Zadanie. Zbadaj przebieg zmienności poniższej funkcji. Sporządz
tabelkę przebiegu zmienności
funkcji i naszkicuj wykres z uwzględnieniem charakterystycznych dla niej punktów:
x3 - 4
f(x) = .
x2
Rozwiązanie
1. Dziedzina, parzystość, charakterystyczne punkty
" Dziedzina
Df = R \ {0}.
" Parzystość
Najpierw zauważmy, że f(1) = -3, f(-1) = -5. Zatem
f(1) = f(-1) oraz f(1) = -f(-1).

f nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
(w przeciwnym wypadku któraś z własności (f(x) = f(-x)) lub (f(x) = -f(-x))musiałaby
być spełniona dla każdego x z dziedziny, a my pokazaliśmy, że dla x = 1 tak nie jest.
Czyli ogólnie: mając podejrzenie, że funkcja nie jest parzysta (odpowiednio - niepa-
rzysta) znajdujemy dowolny argument taki, żeby pokazać, że pierwsza (odpowiednio -
druga) powyższa równość nie jest spełniona. Z dużym prawdopodobieństwem będzie to
 pierwszy lepszy wybrany przez nas x).
" Miejsca zerowe
f(x) = 0
x3 - 4
= 0
x2
"
3
x = 4
"
3
Miejsce zerowe: { 4}.
" Punkty przecięcia wykresu z osiami
Punkty przecięcia z osią OX:
(Takie punkty postaci (x, f(x)), w których f(x) = 0. Wobec tego x musi być miejscem
zerowym. Ponieważ jest tylko jedno miejsce zerowe, więc jest tylko jeden punkt prze-
cięcia się wykresu z osią OX)
"
3
( 4, 0).
Punkt przecięcia z osią OY:
(Zawsze jest tylko jeden. Jest on postaci (0, f(0)). Ponieważ wartość f w x = 0 nie
istnieje, więc nie wykres nie przecina się z osią OY.)
Brak.
2. Asymptoty
" Pionowe: Dziedziną jest zbiór (-", 0)*"(0, "), więc jedynym kandydatem jest x = 0.
4
lim f(x) = lim (x - ) = -",
x0+ x0+ x2
4
lim f(x) = lim (x - ) = -".
x0- x0- x2
f ma asymptotę pionową o równaniu x = 0.
" Ukośne:
- prawostronne
f(x) x3 - 4 4
a = lim = lim = lim (1 - ) = 1.
x" x"
x x3 x" x3
x3 - 4 x3 - 4 - x3 -4
b = lim (f(x) - ax) = lim ( - x) = lim ( ) = lim ( ) = 0
x" x" x" x"
x2 x2 x2
f ma asymptotę ukośną prawostronną o równaniu y = x.
- lewostronne
f(x) x3 - 4 4
a = lim = lim = lim (1 - ) = 1.
x-" x-"
x x3 x-" x3
x3 - 4 x3 - 4 - x3 -4
b = lim (f(x) - ax) = lim ( - x) = lim ( ) = lim ( ) = 0
x-" x-" x-" x"
x2 x2 x2
f ma asymptotę ukośną lewostronną o równaniu y = x.
3. Monotoniczność, ekstrema
x3 - 4 4 8 x3 + 8 (x + 2)(x2 - 2x + 4)
f (x) = ( ) = (x - ) = 1 + = = .
x2 x2 x3 x3 x3
Dla równania x2 - 2x + 4 = 0 jest " < 0, wobec tego x2 - 2x + 4 > 0 dla każdego x " Df
(*).
" Przedziały monotoniczności:
f (x) > 0.
(x + 2)(x2 - 2x + 4)
> 0.
x3
Po uwzględnieniu (*)
x + 2
> 0.
x3
Po pomnożeniu obustronnie przez x6 (możemy tak zrobić, ponieważ x6 > 0, skoro
Df = R \ {0}, ale od teraz musimy pamiętać, że x = 0.):

(x + 2)x3 > 0.
x -2 0
f (x) + 0 - +
- oznacza, że wartość nie istnieje (bierzemy tylko x = 0).

Kliknij, aby zobaczyć wykres f (x).
x " (-", -2) *" (0, ")
f jest rosnąca w przedziale x " (-", -2) *" (0, ").
f jest malejąca w przedziale x " (-2, 0).
" Ekstrema:
x -2 0
f (x) + 0 - +
f(x) max
f ma w x = -2 lokalne maksimum, równe f(-2) = -3.
Uwaga! W punkcie x = 0 funkcja f nie osiąga minimum, ponieważ warunkiem ko-
niecznym na ekstremum w punkcie x jest, aby f (x) = 0, zaś f (0) nie istnieje.
4. Wklęsłość, wypukłość, punkty przegięcia
Policzyliśmy już
8
f (x) = 1 + .
x3
Wobec tego
8 24
f (x) = (1 + ) = (1 + 8x-3) = -24x-4 = -
x3 x4
x (-", -2) -2 (-2, 0) 0 (0, ")
f (x) - - - -
" Przedziały wklęsłości i wypukłości:
Widać, że f (x) < 0 dla każdego x " Df. Stąd wniosek, że
f jest wklęsła w zbiorze R \ {0}.
" Punkty przegięcia:
Natychmiastową konsekwencją powyższego faktu jest
brak punktów przegięcia f.
Uwaga! Gdyby było inaczej,z tabelki łatwo odczytalibyśmy przedziały wypukłości
(czyli zbiory, gdzie f (x) > 0), wklęsłości (f (x) < 0) oraz punkty przegięcia (f (x) =
0 oraz f (x) zmienia znak na przeciwny)).
5. Tabelka, wykres
" Tabelka:
x (-", -2) -2 (-2, 0) 0 (0, ")
f (x) + 0 - +
f (x) - - - -
f(x) -3(max) -" y=x
y=x -"
wklęsła wklęsła
Uwaga! Informacja, że oraz y=x jest napisana po to, aby zaznaczyć, że dla
y=x
x -" oraz dla x " funkcja zachowuje się podobnie jak funkcja y = x (patrz:
asymptoty ukośne).
Informacja, że -" oraz wynika z badania asymptot pionowych w punkcie
-"
x = 0 (patrz: asymptoty pionowe).
Powyższą tabelkę można tworzyć na wiele różnych sposobów. Najlepiej utworzyć tak,
aby zawrzeć jak najwięcej informacji, które pozwolą nam naszkicować wykres badanej
funkcji f.
" Wykres:
Kliknij, aby zobaczyć wykres funkcji f(x).