem dla |Imz| ≤

możemy zdefiniować

F (z) :=

ρ(x)e

−izx

h(x)dx.

A więc F jest analityczna na pasku {z ∈ C : |Imz| <

}. Niech (x

|h) = 0, n = 0, 1, . . ..

Wtedy

F (z)

z=0

= (−i)

ρ(x)h(x)dx = (−i)

|h) = 0.

Ale funkcja analityczna, która znika wraz ze wszystkimi pochodnymi w jednym punkcie, znika na
całej dziedzinie (jeśli ta dziedzina jest spójna). Zatem F = 0 na całej dziedzinie, w szczególności
na prostej rzeczywistej. Czyli ˆ

h = 0. Z odwrotnej transformaty Fouriera wynika, że h = 0.

Czyli nie istnieje niezerowy wektor ortogonalny do wielomianów. Zatem wielomiany są gęste

w L

([a, b], ρ).

4.2

Wzór Christoffela-Darboux

Niech p

(x) =

(x)

będzie bazą ortonormalną powstałą z bazy ortogonalnej P

, P

, . . ..

Elementy macierzowe operatora x oznaczamy przez

:= (p

|xp

) =

ρ(x)xp

(x)p

(x)dx.

Twierdzenie 4.2

= β

= 0,

|j − m| ≥ 2.

Niech k

będzie współczynnikiem p

przy potędze x

. Wtedy

j,j+1

j+1

bo xp

ma najwyższy wyraz k

j+1

. Dostajemy wzór rekurencyjny

= β

n,n−1

n−1

+ β

n,n

+ β

n.n+1

n+1

Twierdzenie 4.3 (Wzór Christoffela-Darboux) Jądro całkowe rzutu na przestrzeń wielo-
mianów stopnia ≤ n jest równe

(x, y)

k=0

(x)p

(y)

n+1

(x)p

n+1

(y)−p

n+1

(x)p

(y)

x−y

a na diagonali

(x, x) =

n+1

(x)p

0
n+1

(x) − p

n+1

(x)p

0
n

(x)).

Dowód. Niech Q

będzie rzutem na p

. Ma on jądro całkowe

(x, y) = p

(x)p

(y).

[x, Q

] ma jądro całkowe

(x, y) − Q

(x, y)y

= xp

(x)p

(y) − p

(x)p

(y)y

= β

k,k−1

k−1

(x)p

(y) − p

(x)p

k−1

(y))

+β

k+1,k

k+1

(x)p

(y) − p

(x)p

k+1

(y)).

Zatem [x, P

] =

n
k=0

[x, Q

] ma jądro całkowe

(x, y) − P

(x, y)y = β

n,n+1

n+1

(x)p

(y) − p

(x)p

n+1

(y)).

4.3

Wielomiany Czebyszewa 1-go rodzaju

Rozważamy przestrzeń

([−1, 1], (1 − x

)

−

1
2

Definiujemy

(cos φ)

= cos nφ,

φ ∈ [0, π],

(x)

1
2

((x + i

√

1 − x

)

+ (x − i

√

1 − x

)

x ∈ [−1, 1].

Twierdzenie 4.4 Wielomiany T

są bazą ortogonalną i

k = π,

n = 1, 2, . . . .

Spełniają równanie

((1 − x

)∂

− x∂

+ n

(x) = 0.

(4.18)

Dowód. Zdefiniujmy

W : L

([−1, 1], (1 − x

)

−

1
2

) → L

([0, π]),

W f (φ) := f (cos φ).

Wtedy

kW f k

|f (cos φ)|

dφ =

|f (cos φ)|

sin

−1

φd cos φ =

−1

|f (x)|

(1 − x

)

−

1
2

dx,

czyli operator W jest unitarny. Poza tym

W T

(φ) = T

(cos φ) = cos nφ.

Mamy

(∂

+ n

) cos nφ = 0.

(4.19)

Aby zobaczyć (4.18) liczymy:

∂

W f (φ) = − sin φf

(cos φ),

∗

∂

W f (x) = − sin(arccos x)f

(x) = −(1 − x

)

1
2

∂

f (x).

Zatem

∗

∂

W = −(1 − x

)

1
2

∂

Stąd

∗

∂

W = (W

∗

∂

W )

= (1 − x

)∂

− x∂

Własności:

(x)|

≤ 1, |x| < 1,

(±1)

∞

n=0

(x)r

1 − rx

1 − 2rx + r

∞

n=1

(x)

− log(1 − 2rx + r

4.4

Wielomiany Czebyszewa 2-go rodzaju

Rozważamy przestrzeń

([−1, 1], (1 − x

)

1
2

Definiujemy

(cos φ)

sin(n+1)φ

sin φ

φ ∈ [0, π],

(x)

(x+i

√

1−x

)

n+1

−(x−i

√

1−x

)

n+1

√

1−x

x ∈ [−1, 1].

Twierdzenie 4.5 Wielomiany U

są bazą ortogonalną i

n = 0, 1, 2, . . . .

Spełniają równanie

((1 − x

)∂

− 3x∂

+ n(n + 2))U

(x) = 0.

(4.20)

Dowód. Zdefinujmy

V : L

([−1, 1], (1 − x

)

1
2

) → L

([0, π]),

V f (φ) := f (cos φ) sin φ.

Wtedy

kV f k

|f (cos φ)|

sin

φdφ =

(cos φ)| sin φd cos φ =

−1

|f (x)|

(1 − x

)

1
2

dx,

czyli operator V jest unitarny. Poza tym

V U

(φ) = U

(cos φ) sin φ = sin(n + 1)φ.

Mamy

(∂

+ (n + 1)

)) sin(n + 1)φ = 0.

(4.21)

Aby zobaczyć (4.20) liczymy

∂

V f (φ) = − sin

φf

(cos φ) + cos φf (cos φ),

Zatem

∗

∂

V = −(1 − x

)

1
2

∂

+ x(1 − x

)

−

1
2

Stąd

∗

∂

V = (V

∗

∂

V )

= (1 − x

)∂

− 3x∂

− 1.

Własności:

(x)|

≤ (1 − x

)

−1/2

, |x| < 1,

(±1)

(n + 1),

∞

n=0

(x)r

(1 − 2rx + r

)

−1

Klasyczne wielomiany ortogonalne

5.1

Wielomiany typu hipergeometrycznego

Szukamy operatorów różniczkowych drugiego rzędu, których wektorami własnymi są wielomiany
każdego stopnia.

Twierdzenie 5.1 Niech

C := σ(z)∂

+ τ (z)∂

+ η(z)

(5.22)

będzie operatorem różniczkowym takim, że istnieją wielomiany P

, P

stopnia odpowiednio

0, 1, 2 spełniające

= λ

Wtedy

(1) σ(z) jest wielomianem stopnia ≤ 2,

(2) τ (z) jest wielomianem stopnia ≤ 1,

(3) η(z) jest wielomianem stopnia ≤ 0 (jest liczbą).

Dowód. CP

= η(z)P

, więc degη = 0.

= τ (z)P

+ ηP

, więc degτ ≤ 1.

= σ(z)P

+ τ (z)P

(z) + ηP

, więc degσ ≤ 2.

Zatem wystarczy ograniczyć się do operatorów postaci

C := σ(z)∂

+ τ (z)∂

(5.23)

gdzie degσ ≤ 2 i degτ ≤ 1. Pokażemy, że dla szerokiej klasy (5.23) dla każdego n naturalnego
istnieje wielomian P

będący wektorem własnym (5.23).

5.2

Uogólniony wzór Rodrigues’a

Niektóre własności wielomianów będących funkcjami własnymi operatora postaci opisanej w
Twierdzeniu 5.1 można wyprowadzić w jednolity sposób nie rozbijając rozumowania na przypadki
szczególne. (Niniejszy rozdział można pominąć, odpowiednie wzory będą później wyprowadzone
dla przypadków szczególnych).

Ustalamy σ, ale będziemy jawnie zaznaczali zależność od τ . Niech ρ będzie funkcją spełnia-

jącą równanie

σ(z)∂

ρ(z) = τ (z) − σ

(z)

ρ(z).

(5.24)

Zauważmy, że ρ wyraża się poprzez funkcje elementarne. Operator C można zapisać jako

C(τ ) = ρ

−1

(z)∂

σ(z)ρ(z)∂

∂

−1

(z)σ(z)∂

ρ(z) − τ

+ σ

(5.25)

Zdefiniujmy

(τ ; z)

−1

(z)∂

(z)ρ(z)

(5.26)

2πi

−1

(z)

]

(z + t)ρ(z + t)t

−n−1

dt.

(5.27)

Twierdzenie 5.2 Mamy

σ(z)∂

+ τ (z)∂

(τ ; z)

(nτ

+ n(n − 1)

(τ ; z),

(5.28)

σ(z)∂

+ τ (z) − σ

(z)

(τ ; z)

(n + 1)P

n+1

(τ − σ

; z),

(5.29)

∂

(τ ; z)

+ (n − 1)

n−1

(τ + σ

; z),

(5.30)

ρ(z + tσ(z))

ρ(z)

∞

n=0

(τ − nσ

; z).

(5.31)

Dowód. Wprowadzamy następujące “operatory kreacji i anihilacji”:

(τ ) :

σ(z)∂

+ τ (z) = ρ

−1

(z)∂

ρ(z)σ(z),

−

∂

Zauważmy, że

C(τ ) = A

(τ )A

−

(τ − σ

) − (τ

− σ

Niech C(τ + σ

)F = λF . Wtedy

C(τ )A

(τ )F

(τ )A

−

(τ )F

(τ )(C(τ + σ

) + τ

(λ + τ

Zatem jeśli C(τ + nσ

= λ

, to

C(τ ) A

(τ ) · · · A

(τ + (n − 1)σ

(λ

+ nτ

+ n(n − 1)

(τ ) · · · A

(τ + (n − 1)σ

Korzystając z tego, że

(τ )

−1

(z)∂

ρ(z)σ(z),

(τ + σ

)

−1

(z)σ

−1

(z)∂

ρ(z)σ

(z),

· · · = · · ·

(τ + (n − 1)σ

)

−1

(z)σ

−(n−1)

∂

ρ(z)σ

(z),

dostajemy

(τ ) · · · A

(τ + (n − 1)σ

ρ(z)

−1

∂

ρ(z)σ

(z)F

(z).

Weźmy teraz F

= 1, dla którego λ

= 0. Dostajemy wtedy (5.28).

5.3

Klasyczne wielomiany ortogonalne jako wektory własne operatora Sturma-
Liouville’a

Szukamy takich odcinków [a, b] ⊂ R i wag [a, b] 3 x 7→ ρ(x), dla których istnieją wielomiany
P

, P

, . . . w spełniające degP

= n,

(x)P

(x)ρ(x)dx = c

n,m

(5.32)

i będące funkcjami własnymi operatora różniczkowego drugiego rzędu C := σ(x)∂

+τ (x)∂

, czyli

dla pewnych λ

∈ R

σ(x)∂

+ τ (x)∂

+ λ

(x) = 0.

(5.33)

(Dopuszczamy a = −∞ lub b = ∞).

Wiemy już, że należy w tym celu spełnić następujące warunki:

(1) σ musi być wielomianem stopnia co najwyżej 2 a τ wielomianem stopnia co najwyżej 1.

(Patrz Twierdzenie 5.1).

(2) Waga ρ musi być rozwiązaniem równania

σ(x)ρ

(x) = (τ (x) − σ

(x))ρ(x),

(5.34)

być dodatnia a σ rzeczywiste. Wtedy bowiem operator C, który można zapisać jako

C = ρ(x)

−1

∂

ρ(x)σ(x)∂

jest hermitowski przynajmniej na funkcjach znikających w otoczeniu końców przedziału
[a, b]. (Patrz Twierdzenie 3.1).

(3) Należy sprawdzić, czy operator jest hermitowski na przestrzeni wielomianów.

(i) W przypadku gdy koniec przedziału, powiedzmy a, jest skończoną liczbą, jest to rów-

noznaczne z warunkiem ρ(a)σ(a) = 0. (Patrz Twierdzenie 3.2).

(ii) Jeśli koniec przedziału jest w nieskończoności, np. a = −∞, to trzeba spełnić

lim

x→−∞

|x|

σ(x)ρ(x) = 0

dla każdego n.

Dodatkowo, P

powinny należeć do przestrzeni Hilberta L

([a, b], ρ), dla każdego n, a więc

musi zachodzić

ρ(x)|x|

dx < ∞.

(5.35)

Trochę mocniejszy warunek

|x|

ρ(x)dx < ∞

(5.36)

dla pewnego > 0, wystarcza, aby dostać bazę ortogonalną. (Patrz Twierdzenie 4.1).

Znajdziemy wszystkie przestrzenie z wagą L

([a, b], ρ) dla których takie wielomiany ortogo-

nalne istnieją. Będziemy upraszczać nasze odpowiedzi do standardowych postaci

(1) dokonując zamiany zmiennych x 7→ ax + b dla a 6= 0;

(2) dzieląc (zarówno równanie różniczkowe, jak i wagę) przez stałą.

Otrzymamy w ten sposób wszystkie tak zwane klasyczne wielomiany ortogonalne.

5.4

Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 0

Można przyjąć, że σ(x) = 1.

Jeśli degτ = 0, to

C = ∂

+ c∂

Latwo odrzucić ten przypadek.

Zatem degτ = 1. Czyli

C = ∂

+ (ay + b)∂

Podstawmy x =

|a|

y +

. Dostajemy

C = ∂

+ 2x∂

a > 0;

(5.37)

C = ∂

− 2x∂

a < 0.

(5.38)

Dostajemy ρ(x) = e

±x

σ(x)ρ(x) = e

±x

nigdy się nie zeruje, zatem jedynym możliwym przedziałem jest [−∞, ∞].

W przypadku a > 0, ρ(x) = e

, co jest niemożliwe ze względu na (3ii).

W przypadku a < 0, ρ(x) = e

−x

i dostajemy operator Hermite’a. Przedział [−∞, ∞] jest

dopuszczalny, a nawet spełnia warunek (5.36). Dostajemy równanie i wagę dla wielomianów
Hermite’a, które zostaną omówione w następnym podrozdziale.

5.5

Wielomiany Hermite’a

Twierdzenie 5.3 Zdefiniujmy wielomiany Hermite’a

(x) =

(−1)

∂

−x

Spełniają one równanie Hermite’a

(∂

− 2x∂

+ 2n)H

(x) = 0.

oraz relacje

(−∂

+ 2x)H

(x)

(n + 1)H

n+1

(x)

(5.39)

∂

(x)

n−1

(x),

(5.40)

∞

n=0

(x)

2tx−t

(5.41)

jest wielomianem stopnia n i jest to (z dokładnością do czynnika) jedyny wektor własny

operatora ∂

− 2x∂

będący wielomianem stopnia n.

Dowód. Twierdzenie to wynika z Twierdzenia 5.2 dla

σ(x) = −1, ρ = e

−x

Poniżej podajemy dowód bezpośredni. Wprowadźmy “operatory kreacji i anihilacji”

−

∂

−∂

+ 2x = −e

∂

−x

Spełniają one relacje

−

, A

]

(5.42)

Mamy H

)

. (1 oznacza tu wektor w L

−x

zadany przez funkcję równą 1. Natomiast

w (5.42) 2 oznacza operator mnożenia przez liczbę 2.) Stąd wynika

(n + 1)H

n+1

(5.43)

−

n−1

(5.44)

Aby dowieść (5.44) używamy (5.42).

Wreszcie (5.43), (5.44) pokazują, że

−

= 2nH

(5.45)

Ale

−∂

+ 2x∂

= A

−

(5.46)

Twierdzenie 5.4 H

stanowią bazę ortogonalną w L

(R, e

−x

) z normalizacją

∞

−∞

(x)

−x

dx =

√

π2

Dowód. Załóżmy, że n ≥ m. Wtedy

∞

−∞

(x)H

(x)e

−x

(−1)

∞

−∞

∂

−x

(x)dx

∞

−∞

−x

∂

(x)dx.

(5.47)

(5.47) równa się zero dla n > m.

Niech n = m. Z (5.40) i H

= 1 wynika ∂

(x) = 2

. Zatem (5.47) jest równe

∞

−∞

−x

dx =

√

π.

Uwaga. Definicja wielomianów Hermite’a którą wprowadziliśmy jest zgodna z uogólnionym wzo-
rem Rodrigues’a (5.26). W literaturze spotyka się też inne definicje dla wielomianów Hermite’a,
np. H

(x) := (−1)

∂

−x

5.6

Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 1

Wystarczy ograniczyć się do przypadku σ(y) = y.

Jeśli degτ = 0, to

C = y∂

+ c∂

Ale takie C zawsze obniża stopień wielomianu. Czyli jeśli CP = λP dla pewnego wielomianu, to
λ = 0. To oznacza, że P (x) = x

−c

. Czyli nie dostaniemy wielomianów wszystkich stopni jako

funkcji własnych.

Zatem degτ = 1. Czyli, dla b 6= 0,

y∂

+ (a + by)∂

(5.48)

Przeskalowując, dostajemy operator występujący w równaniu Laguerre’a

C = −x∂

+ (−α − 1 + x)∂

Obliczamy, że ρ = x

−x

. ρ(x)σ(x) = x

α+1

−x

zeruje się jedynie dla x = 0 i α > −1.

Przedział [−∞, 0] jest wyeliminowany przez warunek (3ii). Przedział [0, ∞] jest dopuszczalny
dla α > −1, a nawet spełnia wtedy warunek 5.36.

Dostajemy równanie i wagę dla wielomianów Laguerre’a, które zostaną omówione w następ-

nym podrozdziale.

5.7

Wielomiany Laguerre’a

Twierdzenie 5.5 Zdefiniujmy wielomiany Laguerre’a

α
n

(x)

−α

∂

−x

n+α

(1 + α)

F (−n; 1 + α; x).

Spełniają one równanie Laguerre’a, które jest równaniem konfluentnym ze zmodyfikowanymi pa-
rametrami:

x∂

+ (α + 1 − x)∂

+ n

α
n

(x) = 0

oraz relacje

(x∂

+ α − x)L

α
n

(x)

(n + 1)L

α−1
n+1

(x),

(5.49)

∂

α
n

(x)

−L

α+1
n−1

(x).

(5.50)

jest wielomianem stopnia n i jest to (z dokładnością do czynnika) jedyny wektor własny

operatora x∂

+ (α + 1 − x)∂

będący wielomianem stopnia n.

Dowód. Można zastosować Twierdzenie 5.2 dla

σ(x) = x, ρ(x) = e

−x

Poniżej podajemy dowód bezpośredni. Wprowadźmy “operatory kreacji i anihilacji”

−

−∂

+
α

x∂

+ α − x = x

−α+1

∂

−x

Spełniają one relacje

−

+
α

− A

+
α+1

−

(5.51)

Mamy

α
n

+
α+1

· · · A

+
α+n

(5.52)

(1 oznacza w (5.52) wektor zadany przez funkcję równą 1. Natomiast w (5.51) 1 oznacza operator
mnożenia przez liczbę 1.) Stąd wynika

+
α

α
n

(n + 1)L

α−1
n+1

(5.53)

−

α
n

α+1
n−1

(5.54)

Aby dowieść (5.54) używamy (5.51).

Wreszcie (5.53), (5.54) pokazuje, że

+
α+1

−

α
n

= nL

α
n

(5.55)

Ale

−x∂

− (α + 1 − x)∂

= A

+
α+1

−

(5.56)

Twierdzenie 5.6 Jeśli α > −1, to wielomiany Laguerre’a stanowią bazę ortogonalną w L

([0, ∞[, e

−x

)

z normalizacją

∞

α
n

(x)

−x

dx =

Γ(1 + α + n)

Dowód. Załóżmy, że n ≥ m. Wtedy

∞

α
n

(x)L

α
m

(x)x

−x

∞

∂

n+α

−x

α
m

(x)dx

(−1)

∞

n+α

−x

∂

α
m

(x)dx.

(5.57)

(5.57) równa się zero dla n > m.

Niech n = m. Z (5.50) i L

= 1 wynika ∂

(x) = (−1)

. Zatem (5.57) jest równe

∞

n+α

−x

dx =

Γ(n + α + 1)

5.8

Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 2,
σ ma pierwiastek podwójny

Można przyjąć, że σ(x) = x

Jeśli τ (0) = 0, to

C = x

∂

+ cx∂

Funkcjami własnymi tego operatora są co prawda wielomiany x

, ale waga ρ(x) = x

c−2

jest

niedobra.

Załóżmy zatem, że τ (0) 6= 0. Przez przeskalowanie można założyć, że

τ (x) = 1 + (γ + 2)x.

To daje ρ(x) = e

−

1
x

. Jedyny punkt, gdzie ρ(x)σ(x) = e

−

1
x

γ+2

może się zerować jest x =

0. Zatem jedynymi możliwymi przedziałami są [−∞, 0] i [0, ∞]. Oba są wyeliminowane przez
warunek (3ii).

5.9

Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 2,
σ ma dwa pierwiastki

Jeśli oba pierwiastki są różne i urojone, wystarczy założyć, że σ(x) = 1 + x

. Można przyjąć, że

τ (x) = a + (b + 2)x. Wtedy ρ(x) = e

a arctan x

(1 + x

)

. σ(x)ρ(x) nigdzie się nie zeruje i dlatego

trzeba rozważać przedział [−∞, ∞]. Przypadek ten odrzucamy, gdyż lim

|x|→∞

ρ(x)|x|

(1+x

) =

∞ dla dostatecznie dużych n.

Czyli można założyć, że pierwiastki są różne i rzeczywiste. Wystarczy założyć, że σ(x) =

1 − x

. Niech

τ (x) = β − α − (α + β − 2)x.

Dostajemy ρ(x) = |1 − x|

|1 + x|

. Podobnie jak powyżej, warunek (3ii) eliminuje przedziały

[−∞, −1] i [1, ∞]. Zostaje przedział [−1, 1], który spełnia warunek (3i) dla α, β > −1. Prowadzi
on do wielomianów Jacobiego omawianych w następnym podrozdziale.

5.10

Wielomiany Jacobiego

Twierdzenie 5.7 Zdefiniujmy wielomiany Jacobiego

α,β

(x)

(−1)

(1 − x)

−α

(1 + x)

−β

∂

(1 − x)

α+n

(1 + x)

β+n

(n + α)

F (−n, n + α + β + 1; α + 1;

1 − x

Spełniają one równanie Jacobiego, które jest nieco zmodyfikowanym równaniem hipergeometrycz-
nym:

(1 − x

)∂

+ (β − α − (α + β + 2)x)∂

+ n(n + α + β + 1)

α,β

(x) = 0.

oraz relacje

∂

α,β

(x)

α + β + n + 1

α+1,β+1

n−1

(5.58)

−

(1 − x

)∂

+ β − α − (α + β)x

α,β

(x)

(n + 1)P

α−1,β−1

n+1

(x).

(5.59)

α,β

są wielomianami stopnia ≤ n. Jeśli dodatkowo −α − β 6∈ {1, 2, . . .}, to P

α,β

jest wie-

lomianem stopnia n i jest to (z dokładnością do czynnika) jedyny wektor własny operatora
(1 − x

)∂

+ (β − α − (α + β + 2)x)∂

będący wielomianem stopnia n.

Dowód. Można zastosować Twierdzenie 5.2 dla

σ(x) =

− 1

, ρ(x) = (1 − x)

(1 + x)

Poniżej podajemy dowód bezpośredni. Wprowadźmy “operatory kreacji i anihilacji”

−

∂

+
α,β

−

(1 − x

)∂

+ β − α − (α + β)x

−

(1 − x)

−α+1

(1 + x)

−β+1

∂

(1 − x)

(1 + x)

Spełniają one relacje

−

+
α,β

− A

+
α+1,β+1

−

α + β

(5.60)

Mamy

α,β

+
α+1,β+1

· · · A

+
α+n,β+n

(5.61)

Stąd wynika

+
α,β

α,β

(n + 1)P

α−1,β−1

n+1

(5.62)

−

α,β

α + β + n + 1

α+1,β+1

n−1

(5.63)

Aby dowieść (5.63) używamy (5.60) i sumujemy szereg arytmetyczny.

Wreszcie (5.62), (5.63) pokazuje, że

+
α+1,β+1

−

α,β

n(α + β + n + 1)

α,β

(5.64)

Ale

−

(1 − x

)∂

(−β + α + (α + β)x)∂

= A

+
α+1,β+1

−

(5.65)

∞

n=0

α−n,β−n

(x)2

= (1 + t(1 + x))

(1 − t(1 − x))

Twierdzenie 5.8 Jeśli α, β > −1, to wielomiany Jacobiego stanowią bazę ortogonalną w
L

([−1, 1], (1 − x)

(1 + x)

) z normalizacją

−1

α,β

(x))

(1 − x)

(1 + x)

dx =

Γ(1 + α + n)Γ(1 + β + n)2

α+β+1

(1 + 2n + α + β)n!Γ(1 + α + β + n)

Dowód. Załóżmy, że n ≥ m. Wtedy

−1

α,β

(x)P

α,β

(x)(1 − x)

(1 + x)

(−1)

−1

∂

(1 − x)

α+n

(1 + x)

β+n

α,β

(x)dx

−1

(1 − x)

α+n

(1 + x)

β+n

∂

α,β

(x)dx.

(5.66)

(5.66) równa się zero dla n > m.

Niech n = m. Z (5.59) i P

α,β

= 1 wynika ∂

α,β

(x) = 2

−n

(α + β + n + 1) · · · (α + β + 2n).

Zatem (5.57) jest równe

−1

(1 − x)

α+n

(1 + x)

β+n

(α + β + n + 1) · · · (α + β + 2n)dx

α+β+1

α+n

(1 − t)

β+n

(α + β + n + 1) · · · (α + β + 2n)dt

Γ(1 + α + n)Γ(1 + β + n)2

α+β+1

(1 + 2n + α + β)n!Γ(1 + α + β + n)

5.11

Wielomiany ultrasferyczne (Jacobiego z α = β)

Rozważmy szczególny przypadek wielomianów Jacobiego dla α = β = m. Wtedy

σ(x) =

− 1

, ρ(x) = (1 − x

)

∞

n=0

α−n,α−n

(x)2

= (1 + 2xt + t

− 1))

Mamy

∞

n=0

α−n,α−n

(1)2

= (1 + 2t)

∞

n=0

(α + 1 − n)

Zatem

α,α

(1) = (α + 1)

(5.67)

W zastosowaniach stopień jest dany często przez n = l − m. Dla konsystencji z późniejszymi

oznaczeniami, zamieniamy x na w. Wielomiany Jacobiego w tym wypadku są zdefiniowane
wzorem

m,m

l−m

(w)

(−1)

l−m

(l − m)!

(1 − w

)

−m

∂

l−m

(1 − w

)

Spełniają one równanie

(1 − w

)∂

− 2(m + 1)w∂

+ (l − m)(l + m + 1)

m,m

l−m

(w) = 0.

(5.68)

Dla m > −1 i l − m = 0, 1, 2, . . . stanowią one układ ortogonalny w L

([−1, 1], (1 − w

)

) z

normalizacją

−1

m,m

l−m

(w))

(1 − w

)

dw =

Γ(1 + l)

2m+1

(1 + 2l)(l − m)!Γ(1 + l + m)

(5.69)

Lemat 5.9 Wyraz o najwyższej potędze w P

m,m

l−m

(w) jest równy w

l−m

Γ(2l+1)

l−m

(l−m)!Γ(l+m+1)

Dowód. Dla dużych w

m,m

l−m

(w)

(−1)

l−m

(l − m)!

(−w

)

−m

∂

l−m

(−w

)

l−m

2l · · · (l + m + 1)

l−m

(l − m)!

Twierdzenie 5.10 Niech l = 0, 1, . . ., m = 0, 1, . . . , l. Wtedy

−m,−m

l+m

(w) =

(−1)

(1 − w

)

m,m

l−m

(w).

(5.70)

Dowód. Zauważmy najpierw, że

(1 − w

)

(1 − w

)∂

− 2(m + 1)w∂

+ (l − m)(l + m + 1)

(1 − w

)

−m

(1 − w

)∂

− 2(−m + 1)w∂

+ (l + m)(l − m + 1)

(5.71)

Zatem operator (5.71) anihiluje zarówno (1 − w

)

m,m

l−m

(w) jak i P

−m,−m

l+m

(w). Obie funkcje są

wielomianami, pierwsza ma najstarszy wyraz w

l−m+2m

(−1)

(2l)!

l−m

(l−m)!(l+m)!

, druga ma najstar-

szy wyraz w

l+m

(2l)!

l+m

(l−m)!(l+m)!

5.12

Wielomiany Gegenbauera

Oczywiście,

∂

+ ∂

+ y

)

−λ

(2λ)

+ y

)

−λ−1

∂

+ y

)

−λ

−2λ(x

+ y

)

−λ−1

Dlatego,

∂

+ ∂

2λ

∂

+ y

)

−λ

Stąd,

∂

+ ∂

2λ

∂

((x − 1)

+ y

)

−λ

(5.72)

Wprowadźmy układ biegunowy

x = rw,

y = r

1 − w

r =

+ y

w =

+ y

Mamy wtedy

∂

w∂

1 − w

∂

1 − w

∂

−

√

1 − w

∂

+ ∂

∂

(1 − w

)∂

− w∂

∂

−

∂

(5.72) może być przepisane jako

∂

(1 + 2λ)

∂

((1 − w

)∂

− (1 + 2λ)w∂

)

− 2wr + 1)

−λ

= 0.

(5.73)

Wielomiany Gegenbauera definiujemy przy pomocy następującej funkcji tworzącej:

(1 − 2wr + r

)

−λ

∞

n=0

(w), |r| < 1.

(5.74)

Stąd

(w) =

∂

− wr + 1)

−λ

r=0

Mamy

− 2r + 1)

−λ

= (r − 1)

−2λ

∞

n=0

(2λ)

Zatem,

(1) = (2λ)

Alternatywnie, (5.74) możemy przepisać jako

(1 − 2wr + r

)

−λ

∞

n=0

−2λ−n

(w), |r| > 1.

Stosując (5.73) do (5.74) dostajemy

(1 − w

)∂

− (1 + 2λ)w∂

+ n(n + 2λ)

(w) = 0.

Czyli wielomiany Gegenbauera spełniają to samo równanie co wielomiany ultrasferyczne z α =

λ −

1
2

. Zatem C

są proporcjonalne do P

λ−

1
2

,λ−

1
2

. Porównując wartość w 1 dostajemy

(w) =

(2λ)

(λ +

1
2

)

λ−

1
2

,λ−

1
2

(w).

Porównując funkcje tworzące możemy znaleźć związki między wielomianami Gegenbauera a

Czebyszewa:

(w)

∂

(w)

λ=0

(w)

(w).

5.13

Wielomiany Legendre’a

Szczególnie ważnym przypadkiem wielomianów Jacobiego jest α = β = 0 (co dla wielomianów
Gegenbauera odpowiada λ =

1
2

). Mamy wtedy

σ(w) =

− 1

, ρ(w) = 1.

Dostajemy wtedy wielomiany Legendre’a:

(w) := P

0,0

(w) = C

1
2

(w) =

(−1)

∂

(1 − w

)

Spełniają one równanie Legendre’a

(1 − w

)∂

− 2w∂

+ l(l + 1)

(w) = 0.

(5.75)

Stanowią one układ ortogonalny w L

([−1, 1]) z normalizacją

−1

(w)

dw =

(1 + 2l)

Mamy P

= 1, P

(w) = w, P

(w) =

1
2

(3w

− 1).

Twierdzenie 5.11 Wielomian Legendre’a jest jedynym rozwiązaniem równania Legendre’a speł-
niającym P

(1) = 1.

Dowód. Przez indukcję sprawdzamy, że dla k = 1, . . . , l,

∂

(1 − w

)

l = (−1)

(2w)

l · · · (l − k + 1)(1 − w

)

l−k

+ C(w)(1 − w

)

l−k+1

gdzie C(w) jest wielomianem. Kładąc k = l i stosując wzór Rodrigueza dostajemy P

(1) = 1.

Jedyność wynika z bardziej ogólnego faktu dotyczącego równania Jacobiego.

Harmoniki sferyczne

6.1

Operator translacji

W L

(R) dla t ∈ R deniujemy rodzinę operatorów

)f (x) := f (x − t).

Zauważmy, że są one unitarne, spełniają U

= U

t+s

, U

= 1. Zdefinujmy generator translacji

∂

. W mechanice kwantowej zwyczajowo zamiast niego używa się operatora pędu p =

∂

,który

jest hermitowski na C

∞

(R). Mamy

f = −∂

Dlatego też piszemy

= e

−t∂

6.2

Operator obrotu w L

)

W L

) dla ψ ∈ R definiujemy rodzinę operatorów

f )(x, y) := f (cos ψx + sin ψy, − sin ψx + cos ψy).

Zauważmy, że są one unitarne i spełniają R

= R

+ψ

, R

= 1.

Zdefiniujmy generator obrotów

L = x∂

− y∂

W mechanice kwantowej zwyczajowo zamiast niego używa się operatora momentu pędu

który jest hermitowski. Pokażmy, że

dψ

f = −LR

(6.76)

Wprowadźmy oznaczenia

x := x cos ψ + y sin ψ,

y := −x sin ψ + y cos ψ.

dψ

f (x, y)

(−x sin ψ + y cos ψ)∂

f (˜

x, ˜

+(−x cos ψ − y sin ψ)∂

f (˜

x, ˜

y),

f (x, y)

x(sin ψ∂

+ cos ψ∂

)f (˜

x, ˜

−y(cos ψ∂

− sin ψ∂

)f (˜

x, ˜

y),

co dowodzi (6.76). Dlatego też piszemy

= e

−ψL

6.3

Współrzędne biegunowe

Wprowadźmy współrzędne biegunowe

x = r cos φ,

y = r sin φ.

Zamiana współrzędnych kartezjańskich na biegunowe można interpretować jako odwzorowanie
unitarne U : L

) → L

([0, ∞[×[0, 2π], rdrdφ) zdefinowane przez

(U f )(r, φ) := f (r cos φ, r sin φ).

We współrzędnych biegunowych operator R

działa jak

−1

U f )(r, φ) = f (r, φ − ψ).

Generator przybiera postać (U

−1

LU )f = ∂

6.4

Przestrzeń L

)

Rozważmy L

). W tej przestrzeni działają operatory unitarne translacji e

−t∂

, obrotu e

−ψL

i skalowania e

s(D+

d
2

)

, gdzie

∂

− x

∂

D :

∂

+ · · · + x

∂

6.5

Laplasjan

Definiujemy Laplasjan jak

∆ =

i=1

∂

Latwo się przekonać, że ∆ jest niezmienniczy ze względu na te transformacje translacje i

obroty:

−t∂

∆

∆e

−t∂

−ψL

∆

∆e

−ψL

6.6

Kwadrat momentu pędu

Zdefiniujmy

∆

i<j

2
ij

Zauważmy, że dla każdego ij,

−ψL

∆

−ψL

Czyli operator ∆

jest niezmienniczy ze względu na obroty.

Jest on też niezmienniczy ze

względu na skalowanie i mnożenie przez r:

−s(D+

d
2

)

∆

−s(D+

d
2

)

r∆

∆

6.7

Laplasjan i operator Laplace’a-Beltramiego we współrzędnych sferycz-
nych

Załóżmy, że Ω = (ω

, . . . , ω

d−1

) są współrzędnymi na sferze.

Dołączając r :=

+ · · · + x

2
d

do współrzędnych Ω = (ω

, . . . , ω

d−1

) dostajemy współ-

rzędne w R

. (Takie współrzędne można nazwać “uogólnionymi współrzędnymi sferycznymi”).

Twierdzenie 6.1

r∂

(6.77)

∆

−d+1

∂

d−1

∂

∆

∂

d − 1

∂

∆

(6.78)

Poza tym, L

i ∆

zależą tylko od współrzędnych Ω na sferze.

Dowód. Można zapisać

D = c

(r, Ω)∂

d−1

j=1

(r, Ω)∂

Mamy

+ · · · + x

2
d

+ · · · + x

2
d

+ · · · + x

2
d

j = 1, d.

Z drugiego wzoru wynika, że Dω

= 0, j = 1, . . . , d − 1. Z pierwszego wynika, że c

(r, Ω) = r.

To dowodzi (6.77).

Mamy

2
ij

= x

2
i

∂

+ x

2
j

∂

− x

∂

− x

∂

− x

∂

Dlatego

i<j

2
ij

i6=j

2
i

∂

−

i6=j

∂

− (d − 1)

∂

i,j

2
i

∂

−

i,j

∂

− (d − 1)

∂

i,j

2
i

∂

− (

∂

)

− (d − 2)

∂

∆ − D

− (d − 2)D.

To dowodzi (6.78).

Mamy L

r = rL

. To dowodzi, że w L

nie występuje pochodna po r.

Mamy również L

D = DL

. Korzystając z tego, że D = r∂

widzimy, że w L

nie występuje

zależność od r.

Ponieważ ∆

wyraża się poprzez L

, widzimy, że ∆

również nie zawiera ∂

ani żadnej

zależności od r.

6.8

Przestrzeń L

d−1

)

Niech

d−1

:= {(x

, . . . , x

) ∈ R

: x

2
1

+ · · · + x

2
d

= 1}

oznacza sferę jednostkową w R

. Przez dΩ będziemy oznaczać miarę naturalną na sferze. Jest

to miara, która jest niezmiennicza ze względu na obroty i cała sfera ma objętość

2π

Γ(

d
2

)

. Możemy

wprowadzić przestrzeń Hilberta L

d−1

) składającą się z funkcji mierzalnych na S

d−1

takich,

że

|f (Ω)|

dΩ < ∞,

z iloczynem skalarnym

(f |g) =

f (Ω)g(Ω)dΩ.

Zamiana współrzędnych kartezjańskich na biegunowe można interpretować jako odwzorowa-

nie unitarne U : L

) → L

([0, ∞[×S

d−1

, r

d−1

drdΩ) zdefinowane przez

(U f )(r, Ω) := f (x

, . . . , x

Operatory obrotu U e

ψL

−1

i operator U ∆

−1

działają tylko na współrzędne Ω. Można

zatem zinterpretować je jako operatory działający wyłącznie na L

d−1

). Tak zinterpretowane

operatory będziemy oznaczali również e

ψL

i ˜

∆

(co jest pewnym nadużyciem). Operatory

ψ ˜

są unitarne na L

d−1

dΩ). Operator ∆

jest samosprzężony na L

d−1

dΩ) i nazy-

wamy go operatorem Laplace’a-Beltramiego na sferze. Naszym głównym zadaniem będzie teraz
diagonalizacja ∆

6.9

Wielomiany wielu zmiennych

Wielomianem zależnym od zmiennych x

, . . . , x

nazywamy skończoną kombinację liniową wy-

rażeń postaci

· · · x

Czyli są to funkcje postaci

P (x

, · · · x

) =

,...,k

,...k

· · · x

Stopień wielomianu P definiujemy jako

degP := max{k

+ · · · + k

: P

,...,k

6= 0}.

6.10

Wielomiany jednorodne wielu zmiennych

Mówimy, że P jest wielomianem jednorodnym stopnia l, gdy

P (λx

, · · · λx

) = λ

P (x

, · · · x

Innymi słowy, mamy wtedy

P (x

, · · · x

) =

+···+k

,...,k

· · · x

Niech Pol

oznacza przestrzeń wielomianów jednorodnych stopnia l

Twierdzenie 6.2 Wymiar przestrzeni wielomianów jednorodnych l-tego stopnia d zmiennych
wynosi

dim Pol

d + l − 1

d − 1

(d + l − 1)!

(d − 1)!l!

(6.79)

Dowód. Rozważmy d + l − 1 białych kulek ustawionych w rząd. Zaczerniamy d − 1 spośród
nich. Dostajemy d rządków białych kulek. W j-tym rządku jest k

kulek, w sumie k

+ · · · + k

d + l − 1 − (d − 1) = l. Liczba możliwych takich konfiguracji wynosi tyle ile d − 1 elementowych
kombinacji w zbiorze l + d − 1-elementowym, czyli (6.79).

6.11

Wielomiany harmoniczne

Mówimy, że wielomian H jest wielomianem harmonicznym, jeśli

∆H = 0.

Niech Har

oznacza przestrzeń wielomianów harmonicznych jednorodnych stopnia l.

Twierdzenie 6.3 Wymiar przestrzeni wielomianów harmonicznych jednorodnych stopnia l w
wymiarze d wynosi dim Har

= dim Pol

− dim Pol

l−2

Dowód. Niech H będzie wielomianem jednorodnym stopnia l. Wtedy ∆H jest wielomianem
jednorodnym stopnia l − 2. Dostajemy zatem operator liniowy ∆

: Pol

→ Pol

l−2

. Ale Ker∆

Har

. Zatem

dim Pol

dim Ran∆

+ dim Ker∆

≤ dim Pol

l−2

+ dim Har

Niech P ∈ Pol

l−2

. Twierdzę, że x

P jest harmoniczny tylko gdy P = 0. Zawsze bowiem

można zapisać P =

P P

l−k−2
1

, gdzie P

jest wielomianem stopnia k nie zawierającym x

Niech x

P będzie harmoniczny. Wtedy

0 = ∆x

2
1

(l − k)(l − k − 1)x

l−k−2
1

l−k
1

∆P

l−k−2
1

((l − k)(l − k − 1)P

+ ∆P

k+2

) .

(6.80)

Niech k

będzie najwyższym stopniem dla którego P

6= 0. Wtedy ∆P

= 0. Każdy z

wyrazów w sumie (6.80) musi być zero. Dlatego (l − k

)(l − k

− 1)P

= 0, co jest niemożliwe,

bo k

≤ l − 2.

Czyli jeśli T

l−2

jest operatorem mnożenia przez x

na Pol

l−2

, to

dim Pol

≥ dim RanT

l−2

+ dim Har

dim Pol

l−2

+ dim Har

A oto przykłady wielomianów harmonicznych jednorodnych:

Wymiar d = 2. Wielomiany harmoniczne jednorodne stopnia m ≥ 1 we współrzędnych karte-
zjańskich i biegunowych:

(x ± iy)

= r

±imφ

1,0

= 1, h

1,l

= 2, l ≥ 1.

Wymiar d = 3. Wielomiany harmoniczne jednorodne stopnia l ≥ 1 we współrzędnych karte-
zjańskich i sferycznych

(x sin ψ − y cos ψ ± iz)

= r

(sin θ sin(φ − ψ) ± i cos θ)

2,l

= 2l + 1.

6.12

Harmoniki sferyczne

Mówimy, że funkcja Y : S

d−1

→ C jest harmoniką sferyczną stopnia l, jeśli istnieje harmoniczny

wielomian H jednorodny stopnia l taki, że Y jest obcięciem H do sfery. Równoważny warunek:

2
1

+ · · · x

2
d

)





, . . . x

+ · · · x

2
d





jest wielomianem harmonicznym

A oto przykłady harmonik sferycznych:

Wymiar d = 2 Rozważamy współrzędne biegunowe: Harmoniki sferyczne stopnia m:

±imφ

Wymiar d = 3 Rozważamy współrzędne kartezjańskie i sferyczne: Harmoniki sferyczne stopnia
l:

(sin θ sin(φ + ψ) ± i cos θ)

Twierdzenie 6.4 Niech Y

będzie harmoniką sferyczną stopnia l. Wtedy

∆

= −l(l + d − 2)Y

Dowód.

0 = ∆r

−d+1

∂

d−1

∂

∆

l(l + d − 2)r

l−2

+ r

l−2

∆

Harmoniki sferyczne stopnia l tworzą podprzestrzeń w L

d−1

). Oznaczmy ją przez H

d,l

Twierdzenie 6.5 (1) H

d,l

jest przestrzenią wektorów własnych operatora −∆

na L

d−1

)

z wartością własną l(l + d − 2).

(2) H

d,l

są wzajemnie ortogonalne dla różnych l.

(3) Kombinacje liniowe elementów H

są gęste w L

d−1

(4) Operatory obrotu e

ψL

zachowują H

d,l

Dowód. (2) wynika z (1) i z tego, że ∆

jest operatorem samosprzężonym na L

d−1

Najpierw trzeba pokazć, że wielomiany harmoniczne obcięte do sfery pokrywają się ze wszyst-

kimi wielomianami. Jeśli to wiemy, (3) wynika z Twierdzenia Stone’a-Weierstrassa, które mówi,
że wielomiany są gęste przestrzeni funkcji ciągłych na zwartym podzbiorze S

d−1

w normie su-

premum. Z kolei funkcje ciągłe są gęste w L

d−1

(4) wynika z tego, że e

ψL

∆

= ∆

ψL

(2) i (3) można razem wyrazić równością L

d−1

) =

∞

⊕

l=0

d,l

6.13

Standardowa baza harmonik sferycznych w L

)

Rozważamy S

we współrzędnych sferycznych

x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ.

r =

+ y

+ z

, θ = arctan

+ y

, φ = arctan

Macierz Jacobiego jest równa






∂r

∂x

∂r
∂y

∂r
∂z

∂θ

∂x

∂θ
∂y

∂θ
∂z

∂φ
∂x

∂φ

∂y

∂φ

∂z










sin θ cos φ

sin θ sin φ

cos θ

cos θ cos φ

cos θ sin φ

−

sin θ

−

sin φ

r sin θ

cos φ

r sin θ





Dalej dostajemy, podstawiając w = − cos θ,

= y∂

− z∂

= − sin φ∂

−

cos θ cos φ

sin θ

∂

= − sin φ

1 − w

∂

√

1 − w

cos φ∂

= z∂

− x∂

= − cos φ∂

−

cos θ sin φ

sin θ

∂

= cos φ

1 − w

∂

√

1 − w

sin φ∂

= x∂

− y∂

= ∂

Operator Laplace’a Beltramiego na S

ma postać

∆

sin θ

∂

sin θ∂

∂

sin

∂

(1 − w

)∂

∂

1 − w

(1 − w

)∂

− 2w∂

∂

1 − w

gdzie w = cos θ, ∂

= (1 − w

)

1
2

∂

Szukamy harmonik sferycznych w postaci Y (θ, φ) = f (cos θ)e

imφ

. Dostajemy równanie

∂

(1 − w

)∂

−

1 − w

+ l(l + 1)

f (w) = 0

(6.81)

(6.81) znane jest jako stowarzyszone równanie Legendre’a. Równanie to można przekształcić do
równania Jacobiego z α = β = m (równania Gegenbauera):

(1 − w

)

−

(1 − w

)∂

− 2w∂

−

1 − w

+ l(l + 1)

(1 − w

)

(1 − w

)∂

− (2 + 2m)w∂

+ (l − m)(l + m + 1),

(patrz (5.71)). Pamiętamy, że wielomiany Jacobiego P

m,m

l−m

spełniają

(1 − w

)∂

− (2 + 2m)w∂

+ (l − m)(l + m + 1)

m,m

l−m

(w) = 0.

Zatem

±imφ

(1 − w

)

m,m

l−m

(w) = e

±imφ

sin

(θ)P

m,m

l−m

(cos θ).

(6.82)

są harmonikami sferycznymi stopnia l.

Standardowa miara na sferze wynosi

dΩ = sin θdθdφ = dwdφ.

Jedną ze standardowych normalizacji harmonik (6.82) jest

l,m

(θ, φ) =

(l + 1) · · · (l + |m|)

(l − |m| + 1) · · · l

−|m|

imφ

sin

|m|

(θ)P

|m|,|m|

l−|m|

(cos θ).

Twierdzenie 6.6 Funkcje Y

l,m

stanowią bazę ortogonalną w L

) spełniającą

sin θdθ

dφ |Y

l,m

(θ, φ)|

4π

1 + 2l

Dowód. Dla różnych m

6= m

, iloczyn skalarny (Y

) znika po przecałkowaniu po φ.

W dalszym ciągu, wystarczy założyć, że m ≥ 0. Wielomiany Jacobiego P

m,m

stanowią bazę

ortogonalną w L

([−1, 1], (1 − w

)

). Spełniają one

−1

m,m

l−m

(w)

(1 − w

)

dw =

2m+1

l · · · (l − m + 1)

(1 + 2l)(l + 1) · · · (l + m)

(Patrz (5.69)). Dlatego,

sin θdθ

−π

dφY

(θ, φ)Y

(θ, φ)

−2m

2π

+ 1) · · · (l

+ m)

· · · (l

− m + 1)

+ 1) · · · (l

+ m)

· · · (l

− m + 1)

−1

dw(1 − w

)

m,m

−m

(w)P

m,m

−m

(w)

4π

+ 1

6.14

Potencjał elektrostatyczny

Mówimy, że funkcja f jest harmoniczna, jeśli ∆f = 0. Przykładem funkcji harmonicznej na

\{(0, 0, 0)} jest (x

+ y

+ z

)

−

1
2

. Po przesunięciu też jest harmoniczna. Zatem

+ y

+ (z − 1)

)

−

1
2

(6.83)

jest harmoniczne na R

\{(0, 0, 1)}

Twierdzenie 6.7 Dla |r| < 1 i −1 ≤ w = − cos θ ≤ 1 mamy

− 2r cos θ + 1)

−

1
2

∞

l=0

(w).

(6.84)

Zatem

(w) =

∂

− 2rw + 1)

−

1
2

r=0

(6.85)

Dowód.

Funkcja r 7→ (r

− 2r cos θ + 1)

−

1
2

ma punkty rozgałęzienia tam gdzie zeruje się

− 2r cos θ + 1, czyli w r = w ± i

√

1 − w

. Zatem w kole |r| < 1 jest analityczna i można ją

rozwinąć w szereg względem r.

Funkcja (6.83) we współrzędnych biegunowych jest równa (r

− 2r cos θ + 1)

−

1
2

∆(r

− 2rw + 1)

−

1
2

∂

(1 − w

)∂

− 2w∂

1 − w

∂

∞

l=0

(w)

∞

l=0

l−2

l(l − 1) + 2l + (1 − w

)∂

− 2w∂

(w).

Zatem P

(w) spełniają l-te równanie Legendre’a

(1 − w

)∂

− 2w∂

+ l(l + 1)

(w).

(6.86)

Ze wzoru (6.85) łatwo wynika, że P

(w) są wielomianami l-tego stopnia. Zatem P

(w) muszą być

proporcjonalne do wielomianów Legendre’a.

Kładziemy w = 1:

− 2r + 1)

−

1
2

(1 − r)

−1

∞

l=0

∞

l=0

(1).

Zatem P

(w) są wielomianami Legendre’a.

Ladunek elektrostatyczny 4π umieszczony w (0, 0, r) wywołuje punkcie oddalonym o R od

centrum i pod kątem cos θ = w potencjał

− 2Rrw + r

)

−

1
2







∞
l=0

−l−1

(w),

R > r;

∞
l=0

−l−1

(w),

R < r.

6.15

Funkcje Legendre’a

Niech l = 0, 1, . . . i m = −l, . . . , l. Wprowadza się często tzw. funkcje Legendre’a

(w)

−m

(l + m)!

(1 − w

)

m,m

l+m

(w),

lub

(w)

(−1)

−m

(l + m)!

(1 − w

)

m,m

l+m

(w).

(Pierwszy wzór stosuje tzw. konwencję Condona-Shockley’a). Są one rozwiązaniami stowarzy-
szonego równania Legendre’a (6.81).

Niech l = 0, 1, . . . i m = 0, . . . , l. Mamy wtedy tożsamości dla wielomianów Jacobiego

−m

(1 − w

)

m,m

l+m

(w)

(1 − w

)

−

−m,−m

l+m

(w)

(−1)

l−m

(l + m)!

(1 − w

)

−

∂

l+m

(1 − w

)

(−1)

(l + m)!

(1 − w

)

−

∂

(w).

Dlatego też dla stowarzyszone funkcje Legendre’a można wyrazić poprzez wielomiany Legendre’a

(w)

(−1)

(1 − w

)

∂

(w),

lub

(w)

(1 − w

)

∂

(w).

Mamy też tożsamość

−m

(w) = (−1)

(l − m)!

(l + m)!

(w).

Dostajemy więc następujące wyrażenie harmonik sferycznych (stosujemy konwencję Condona-
Shockleya):

l,m

(θ, φ) =

(−1)

imφ

p(l − m + 1) · · · (l + m)

(cos θ).

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
lab9 wielomiany ortogonalne
lab9 wielomiany ortogonalne
dzialania na wielomianach
Nierownosci wielomianowe
dzielenie wielomianów
WIELOMIANY, Zadania przygotowujące do matury z matematyki
4 4 Wielomiany
ortogonalne id 340512 Nieznany
Kiełbasa wielomiany
4 Rozkład wielomianów na ułamki proste
wielomiany, Do Matury, Matematyka
Obliczanie wartosci wielomianów schemat Hornera
nierówności wielomianowe
Praca nauczyciela to nieustanne poruszanie się po terenie naszpikowanym wieloma psychologicznymi

więcej podobnych podstron