Fizyka I rok – analiza duży kurs 2010/2011 Zagadnienia do egzaminu
1. Wiadomości wstępne: kwantyfikatory i ich porządek; zbiory (działania na zbiorach, rodzina
podzbiorów, podstawowe zbiory liczbowe, przedziały, ); definicja funkcji (iloczyn
kartezjaoski, definicja funkcji, obraz i przeciwobraz zbioru przez funkcję – ich własności, zbiór
wartości); podział funkcji (injekcje, surjekcje, bijekcje; funkcje parzyste i nieparzyste;
funkcje okresowe); rozkład funkcji na sumę części parzystej i nieparzystej (d) (zastosowanie
– funkcje hiperboliczne).
2. Definicja R, własności działao w R. Zupełnośd R.
3. Działania na funkcjach (operacje arytmetyczne; złożenie funkcji); funkcja odwrotna
(przykłady obliczenia funkcji odwrotnej – funkcja liniowa, wielomian trzeciego stopnia);
przykłady (funkcja znak liczby, wartośd bezwzględna, cecha, mantysa).
4. Ciągi: definicja; podciągi; rodzaje ciągów (ciągi monotoniczne, ograniczone, zbieżne);
definicja zbieżności, jednoznacznośd granicy (d); warunek Cauchy’ego, równoważnośd
zbieżności z warunkiem Cauchy’ego; zależności między zbieżnością i własnościami ciągów;
nierównośd Bernoulliego; zbieżnośd ciągów monotonicznych; definicja liczby e (d) ,
definicja exp x (d); działania na ciągach zbieżnych, twierdzenie o 3 ciągach (przykład z
ciągiem z n-tym pierwiastkiem); zbieżnośd ciągów do nieskooczoności . Granica dolna i
granica górna ciągu; twierdzenie Bolzano-Weierstrassa; granice z n-tym pierwiastkiem (d).
5. Granica funkcji i ciągłośd: definicja granicy funkcji i ciągłości, działania na granicach,
złożenie funkcji ciągłych, granice jednostronne, granice w nieskooczoności; dwie
podstawowe granice (granica z sinusem (d), granica z funkcją exp (d)), oszacowania dla
funkcji exp; własności funkcji ciągłych (twierdzenie Weierstrassa, własnośd Darboux);
wnioski z własności Darboux (lokalizacja zer funkcji ciągłych, różnowartościowośd a
monotonicznośd funkcji ciągłych (d)); ciągłośd funkcji odwrotnych (d); .
6. Pochodna: definicja pochodnej i pochodnych jednostronnych; reguły różniczkowania
(pochodna sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu, złożenia, funkcji odwrotnej – przykłady: exp, cos,
sin, tg, arctg); podstawowe pochodne (sin, exp, potęgi).
7. Zastosowania definicji pochodnej do liczenia logarytmów przy pomocy pierwiastków;
geometryczna interpretacja pochodnej; definicja stycznej (równanie stycznej).
8. Twierdzenia o wartości średniej: Rolle’a, Lagrange’a, Cauchy’ego (ich równoważnośd,
dowód tw. Rolle’a (d)); własnośd Darboux pochodnej (d); wnioski z tw. Lagrange’a (znak
pochodnej implikuje monotonicznośd funkcji, warunek konieczny istnienia ekstremum).
9. Zbiory otwarte, domknięte, zwarte, spójne – ich własności; charakteryzacja zbiorów
zwartych, charakteryzacja podzbiorów spójnych w R (d). Obrazy zbiorów zwartych i spó
10. Twierdzenie (reguła) de l’Hospitala ((działania na liczbach skooczonych i nieskooczonościach,
działania nieoznaczone); warunki stosowalności (kiedy nie możemy jej stosowad); równośd
asymptotyczna funkcji; sprowadzanie nieoznaczoności do przypadków podstawowych
reguły de l’Hospitala.
11. Badanie funkcji: asymptoty pionowe, ukośne (poziome); wypukłośd funkcji: definicja,
wypukłośd funkcji dwukrotnie różniczkowalnych, zastosowanie drugiej pochodnej do
znajdowania ekstremów; zastosowania wypukłości do nierówności (nierównośd między
średnią arytmetyczną i geometryczną).
