[e-mail]
Prof. Krzysztof Jemielniak Plan wykładu
http://www.zaoios.pw.edu.pl/kjemiel
ST 107, tel. [phone]
1 Wstęp
2 Sygnały i systemy
Cyfrowe
3 Systemy liniowe niezmienne w czasie
przetwarzanie
4 Przetwarzanie analogowo cyfrowe
5 Przekształcenie Fouriera
sygnałów
6 Analiza czasowo-częstotliwościowa
6 Analiza czasowo-częstotliwościowa
7 Przekształcenie Laplace a
6 Analiza czasowo-częstotliwościowa
8 Przekształcenie Z
9 Filtry cyfrowe
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
6 Analiza czasowo-częstotliwościowa Sygnały stacjonarne deterministyczne
�� DFT identyfikuje wszystkie składowe
widmowe obecne w sygnale, jednakże
nie daje żadnej informacji na temat ich
" Sygnały stacjonarne i niestacjonarne
Sygnały stacjonarne i niestacjonarne
rozmieszczenia w czasie. Dlaczego?
" Krótkookresowa transformata Fouriera
" Zasada nieoznaczoności Heisenberga
�� Sygnały stacjonarne (deterministyczne) składają się ze
" Transformata falkowa
składowych niezmiennych w czasie
v� wszystkie składniki występują cały czas
v� nie jest potrzebna informacja o czasie
v� DFT pracuje bardzo dobrze dla stacjonarnych sygnałach
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
ciągłe
Sygnały niestacjonarne Typy sygnałów
stacjonarne niestacjonarne
�� Sygnały niestacjonarne (ciągłe) zawierają
składowe, których amplituda jest zmienna
w czasie
deterministyczne losowe ciągłe przejściowe
v� Jak więc dowiedzieć się kiedy występują
poszczególne składowe?
v� Potrzebny jest jakiś sposób określania
położenia w czasie składowych, inaczej
mówiąc zmienności widma sygnału w
czasie
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
1
Sygnały deterministyczne Sygnały losowe
itd.
amplituda amplituda
czas
częstotliwość
czas
" Sygnały losowe nie mają składowych okresowych i ich harmonicznych
częstotliwość
drgania
" Charakteryzują się przypadkowymi wartościami, a ich wartość chwilowa
jest nieprzewidywalna
" Mogą być jednak opisywane statystycznie  wartości podlegają
Sygnał nazywany jest deterministycznym, ponieważ jego
rozkładowi, mają wartość średnią
" Stacjonarny sygnał losowy na widmo bez wyraz
nych maksimów,
chwilowa wartość w dowolnej chwili jest przewidywalna.
płaskie w pewnym zakresie
Da się rozłożyć na sinusoidy
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Sygnały przejściowe (impulsowe) Sygnały niestacjonarne ciągłe
ciągłe
losowe przejściowe
+
=
czas częstotliwość
" Impuls mechaniczny jest krótkotrwałym wybuchem energii
" Sygnały niestacjonarne ciągłe mają pewne podobieństwa do
zarówno sygnałów przejściowych jak losowych
" Jego widmo jest w przybliżeniu płaskie do częstotliwości
" Można je traktować jako losowe lub rozłożyć na poszczególne impulsy
będącej odwrotnością czasu trwania impulsu
i traktować jako przejściowe
" Impuls nieskończenie krótki miałby widmo nieskończone
" W sygnałach niestacjonarnych składowe widmowe mogą się pojawiać i
zanikać, stąd do ich opisu potrzebna jest charakterystyka
czasowo-częstotliwościowa
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Sygnały stacjonarne i niestacjonarne Sygnały stacjonarne i niestacjonarne
�� Sygnały stacjonarne mają charakterystyki widmowe (spektrum)
�� Sygnały niestacjonarne mają zmienne spektrum
stałe w czasie
x5(t) =� [x1 �� x2 �� x3]
x4(t) =� cos(2p� ��5��t)
+� cos(2p� �� 25��t)
�� A
ączenie szeregowe
+� cos(2p� ��50��t)
Widmo zawiera dokładną
informację o występowaniu
składowych o określonych
częstotliwościach, ale żadnej
informacji o tym kiedy
występowały
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
2
6 Analiza czasowo-częstotliwościowa Krótkookresowa transformata Fouriera
" Sygnał przeznaczony do analizy jest sukcesywnie dzielony
na segmenty
" Sygnały stacjonarne i niestacjonarne
" Każdy z nich podlega analizie widmowej niezależnie
" Krótkookresowa transformata Fouriera
Krótkookresowa transformata Fouriera
" podobnie jak w przypadku tradycyjnym, aby usunąć gwałtowne
" Zasada nieoznaczoności Heisenberga
zmiany (cięcia) sygnału na krańcach przedziałów, stosuje się
" Transformata falkowa
różne okna czasowe w odniesieniu do wspomnianych segmentów.
" Przesuwając okno w czasie, wzdłuż sygnału, określa się
jego zawartość widmową wewnątrz kolejnych przedziałów
czasowych, których długość jest określona szerokością
okna.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
STFT w działaniu
Krótkookresowa transformata Fouriera
(Short Time Fourier Transform STFT)
Sinusoidy pomnożone przez
funkcję okna pozwalają na
1. Wybierz okno o skończonej długości
1 1
wyznaczanie transformaty
2. Umieść je na początku sygnału (t=0)
0.5 0.5
Fouriera tylko w
3. Obetnij sygnał mnożąc go przez okno
skończonym (skróconym)
0 0
odcinku czasu
4. Oblicz FT obciętego sygnału,
-0.5 -0.5
zapamiętaj
-1 -1
5. Przesuń okno w prawo o niewielki
-1.5 -1.5
0 100 200 300 0 100 200 300 odcinek
6. Idz
do kroku 3, powtarzaj aż
1 1
osiągniesz koniec sygnału
0.5 0.5
0 0
-0.5 -0.5
czas
-1 -1
Każda FT przekazuje informację o widmie sygnału w kolejnym wycinku czasowym
-1.5 -1.5
A
ącznie otrzymujemy informację o zmienności widma w czasie
0 100 200 300 0 100 200 300
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Znaczenie STFT Znaczenie STFT
w�
ó�
STFTx (t ,w�) =�
��[�x(t)��W (t -� tó�)]���e-� jw�tdt
jądro FT
parametr parametr
analizowany
(funkcja bazowa)
czasu częstotliwości
sygnał t
Krótkookresowa transformata Fouriera (STFT)
w�
ó�
STFTx (t ,w�) =�
odpowiada na pytanie:
��[�x(t)��W (t -� tó�)]���e-� jw�tdt
t
 Czy i kiedy w sygnale x(t) występuje krótka
STFT sygnału x(t):
Funkcja okna Funkcja okna dla t=t
obliczona dla każdego
sinusoida e-jw�t
okna o środku w t=t
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
3
AnSyg II v2d
STFT  prezentacja danych 6 Analiza czasowo-częstotliwościowa
WSK-Inc_Sandvik.tdms
" Sygnały stacjonarne i niestacjonarne
" Krótkookresowa transformata Fouriera
" Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
" Transformata falkowa
383s
209Hz
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Wybór długości okna do STFT Wybór długości okna do STFT
2
1
Rozważmy sygnał niestacjonarny:
w�
" W pierwszej części sygnału występuje chwilowe
ó�
STFTx (t ,w�) =� (t -� t )]���e-� jw�tdt
��[�x(t)��W ó�
wysokoczęstotliwościowe zakłócenie, które następnie zanika.
t " W drugiej części sygnału występuje modulacja amplitudowa w zakresie niskich częstotliwości
oraz modulacja częstotliwościowa w zakresie wysokich częstotliwości.
" Poddajmy ten sygnał analizie STFT stosując
�� Ze określonej długości okna W(t) wynika, że
wąskie okno
szerokie okno
zmiany o czasie charakterystycznym dłuższym od
 rozmiaru'' okna nie będą uwzględnione L�
�� Można oczywiście zwiększyć długość okna&
�� Ale wówczas traci się informację o lokalizacji w
czasie
czas czas
" Precyzyjna identyfikacja czasu wystąpienia
" Niemożność dokładnego oszacowania czasu
zaburzenia.
wystąpienia zaburzenia.
Zobaczmy to na przykładzie
" Niemożność dokładnego oszacowania
" Precyzyjna identyfikacja częstotliwości.
częstotliwości.
" Dobrze widać modulację częstotliwościową
" Nie widać modulacji częstotliwościowej
Analiza FFT całkowicie tu zawodzi!
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Wybór długości okna do STFT Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Rozdzielczość w czasie (Dt): Rozdzielczość częstotliwości (Df):
w�
ó�
STFTx (t ,w�) =� (t -� t )]���e-� jw�tdt
��[�x(t)��W ó�
Jak dokładnie można określić Jak dokładnie można określić częstotliwość
t
położenie składowej w czasie składowej
�� Rozważmy dwa skrajne przypadki:
Rozdzielczość w czasie i częstotliwości nie mogą
�� Okno W(t) nieskończenie długie Ł� STFT staje się FT,
jednocześnie być arbitralnie duże!!!
dając dokładną informację o występujących w sygnale
" Nie możemy dokładnie wiedzieć w której chwili występuje składowa o określonej
częstotliwościach (dobrą rozdzielczość częstotliwości), ale
częstotliwości.
żadnej informacji o czasie występowania
" Możemy jedynie wiedzieć, jakie zakresy częstotliwości występują w jakich przedziałach
�� Okno W(t) nieskończenie krótkie: W(t)=Dt Ł� STFT czasu.
zwraca sygnał pierwotny z fazą. Doskonała informacja o
Szerokie oknoą� zła rozdzielczość w czasie, dobra rozdzielczość częstotliwości
czasie (dobra rozdzielczość czasu), ale brak informacji o
częstotliwości
Wąskie oknoą� dobra rozdzielczość w czasie, zła rozdzielczość częstotliwości
Po wybraniu szerokości okna, obie rozdzielczości są ustalone.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
4
częstotliwość
częstotliwość
STFT.vi
Przykłady STFT 6 Analiza czasowo-częstotliwościowa
" Sygnały stacjonarne i niestacjonarne
" Krótkookresowa transformata Fouriera
" Zasada nieoznaczoności Heisenberga
" Transformata falkowa
Transformata falkowa
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Transformata falkowa STFT i falki
W celu obejścia trudności związanych z rozdzielczością można zastosować okna o różnej
długości dla różnych częstotliwości:
q� Wyszukiwanie składowych o wysokich częstotliwościachŁ� wąskie okno
dla lepszej rozdzielczości w czasie
q� np.: przy fpróbk=2000Hz, dla f=900-1000Hz użyjmy Dt=0.1s, czyli Df=10Hz częstotliwość
częstotliwość
q� Wyszukiwanie składowych o niskich częstotliwościach Ł� szerokie okno
dla lepszej rozdzielczości częstotliwości
q� np.: przy fpróbk=2000Hz, dla f=0-10Hz użyjmy Dt=1s, czyli Df=1Hz
czas
czas
Zasada Heisenberga w dalszym ciągu obowiązuje!
transformata falkowa
krótkookresowa transformata Fouriera
Funkcja okna jaką tu zastosujemy nazywana jest falką (wavelet )
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Historia transformaty falkowej
Transformata Fouriera kontra WT
Ingrid Daubechies
Alfred Haar
Transformata Fouriera
(1954, Belgia), definicja
(1885-1933,
q� FFT analizuje cały sygnał, nie wskazuje kiedy dane
funkcji skalującej 
Węgry), definicja
wydarzenie miało miejsce
uzupełnienia do falki,
pierwszej falki
twórczyni większości
q� STFT
współcześnie
lokalizuje wydarzenie w skali czas/częstotliwość
używanych falek
Jean Morlet
wymaga kompromisu między rozdzielczością w dziedzinie czasu
a rozdzielczością w dziedzinie częstotliwości
(Francja), opracowanie
koncepcji transformaty falkowej
Stephane Mallat
Analiza falkowa
(Francja), koncepcja
DWT i FWT,
q� lokalizuje wydarzenie w skali czas/częstotliwość
Yves Meyer
opracowanie
q� zachowuje rozdzielczość odpowiednią do częstotliwości
algorytmów WT
(Francja), rozwinięcie koncepcji
opartych na filtrowaniu
transformaty falkowej
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
5
Ciągła transformata falkowa
Fala a falka
(Continuous Wavelet Transform - CWT)
Fala:  Fourierowska sinusoida: stała amplituda,
parametr skali, miara
nieskończona energia
stała
częstotliwości
normalizacyjna
analizowany
parametr przesunięcia,
sygnał
miara czasu
Falka - funkcja y o skończonym czasie
oscylacji (tzw. zwartym nośniku) i
wartości średniej równej 0, najczęściej
niesymetryczna i nieregularna, np.:
falka bazowa, wszystkie jądra
ciągła transformata falkowa
falka db10
są otrzymywane przez
sygnału x(t) wykorzystująca
Pierwsza falka - falka Haara (1908r.) przesunięcia (translacje) i/lub
falkę y(t,s)
skalowanie falki bazowej:
Skala = 1/częstotliwość
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Rodzina falek y(t) Falka i jej widmo
Przesunięcie t i skalowanie
s falki bazowej (ang.
s=1
mother wavelet)
s=2
s=4
" współczynnik skali s, który powoduje zmianę czasu trwania
"  Rozciąganiu i  ściskaniu falki towarzyszy odwrotna zmiana jej widma, czyli
( rozciąganie lub  ściskanie ) falki
odpowiednio jego  zawężanie i  rozszerzanie .
" współczynnik przesunięcia t , który zmienia położenie falki na osi czasu
" Równanie reprezentuje więc filtracje pasmowoprzepustową sygnału za
pomocą kolejnych przeskalowanych falek, (za pomocą kolejnych filtrów o
różnych pasmach przepuszczania)
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Znaczenie ciągłej transformaty falkowej Jak wyznaczyć transformatę falkową?
Równanie odpowiada na pytanie:
��Pięć prostych kroków do wyznaczenia ciągłej
 Czy któraś funkcji:
transformaty falkowej
�� ciągła transformata falkowa jest sumą po czasie
sygnału mnożonego przez przeskalowane,
występuje w analizowanym sygnale i kiedy?
przesunięte wersje falki bazowej
Równanie wyraża filtrację sygnału analizowanego x(t) przez �� proces ten daje w wyniku współczynniki falkowe
będące funkcją przesunięcia i skali.
funkcję analizującą Y(t) przeskalowaną w dziedzinie czasu
współczynnikiem skali s (rozciągany dla s>1, ściskany dla s<1)
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
6
Jak wyznaczyć transformatę falkową Jak wyznaczyć transformatę falkową
3 Przesuń falkę w prawo i powtórz kroki 1 i 2 aż pokryjesz cały sygnał
1. Wez
falkę i porównaj ją z początkowym fragmentem sygnału oryginalnego.
sygnał
sygnał
falka
falka
C=0.2247
C=0.0102
4 Przeskaluj (rozciągnij) falkę i powtórz kroki 2 do 3.
2 Oblicz współczynnik C, reprezentujący stopień skorelowania falki z tym
sygnał
fragmentem sygnału.
falka
" im wyższy współczynnik C, tym wyższe podobieństwo
" zauważ, że wynik zależy od kształtu falki jaką wybierzesz! C=0.1022
5 Powtarzaj kroki 1 do 4 dla wszystkich skal.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Ciągła transformata falkowa w działaniu Ciągła transformata falkowa w działaniu
Wysoka częstotliwość (mała skala)
s=0.1, t=-8 s=0.1, t=-2 s=0.5, t=-8 s=0.5, t=-2 STFT  wąskie okno STFT  szerokie okno
s=0.1, t=3 s=0.1, t=8 s=0.5, t=3 s=0.5, t=8
Niska częstotliwość (duża skala)
s=2, t=-8 s=2, t=-2
s=6, t=-8 s=6, t=-2
s=2, t=3 s=2, t=8 s=6, t=3 s=6, t=8
STFT-CWT
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Od ciągłej do dyskretnej transformaty falkowej
Ciągła transformata falkowa w działaniu
�� Oczywiście w praktyce
obliczeniowej przyjmuje się
skończony krok  próbkowanie
płaszczyzny czasowo-
częstotliwościowej oraz graniczną
wartość współczynnika skali:
CWT
CWT
CWT
0
0
0
10
1
" Ciągła zmiana współczynników t i s pociąga za sobą nieskończoną liczbę
5
20
2
CWT dla 10 skali
30
generowanych współczynników 3
10
40
4
CWT dla
50
15
" Informacje zawarte w CWT są bardzo nadmiarowe z punktu widzenia 5
60
6
CWT dla 30 100 skali
20
rekonstrukcji sygnału. 70
7
80
8
25 skali
" Nadmiarowość ta powoduje znaczny czas obliczeń wykorzystuje dużo pamięci. 90
9
100
30
10
1 25 50 75 100 125 150 175 200 225 256
1 25 50 75 100 125 150 175 200 225 256
1 25 50 75 100 125 150 175 200 225 256
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
7
Od ciągłej do dyskretnej transformaty falkowej
Dyskretna transformata falkowa
(Discrete Wavelet Transform DWT)
" W celu przyspieszenia działania transformat falkowych
" Różnice wyznaczane są przy pomocy falki
wybieramy tylko podzbiór skal i przesunięć.
" Każdej falce odpowiada tzw. funkcja skalująca
" Wybieramy skale i położenia bazujące na potędze dwójki
pozwalająca na wyznaczenie średnich, wygładzonej
wersji sygnału (aproksymacji)
" W ten sposób otrzymujemy dyskretną transformatę falkową
" Wez
my dla przykładu najprostszą falkę: Haara.
(Discrete Wavelet Transform  DWT).
" Dla sygnału x[n] falka postać:
" DWT wyznacza średnie i różnice sygnału, rozbijając go na
x[i]  x[i+1]
spektrum
D[i]=           
2
" Każdy krok transformaty daje w wyniku dwa ciągi wartości:
" zaś funkcja skalująca postać:
" aproksymację czyli ciąg średnich
x[i]+x[i+1]
A[i]=         
" detal czyli ciąg różnic zwanych także współczynnikami falkowymi
2
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Meyer
Falka Haara i jej funkcja skalujaca Inne falki i ich funkcje skalujace
" Falka Haara y (mother wavelet)
" Istnieje  nieskończona liczba falek
" Filtr górnoprzepustowy
" Zerowa wartość średnia:
" Bardziej złożone (jak falki Daubechies
wyższego rzędu) powodują db6
nakładające się różnice i średnie, co
daje lepsze uśrednianie niż falka
Haar a
" Algorytmy są jednak bardziej
" Funkcja skalująca Haara f
skomplikowane i kosztowniejsze
(father wavelet)
czasowo symlet 6
" Filtr dolnoprzepustowy
" Niezerowa wartość średnia 
zawiera składową stałą
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Dyskretna transformata falkowa
Falka Symlets 6 (sym6)
http://wavelets.pybytes.com/
" Liczba elementów aproksymacji i detalu jest równa
połowie liczby elementów wejściowych
" np. szereg czasowy S o 256 elementach jest rozkładany na
aproksymację A1  (szereg 128 średnich) i detal D1 (szereg 128
współczynników)
" Aproksymacje stają się szeregiem wejściowym w
Współczynniki
następnym kroku
" np. szereg 128 średnich (A1) może być rozłożony na na nowy
szereg średnich (aproksymacja A2) i współczynników (detal D2)
" Procedura może być powtarzana aż do uzyskania jednej
wartości średniej i różnicy
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
8
Dyskretna transformata falkowa
Schemat działania DWT
" Średnie i różnice szeregu czasowego są wyznaczane w
DWT dzieli widmo sygnału przy pomocy banku filtrów:
ramach okna falki przesuwanego wzdłuż szeregu.
" np. jeśli szereg czasowy zawiera 256 elementów, oko jest
przesuwane o 2 elementy 128 razy
" W następnym kroku okno przesuwane jest wzdłuż 128-
elementowej aproksymacji również co dwa elementy,
dając średnie i różnice z czterech elementów
pierwotnych
" Oznacza to, że długość okna względem sygnału pierwotnego
wzrasta dwukrotnie w każdym kroku
" Pierwszy szereg współczynników (różnic) odpowiada
zmianom o najwyższej częstotliwości
" Każdy następny krok odpowiada coraz to niższym
częstotliwościom
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
"
Dyskretna Transformata Falkowa Dyskretna transformata falkowa
y[n]=x[n]*h[n] = x[k]h[n-k]
S
k=-"
" Dyskretna transformata falkowa rozkłada sygnał na średnie
(aproksymacje A) i różnice (detale D) przez splot sygnału i
sygnał
odpowiedzi impulsowej filtru dolno i górnoprzepustowego
dolno- górno-
" Odpowiedzi filtrów są decymowane przez 2.
przepustowy przepustowy
" Ogólnie aproksymacja Aj+1 i detal Dj+1 na poziomie j+1 opisane są
filtry
splotami:
"
Aj+1[n]= Aj[k]h[2n-k]
S
k=-"
Aproksymacja Detal
"
Dj+1[n]= Aj[k]g[2n-k]
(A) (D)
S
k=-"
DWT  bank filtrów odpowiadający falkom i skalowaniu
gdzie h  impulsowa filtru dolnoprzepustowego (funkcji skalującej)
Dekompozycję można powtarzać wielokrotnie dla kolejnych
g  odpowiedz
impulsowa filtru górnoprzepustowego (falki)
aproksymacji
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Dyskretna transformata falkowa w działaniu DWT w działaniu
filtrowanie górnoprzepustowe i decymacja
przez 2
filtrowanie dolnooprzepustowe i decymacja
przez 2
DWT
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
9
DWT - podsumowanie
DWT w działaniu
" Dyskretna transformata falkowa zapewnia
wystarczającą ilość informacji zarówno do
analizy jak syntezy, przy znacznej redukcji
czasu obliczeń
" DWT jest znacznie łatwiejsza do
zaimplementowania niż CWT.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Typy transformaty falkowej
Wielopoziomowa DWT
Transformata falkowa WT (Wavelet Transform), analiza
falkowa, przekształcenie falkowe, dekompozycja falkowa,
Ciągła transformata falkowa CWT (Continous Wavelet Transforam)
q� Dyskretna transformata falkowa DWT (Discrete Wavelet Transform)
Szybka transformata falkowa FWT (Fast Wavelet Transform)
q� Pakietowa transformata falkowa WP (Wavelet Packet)
S= A1+D1 = A2+D2+D1 = A3+D3+D2+D1
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Pakietowa Transformata Falkowa Dekompozycja obrazu wykorzystująca
WP (Wavelet Packet) filtrację jednowymiarową
S= np. A+DA+DDA+DDD
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
10
Analiza czasowo-częstotliwościowa - podsumowanie
Rekonstrukcja obrazu
JTFA.vi
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Jakieś pytania?
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
11