[e-mail]
Prof. Krzysztof Jemielniak Plan wykładu
http://www.zaoios.pw.edu.pl/kjemiel
ST 107, tel. [phone]
1 Wstęp
Cyfrowe
2 Sygnały i systemy
3 Systemy liniowe niezmienne w czasie
przetwarzanie
4 Przetwarzanie analogowo cyfrowe
5 Przekształcenie Fouriera
sygnałów
6 Analiza czasowo-częstotliwościowa
7 Przekształcenie Laplace a
7 Przekształcenie Laplace a
7. Przekształcenie Laplace a
8 Przekształcenie Z
9 Filtry cyfrowe
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
7 Przekształcenie Laplace a Wstęp
" Dwie podstawowe techniki przetwarzania sygnałów: splot i
" Wstęp
Wstęp
transformata Fouriera pokazały nam, że system liniowy
" Od przekształcenia Fouriera od Laplace'a
może być kompletnie opisany przez swoją odpowiedz

" Zastosowanie przekształcenia Laplace a
impulsową lub częstotliwościową
" Jednostronne przekształcenie Laplace a
" jest to bardzo ogólne podejście, jako że obie charakterystyki mogą
przyjmować nieomal dowolny kształt czy formę
" Cechy charakterystyczne odpowiedzi impulsowych
" na dobrą sprawę, jest ono zbyt ogólne dla wielu zastosowań
" Zastosowanie przekształcenia Laplace a do
naukowych i inżynierskich
równania układu liniowego
" Wiele zjawisk naszego świata można opisać przy pomocy
" Transmitancja systemu
równań różniczkowych
" Stabilność systemu
" np. siła działająca na masę obiektu jest proporcjonalna do
pochodnej jego prędkości
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Wstęp Wstęp
" Przekształcenie Laplace a jest matematyczną
" Odpowiedzi częstotliwościowe i impulsowe tych systemów
metodą rozwiązywania liniowych równań
nie mogą być dowolne, lecz muszą być zgodne z
różniczkowych, która wykazała dużą przydatność
rozwiązaniami tychże równań różniczkowych
w fizyce i w zastosowaniach praktycznych.
" Oznacza to, że odpowiedzi impulsowe mogą składać się
jedynie z krzywych wykładniczych i sinusoid
" Nazwano ją na cześć wielkiego francuskiego matematyka i
" Przekształcenie Laplace a jest techniką analizowania takich
astronoma Pierre Simon De Laplace (1749-1827).
specjalnych systemów, gdy sygnały są ciągłe
" Jego pierwszym osiągnięciem było rozwiązanie złożonego
" Przekształcenie Z jest podobną techniką stosowaną do
problemu wzajemnego oddziaływania grawitacyjnego planet,
sygnałów dyskretnych
który umknął Eulerowi i Lagrange ( Mechanika nieba )
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
1
Wstęp Wstęp
Mais oł est Dieu dans tout
cela?
Napoleon: Jaką rolę odgrywa Bóg w tym
Metoda ta, w postaci używanej obecnie,
obrazie wszechświata?
Laplace: [Panie], ta hipoteza nie była mi
pochodzi z prac błyskotliwego fizyka angielskiego
[Sire,] je n'ai pas eu besoin de
potrzebna
cette hypothŁse.
Oliviera Heaviside'a (1850  1925)
Brzytwa Ockhama (zasada ekonomii
myślenia):
Pierwszym znaczącym osiągnięciem Heaviside'a było znalezienie sposobu
Nie należy mnożyć bytów bez
przesyłania sygnałów przez długie kable, bez ich osłabienia i zniekształcenia.
potrzeby (Entia non sunt multiplicanda praeter
necessitatem).
Heaviside sformułował podstawy rachunku operatorowego
Jeśli jakieś obiekty nie są konieczne do
wyjaśnienia pewnych zjawisk, nie należy
zastępującego równania różniczkowe algebraicznymi, których
postulować istnienia tych obiektów
rozwiązanie jest znacznie prostsze.
The Royal Society odmówiło publikacji, a Lord Rayleigh napisał:  In the form, as it
is, I am afraid that your paper may not be of use to anyone .
Heaviside nie znosił w matematyce pedantyczności. Jak się wyraził, "szokujące jest, że
Arcybiskup J. Życiński: Nie ma nic gorszącego w odpowiedzi Laplace a, bo na poziomie
fizykalnych interpretacji ruchu ciał niebieskich nie należy odwoływać się do Boga, lecz
młodzi ludzie otumaniają swój umysł subtelnościami logicznymi, starając się zrozumieć
stosować metodologię, która oddziela teren poznania fizyki od terenu teologii
dowód oczywistego faktu, wykorzystując coś równie oczywistego".
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Re[X(s)]
Dziedzina s Dziedzina s
s
Im, jw
" Dziedzina s jest płaszczyzną zespoloną, tj. wzdłuż osi
" Poza położeniem zdefiniowanym przez liczbę
Re, s
poziomej są liczby rzeczywiste, a wzdłuż pionowej urojone zespoloną, każdy punkt dziedziny s ma swoją
jw
wartość, która także jest liczbą zespoloną
" Wymiar wzdłuż osi rzeczywistej jest wyrażany zmienną s
Im[X(s)]
" Innymi słowy każde położenie na płaszczyz
nie s
s
ma swoją część rzeczywistą i urojoną
" Wymiar wzdłuż osi urojonej jest wyrażany zmienną, w, częstotliwością
" Jak wszystkie liczby zespolone, części
" Stosując notację zespoloną, położenie każdego punktu na tej płaszczyz
nie
jw
rzeczywista i urojona mogą być alternatywnie
jest reprezentowane przez liczbę zespoloną s, przy czym: s =s+jw
wyrażone za pomocą amplitudy i fazy
" tak jak przy przekształceniu Fouriera sygnały w dziedzinie s są reprezentowane
przez duże litery
|[X(s)]| j[X(s)]
" na przykład sygnał w dziedzinie czasu, x(t), jest przekształcany w dziedzinę s, X(s) lub
s s
X(s,w).
" Płaszczyzna s jest ciągła, sięga do nieskończoności we wszystkich czterech
kierunkach
jw jw
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
7 Przekształcenie Laplace a Od przekształcenia Fouriera do Laplace a
Zespolone przekształcenie Fouriera jest opisane równaniem:
" Wstęp
Ą�
-�jwt
X(�w)� =� dt; w =� 2p�f
Od przekształcenia Fouriera od Laplace'a
" Od przekształcenia Fouriera od Laplace'a
��x(�t)�e
-�Ą�
" Zastosowanie przekształcenia Laplace a
Można je rozszerzyć do przekształcenia Laplace a przez pomnożenie
" Jednostronne przekształcenie Laplace a
sygnału w dziedzinie czasu przez człon wykładniczy:
" Cechy charakterystyczne odpowiedzi impulsowych
" Zastosowanie przekształcenia Laplace a do
równania układu liniowego
" Tak jak podstawowymi elementami przekształcenie Fouriera są
" Transmitancja systemu
sinusoidy, tak dla przekształcenia Laplace a są nimi sinusoidy i funkcje
" Stabilność systemu wykładnicze
" Z matematycznego punktu widzenia zatem, przekształcenie Fouriera
jest szczególnym przypadkiem przekształcenia Laplace a (dla s=0)
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
2
 Działanie przekształcenia Laplace a  Działanie przekształcenia Laplace a
Ą�
1. Rozpocznij od sygnału w dziedzinie czasu x(t)
X(�s,w)� =� [�x(�t)��� e-�st]�e-�jwtdt
��
-�Ą�
2. Pomnóż ten sygnał przez nieskończoną liczbę
Przedstawione przed chwilą  działanie przekształcenia Laplace a nie jest
funkcji wykładniczych, każda o różnej o stałej
mówiąc szczerze najprostszym sposobem jego wyznaczania J�
zanikania s, czyli oblicz sygnał: x(t)e-st dla
każdej wartości s od  " do +" Aby przedstawić powyższe równanie w krótszej postaci, dwa człony
3. Wyznacz zespolone przekształcenie Fouriera wykładnicze mogą być połączone:
otrzymanych sygnałów:
dla każdej wartości s od  " do +"
częstotliwości
dodatnie Z kolei ponieważ położenie na płaszczyz
nie zespolonej może być
wyrażone przez zmienną zespoloną, s, gdzie s =s+jw, równanie
4. Ułóż otrzymane widma wzdłuż osi pionowej
częstotliwości
przyjmuje jeszcze bardziej zwartą postać:
ujemne
płaszczyzny s. Dodatnie częstotliwości są w górnej
a ujemne w dolnej połowie płaszczyzny s
widmo
oś Re (s)
dla s=3
rosnące funkcje malejące funkcje
wykładnicze wykładnicze
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Znaczenie przekształcenia Laplace a Przykład przekształcenia Fouriera i Laplace a
" Wez
my jako przykład sygnału w dziedzinie czasu impuls prostokątny
" Transformatą Fouriera takiego sygnału jest funkcja sinc w części rzeczywistej i zero dla
wszystkich częstotliwości w części urojonej
" Jest to ostateczna postać przekształcenia Laplace a, jednego
" W dziedzinie s mamy dwuwymiarowy sygnał falujący tak w części rzeczywistej jak urojonej
z najważniejszych równań w przetwarzaniu sygnałów i dziedzina czasu
dziedzina s
elektronice
" Zwróć szczególną uwagę na składnik: e-st , będącym ogólną postacią dziedzina częstotliwości
rozwiązania liniowych równań różniczkowych.
" Wprawdzie przedstawiliśmy przekształcenie Laplace a jako proces
dwustopniowy (mnożenie przez krzywą wykładniczą a następnie
przekształcenie Fouriera), należy pamiętać, że to jedynie sztuczka
dydaktyczna, mająca na celu ułatwienie zrozumienia tego przekształcenia
" Przekształcenia Laplace a bezpośrednio transformuje sygnał x(t) na sygnał
wartości X(s) wzdłuż osi jw (s=0)
X(s), i nie jest operacją  stopniową .
są dokładnie równe transformacie
" Powyższe równanie mówi jak wyznaczyć każdy punkt płaszczyzny s (s, w)
Fouriera
w oparciu o wartości s, w oraz sygnał w dziedzinie czasu, x(t)
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
7 Przekształcenie Laplace a Zastosowanie przekształcenia Laplace a
" Przekształcenie Laplace a jest przeznaczone do analizowania
" Wstęp
szczególnej klasy sygnałów w dziedzinie czasu: odpowiedzi
" Dziedzina s
impulsowych składających się z sinusoid i funkcji
" Od przekształcenia Fouriera od Laplace'a
wykładniczych
" Zastosowanie przekształcenia Laplace a
Zastosowanie przekształcenia Laplace a " Wyznaczenie tego przekształcenia z innego sygnału (jak impuls
prostokątny przedstawiony w przykładzie) nie ma większego sensu w
" Jednostronne przekształcenie Laplace a
dziedzinie s J�
" Cechy charakterystyczne odpowiedzi impulsowych
" Sygnały należące do tej klasy są niezwykle powszechne w
" Zastosowanie przekształcenia Laplace a do
nauce i praktyce inżynierskiej
równania układu liniowego
" sinusoidy i funkcje wykładnicze są rozwiązaniami równań
" Transmitancja systemu różniczkowych, opisujących większość naszego świata fizycznego
" równaniami różniczkowymi opisać można zachowanie: obwodów
" Stabilność systemu
elektrycznych, rozchodzenie się fal, ruchy liniowe i obrotowe, pola
magnetyczne i elektryczne, przepływy ciepła itd.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
3
oś Im (j
w
)
Znaczenie przekształcenia Laplace a Procedura postępowania
" Zauważyliśmy, że wzory matematyczne w przekształceniu Laplace a są Podstawowa procedura wykorzystująca przekształcenie Laplace'a składa
podobne do opisujących przekształcenie Fouriera się z następujących kroków:
" w obu przypadkach ustalone z góry funkcje są mnożone przez sygnał w
1. Punktem wyjścia jest równanie różniczkowe w dziedzinie czasu
dziedzinie czasu, a wynik jest całkowany
opisujące relację pomiędzy sygnałem wejściowym, a sygnałem
" Na pierwszy rzut oka wydaje się, że strategia przekształcenia Laplace a
wyjściowym fizycznego systemu
jest taka sama jak Fouriera: korelowanie sygnału w dziedzinie czasu z
2. Równanie różniczkowe zostaje poddane przekształceniu Laplace'a,
zestawem funkcji bazowych w celu jego dekompozycji
stając się równaniem algebraicznym
3. Do wyznaczenia poszukiwanego równania dla funkcji wyjściowej w
" Nieprawda! Mimo iż wzory są podobne, istota
dziedzinie s, stosuje się standardowe metody algebraiczne
obu przekształceń jest całkowicie odmienna
4. Otrzymana w ten sposób transformata Laplace'a funkcji na wyjściu,
jest następnie poddawane odwrotnemu przekształceniu Laplace'a,
" Przekształcenie Laplace a bada przebieg czasowy w celu określenia
dając w wyniku równanie dla poszukiwanej funkcji wyjściowej w
jego podstawowych cech: częstotliwości sinusoid oraz stałych
dziedzinie czasu
zanikania funkcji wykładniczych
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Zalety przekształcenia Laplace a 7 Przekształcenie Laplace a
" Wstęp
" Procedura ta wydaje się niewygodna  zmusza do okrężnej drogi,
zamiast rozwiązania równania różniczkowego wprost " Dziedzina s
" Od przekształcenia Fouriera od Laplace'a
" Jednak mimo iż rozwiązywanie równań różniczkowych metodami
klasycznymi jest bardzo silnym narzędziem analitycznym, to dla
" Zastosowanie przekształcenia Laplace a
bardziej złożonych systemów, jest żmudne i podatne na pomyłki.
" Jednostronne przekształcenie Laplace a
Jednostronne przekształcenia Laplace a
" W sumie przekształcenie Laplace a opłaca się, zwłaszcza odkąd
" Cechy charakterystyczne odpowiedzi impulsowych
dysponujemy tablicami prostych i odwrotnych transformat dla
" Zastosowanie przekształcenia Laplace a do
większości powszechnie spotykanych funkcji czasowych
równania układu liniowego
" Dobrze znane właściwości przekształcenia Laplace'a, pozwalają
" Transmitancja systemu
również praktykom na dokonanie dekompozycji funkcji czasowych na
kombinację prostszych funkcji, a następnie na korzystanie z
" Stabilność systemu
gotowych tablic.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Jednostronne przekształcenie Laplace a Ważne właściwości przekształcenia Laplace a
Przedstawialiśmy dotąd przekształcenie Laplace a wzorem: Zanim pójdziemy dalej, omówimy cztery ważne właściwości
Ą�
przekształcenia Laplace a:
-�st
L{�x(�t)�}�=� X(�s,w)� =� dt
��x(�t)�e
-�Ą�
1. Liniowość
Ponieważ jednak postanowiliśmy stosować je tylko do analizy odpowiedzi
Jeśli F1(s) i F2(s) oznaczają transformaty Laplace'a funkcji, x1(t) i x2(t),
impulsowych systemów przyczynowych, tzn. dla warunków początkowych
zaś a1 i a2 są dowolnymi liczbami, to transformata Laplace'a wyrażenia
zdefiniowanych dla t=0 (wcześniej odpowiedz
ma wartość 0), możemy
a1x1(t)+a2x2(t) jest równa a1F1(s)+a2F2(s)
ograniczyć się do jednostronnego przekształcenia, które zapiszemy:
L{a1x1(t)+a2x2(t)}= a1F1(s)+a2F2(s)
Ą�
-�st
L{�x(�t)�}�=� F(�s)� =�
2. Transformata pochodnej
��x(�t)�e dt
Jeśli istnieją transformaty Laplace'a funkcji x(t) i jej pochodnej x'(t), to
0
transformatę Laplace'a pochodnej tej funkcji można wyrazić jako
Oczywiście w dalszym ciągu s =s+jw, przy czym s (bezwymiarowa) jest
stałą zanikania, a w częstotliwością w radianach na sekundę
L{x (t)} = sF(s)  f(0+)
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
4
Ważne właściwości przekształcenia Laplace a Przykład przekształcenie Laplace a
"
L{x(t)}=F(s)= x(t)e-stdt
��
3. Przesunięcie w dziedzinie czasu
Impuls Dirac a
0
Jeśli F(s) oznacza transformatę Laplace'a funkcji, x(t) to transformatę
funkcji g(t)=x(t-a) wyraża zależność:
"
f(t)
L{d(t)}= d(t)e-stdt = 1
d(t) ��
L{g(t)} = L{x(t-a)} = e-asF(s)
0
t
4. Przesunięcie w dziedzinie s
Jeśli F(s) oznacza transformatę Laplace'a funkcji, x(t), to pomnożenie
"
funkcji x(t) przez wyrażenie eat powoduje przesunięcie wynikowej
0
L{d(t-t0)}= ???
L{d(t-t0)}= d(t-t0)e-stdt = e-st
��
f(t)
transformaty Laplace'a w dziedzinie s
0
d(t-t0)
t
L{eatx(t)}= F(s-a)
t0
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Przykład przekształcenie Laplace a Tablica użytecznych transformat Laplace a
"
L{x(t)}=F(s)= x(t)e-stdt
��
Funkcja Heaviside (skok jednostkowy)
x(t) F(s)=L{x(t)}
0
f(t) d(t)
1
1
m(t)
m(t)
1/ s
b0/a1
t F(s)=     
t
1/ s2 s-a0/a1
"
"
" at
a / s2
L{m(t)}= m(t)e-stdt = ?? e-st =  
= e-stdt =    1
��
��
tn n! / s(n+�1) a0
-s s b0
0
0 0 a1
x(t)=???
=  e   t
a1
1/(s -� a)
eat
sin(at)
a /(s2 +� a2)
f(t)
1
cos(at) s /(s2 +� a2)
m(t-t0)
0
e-st
t
L{m(t-t0)}=   
s
sh(at) a /(s2 -� a2 )
t0
ch(at) s /(s2 -� a2 )
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Cechy charakterystyczne odpowiedzi impulsowych
7 Przekształcenie Laplace a
" Wstęp
" Rozwiązanie równania różniczkowego jest drogą do
" Dziedzina s
znalezienia odpowiedzi impulsowej systemu
" Od przekształcenia Fouriera od Laplace'a
" zamiast tego moglibyśmy zmierzyć tę odpowiedz
używając
" Zastosowanie przekształcenia Laplace a
odpowiedniego generatora impulsów, oscyloskopu, sytemu akwizycji
danych itd.
" Jednostronne przekształcenie Laplace a
" Cechy charakterystyczne odpowiedzi impulsowych
Cechy charakterystyczne odpowiedzi impulsowych
" Zanim zbadamy znalezione odpowiedzi impulsowe,
" Zastosowanie przekształcenia Laplace a do
zastanówmy się, czego możemy się po nich spodziewać
równania układu liniowego
" Jest wiele cech charakterystycznych, które znamy, nawet bez
" Transmitancja systemu
szczegółowej analizy
" Stabilność systemu
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
5
Cechy charakterystyczne odpowiedzi impulsowych
Stabilność
" Odpowiedz
impulsowa musi być przyczynowa, czyli...
" musi mieć wartości zerowe zanim impuls się pojawi w chwili t =0
" Jeśli system jest stabilny, amplituda odpowiedzi
" jest to zasada przyczyny i skutku, na której oparty jest nasz wszechświat
impulsowej maleje z czasem, osiągając zero dla t=+".
" Cause is the effect concealed, effect is the cause revealed
" Nie ma dymu bez ognia
" Odpowiedz
impulsowa składa się z sinusoid i funkcji wykładniczych, " Jeśli system jest niestabilny, amplituda odpowiedzi
ponieważ są one rozwiązaniami równań różniczkowych opisujących
impulsowej rośnie z czasem do nieskończoności
systemy
" co byśmy nie robili, nigdy nie znajdziemy systemu, którego odpowiedzią
" np. dz
więk głośnika rośnie  samoczynnie przy zbliżeniu doń
impulsową byłby np. impuls prostokątny lub przebieg piłokształtny
mikrofonu
" Odpowiedz
impulsowa jest nieskończenie długa
" ma niezerowe wartości rozciągające się od t =0 do t=+".
" Oczywiście cechy te dotyczą systemów liniowych!
" dzieje się tak dlatego, że sinusoidy mają stałą amplitudę, zaś funkcje wykładnicze
maleją do zera nigdy go nie osiągając
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Znaczenie  jądra przekształcenia Laplace a Znaczenie  jądra przekształcenia Laplace a
s =s+jw
 Jądro przekształcenia Laplace a można przedstawić w postaci:
"
e-jwt cos(wt) sin(wt)
L{x(t)}=F(s)= x(t)e-stdt suma tłumionej cosinusoidy i sinusoidy
�� e-st= =  j
est est est
0
s =s+jw,
Przyjrzyjmy się części rzeczywistej. Niech w=�w1 i s=�s1:
Dla w=�w1, s=�0 mamy samą cosinusoidę Dla w=�0, s=�s1 mamy samą funkcję wykładniczą
Można myśleć o transformacie Laplace'a, jako o ciągłej
w=�0, s=�s1
w=�w1, s=�0
funkcji, gdzie zespolona wartość tej funkcji dla
poszczególnych wartości s jest korelacją pomiędzy x(t) i
A
ącznie mamy cosinusoidę gasnącą
w=�w1, s=�s1
tłumioną zespoloną sinusoidą e-st, o częstotliwości w i
współczynniku tłumienia s.
Jeśli zwiększymy częstotliwość dwukrotnie otrzymamy: Jeśli zwiększymy tłumienie dwukrotnie otrzymamy
w=�w1, s=�2s1
w=�2w1, s=�s1
Jak wyglądają takie zespolone sinusoidy?
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
7 Przekształcenie Laplace a
Zastosowanie przekształcenia Laplace a do równania
układu liniowego
" Wstęp
x(t) y(t)
System
" Dziedzina s
Wez
my system liniowy, w którym zależność sygnału wyjściowego y(t) od
" Od przekształcenia Fouriera od Laplace'a
wejściowego x(t) jest opisana równaniem różniczkowym:
" Zastosowanie przekształcenia Laplace a
" Jednostronne przekształcenie Laplace a
a2y (t) + a1y (t) + a0y(t) = b1x (t) + b0x(t)
" Cechy charakterystyczne odpowiedzi impulsowych
" System jest niezmienny w czasie, więc współczynniki an i bn są stałe.
" Zastosowanie przekształcenia Laplace a do " Mogą one mieć wartości dodatnie, ujemne, zerowe, rzeczywiste lub zespolone,
Zastosowanie przekształcenia Laplace a do
ale nie zmieniają się w czasie.
równania układu liniowego
równania układu liniowego
" w systemie elektrycznym, mogą się odnosić do pojemności, indukcyjności i
" Transmitancja systemu rezystancji.
" w systemie mechanicznym - do mas, współczynników tłumienia, współczynników
" Stabilność systemu
sprężystości.
" w systemie termicznym - do pojemności cieplnej i przewodności cieplnej....
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
6
Zastosowanie przekształcenia Laplace a do równania Zastosowanie przekształcenia Laplace a do równania
układu liniowego układu liniowego
x(t) y(t)
System
Wyznaczmy transformatę Laplace'a
a2y (t) + a1y (t) + a0y(t) = b1x (t) + b0x(t)
"
L{x(t)}=F(s)= x(t)e-stdt
��
" Należy znalez
ć funkcje spełniające podane równanie 0
obydwu stron naszego równania
" Jak ktoś się uprze, może zastosować klasyczne metody rozwiązywania równań
różniczkowych J�
a2y (t) + a1y (t) + a0y(t) = b1x (t) + b0x(t)
" Dzięki Laplace'owi, jedyną zespoloną funkcją wykładniczą
w dziedzinie czasu, której będziemy używać jest est
przemnażając je przez zespoloną funkcję wykładniczą e-st i całkując
stronami względem t w granicach od 0 do ":
" Ma ona tę rozkoszną właściwość, że można ją różniczkować dowolną
liczbę razy, a nie traci ona swojej początkowej postaci.
"
"
[a2y (t)+a1y (t)+a0y(t)]e stdt = [b1x (t)+b0x(t)]e stdt
d(est) d2(est) d3(est) dn(est) ��
��
....
=sest =s2est =s3est =snest
0
0
dt dt dt dt
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
7 Przekształcenie Laplace a
Zastosowanie przekształcenia Laplace a do równania
układu liniowego
" Wstęp
"
"
" Dziedzina s
[a2y (t)+a1y (t)+a0y(t)]e stdt = [b1x (t)+b0x(t)]e stdt
��
��
0
0
" Od przekształcenia Fouriera od Laplace'a
" Zastosowanie przekształcenia Laplace a
Oznaczając przez X(s) i Y(s) transformaty Laplace'a sygnałów,
" Jednostronne przekształcenie Laplace a
odpowiednio, x(t) i y(t) i korzystając z omówionych twierdzeń
" Cechy charakterystyczne odpowiedzi impulsowych
(przy zerowych warunkach początkowych), otrzymujemy???:
" Zastosowanie przekształcenia Laplace a do
a2s2Y(s)+a1sY(s)+a0Y(s) = b1sX(s)+b0X(s)
równania układu liniowego
a stąd: " Transmitancja systemu
Transmitancja systemu
" Stabilność systemu
(a2s2+a1s+a0)Y(s) = (b1s+b0)X(s)
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Transmitancja systemu Transmitancja systemu Y(s)
H(s) =   
X(s)
X(s) Y(s)
Transmitancję H(s) systemu definiujemy jako iloraz transformaty Laplace'a
H(s)
Y(s) odpowiedzi (sygnału wyjściowego) y(t) systemu i transformaty Laplace'a
X(s) jego pobudzenia (sygnału wejściowego) x(t): Znając transmitancję systemu H(s) można:
1. wyznaczyć transformatę Laplace'a dowolnego sygnału wejściowego x(t):
Y(s)
H(s) =   
L{x(t)}=X(s)
X(s)
2. wymnożyć X(s) przez H(s) otrzymując transformatę sygnału
W analizowanym przykładzie mieliśmy: (a2s2+a1s+a0)Y(s) = (b1s+b0)X(s), czyli:
wyjściowego:
Y(s) b1s+b0
Y(s)=X(s)H(s)
H(s) =    =         
X(s) a2s2+a1s+a0
3. poddać Y(s) odwrotnemu przekształceniu Laplace'a, uzyskując sygnał
wyjściowy y(t) w dziedzinie czasu:
Możemy zatem narysować dowolny system w postaci:
y(t)=L-1{Y(s)}
X(s) Y(s)
H(s)
Odwrotne przekształcenie Laplace e wykonujemy w oparciu o tablice
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
7
Wykorzystanie transmitancja systemu Wykorzystanie transmitancji systemu
Zaraz, zaraz! Przecież powiedzieliśmy, że do wyznaczenia transmitancji
" W praktyce, zazwyczaj nie wykonujemy wszystkich tych potrzebna jest znajomość funkcji Y(s) sygnału wyjściowego L�!
kroków, ponieważ najbardziej dla nas interesująca jest
Tak naprawdę wszystko co musimy znać, to równanie różniczkowe w
funkcja transmitancji systemu, H(s).
dziedzinie czasu, takie jak równanie
" Jesteśmy w stanie wyrazić H(s) w postaci matematycznej
a2y (t) + a1y (t) + a0y(t) = b1x (t) + b0(t) J�
lub wykreślić powierzchnię |H(s)| jako funkcję zmiennej s,
W praktyce wystarczy spojrzeć na diagram (schemat blokowy, obwód
co dostarcza nam dwóch najważniejszych odpowiedzi na
elektryczny, układ mechaniczny itp.) systemu i bezpośrednio napisać
temat analizowanego systemu:
wyrażenie dla transformaty Laplace'a H(s)
1. Czy system jest stabilny?
Skorzystajmy z transformaty Laplace'a dla określenia
2. Jaka jest jego charakterystyka częstotliwościowa? stabilności i charakterystyki częstotliwościowej
prostych systemów ciągłych
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
7 Przekształcenie Laplace a Stabilność systemu
" Wstęp
" Jedną z najważniejszych właściwości
" Dziedzina s
każdego systemu jest stabilność.
" Od przekształcenia Fouriera od Laplace'a
" Zastosowanie przekształcenia Laplace a " Przypomnijmy, że system LTI jest stabilny, jeśli dla
każdego pobudzenia o ograniczonej amplitudzie,
" Jednostronne przekształcenie Laplace a
sygnał wyjściowy ma również ograniczoną
" Cechy charakterystyczne odpowiedzi impulsowych
amplitudę
" Zastosowanie przekształcenia Laplace a do
" System nazywa się stabilnym w sensie BIBO (Bounded Input,
równania układu liniowego
Bounded Output), jeżeli:
" Transmitancja systemu
" dla każdego ograniczonego pobudzenia, tj. |x(t)|<" dla te"0,
" Stabilność systemu
Stabilność systemu
" odpowiedz
systemu jest ograniczona, tj. |y(t)|< " dla te"0
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Stabilność systemu Bieguny i zera na płaszczyz
nie s, a stabilność
Rozważymy kilka przykładów transmitancji H(s)
" Wygląda to na warunek łatwy do spełnienia,
odpowiadających systemom LTI.
ponieważ większość systemów jakie spotykamy w
Załóżmy, że mamy system o transmitancji Laplace'a
rzeczywistości, to są systemy stabilne.
Y(s) b1s+b0
" Niestabilne mogą być systemy ze sprzężeniem
H(s) =    =         
X(s) a2s2+a1s+a0
zwrotnym.
wszystkie współczynniki są rzeczywiste, ale współczynniki b1, i
" np. pisk powstający, gdy mikrofon znajdzie się za blisko
a2 są równe zeru czyli:
głośnika.
Sensacyjny przykład niestabilnego systemu wystąpił na
zachodzie stanu Washington, kiedy 7 listopada 1940 r. po
Y(s) b0 b0/a1
południu, zaczął oscylować pierwszy most Tacoma
H1(s) =    =      =     
Narrows. Oscylacje te, spowodowane przez wiatr wiejący z
X(s) a1s+a0 s+a0/a1
szybkością 42 mil na godzinę, miały coraz większą
amplitudę, co doprowadziło do zniszczenia mostu.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
8
Wyznaczanie odpowiedzi systemu na impuls Diraca
Bieguny i zera na płaszczyz
nie s, a stabilność
b0/a1
Y(s) b0 b0/a1 d(t) X(s) y(t)
Y(s)
H1(s)=     
L{d(t)}
H1(s) =    =      =      L-1{Y(s)}
s+a0/a1
X(s) a1s+a0 s+a0/a1
1 2 3
" Zauważmy, że jeżeli s = -a0/a1, to mianownik równania jest równy zeru i
1. Wyznaczmy transformatę Laplace'a sygnału wejściowego
H1(s) miałaby nieskończenie dużą wartość.
x(t):
" Taki punkt s= -a0/a1 na płaszczyz
nie s nazywa się biegunem, a położenie
bieguna zaznaczone jest znakiem x
L{x(t)}=X(s), tu L{d(t}}=X(s)=1
Zauważmy, że biegun jest usytuowany na
jw
s=-a0/a1 ujemnej półosi zmiennej s. 2. Mnożąc X(s) przez H(s) otrzymamy transformatę sygnału
s
x
wyjściowego:
Jeżeli system opisany przez H1(s) byłby w
płaszczyzna s
stanie spoczynku i pobudzilibyśmy go
impulsem Diraca w chwili t=0, to jego ciągły
b0/a1
dla bieguna w=�0, s=� -a0/a1
Y(s)=X(s)H(s) tu Y(s)=H1(s)=     
sygnał wyjściowy w dziedzinie czasu byłby...
s+a0/a1
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Wyznaczanie odpowiedzi systemu na impuls Diraca b0/a1
Stabilność systemu
H1(s)=     
s+a0/a1
" System o funkcji transmitancji H1(s) jest
b0/a1 y(t)
d(t) X(s) y(t)
Y(s)
H1(s)=     
L{d(t)}
L-1{Y(s)}
stabilny, ponieważ sygnał wyjściowy y(t) zdąża
s+a0/a1
t
do zera z upływem czasu.
1 2 3
" Odległość bieguna od punktu d=0, czyli a0/a1 jw
s=-a0/a1
dla funkcji H1(s), decyduje o szybkości
3. Poddając Y(s) odwrotnemu przekształceniu Laplace'a, s
x
zanikania odpowiedzi impulsowej y(t)
uzyskamy sygnał wyjściowy y(t) w dziedzinie czasu:
"
" Spójrzmy na widok trójwymiarowej powierzchni
y(t)=L-1{Y(s)} tu
|H1(s)| ponad płaszczyzną s
b0 a0 Powierzchnia |H1(s)|
  t
" Zauważmy, że |H1(s)| dla s=0, czyli przekrój
1
y(t)= e a
 
|H1(s)|
powierzchni |H1(s)| płaszczyzną pionową przy
a1
s=0 jest charakterystykę amplitudową systemu
y(t)
|H1(jw)| czyli jego transmitancję Fouriera:
t
|H1(jw)|
0
Ciągły sygnał wyjściowy w dziedzinie czasu jest tłumionym
-a0/a1
d
przebiegiem wykładniczym jw
0 jw
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
System dwubiegunowy System dwubiegunowy As
H2(s)=        
(s+p)(s+p*)
s=-pre+jpim
Wróćmy do naszego systemu opisanego równaniem:
jw
x
a2y (t) + a1y (t) + a0y(t) = b1x (t) + b0x(t)
s
Tym razem przyjmijmy b0=0, a pozostałe współczynniki są zespolone czyli:
x płaszczyzna s
s=-pre jpim
b1s (b1/a2)s As
H2(s)=          =              =        
a2s2+a1s+a0 s2+(a1/a2)s+a0/a2 (s+p)(s+p*) System H2 pobudzony impulsem w chwili t=0, odpowiada tłumionym
sygnałem sinusoidalnym y(t), co świadczy o stabilności systemu.
gdzie A=b1/a2, p=pre+jpim i p*=pre  jpim (p* to liczba zespolona sprzężona z p)
-pret
y(t) y(t)=2|A|e cos(pimt+q)
" Zauważmy, że jeżeli s równe jest  p lub  p*, H2(s) ma nieskończoną
q=atan(Aim/Are)
wartość
t
" Te dwa zespolone bieguny są zlokalizowane w lewej płaszczyz
nie zmiennej
zespolonej s.
s=-pre+jpim
jw " Odległość biegunów od osi jw (=pre) decyduje o szybkości zanikania sinusoidalnej
x
odpowiedzi impulsowej.
s
" Odległość biegunów od osi s, (ąpim) określa częstotliwość sinusoidalnej
x płaszczyzna s
odpowiedzi impulsowej y(t).
s=-pre jpim
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
9
x
System dwubiegunowy Położenie biegunów a stabilność
pojedynczy biegun rzeczywisty w punkcie pojedynczy biegun rzeczywisty w punkcie
s=-pre+jpim
jw  zero w punkcie s=0
s< 0  układ stabilny aperiodycznie s> 0  układ niestabilny aperiodycznie
x
As
y(t)
jw
s H2(s)=         jw
y(t)
(s+p)(s+p*)
s
t
x t
x s
x płaszczyzna s
s=-pre jpim
sprzężone bieguny o częściach rzeczywistych
sprzężone bieguny o częściach rzeczywistych
" Zauważmy nowy element na płaszczyz
nie s: gdy s=0, licznik transmitancji jest równy
s< 0  układ stabilny periodycznie s> 0  układ niestabilny periodycznie
zero, czyli H2(s)=0. y(t)
jw jw
x x
" Każda wartość s, tam gdzie H(s)=0, może być przedmiotem
s s t
t
zainteresowania i jest zazwyczaj zaznaczana na rysunku
"
x x
jako małe kółko, i określana jako  zero"
pojedynczy biegun rzeczywisty w punkcie
sprzężone bieguny o częściach rzeczywistych
"
" Spójrzmy na widok trójwymiarowej
s=0  układ stabilny aperiodycznie warunkowo
Powierzchnia |H2(s)|
s= 0  układ stabilny periodycznie warunkowo
powierzchni |H2(s)| ponad płaszczyzną s
jw y(t)
y(t)
x
" Wprawdzie powierzchnie |H(s)| niosą
s t s
t
x
informacje, to są niewygodne i niekoniecznie
x
niezbędne.
H2(s)=0 w punkcie s=0
" Możemy stwierdzić stabilność systemu
s<0  układ stabilny; s=0 układ stabilny warunkowo (granica stabilności)
badając po prostu położenie biegunów na
s>0  układ niestabilny
dwuwymiarowej płaszczyz
nie s
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Stabilność na płaszczyz
nie s Laplace a Stabilność na płaszczyz
nie s Laplace a
jw
jw
Jeżeli s (część rzeczywista bieguna
obszar obszar s
transmitancji) leży w prawej
obszar obszar s
stabilności niestabilności
półpłaszczyz
nie zmiennej s, to stabilności niestabilności
system jest niestabilny
stabilność warunkowa
stabilność warunkowa
(granica stabilności)
(granica stabilności)
b1s As
H2(s)=          =          
W rozważanym przykładzie mieliśmy:
a2s2+a1s+a0 (s+p)(s+p*) " Systemy rzeczywiste często mają więcej niż dwa bieguny i o
ich stabilności decydują najmniej stabilne bieguny.
" rząd transmitancji Laplace a jest określony przez najwyższy wykładnik
s wielomianu w mianowniku (tu wynosi on 2)
" Aby system był stabilny, wszystkie bieguny jego
funkcji transmitancji muszą leżeć w lewej
" miejsca zerowe tego wielomianu są biegunami transmitancji
półpłaszczyz
nie zmiennej s.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Podsumowanie przekształcenia Laplace a Podsumowanie przekształcenia Laplace a cd.
" Transmitancję układu H(s) można określić przez
" Ciągłą charakterystykę częstotliwościową systemu, można
zapisanie równania różniczkowego systemu otrzymać zastępując s przez jw we wzorze na H(s).
liniowego w dziedzinie czasu i poddanie go
" Dla zbadania stabilności systemu, poddaje się faktoryzacji
przekształceniu Laplace'a oraz przekształceniom
wielomian w mianowniku wyrażenia opisującego H(s), celem
algebraicznym do postaci:
znalezienia wszystkich jego pierwiastków:
a0+a1s+a2s2+a3s3...=(s+p1)(s+p2)(s+p3)...
Y(s) b0 + b1s+b2s2...
" Każdy pierwiastek służy do wyznaczenia położenia bieguna
H(s) =    =              
X(s) a0+a1s+a2s2+a3s3...
systemu na płaszczyz
nie s.
" Jakikolwiek biegun znajdujący się na prawo od osi jw na
Najlepsze jest to, że przy analizie systemu liniowego, nie musimy znać postaci
płaszczyz
nie s wskazuje na niestabilność systemu.
sygnału wejściowego x(t) w dziedzinie czasu! J�
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
10
x
x