[e-mail]
Prof. Krzysztof Jemielniak Plan wykładu
http://www.zaoios.pw.edu.pl/kjemiel
ST 107, tel. [phone]
1 Wstęp
Cyfrowe
2 Sygnały i systemy
3 Systemy liniowe niezmienne w czasie
przetwarzanie
4 Przetwarzanie analogowo cyfrowe
5 Przekształcenie Fouriera
sygnałów
6 Analiza czasowo-częstotliwościowa
7 Przekształcenie Laplace a
8. Przekształcenie Z
8 Przekształcenie Z
8 Przekształcenie Z
9 Filtry cyfrowe
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
8 Przekształcenie Z Definicja przekształcenia Z
" Przekształcenie Z jest, w dziedzinie czasu dyskretnego,
odpowiednikiem ciągłego przekształcenia Laplace'a.
" Definicja przekształcenia Z
Definicja przekształcenia Z
Ą�
-�st
L{�x(�t)�}�=� F(�s)� =� dt
" Transmitancja sytemu dyskretnego
��x(�t)�e
0
" Interpretacja płaszczyzny z
" Podczas gdy przekształcenie Laplace'a jest stosowane dla
" Bieguny i zera na płaszczyz
nie z, a stabilność
uproszczenia analizy ciągłych równań różniczkowych, przekształcenie
" Opóz
nienie czasowe, a przekształcenie Z
Z ułatwia analizę dyskretnych równań różnicowych.
" Właściwości przekształcenia Z
" Przekształcenie Z dyskretnego ciągu x[n] jest zdefiniowane jako
" Transmitancja systemów dyskretnych
"
-n
F(z)=
S x[n]z
n=-"
gdzie z jest zmienną zespoloną.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Definicja przekształcenia Z 8 Przekształcenie Z
" Przekształcenie Z przetwarza ciąg x[n] w ciągłą funkcję F(z)
względem ciągłej zmiennej zespolonej z
" Definicja przekształcenia Z
" Transmitancja sytemu dyskretnego
Transmitancja sytemu dyskretnego
" Tam gdzie funkcja e-st jest ogólną postacią dla rozwiązania
" Interpretacja płaszczyzny z
liniowego równania różniczkowego, z-n jest ogólną
" Bieguny i zera na płaszczyz
nie z, a stabilność
postacią dla rozwiązania liniowego równania różnicowego.
" Opóz
nienie czasowe, a przekształcenie Z
" Właściwości przekształcenia Z
" Tam gdzie transformata Laplace'a F(s) jest ciągłą
" Transmitancja systemów dyskretnych
powierzchnią ponad płaszczyzną s, transformata F(z) jest
ciągłą powierzchnią ponad płaszczyzną z.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
1
 "
Odpowiedz
impulsowa (Impulse response - IR) Transmitancja sytemu dyskretnego
-n
F(z)=
S x[n]z
n=-"
1, n=0
d[n]=
" Impuls
" Jeśli przekształceniu Z poddamy odpowiedz
impulsową,
0, n`"0
h[n], wtedy F(z) reprezentuje funkcję transmitancji
systemu w dziedzinie zmiennej zespolonej z: H(z),
x[n] y[n]
" Jeśli mamy system: T{x[n]}=y[n]
system
" wyznaczenie powierzchni H(z) umożliwi nam otrzymanie
charakterystyki amplitudowej systemu,
to dla x[n] = d[n] => y[n] = h[n]
" położenie biegunów funkcji H(z) będzie decydować o stabilności
systemu.
" Możemy określić charakterystykę częstotliwościową
 odpowiedz
impulsowa
systemu dyskretnego, wyrażając zmienną z we
współrzędnych biegunowych jako z = rejw, gdzie r jest
" System LTI jest całkowicie opisany przez h[n]
amplitudą, a w  kątem.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
"
Transmitancja sytemu dyskretnego 8 Przekształcenie Z
H(z)= h[n]z-n
S
n=-"
" z = rejw, gdzie r jest amplitudą, a w - kątem.
" Przekształcenie Z we współrzędnych biegunowych przybiera postać:
" Definicja przekształcenia Z
" "
" Transmitancja sytemu dyskretnego
H(z)=H(rejw)= h[n] (rejw)-n = h[n] r-n (e-jwn)
S S
n=-" n=-"
" Interpretacja płaszczyzny z
Interpretacja płaszczyzny z
" Bieguny i zera na płaszczyz
nie z, a stabilność
gdzie h[n]  odpowiedz
impulsowa systemu
" Opóz
nienie czasowe, a przekształcenie Z
" Równanie to może być traktowane jako przekształcenie Fouriera
" Właściwości przekształcenia Z
iloczynu oryginalnego ciągu wejściowego h[n] i ciągu wykładniczego r-n.
" Transmitancja systemów dyskretnych
" Gdy r przyjmuje wartość 1, to równanie upraszcza się do
przekształcenia Fouriera.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Interpretacja płaszczyzny z Interpretacja płaszczyzny z zim
płaszczyzna z
z=ejw
" Na płaszczyz
nie z, kontur powierzchni H(z) dla tych wartości, gdzie |z|=1,
w=0
" Przypomnijmy, że oś częstotliwości
jest transformatą Fouriera odpowiedzi impulsowej h[n].
w
zre
na płaszczyz
nie s jest liniowa w
w=p=-p
w=2p=-2p
" Wyznaczenie funkcji transmitancji H(z) dla |z|=1 daje w wyniku
zakresie od -" do " radianów
charakterystykę częstotliwościową systemu.
na sekundę. okrąg jednostkowy
(gdzie |z|=1)
" Ale gdzie na płaszczyz
nie z znajduje " Na płaszczyz
nie z, oś częstotliwości w
się |z| = 1? ograniczona jest w zakresie od -p do p radianów.
zim
płaszczyzna z
z=ejw
" Jest to okrąg o promieniu " A więc oś częstotliwości płaszczyzny z jest równoważna zawinięciu osi
w=0
jw z płaszczyzny s wokół koła jednostkowego na płaszczyz
nie z
jednostkowym,
w
zre
(okrąg jednostkowy)
w=p=-p
w=2p=-2p
" Częstotliwość w na płaszczyz
nie z nie jest odległością wzdłuż linii
o środku w punkcie z=0:
prostej, lecz kątem wewnątrz koła.
okrąg jednostkowy
(gdzie |z|=1)
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
2
Odwzorowanie płaszczyzny zmiennej zespolonej s w Odwzorowanie płaszczyzny zmiennej zespolonej s w
płaszczyznę zmiennej zespolonej z płaszczyznę zmiennej zespolonej z
" Podczas gdy posuwanie się wzdłuż osi częstotliwości jw na płaszczyz
nie s może
w jest znormalizowanym kątem w zakresie od -p do p,
doprowadzić do nieskończoności w każdym z kierunków&
_� w można odnieść do równoważnej szybkości próbkowania fs, poprzez
" & takie to samo postępowanie na płaszczyz
nie z prowadzi do ruchu po okręgu
zdefiniowanie nowej zmiennej częstotliwościowej ws=2pfs, w radianach na
jednostkowym.
sekundę.
" Na płaszczyz
nie z możemy brać pod uwagę jedynie zakres częstotliwości od -pfs, do
pfs rad/s&
Okresowość dyskretnej reprezentacji częstotliwościowej z częstotliwością ws,
" & co na płaszczyz
nie s odpowiada ograniczeniu zakresu częstotliwości
dla płaszczyzny z, pokazano niżej:
" jest to kolejny przykład uniwersalnej okresowości w dziedzinie częstotliwości dyskretnej!
zim
płaszczyzna z
"
zim
płaszczyzna z
w=0
jw
płaszczyzna s w=ws/2=pfs
zre
w=ws/2=pfs
w=0 zre
s
w=ws=2pfs=-ws=-2pfs
w=ws=2pfs=
w=-ws/2=-pfs =-ws=-2pfs
w=-ws/2=-pfs
w=& -2ws=-ws=0=ws=2ws=3ws& -"
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
8 Przekształcenie Z Stabilność (przypomnienie)
System LTI jest stabilny, jeśli dla każdego pobudzenia o ograniczonej
amplitudzie, sygnał wyjściowy ma również ograniczoną amplitudę
" Definicja przekształcenia Z
" Transmitancja sytemu dyskretnego
Warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności systemu LTI jest
bezwzględna sumowalność jego odpowiedzi impulsowej:
" Interpretacja płaszczyzny z
" Bieguny i zera na płaszczyz
nie z, a stabilność
Bieguny i zera na płaszczyz
nie z, a stabilność
"
|h[k]|<"
S
" Opóz
nienie czasowe, a przekształcenie Z
k=-"
" Właściwości przekształcenia Z
" Każdy system LTI  o skończonej odpowiedzi impulsowej jest
" Transmitancja systemów dyskretnych
stabilny.
" Systemy niestabilne występują często w układach ze sprzężeniem
zwrotnym, jak mikrofon zbliżony do głośnika
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Położenie biegunów na płaszczyz
nie z a stabilność
Bieguny i zera na płaszczyz
nie z, a stabilność
pojedynczy biegun wewnątrz okręgu pojedynczy biegun poza okręgiem
jednostkowego jednostkowym
zim
jw płaszczyzna z
płaszczyzna s w=ws/2=pfs
obszar zim zim
y[n]
w=ws/2=pfs niestabilności y[n]
obszar obszar s
zre zre
obszar
stabilności niestabilności x x zre
n n
stabilności
w=-ws/2=-pfs w=-ws/2=-pfs
sprzężone bieguny wewnątrz okręgu
sprzężone bieguny poza okręgiem
jednostkowego
" Jedną z najważniejszych właściwości płaszczyzny z jest to, że obszar stabilności jednostkowym
zim
y[n] zim
systemu na płaszczyz
nie s jest odwzorowany we wnętrze koła jednostkowego na y[n]
x
w0
x w0
n
płaszczyz
nie z. zre n zre
-�w0
-�w0
" Mając daną funkcję transmitancji H(z) systemu cyfrowego, możemy prześledzić
położenie biegunów funkcji celem zbadania jego stabilności.
pojedynczy biegun na okręgu jednostkowym sprzężone bieguny na okręgu jednostkowym
" Jeżeli wszystkie bieguny znajdują się wewnątrz koła jednostkowego, to system zim zim
y[n] y[n]
będzie stabilny. x w0
n n
zre
x
-�w0
" Jeżeli jakikolwiek biegun znajdzie się na zewnątrz koła jednostkowego, to system
będzie niestabilny.
|z|<1  układ stabilny; |z|=1 układ stabilny warunkowo (granica stabilności)
|z|>1  układ niestabilny
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
3
x
x
x
Położenie biegunów na płaszczyz
nie s a stabilność
Położenie biegunów a stabilność
pojedynczy biegun rzeczywisty w punkcie pojedynczy biegun rzeczywisty w punkcie
zim
1/f0=2p/w0
y[n]
s< 0  układ stabilny aperiodycznie s> 0  układ niestabilny aperiodycznie
=p/4
w0
y(t)
jw
jw
y(t)
x
s zre
t n
x t
x s
-�w0 =p/4
sprzężone bieguny o częściach rzeczywistych
sprzężone bieguny o częściach rzeczywistych
|z|<1  układ stabilny;
s< 0  układ stabilny periodycznie s> 0  układ niestabilny periodycznie
|z|=1 układ stabilny warunkowo (granica stabilności)
y(t)
jw jw
x x |z|>1  układ niestabilny
s s t
t
" Aby uniknąć niestabilności, system cyfrowy, musi mieć funkcję transmitancji H(z) o
x x
wszystkich biegunach położonych wewnątrz koła jednostkowego.
" tak jak wytrzymałość łańcucha zależy od wytrzymałości jego najsłabszego ogniwa, tak stabilność
pojedynczy biegun rzeczywisty w punkcie
sprzężone bieguny o częściach rzeczywistych
systemu zależy od położenia najmniej stabilnego bieguna!
s=0  układ stabilny aperiodycznie warunkowo
s= 0  układ stabilny periodycznie warunkowo
" Częstotliwość oscylacji w odpowiedzi impulsowej jest proporcjonalna do kąta pomiędzy parą
jw y(t)
y(t)
x
sprzężonych biegunów względem osi zre, w0 rad/s, co odpowiada f0= w0/2p Hz.
s t s
t
x
" Ponieważ przecięcie ujemnej strony osi zre z okręgiem jednostkowym, czyli punkt z = -1,
x
odpowiada p radianom (lub pfs rad/s = fs/2 Hz)....
" to kąt w0 równy p/4 na rysunku oznacza.....
s<0  układ stabilny; s=0 układ stabilny warunkowo (granica stabilności)
" że f0 =fs/8 i sygnał wyjściowy y[n] będzie miał osiem próbek w okresie.
s>0  układ niestabilny
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
8 Przekształcenie Z Opóz
nienie czasowe, a przekształcenie Z
"
" Załóżmy, że mamy :
-n
X(z)=
S x[n]z
" ciąg x[n], którego transformata Z równa się X(z),
n=-"
" ciąg y[n]=x[n-1] którego transformata Z równa się Y(z),
" Definicja przekształcenia Z
" Z definicji, transformata Z ciągu y[n] równa się:
" Transmitancja sytemu dyskretnego
" "
" Interpretacja płaszczyzny z Y(z)= y[n] z-n = x[n-1] z-n
S S
n=-" n=-"
" Bieguny i zera na płaszczyz
nie z, a stabilność
Podstawiając n-1=k otrzymamy:
" "
" Opóz
nienie czasowe, a przekształcenie Z
Opóz
nienie czasowe, a przekształcenie Z
Y(z)= x[k] z-(k+1) = x[k] z-k z-1
S S
" Właściwości przekształcenia Z k=-" k=-"
czyli:
"
" Transmitancja systemów dyskretnych
Y(z)= z-1 x[k] z-k = z-1 X(z)
S
k=-"
Oznacza to, że opóz
nienie sygnału o jedną próbkę odpowiada
przemnożeniu transformaty Z przez z-1
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Opóz
nienie czasowe w przekształceniu Z 8 Przekształcenie Z
Interpretując jednostkowe opóz
nienie czasowe jako odpowiednik z-1, dochodzimy do:
x[n-1] x[n-2] x[n-3] x[n-k]
x[n]
Dziedzina opóz
- opóz
- opóz
- ...
opóz
-
nienie nienie nienie nienie
czasu
" Definicja przekształcenia Z
X(z) X(z)z-1 X(z)z-2 X(z)z-3 X(z)z-k
Dziedzina
... " Transmitancja sytemu dyskretnego
z-1 z-1 z-1 z-1
transformaty Z
" Interpretacja płaszczyzny z
" Możemy stwierdzić, że:
" X(z)z0 = X(z) jest transformatą Z ciągu x[n],
" Bieguny i zera na płaszczyz
nie z, a stabilność
" X(z)z-1 jest transformatą Z ciągu x[n] opóz
nionego o jedną próbkę,
" Opóz
nienie czasowe, a przekształcenie Z
" X(z)z-2 jest transformatą Z ciągu x[n] opóz
nionego o dwie próbki,
" X(z)z-k jest transformatą Z ciągu x[n] opóz
nionego o k próbek.
" Właściwości przekształcenia Z
Właściwości przekształcenia Z
" Funkcja transmitancji z-k jest równoważna opóz
nieniu o kts, sekund względem
" Transmitancja systemów dyskretnych
chwili t=0, gdzie ts jest odstępem próbkowania pomiędzy próbkami (ts= 1/fs).
" Ponieważ opóz
nienie o jedną próbkę odpowiada czynnikowi z-1 to symbol
jednostkowego opóz
nienia czasowego jest zazwyczaj wskazywany przez
operator z-1.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
4
x
Ważne właściwości przekształcenia Z Ważne właściwości przekształcenia Z
1. Liniowość 3. Przekształcenie splotu
Jeśli X(z) i Y(z) oznaczają transformaty Z ciągów, x[n] i y[n], zaś a1 i
Jeśli X(z) i Y(z) oznaczają transformaty Z ciągów, x[n] i y[n], to
a2 są dowolnymi liczbami, to transformata Z ich kombinacji liniowej
transformata Z ich splotu:
jest równa kombinacji liniowej transformat X(z) i Y(z) :
"
x[n]*y[n] = x[k]y[n-k]
S
Z{a1x[n]+a2y[n]}= a1X(z)+a2Y(z) k=-"
jest równa iloczynowi transformat X(z) i Y(z):
Z{x[n]*y[n]}= X (z)Y(z)
2. Przesunięcie sygnału
Dowód:...
Jeśli X(z) jest transformatą Z ciągu x[n], to transformatę Z ciągu z
przesuniętym argumentem x[n-k] można wyrazić jako:
niech m=n-k
" " " " " "
Z{x[n-k]} = z-kX(z) -n -(m+k) -m
x[k]z-k
S S x[k]y[n-k] z = S x[k]y[m] z = S S y[m]z =X(z)Y(z)
S
n=-" k=-" m=-" k=-" k=-" m=-"
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Tablica użytecznych transformat Z 8 Przekształcenie Z
x[n] X(z)=Z{x[n]} x[n] X(z)=Z{x[n]}
az-1
d[n] 1 nanm[n]       
" Definicja przekształcenia Z
(1- az-1)2
1
" Transmitancja sytemu dyskretnego
d[n-k] Z-k anm[n]       
(1- az-1)
" Interpretacja płaszczyzny z
1 az-1(1+az-1)
m[n]     
n2anm[n]         
" Bieguny i zera na płaszczyz
nie z, a stabilność
1- z-1 (1- az-1)3
z-1 an " Opóz
nienie czasowe, a przekształcenie Z
nm[n]        m[n] ea/z
(1- z-1)2 n!
" Właściwości przekształcenia Z
z-1(1+ z-1) 1
" Transmitancja systemów dyskretnych
n2m[n]                
Transmitancja systemów dyskretnych
(1- z-1)3 (n+1)an m[n] (1- az-1)2
z-1(1+ 4z-1+z-2) (n+1)(n+2)an 1
n3m[n]                         m[n]       
(1- z-1)4 2! (1- az-1)3
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Transmitancja systemów dyskretnych Transmitancja systemów dyskretnych
Załóżmy, że dyskretny system LTI jest opisany równaniem:
Ponieważ systemy liniowe niezmienne w czasie (LTI) są opisane równaniem splotu
M N
sygnał wejściowego x[n] i odpowiedzi impulsowej systemu h[n]:
y[n]= bmx[n-m]  aky[n-k]
S S
m=0 k=1
"
y[n]=x[n]*h[n] = x[k]h[n-k] to obliczając transformatę Z z jego obu stron i korzystając z właściwości liniowości
x[n] h[n] S
k=-"
oraz przesunięcia sygnału otrzymamy:
M N
to z właściwości splotu transformacji Z wynika, że przekształcenie Z równania
Y(z)= bmz-m X(z)  akz-k Y(z)
S S
odpowiedzi ma postać:
m=0 k=1
a stąd:
Y(z)
Y(z)=H(z)X(z) a ponieważ: H(z)=   
Y(z) b0+b1z-1+b2z-2+...+bMz-M (1-z1z-1)(1-z2z-1)...(1-zMz-1)
X(z)
H(z)= =                      =                     
  
X(z) 1+a1z-1+a2z-2+...+aNz-N (1-p1z-1)(1-p2z-1)...(1-pNz-1)
transformata Z odpowiedzi impulsowej h[n] (przyczynowej!):
gdzie: zk zera wielomianu licznika (zera transmitancji)
" "
H(z)= h[n]z-n= h[n]z-n pk  zera wielomianu mianownika (bieguny transmitancji)
S S
n=-" n=0
Systemy cyfrowe są stabilne jeśli bieguny ich transmitancji....
jest transmitancją tego systemu.
leżą wewnątrz okręgu jednostkowego na płaszczyz
nie z
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
5
Jakieś pytania?
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
6