LABORATORIUM

9

WERYFIKACJA HIPOTEZ

STATYSTYCZNYCH

PARAMETRYCZNE TESTY

ISTOTNOŚCI

1.Test dla dwóch średnich

P.G.

2.Testy dla wskaźnika

struktury

3.Testy dla wariancji

OBSZAR KRYTYCZNY

LEWOSTRONNY

OBSZAR

KRYTYCZNY

Test jednośladowy

(one- tail test)

PRAWOSTRONNY

OBSZAR

KRYTYCZNY

Test jednośladowy

(one- tail test)

DECYZJE

Obszar krytyczny od pozostałej części rozkładu statystyki oddzielony jest przez tzw. wartości
krytyczne testu czyli wartości odczytane z rozkładu statystyki przy danym α, tak aby spełniona
była relacja zależna od sposobu sformułowania H

1

.

TEST DLA WSKAŹNIKA STRUKTURY

(PROCENTU)

Populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z
parametrem p . Z populacji tej wylosowano próbę n-
elementową (n>100) próbę. W oparciu o wynik tej
próby zweryfikować hipotezę:

H

o

: p=p

o

wobec

hipotezy alternatywnej:

H

1

: p p

o

, gdzie p

o

jest

hipotetyczna wartość parametru p

Statystyka testowa:

Gdzie m- liczba wyróżnionych elementów w
próbie. Statystyka z ma rozkład N(0,1)

TESTY DLA DWÓCH ŚREDNICH

POPULACJI

Przypadek 1.
Dwie populacje generalne o rozkładach normalnych N(µ

1

, σ

1

) i

N(µ

2

, σ

2

) . Odchylenia standardowe σ

1

i σ

2

są znane. W oparciu o

wyniki dwu niezależnych prób, o liczebnościach n

1

i n

2

wylosowanych z tych populacji sprawdzić hipotezę:

H

o

: µ

1

= µ

2

,

wobec hipotezy alternatywnej:

H

1

: µ

1

 µ

2

Rozwiązanie: Statystyka testowa:
ma rozkład N(0,1)

Rozwiązanie: Statystyka testowa:

Przypadek 2

.

Dwie populacje generalne o rozkładach normalnych N(µ

1

, σ

1

) i

N(µ

2

, σ

2

) Odchylenia standardowe σ

1

i σ

2

są nieznane, ale

jednakowe: σ

1

= σ

2

. W oparciu o wyniki dwu niezależnych prób, o

liczebnościach n

1

i n

2

wylosowanych z tych populacji sprawdzić

hipotezą:

H

o

: µ

1

= µ

2

,

wobec hipotezy alternatywnej:

H

1

: µ

1

 µ

2

ma rozkład t-Studenta o k= n

1

+ n

2

-2 stopniach swobody.

TESTY DLA DWÓCH ŚREDNICH

POPULACJI

Uwaga: Często zdarza się, że wyniki obu prób możemy
traktować jako wyniki pomiarów na tych samych
elementach. Typową sytuacją jest przypadek: wynik x

i

‘przed’ jakąś operacją i wynik y

i

‘po’ niej dla tego

samego ‘i’ . Można wtedy analizować wyniki obu prób jako
wyniki jednej próby różnicowej

z

i

= y

i

- x

i.

Wówczas

testujemy hipotezę:

H

o

: µ

z

=0

, gdzie

µ

z

ś

rednia w populacji

różnic.

Statystyka testowa:

ma rozkład t-Studenta o
k=n-1.

Przypadek 3.
Dwie populacje generalne o rozkładach normalnych lub innych.
Odchylenia standardowe σ

1

i σ

2

są nieznane. W oparciu o wyniki

dwu niezależnych dużych prób, o liczebnościach n

1

i n

2

wylosowanych z tych populacji sprawdzić hipotezę:

H

o

: µ

1

= µ

2

,

wobec hipotezy alternatywnej:

H

1

: µ

1

 µ

2

Rozwiązanie: Postępujemy tak samo, jak w Przypadku 1, z tym
że przy obliczaniu wartości statystyki testowej w miejsce σ

1

i σ

2

wstawiamy :

s

1

i s

2

TEST DLA DWÓCH WSKAŹNIKÓW

STRUKTURY

Dwie populacje generalne o rozkładach dwupunktowych
z parametrami p

1

i p

2

. W oparciu o wyniki dwu

niezależnych prób, o liczebnościach n

1

i n

2

(n

1

>100 i

n

2

>100) wylosowanych z tych populacji sprawdzić

hipotezę, że parametry p

1

i p

2

są jednakowe, tzn:

H

o

:

p

1

=p

2

wobec hipotezy alternatywnej:

H

1

: p

1

 p

2

.

Statystyka testowa:

gdzie: m

1

i m

2

oznaczają ilość wyróżnionych elementów w obu

próbach, a

:

z- ma rozkład
N(0,1)

TEST DLA WARIANCJI

POPULACJI

Populacja generalna ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanych
parametrach µ i σ. Z populacji tej wylosowano próbę n-
elementową próbę, na jej podstawie sprawdzić hipotezę:

H

o

:

wobec hipotezy alternatywnej:

H

1

: ,

gdzie

jest hipotetyczną wartością wariancji

Rozwiązanie: Statystyka testowa:

Statystyka ta ma rozkład χ

2

z k=n-1 stopniami

swobody

TEST DLA DWÓCH WARIANCJI POPULACJI

Dane są dwie populacje generalne o rozkładach normalnych
N(µ

1

, σ

1

) i N(µ

2

, σ

2

) . Ich parametry są nieznane. W oparciu o

wyniki dwu niezależnych prób, o liczebnościach n

1

i n

2

wylosowanych z tych populacji sprawdzić hipotezę:

H

o

:

wobec hipotezy alternatywnej:

H

1

:

Statystyka testowa

: ma rozkład F-Snedecora z

k

1

=n

1

-1 oraz

k

2

=n

2

-1 stopniami swobody.

Gdy

F 

F



odrzucamy H

o

ĆWICZENIA

1. Spośród studentów AGH wylosowano niezależnie do próby 200

studentów i zapytano ich czy palą i ile dziennie palą
papierosów. 152 studentów z nich stwierdziło, ze pali
systematycznie, a wariancja z tej próby wypalanych
papierosów wynosi s

2

=50 (papierosów)

2

. Na poziomie

istotności α=0,05 zweryfikować hipotezy:

a) palących studentów na AGH jest 60 %,
b) odchylenie standardowe liczby wypalanych dziennie

papierosów wynosi 5.

5G.p.87, z. 2.62, p. 78 z. 2.46

2. Wykonano pomiary porowatości 8-miu wylosowanych

kształtek ceramicznych przed i po modyfikacji polegającej na
dodatkowym procesie spiekania, uzyskano następujace wyniki
porowatości w [%]:

przed modyfikacją: 21, 17, 20, 26, 23, 22, 21 , 18
po modyfikacji: 16, 13, 14, 21, 19, 18, 26, 17
Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że

modyfikacja zmniejsza porowatość tych wyrobów. Zastosować
test dla par na różnicach wyników.

(G.p.70 z. 2.23)