Autor opracowania: Marek Walesiak
6. ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH
6.1. Klasyczne metody analizy szeregów czasowych
6.1.1. Składowe szeregu czasowego
6.1.2. Modele szeregów czasowych
6.1.3. Modele trendu
6.1.4. Analiza wahań sezonowych
6.1.5. Modele adaptacyjne
6.2. Nieklasyczne metody analizy szeregów czasowych
1
Autor opracowania: Marek Walesiak
6.1. KLASYCZNE METODY ANALIZY
SZEREGÓW CZASOWYCH
6.1.1. Składowe szeregu czasowego
Składowe szeregu
czasowego
Składowa
Składowa przypadkowa
systematyczna
(wahania losowe)
(deterministyczna)
Stały
Trend
Składowa okresowa
(przeciętny)
(tendencja
(periodyczna)
poziom
rozwojowa)
Wahania cykliczne
Wahania sezonowe
2
Autor opracowania: Marek Walesiak
Trend (tendencja rozwojowa)  długookresowa tendencja do
jednokierunkowych zmian, tj. wzrostu lub spadku wartości
zmiennej Y .
Stały (średni) poziom  oznacza brak trendu i oscylowanie
wokół pewnego stałego poziomu zmiennej Y (poziomu przecięt-
nego).
Składowa okresowa (periodyczna) obejmuje wahania sezo-
nowe i wahania cykliczne.
Wahania sezonowe  zmiany wartości zmiennej Y wokół
trendu lub stałego średniego poziomu zmiennej Y powtarzające
się w przybliżonych rozmiarach co pewien okres ( d" 1 rok).
Wahania cykliczne  długookresowe ( > 1 rok) rytmiczne wa-
hania wartości zmiennej Y wokół trendu lub stałego (średniego)
poziomu zmiennej Y (np. cykle koniunkturalne w gospodarce).
3
Autor opracowania: Marek Walesiak
Trend
Yt
Yt
Stały (średni) poziom
Czas
Czas
Trend + wahania
sezonowe
Yt
Yt
Stały (średni) poziom +
wahania sezonowe
Czas w kwartałach
Czas w kwartałach
Yt Yt
Stały (średni) poziom +
wahania cykliczne
Trend + wahania
cykliczne
Czas w latach
Czas w latach
Przykładowe szeregi czasowe z różnymi składowymi
4
Autor opracowania: Marek Walesiak
6.1.2. Modele szeregów czasowych
Modele addytywne:
Yt = f (t) + g(t) + h(t) +¾t ,
Yt = const + g(t) + h(t) + ¾t .
Modele multiplikatywne:
Yt = f (t) Å" g(t) Å" h(t) Å"¾t ,
Yt = const Å" g(t) Å" h(t) Å"¾t ,
Modele mieszane  na przykład:
Yt = f (t) Å" g(t) Å" h(t) + ¾t ,
Yt = const Å" g(t) Å" h(t) + ¾t ,
Yt = f (t) + g(t) + h(t)¾t ,
Yt = const + g(t) + h(t)¾t .
gdzie: f (t)  funkcja trendu zmiennej Y ,
g(t)  funkcja opisujÄ…ca wahania sezonowe,
h(t)  funkcja opisujÄ…ca wahania cykliczne,
const  stały (średni ) poziom zmiennej Y ,
¾t  element losowy (skÅ‚adowa wahaÅ„ przypadkowych).
5
Autor opracowania: Marek Walesiak
6.1.3. Modele trendu
A. Addytywny:
Yt = f (t) + ¾t ,
Postać liniowa funkcji trendu: Yt = b0 + b1t + ¾t . Dla funkcji
tej przyrosty absolutne są stałe: "Yt = Yt+1 - Yt (t =1,K,T -1). W
celu sprawdzenia czy przyrosty absolutne są stałe należy dla mo-
delu "Yt = a0 + a1t + ¾t zweryfikować H0 o nieistotnoÅ›ci parame-
tru a1.
Wybór stopnia wielomianu dla funkcji trendu:
r
j
Yt =
"b t + ¾t ,
j
j=0
gdzie: t  zmienna czasowa (t =1,K,T ), r  stopień wielomianu.
Wyboru modelu trendu o postaci wielomianu dokonuje siÄ™
między modelami o istotnym parametrze przy najwyższej potędze
zmiennej czasowej t (zob. Kufel [2007], s. 80).
Dodatkowym kryterium jest porównanie wariancji resztowej
Sr2 modelu r-tego stopnia z wariancjÄ… resztowÄ… Sr2 modelu
,e -1,e
stopnia r -1 za pomocÄ… testu F przy hipotezach:
H0 :´r2 = ´r2, H0 :´r2 > ´r2.
-1 -1
6
Autor opracowania: Marek Walesiak
-1
Jeśli F = Sr2 Sr2 > Fą(T -mr -1) to występuje istotny spadek
-1,e ,e (T -mr -1)
wariancji resztowej i właściwym modelem trendu będzie wielo-
mian stopnia r.
Inne postaci funkcji addytywnych trendu:
 trend semilogarytmiczny: Yt = b0 + b1 logt + ¾t
1
 trend hiperboliczny I: Yt = b0 + b1 + ¾t
t
1
 trend hiperboliczny II: Yt = + ¾t
b0 + b1t
t
 trend hiperboliczny III: Yt = + ¾t
b0 + b1t
B. Multiplikatywny:
Yt = f (t) Å"¾t ,
Jeżeli wiemy, że względny przyrost pewnego zjawiska ekono-
Yt+1 -Yt "Yt
micznego = oscyluje wokół pewnego stałego procen-
Yt Yt
tu to model ekonometryczny zależności zmiennej Y od czasu t
powinien mieć postać funkcji wykładniczej:
t
Yt = b0b1 .
7
Autor opracowania: Marek Walesiak
W celu sprawdzenia czy przyrosty względne są stałe należy dla
"Yt
modelu = a0 + a1t + ¾t zweryfikować H0 o nieistotnoÅ›ci pa-
Yt
rametru a1.
1
Dla funkcji potęgowej v
t = b0tb względne przyrosty zmiennej
objaśnianej są w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalne do
zmiennej objaśniającej (do czasu):
"Yt 1
= a1 + ¾t .
Yt t
Potęgową funkcję trendu zastosujemy, gdy parametr a1 istotnie
różni się od zera.
Inne postaci funkcji multiplikatywnych trendu:
1
b0 +b1
t
 trend log-hiperboliczny: Yt = e e¾
0
 trend potÄ™gowy: Yt = eb +b1 logte¾
8
Autor opracowania: Marek Walesiak
6.1.4. Analiza wahań sezonowych
Yt
Faza 2 Faza 4
Faza 1
Faza 3
Amplituda
czas
Elementy szeregu czasowego z wahaniami periodycznymi
(wahania sezonowe bezwzględne  amplituda wahań
w analogicznej fazie cyklu jest jednakowa)
9
l
k
y
c
y
n
Å‚
e
p
i
c
e
z
r
T
l
k
y
c
y
n
Å‚
e
p
i
g
u
r
D
y
n
Å‚
e
p
y
z
s
w
l
r
k
e
y
i
c
P
Å„
a
h
a
w
s
)
e
k
r
o
k
r
.
O
p
n
(
Autor opracowania: Marek Walesiak
Yt
czas
Elementy szeregu czasowego z wahaniami periodycznymi
(wahania sezonowe względne  amplituda wahań zmienia się
mniej więcej w tym samym stosunku)
10
Autor opracowania: Marek Walesiak
A. Metoda wskaz
ników sezonowości
Etapy analizy wahań sezonowych
1. Wyodrębnienie trendu za pomocą dowolnej metody: trendu li-
niowego, nieliniowego, trendu pełzającego, średniej ruchomej.
2. Wyeliminowanie trendu z szeregu czasowego (uwolnienie wy-
razów szeregu czasowego od trendu):
a. wahania sezonowe bezwzględne (obliczamy różnice między
szeregiem pierwotnym a szeregiem wygładzonym):
et = Yt -v
t
b. wahania sezonowe względne:
Yt
ut =
v
t
Wartości et i ut zawierają wahania sezonowe i przypadkowe.
3. Wyeliminowanie wahań przypadkowych przez obliczenie
średnich arytmetycznych et lub ut dla okresów jednoimien-
nych, tj. pochodzÄ…cych z tej samej j-tej fazy ( j = 1,K, p, p 
liczba faz cyklu):
ej  są to bezwzględne wskaz
niki sezonowości (addytywne).
Informują o ile jednostek poziom zjawiska w danej fazie wahań
jest wyższy lub niższy od poziomu, jakie osiągnęłoby zjawi-
sko, gdyby jego rozwój przebiegał zgodnie z trendem;
11
Autor opracowania: Marek Walesiak
u  są to względne wskaz
niki sezonowości (multiplikatywne).
j
Informują, o ile procent poziom zjawiska w danej fazie wahań
jest wyższy lub niższy od poziomu, jakie osiągnęłoby zjawi-
sko, gdyby jego rozwój przebiegał zgodnie z trendem.
4. Obliczenie skorygowanych (czystych) wskaz
ników wahań se-
zonowych:
a. obliczenie różnicy między surowym wskaz
nikiem bez-
względnym danej fazy cyklu i wskaz
nikiem korekcyjnym1:
p
1
sb = ej -
j "e
j
p
j=1
b. obliczenie ilorazu między surowym wskaz
nikiem względ-
nym danej fazy cyklu i wskaz
nikiem korekcyjnym:
u
j
sw =
j
p
1
"u j
p
j=1
5. Obliczenie prognozy (Ä  j-ta faza okresu prognozowania Ä ):
j
a. model addytywny: v
Ä = f (Ä ) + sb
j j
j
b. model multiplikatywny: v
Ä = f (Ä ) Å" sw
j j
j
1
Jeśli parametry modelu trendu szacowano MNK, to wartości skorygowane równają się wartościom surowym
(średnia reszt w MNK równa się bowiem zeru).
12
Autor opracowania: Marek Walesiak
B. Ekonometryczne modele wahań sezonowych
Kufel T. (2007), Ekonometria. Rozwiązywanie problemów z wyko-
rzystaniem programu Gretl, WN PWN, Warszawa, r. 6.2, 8.1.
Yt = f (t) + g(t) + ¾t ,
gdzie: f (t)  funkcja trendu zmiennej Y ,
p
g(t) =
"d Qjt  funkcja opisujÄ…ca wahania sezonowe.
j
j=1
Model A bez wyrazu wolnego (kodowanie zero-jedynkowe) 
f (t) nie zawiera wyrazu wolnego:
Np. dla danych kwartalnych wprowadzamy 4 zmienne zero-
jedynkowe o następującym kodowaniu:
Kwartał Q1t Q2t Q3t Q4t
I 1 0 0 0
II 0 1 0 0
III 0 0 1 0
IV 0 0 0 1
13
Autor opracowania: Marek Walesiak
Po oszacowaniu modelu parametry d to średnie dla jedno-
j
imiennych okresów (średnia dla kwartału I, II, III, IV). Dla wy-
znaczenia amplitud sezonowych należy skorygować każdy para-
p
1
metr o wartość średnią: d* = d -
j j "d .
j
p
j=1
Model B bez ostatniej zmiennej sezonowej (kodowanie zero-
jedynkowe)  f (t) zawiera wyraz wolny:
Np. dla danych kwartalnych wprowadzamy 3 zmienne zero-
jedynkowe o następującym kodowaniu:
Kwartał Q1t Q2t Q3t
I 1 0 0
II 0 1 0
III 0 0 1
IV 0 0 0
Amplitudy wahań sezonowych wyznacza się według formuł:
p-1
1
* *
d = -
p "d ; d = d + d* .
j j j p
p
j=1
14
Autor opracowania: Marek Walesiak
Model C bez ostatniej zmiennej sezonowej (kodowanie quasi-
eksperymentalne)  f (t) zawiera wyraz wolny:
Np. dla danych kwartalnych wprowadzamy 3 zmienne sztuczne
o następującym kodowaniu:
Kwartał Q1t Q2t Q3t
I 1 0 0
II 0 1 0
III 0 0 1
IV -1 -1 -1
W tym przypadku wyznacza siÄ™ tylko amplitudÄ™ dla ostatniej
p-1
*
zmiennej sezonowej: d = -
p "d ; d* = d (dla j =1,K, p -1).
j j j
j=1
PrognozÄ™ dla modelu C oblicza siÄ™ ze wzoru:
p-1
v
Ä = f (Ä ) +
"d QjÄ
j
j=1
15
Autor opracowania: Marek Walesiak
6.1.5. Modele adaptacyjne
(wygładzania szeregu czasowego i prognozowania)
Zeliaś A., Pawełek B., Wanat S. (2003), Prognozowanie ekono-
miczne. Teoria. Przykłady. Zadania, WN PWN, Warszawa, r. 4.
 metoda średniej ruchomej prostej i ważonej,
 metody naiwne,
 metoda wyrównywania wykładniczego,
 metoda wyrównywania wykładniczo-autoregresyjnego,
 metoda Holta,
 metoda Wintersa,
 metoda trendu pełzającego z wagami harmonicznymi.
16
Autor opracowania: Marek Walesiak
6.2. NIEKLASYCZNE METODY
ANALIZY SZEREGÓW CZASOWYCH
Modele szeregów czasowych:
 autoregresyjne AR(p) o rzędzie opóz
nienia p,
 modele średniej ruchomej MA(q) o wielkości opóz
nienia q,
 modele autoregresyjne i średniej ruchomej ARMA(p, q),
 modele procesów zintegrowanych ARIMA(p, d, q), gdzie d
to rząd różnic szeregu czasowego.
Modele tego typu (Welfe [2003], s. 202):
 nie wyrażają żadnych hipotez ekonomicznych dotyczących
kształtowania się badanych zjawisk,
 w modelach tych bieżące wartości zmiennej objaśnianej są
funkcją wyłącznie jej historycznego przebiegu (przeszłych warto-
ści) i średniej ruchomej składnika losowego,
 wymagają stosunkowo licznej próby statystycznej,
 stosowane do opisu zjawisk o bogatej dynamice i skompli-
kowanych, trudnych do zdefiniowania zależnościach przyczyno-
wo-skutkowych.
17