Poprawa kartkówki 1 - rozwiązanie
Zadanie 1. Rozwiąż układ równań z parametrem k ze względu na zmienne
x, y:

-2x + (k + 2)y = 2
(k - 1)x + (k - 4)y = -1
Rozwiązanie:
Macierze A i U wynoszą odpowiednio:

-2 k + 2 -2 k + 2 2
A = , U = .
k - 1 k - 4 k - 1 k - 4 -1
Najpierw policzmy
det A = -2(k - 4) - (k - 1)(k + 2) = -2k + 8 - (k2 + 2k - k - 2) =
-2k + 8 - k2 - k + 2 = -k2 - 3k + 10.
" = (-3)2 - 4((-1) � 10) = 49. Miejsca zerowe wyznacznika macierzy A to
3-7 3+7
k1 = = 2 oraz k2 = = -5.
-2 -2
Przypadek 1: k = 2 i k = -5.

Wtedy macierz A ma rząd równy 2, a z tego rzU = 2. Czyli rzA = rzU = 2
co oznacza, że układ jest oznaczony. Wyznaczamy rozwiązanie (jedyne).

2 k + 2 -2 2
A1 = , A2 = .
-1 k - 4 k - 1 -1
det A1 = 2(k - 4) + (k + 2) = 2k - 8 + k + 2 = 3k - 6
det A2 = 2 - 2(k - 1) = -2k + 4
3(k-2) -3
det A1 3k-6
x = = = =
det A -k2-3k+10 -(k-2)(k+5) k+5
-2(k-2)
det A2 -2k+4 2
y = = = = (mogliśmy skrócić przez (k - 2),
det A -k2-3k+10 -(k-2)(k+5) k+5
ponieważ k = 2).

Przypadek 2: k = 2.
Wtedy

-2 4 -2 4 2
A = , U = . W tym przypadku
1 -2 1 -2 -1
rzA = rzU = 1 < n, gdzie liczba zmiennych n = 2, zatem układ jest
nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań, zależnych od
n - 1 = 2 - 1 = 1 parametru - twierdzenie Kroneckera-Capelliego). Zgodnie
z algorytmem (patrz: ćwiczenia 2) odrzucamy jedno równanie (niech to
będzie równanie drugie). Od tego momentu rozważamy tylko
-2x + (k + 2)y = 2.
Przenosimy na drugą stronę równości wyrażenie (k + 2)y i od tego momentu
k
traktujemy y jako parametr (ponownie algorytm). Z tego x = (1 + )y - 1.
2
Wobec tego rozwiązaniem jest nieskończony zbiór par liczb:
k
{(x, y) : x = (1 + )y - 1, y " R}.
2
Przypadek 3: k = -5.
Wtedy

-2 -3 -2 -3 2
A = , U = .
-6 -9 -6 -9 -1
Tutaj rzA = 1, zaś rzU = 2, zatem układ jest sprzeczny.
Zadanie 2. Znajdz
dziedzinę funkcji
3x - 1 x - 1
f(x) = log ( - ).
2x + 1 x + 1
Rozwiązanie:
Dziedziną f(x) = log x jest zbiór {x " R : x > 0}, zatem zadanie sprowadza
się do rozwiązania nierówności:
3x - 1 x - 1
- > 0.
2x + 1 x + 1
Liczymy
(3x - 1)(x + 1) (2x + 1)(x - 1)
- > 0.
(2x + 1)(x + 1) (2x + 1)(x + 1)
(3x2 + 3x - x - 1) - (2x2 - 2x + x - 1)
> 0.
(2x + 1)(x + 1)
(x2 + 3x)
> 0.
(2x + 1)(x + 1)
x(x + 3)
> 0,
(2x + 1)(x + 1)
a stąd - korzystając na przykład z metody  tabelkowej - rozwiązaniem
nierówności, a tym samym szukaną dziedziną funkcji jest zbiór:
1
(-", -3) *" (-1, - ) *" (0, ").
2