Fizyka I rok – analiza duży kurs 2010/2011 Zagadnienia do egzaminu

1. Wiadomości wstępne: kwantyfikatory i ich porządek; zbiory (działania na zbiorach, rodzina

podzbiorów, podstawowe zbiory liczbowe, przedziały, ); definicja funkcji (iloczyn
kartezjaoski, definicja funkcji, obraz i przeciwobraz zbioru przez funkcję – ich własności, zbiór
wartości); podział funkcji (injekcje, surjekcje, bijekcje; funkcje parzyste i nieparzyste;
funkcje okresowe); rozkład funkcji na sumę części parzystej i nieparzystej (d) (zastosowanie
– funkcje hiperboliczne).

2. Definicja R, własności działao w R. Zupełnośd R.
3. Działania na funkcjach (operacje arytmetyczne; złożenie funkcji); funkcja odwrotna

(przykłady obliczenia funkcji odwrotnej – funkcja liniowa, wielomian trzeciego stopnia);
przykłady (funkcja znak liczby, wartośd bezwzględna, cecha, mantysa).

4. Ciągi: definicja; podciągi; rodzaje ciągów (ciągi monotoniczne, ograniczone, zbieżne);

definicja zbieżności, jednoznacznośd granicy (d); warunek Cauchy’ego, równoważnośd
zbieżności z warunkiem Cauchy’ego; zależności między zbieżnością i własnościami ciągów;
nierównośd Bernoulliego; zbieżnośd ciągów monotonicznych; definicja liczby e (d) ,
definicja exp x (d); działania na ciągach zbieżnych, twierdzenie o 3 ciągach (przykład z
ciągiem z n-tym pierwiastkiem); zbieżnośd ciągów do nieskooczoności . Granica dolna i
granica górna ciągu; twierdzenie Bolzano-Weierstrassa; granice z n-tym pierwiastkiem (d).

5. Granica funkcji i ciągłośd: definicja granicy funkcji i ciągłości, działania na granicach,

złożenie funkcji ciągłych, granice jednostronne, granice w nieskooczoności; dwie
podstawowe granice (granica z sinusem (d), granica z funkcją exp (d)), oszacowania dla
funkcji exp; własności funkcji ciągłych (twierdzenie Weierstrassa, własnośd Darboux);
wnioski z własności Darboux (lokalizacja zer funkcji ciągłych, różnowartościowośd a
monotonicznośd funkcji ciągłych (d)); ciągłośd funkcji odwrotnych (d); .

6. Pochodna: definicja pochodnej i pochodnych jednostronnych; reguły różniczkowania

(pochodna sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu, złożenia, funkcji odwrotnej – przykłady: exp, cos,
sin, tg, arctg); podstawowe pochodne (sin, exp, potęgi).

7. Zastosowania definicji pochodnej do liczenia logarytmów przy pomocy pierwiastków;

geometryczna interpretacja pochodnej; definicja stycznej (równanie stycznej).

8. Twierdzenia o wartości średniej: Rolle’a, Lagrange’a, Cauchy’ego (ich równoważnośd,

dowód tw. Rolle’a (d)); własnośd Darboux pochodnej (d); wnioski z tw. Lagrange’a (znak
pochodnej implikuje monotonicznośd funkcji, warunek konieczny istnienia ekstremum).

9. Zbiory otwarte, domknięte, zwarte, spójne – ich własności; charakteryzacja zbiorów

zwartych, charakteryzacja podzbiorów spójnych w R (d). Obrazy zbiorów zwartych i spó

10. Twierdzenie (reguła) de l’Hospitala ((działania na liczbach skooczonych i nieskooczonościach,

działania nieoznaczone); warunki stosowalności (kiedy nie możemy jej stosowad); równośd
asymptotyczna funkcji; sprowadzanie nieoznaczoności do przypadków podstawowych
reguły de l’Hospitala.

11. Badanie funkcji: asymptoty pionowe, ukośne (poziome); wypukłośd funkcji: definicja,

wypukłośd funkcji dwukrotnie różniczkowalnych, zastosowanie drugiej pochodnej do
znajdowania ekstremów; zastosowania wypukłości do nierówności (nierównośd między
średnią arytmetyczną i geometryczną).

12. Szeregi nieskooczone: definicja szeregów nieskooczonych, definicja zbieżności i sumy

szeregu (suma szeregu jako granica ciągu S_n); warunek konieczny zbieżności szeregów;
przykłady szeregów zbieżnych i szeregu rozbieżnego ; warunek Cauchy’ego zbieżności
szeregów; kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich (kryterium porównawcze,
kryterium porównawcze w wersji granicznej, kryterium Cauchy’ego, kryterium d’Alemberta);
szeregi bezwzględnie zbieżne; szeregi warunkowo zbieżne (kryteria: Leibniza, Abela,
Dirichleta); mnożenie szeregów bezwzględnie zbieżnych (d) i tw. Mertensa; przykłady
zastosowao .

13. Definicja funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej; warunek konieczny istnienia funkcji

pierwotnej (d), istnienie funkcji pierwotnej funkcji ciągłej. Wzory na całkowanie .
Przykłady.