Przekształcenie Laplace a
f( t e" 0 )
e"
e"
e"
f(" )
Dziedzina
Zbiór funkcji
rzeczywista
Pozostałe
zmiennej rzeczywistej
0
f(t)
Np. czas  t
"
f (t)e-stdt = L�ł f (t)łł = F(s)
+" �ł śł
�ł �ł
0
f (t)�"1(t) = L-1[F(s)]
+ j
F(" )
"
"
"
Zbiór funkcji
+ 1
F(s)
zmiennej zespolonej
Dziedzina
zespolona
Np. zmienna
s = ą+j�
ą �
ą �
ą �
Twierdzenia
" O Liniowości
Jeśli L[f1(t)]= F1(s) oraz L[f2(t)]= F2(s) , to dla
dowolnych liczb k1, k2:
L[k1 f1(t) + k2 f2(t)] = k1F1(s) + k2F2(s)
" O Zmianie Skali ( o podobieństwie )
Jeśli L[f(t)]= F(s) oraz a"
"R+, to :
"
"
L[f(at)] = a 1F(a 1 s)
" O Przesunięciu w Dziedzinie Czasu
Jeśli L[f (t)]= F (s) , to dla � e" 0 :
�
�
�
L[f(t  � �)] = e s� F(s)
�) 1(t  �
� �
� �
1 1
f(t)1(t)
f(t � �)
�)1(t �
� �
� �
0.5 0.5
-5 -2.5 2.5 5 7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
�
�
�
�
-0.5 -0.5
-1 -1
" O Przesunięciu w Dziedzinie Transformat
Jeśli L[f (t) 1(t)]= F (s) , to dla ą "Z:
ąt
ą
ą
L[e ą f(t) 1(t)] = F( s + ą
ą )
ą
ą
1 1
ąt
ą
ą
f(t)1(t)
e ą f(t) 1(t)
0.5 0.5
-5 -2.5 2.5 5 7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
-0.5 -0.5
-1 -1
" O Transformacie Pochodnej
Jeśli f(t) i f (1)(t) są L - transformowalne , to:
L[f (1)(t)]= s F(s)  f(0+)
n-1
(n) (k)
i ogólnie: L[ f (t)]= snF(s)- sn-k-1 f (0+)
"
k=0
" O Transformacie Całki
Jeśli L[f (t)]= F (s) , to:
�łt łł
1
�ł śł
L�ł+" f (� )d� = F(s)
s
śł
0
�ł �ł
" O Ró\
niczkowaniu Transformaty
Jeśli L[f (t)]= F (s) , to:
L[t f (t)]= -d F(s)
ds
n n�"dnF(s)
i ogólnie: L[t f (t)]= (-1)
dns
" O Granicy Transformaty w Nieskończoności
Jeśli L[f (t)]= F (s) , to:
limF(s) =0
s"
" O Wartościach Granicznych
Jeśli L[f (t)]= F (s) oraz
a) istnieje granica tlim f (t) = f ("), to:
+"
limsF(s) = f (")
s0
b) istnieje granica tlim f (t) = f (0+), to:
0+
limsF(s) = f (0+)
s"
Tabela podstawowych transformat Laplace a
f(t)  F(s) -
Wykres F(s)
Wykres f(t)
oryginał transf.
Moduł Argument
f(t)
�(t)
2 1
1
�(t) 1.5 0.5
1 0.1
1 0
0.5 0.5 -0.5 0.05
-1
0
-0.1
-1
-1 0 -0.1 0
-0.05
-0.05
-0.5
t -0.5
0
0
0 -0.5 0 -0.05
0.05
0.05
0.5
0.5
-0.1
-1 0.1
0.1
1
1
f(t)
1
1(t)
4�1016
1 3�1016 2
0.1
2�1016 0.1
0
1�1016 0.05
0.05
s 0 -2
-0.1
-0.1 0
t
-0.1
-0.1 0
-0.05
-0.05
-0.05
-0.05
0
0 -0.05
0
0 -0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
-0.1
0.1
0.1
-0.1
0.1
0.1
1.4
1.2
a<1
1
e-at
1(t)
0.8
1 2
0.6
100 0.1
0.1
0
0.4 50
0.05
0.05 -2
a>1 0.2
-0.1 -0.1
-0.1 0 -0.1 0
-0.05 -0.05
s + a -0.05 -0.05
-0.05 -0.05
0 0
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 0 0
0.05 0.05
0.05 0.05
-0.1 -0.1
0.1 0.1
0.1 0.1
1
0.75
0.5
0.25
�
2
60
sin �t 1(t) -2 2 4 6 8 10 12
0.1
0.1
0
40
-0.25
0.05
20 0.05 -2
-0.5
-0.1
-0.1
-0.1 0 -0.1 0
-0.05 -0.05
-0.75 -0.05 -0.05
s2 + �2
0 0
0 -0.05 0 -0.05
-1
0.05 0.05
0.05 0.05
-0.1 -0.1
0.1 0.1
0.1 0.1
1
0.75
0.5
0.25
s 60
cos �t 1(t) -2 2 4 6 8 10 12 0.1
2
40
0.1
-0.25
0
20 0.05
0.05
0 -2
-0.5
-0.1
-0.1 0
-0.1
-0.1 0
-0.75 -0.05
s2 + �2 -0.05
-0.05
-0.05
-0.05
0
0
0
0 -0.05
-1
0.05
0.05
0.05
0.05
-0.1 -0.1
0.1 0.1
0.1 0.1
1.4
n=1
1.2
1
0.8
tn 1(t) patrz wy\
ej patrz wy\
ej
0.6 n!
0.4
0.2
-0.25 0.25 0.5 0.75 1 1.25
sn+1
1
0.8
50
0.6 a<1
40
a
2
(1 e at) 1(t) 1
30
0.1
0
0.4 20
0.5
10 0.05
-2
0
-1 -0.1
0.2 -1 0 -0.1 0
a>1
( ) -0.5 -0.05
s s + a -0.5 -0.05
-0.5 0 -0.05
0
0
0
2 4 6 8 10 0.05
0.05
0.5
0.5
-0.1
-1 0.1
0.1
1
1
NP.
1.
t
�(�)d� = 1(t)
+"
-"
t
1
L[1(t)] = L[ �(�)d�] =
+" s
z tw. OTC
-"
2.
1 1
L[1(t)] = L[e-at1(t)] =
z tw. OPwDT
s s + a
3.
j�t j�t
e - e- j�t e e- j�t
sin�t �"1(t) = �"1(t) = �"1(t) - �"1(t)
2 j 2 j 2 j
1
L[1(t)] =
s
z tw. OPwDT
1
j�t
L[sin�t �"1(t)] = L[e �"1(t)] - L[e- j�t �"1(t)] =
2 j
1 1 1 1 (s + j�) - (s - j�)
= [ - ] = =
2 j s - j� s + j� 2 j (s - j�)(s + j�)
�
=
s2 + �2
4.
�
L[sin�t] =
s2 + �2 z tw. OTP
1 d 1 �
L[cos�t] = L[ sin�t] = s - sin(0+ ) =
� dt � s2 + �2
s
=
s2 + �2
ROZKA
AD WA
AŚCIWEJ FUNKCJI WYMIERNEJ
NA UA
AMKI PROSTE
l
aksk
"
L(s)
k =0
F(s) = = ;
m
M(s)
bksk
"
(1)
k =0
s "
, ak ,bk "!; al `" 0, bm = 1; l - m < 0
Przypadek 1
Pierwiastki wielomianu M(s) są pojedyncze (ró\
ne)
m1 m2
M (s) = (s + ąk ) �" (s2 + pis + qi ) =
" "
k =1 i=1
m1 m2
(2)
2
= (s + ąk ) �" ((s + �i )2 + �i )
" "
k =1 i=1
- "i
pi
przy czym: m + m2 = m, "i < 0, �i = 2 , �i = 2 , "i = pi2 - 4qi .
1
Wielomian M(s) ma: m1 - pierwiastków rzeczywistych: {ą1, ą2, ..., ąm1};
m2 - pierwiastków zespolonych: {-�1ąj�1, -�2ąj�2, ..., -�m2ąj�m2};
m1 m2
Ak Bis + Ci
F(s) = + =
" "
s + ąk s2 + pis + qi
k =1 i=1
m1 m2
Ak Bi (s + �i ) + Di�i (3)
= +
2
" "
s + ąk (s + �i )2 + �i
k =1 i=1
Ci - Bi�i
Di =
przy czym:
�i
Pary transformat:
Ak
k
�!'" Ake-ą t
�ł
s + ąk
Bis + Ci Bi (s + �i ) + Di�i
i
= �!'" e-� t (Bi cos�it + Di sin�it)
�ł
2
s2 + pis + qi (s + �i )2 + �i
Oryginał:
m1 m2
-�it
i
( )
f t = Ak e-ą t +
" "e (Bi cos�it + Di sin�it) (4)
k =1 i=1
Przypadek 2
Wielomian M(s) ma pierwiastki wielokrotne.
r - krotny pierwiastek rzeczywisty: sk = -ąk
ą
ą
ą
( s + ąk )r =>
ą
ą
ą
r r
Aki Aki
k
Fr (s) = �ł ti-1e-ą t = fr (t)
"(s + ąk )i �!'" "
i!
i=1 i=1
 r - krotny pierwiastek zespolony: sk = -�k ą �
� ą j�k
� ą �
� ą �
(s2 + pks + qk)r = [(s +�k)2+�k2]r =>
� �
� �
� �
r r
Bkis + Cki Bki (s + �k ) + Dki�k
Fr (s) = = �!'"
�ł
" "
i i
2
i=1 (s2 + pks + qk ) i=1 [(s + �k )2 +�k ]
r
i-1 t
k
"t e-� (Eki cos�kt + Fki sin�kt)= fr (t)
i=1
Przykłady
A1 A2 A3
s2 + 29s + 30
F(s) = = + +
1).
s3 + 7s2 + 10s s s + 2 s + 5
=> ą1= 0, ą2=  2, ą3=  5
Ak= F(s)(s-ąk)|s=ąk => A1= +3,
A2= +4,
A3=  6
f(t) = (3 + 4e-2t -6e-5t) 1(t)
6
4
2
-1 1 2 3 4
-2
-4
-6
2).
s2 + 2s + 5 s2 + 2s + 5
F(s) = = =
s3 +13s2 + 55s + 75 (s + 3)(s + 5)2
A1 A21 A22
= + +
s + 3 s + 5 (s + 5)2
s2 + 2s + 5
A1 = = 5;
(s + 5)2 S =-3
s2 + 2s + 5
A22 = = -10;
s + 3
S =-5
1 A1 A21 A22
= + + => A21 = -1
15 3 5 25
f(t)= [2e-3t - (1+10t)e-5t] 1(t)
2
1.5
1
0.5
-0.5 0.5 1 1.5 2
-0.5
-1
3).
5s + 13
F(s) = =
s(s2 + 4s + 13)
A1 B2s + C2 A1 B2 (s + 2) + D2 3
= + = + =
s s2 + 4s + 13 s (s + 2)2 + 32
*
A1 A2 A2
= + +
s s - (-2 + j3) s - (-2 - j3)
A1 = + 1;
A2 =  (1+j)/2;
( B2 =  1, C2 = 1 => D2 = 1 ; )
f(t) = 1  e 2t(cos 3t  sin 3t ) =
1+ j 1- j
= 1  e( 2+3j)t  e( 2 3j)t
2 2
1.5
1
0.5
-0.5 0.5 1 1.5 2
-0.5
-1
IMMITANCJE DWÓJNIKA
Z(s) lub Y(s)
I(s)
U(s)
1). Zerowe warunki początkowe ( dwójnik SLSB)
Równanie ró\
niczkowe wią\
ące funkcje obwodowe dwójnika ma postać:
m l
bk u(k ) (t) = aki(k ) (t)
" "
(1)
k =0 k =0
Po dokonaniu przekształcenia Laplace a równania (1) dostajemy:
m l
bk skU (s) = ak sk I(s)
" "
(2)
k =0 k =0
a stąd:
IMPEDANCJA ADMITANCJA
l
m
ak sk
"
"b sk
k
U (s)
I (s)
k =0
-1 k =0
Z(s) = =
Y(s) = Z (s) = =
m
l
I(s)
U (s)
bk sk
"
"a sk
k
k =0
k =0
�! Impedancja i admitancja dwójnika SLSB są funkcjami
wymiernymi rzeczywistymi zmiennej zespolonej  s
Równania operatorowe opisujące dwójnik SLSB mają postać:
U(s) = Z(s)I(s); I(s) = Y(s)U(s)
(4)
2). Niezerowe warunki początkowe ( dwójnik SLS)
Po dokonaniu przekształcenia Laplace a równania ró\
niczkowych
dwójnika dostajemy równanie:
m l
"b skU (s) + w1(s) ="a sk I (s) + w2 (s)
k k
(5)
k =0 k =0
gdzie w1(s), w2(s) - składniki zale\
ne od warunków początkowych.
Po przekształceniach otrzymujemy równania operatorowe opisujące
dwójnik SLS:
U (s) = Z(s)I(s) + Wu (s)
(6)
I (s) = Y(s)U (s) + Wi (s)
y
RÓDA
A W OPISIE OPERATOROWYM
I(s)
Z(s)
U(s)= E(s)  Z(s)I(s)
U(s)
E(s)
Z(s), Y(s) - dwójniki SLSB
Równowa\
ność:
1
Z(s) =
Y(s)
I(s)
E(s)= Z(s)J(s)
J(s)= Y(s)E(s)
Y(s)
J(s)
U(s)
I(s)= J(s)  Y(s)U(s)
OPIS OPERATOROWY ELEMENTÓW OBWODU
u(t)
U(s)
R
R
L["
" ]
"
"
i(t) I(s)
L 1["
" ]
"
"
u(t)= R i(t) U(s)= R I(s)
U(s)
u(t)
C
u(0)
1
i(t)
s
Cs
I(s)
L["
" ]
"
"
u(0)
L 1["
" ]
"
"
t
1
1 u(0)
u(t) =
U (s) = I(s) +
+"i(�)d� + u(0)
C
Cs s
0
U(s)
u(t)
Ls
I(s)
L
i(t)
i(0)
i(0)
L["
" ]
"
"
s
L 1["
" ]
"
"
t
1
1 i(0)
i(t) =
I (s) = U (s) +
+"u(�)d� + i(0)
L
Ls s
0
I1(s) Ms I2(s)
i1(t) M i2(t)
L1s L2s
U (s)
1
u (t) L1 L2 u (t) U (s)
1 2 2
L1 i1(0)+M i (0)
2
i1(0) i2(0)
L2 i2(0)+M i (0)
1
L["
" ]
"
"
L 1["
" ]
"
"
di1 di2 U1(s) = L1sI1(s) + MsI2 (s)
u1(t) = L1 + M
- [ L1i1(0) + Mi2 (0)]
dt dt
di2 di1
U2 (s) = L2sI2 (s) + MsI1(s)
u2 (t) = L2 + M
dt dt - [ L2i2 (0) + Mi1(0)]
ROZWI
ZYWANIE RÓWNAC
STANU W DZIEDZINIE
ZMIENNEJ ZESPOLONEJ  s
Równania stanu i wyjścia zapisane w dziedzinie naturalnej ( czasu ) dla t e"
e" 0:
e"
e"
"
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x t = A x t + B u t ; x t = 0 a" x 0
(1)
( ) ( ) ( )
y t = Cx t + D u t
Dokonując L-transformacji równań (1) z dziedziny czasu ( naturalnej ) do
dziedziny zespolonej otrzymujemy:
( ) ( ) ( ) ( )
sX s - X 0 = AX s + BU s
(2)
( ) ( ) ( )
Y s = CX s + DU s
i po przekształceniu:
( ) ( )-1 ( ) ( )
X s = s1- A [BU s + X 0 ]
(3)
( ) ( )-1 ( ) ( )-1 ( )
Y s = C s1 - A B + D U s + C s1- A X 0
[ ]
Równania (3) są  prostymi równaniami algebraicznymi. Jedyną trudnością jest
obliczenie macierzy odwrotnej do nieosobliwej ( det(" `" 0 ) macierzy (s1-A).
" ) `"
" `"
" `"
OBLICZENIE MACIERZY: K(s)= (s1-A) 1
1). Ze wzoru:
( )
adj s1- A
( )
K s =
(4)
( )
det s1- A
gdzie adj(s1-A) - macierz dołączona macierzy (s1-A). Jej wyznaczenie
dla n > 3 jest ucią\
liwe;
2). Ze wzoru:
n-1 n
�ł �ł
j - j-1
"s �ł "a Ak �ł
k
�ł łł
j= 0 k = j+1
-1
( ) ( )
K s = s1 - A = ; an = 1
(5)
( )
det s1 - A
gdzie ak - współczynniki równania charakterystycznego det(
1-A) = 0


macierzy A.